期末复习一次函数实际应用专训30题-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

八年级下学期【一次函数实际应用30题专训】 一．解答题（共30小题） 1．（2024•西双版纳一模）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 2．（2024•新城区模拟）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 3．（2024•潍城区二模）第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？ （2）商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为x件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为w元，请写出w与x的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润． 4．（2024•厦门模拟）某实验室在10℃～15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一在10℃下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量（mg） 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度（mm/天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10℃～15℃范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（℃） 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素用量（mg） 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10℃下营养素用量从0mg增加到0.