专题01 二次根式（知识梳理+11大期末考点+过关训练）-2023-2024学年八年级数学下册期末综合复习（沪科版）

专题01 二次根式 知识梳理 1.二次根式 2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 1.二次根式的运算 2.分母有理化 目录 【题型一 二次根式的判别】 2 【题型二 二次根式有意义的条件】 2 【题型三 最简二次根式的判别】 3 【题型四 同类二次根式】 3 【题型五 比较二次根式的大小】 3 【题型六 利用二次根式的性质化简】 4 【题型七 二次根式的分母有理化】 4 【题型八 二次根式的混合运算】 5 【题型九 已知字母的值 化简求值】 5 【题型十 新定义型二次根式的运算】 5 【题型十一 二次根式的规律探究题】 6 【题型一 二次根式的判别】 例题：（21-22八年级下·贵州安顺·期末）下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列式子中，是二次根式的是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（2024·广东广州·二模）若代数式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）若 有意义，则x可以是下面的哪个值（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·山东济宁·二模）式子中x的取值范围是 ． 【题型三 最简二次根式的判别】 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【题型四 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·广西贺州·期中）下列式子中与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（2024九年级下·上海·专题练习）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的是 ． 【题型五 比较二次根式的大小】 例题：（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 2．（2024·陕西宝鸡·二模）在，0，2，这四个数中，最小的数是 ． 【题型六 利用二次根式的性质化简】 例题：（22-23七年级上·山东烟台·期末）若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 2．（22-23九年级下·重庆长寿·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【题型七 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24九年级上·山西临汾·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： ． 2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）特例感知 化简：． 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果；①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【题型八 二次根式的混合运算】 例题：（2024·陕西渭南·三模）计算：． 【变式训练】 1．（2024·甘肃天水·二模）计算： 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）计算：． 【题型九 已知字母的值 化简求值】 例题：（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，则＝ ． 【变式训练】 1．（2024·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 【题型十 新定义型二次根式的运算】 例题：（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有， ． 【题型十一 二次根式的规律探究题】 例题：（23-24九年级上·云南玉溪·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)______________； (2)根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； (3)用上述规律计算：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆永川·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： （    ） A． B． C． D．1 3．（23-24八年级下·河南商丘·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期数学5月份模拟试题）估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 5．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 7．（2024八年级下·全国·专题练习）若成立，则的取值范围是 ． 8．（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 9．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 10．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 12．（23-24七年级下·四川泸州·期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示．化简：． 13．（23-24八年级下·重庆永川·期中）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 15．（23-24八年级下·重庆永川·期中）先化简，再求值：，其中 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 知识梳理 1.二次根式 2.最简二次根式：化简后的二次根式同时满足，那么这个二次根式叫做最简二次根式. 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 1.二次根式的运算 2.分母有理化 目录 【题型一 二次根式的判别】 2 【题型二 二次根式有意义的条件】 3 【题型三 最简二次根式的判别】 4 【题型四 同类二次根式】 6 【题型五 比较二次根式的大小】 7 【题型六 利用二次根式的性质化简】 8 【题型七 二次根式的分母有理化】 10 【题型八 二次根式的混合运算】 11 【题型九 已知字母的值 化简求值】 12 【题型十 新定义型二次根式的运算】 14 【题型十一 二次根式的规律探究题】 15 【题型一 二次根式的判别】 例题：（21-22八年级下·贵州安顺·期末）下列各式：，，，，，中，是二次根式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：当时，不是二次根式， 的被开方数，不是二次根式， 的根指数是3，不是2，不是二次根式， 当时，不是二次根式， 所以二次根式有，，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建厦门·期末）下列式子中，是二次根式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如（）”可进行求解． 【详解】解：由题意可知是二次根式； 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的识别．解题的关键是掌握二次根式的定义．根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】 解：由二次根式的定义可知：四个选项只有是二次根式，，的被开方数是负数，不符合题意，是3次根式，不符合题意； 故选A． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（2024·广东广州·二模）若代数式有意义，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据分式的分母不为0，被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）若 有意义，则x可以是下面的哪个值（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得且． 则只有0符合． 故选：A 2．（2024·山东济宁·二模）式子中x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 【题型三 最简二次根式的判别】 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故不本选项符合题意． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的概念，求解即可，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、是最简二次根式，故符合题意； C、由，不是最简二次根式，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2．（2024·江西九江·三模）在等式“”中，括号内应填入的最简根式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和除法，根据题意，列出二次根式的乘法算式即可求解． 【详解】解：括号内应填入的数为：， 故答案为：． 【题型四 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·广西贺州·期中）下列式子中与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 利用二次根式性质分别化简，然后即可得出答案． 【详解】解：A．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．是同类二次根式，故此选项符合题意； C．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如果二次根式化简后能与合并，那么a的值可以是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解答本题的关键．因为二次根式化简后能与合并，所以二次根式化简后与为同类二次根式，即是的整数倍，代入选项的值验证即可． 【详解】解：A、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意； B、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故不符合题意； C、当时，，与是同类二次根式可以合并，故符合题意； D、当时，，与不是同类二次根式不能合并，故符合题意； 故选：C． 2．（2024九年级下·上海·专题练习）在二次根式，，，中，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式性质化简，根据将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：，与不是同类二次根式，不符合题意； ，与不是同类二次根式，不符合题意； ，与是同类二次根式，符合题意； ，与不是同类二次根式，不符合题． 故答案为：． 【题型五 比较二次根式的大小】 例题：（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数 【详解】解：，，， ，即， ，且， ， ，即， 与最接近的整数是， 故选：C． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）比较大小： ．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 2．（2024·陕西宝鸡·二模）在，0，2，这四个数中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，二次根式的大小比较，正数大于零，负数小于零；对于负数，绝对值大的反而小．据此即可求解． 【详解】解：∵负数小于0，正数大于0， ∴，， ∵，， 且， ∴ 故答案为： 【题型六 利用二次根式的性质化简】 例题：（22-23七年级上·山东烟台·期末）若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则可得出，再分情况计算a的值即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简 ． 【详解】解：， ， ， 故答案为：8． 2．（22-23九年级下·重庆长寿·期中）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】观察数轴得出，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴，， ． 【点睛】本题考查了利用数轴化简绝对值和二次根式，立方根，数形结合，灵活运用这些知识是解题的关键． 【题型七 二次根式的分母有理化】 例题：（23-24九年级上·山西临汾·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，根据二次根式分母有理化的方法，分子、分母同时乘即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理数，给分子、分母同乘以，利用平方差公式求解即可．掌握分母有理数的求解方法是解答的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·河南商丘·期中）特例感知 化简：． 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果；①______；②______． 观察发现 (2)第个式子是为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分母有理化： （1）①利用题干中反映的规律解答即可，②利用题干中反映的规律解答即可； （2）利用（1）中的方法解答即可． 【详解】（1）①解：； ②； （2）． 【题型八 二次根式的混合运算】 例题：（2024·陕西渭南·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．根据平方差公式，立方根的概念，绝对值的定义将式子化简，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 【变式训练】 1．（2024·甘肃天水·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先运算除法再去括号，然后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算二次根式加减法即可． 【详解】解： ． 【题型九 已知字母的值 化简求值】 例题：（23-24八年级上·四川雅安·期末）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可． 【详解】∵， ∴ ； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当 时，原式 ． 2．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）将变形为，然后再将代入求值即可； （2）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， ； （2）∵，， ∴， ， ∴． 【题型十 新定义型二次根式的运算】 例题：（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答；本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ※ ； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有， ． 【答案】/ 【分析】先根据新运算的规定把要计算的式子写成实数的运算形式，再利用完全平方公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新运算的规定是解决本题的关键． 【题型十一 二次根式的规律探究题】 例题：（23-24九年级上·云南玉溪·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第个单项式是． 【详解】解：由，，，，，， 总结规律得第个单项式是． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）由题意的规律即可用n表示该等式； （3）利用（2）中的结论即可求出答案． 【详解】（1）∵①； ② ； ③； …； ∴． 故答案为：； （2）由上述规律可得：． 故答案为：； （3） ． 2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)______________； (2)根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算； （1）根据所给算式可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：由所给算式可得， 故答案为：； （2）由所给算式可得， 故答案为：； （3）． 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆永川·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键． 化简至最简二次根式，比较被开方数是否一样即可． 【详解】解：A、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； B、，不可以与进行合并，故本选项符合题意； C、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； D、，可以与进行合并，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简： （    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可． 【详解】解：由数轴可知， ，， ． 故选：D． 3．（23-24八年级下·河南商丘·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式化简及乘除运算．根据二次根式的性质，二次根式乘法和除法法则计算即可判定． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、与为是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期数学5月份模拟试题）估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题主要考查对无理数的估算，熟练掌握无理数是解题的关键．根据即可得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选B． 5．（23-24八年级下·广西贺州·期中）对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得 故答案为：3 7．（2024八年级下·全国·专题练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分式的性质是解决本题的关键． 先根据二次根式的性质和分式的性质确定方程有意义的条件，再根据二次根式的性质进行分母有理化，从而根据分式的性质解方程，即可解决此题． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ， ． ． ． 或． （舍）或． ． 故答案为：． 8．（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）已知x， y都是实数，且 则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，立方根是解题的关键．由题意知，，，可求，则，根据的立方根为，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为3， 故答案为：3． 10．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知的整数部分是a，小数部分是b，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，平方差公式，求代数式的值．由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·吉林四平·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式计算二次根式的除法和乘法即可． 【详解】解： ． 12．（23-24七年级下·四川泸州·期中）实数，，在数轴上的对应点如图所示．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质．先观察数轴可知，，从而判断，，的大小，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ，，， ． 13．（23-24八年级下·重庆永川·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算顺序和相关法则． （1）利用绝对值的性质，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可； （2）先计算乘除，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化； （1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）①； ②； （2）原式； （3）∵ ∴原式． 15．（23-24八年级下·重庆永川·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值和二次根式的混合运算，根据相关运算法则先化简再代入求值即可． 【详解】解： = = ， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$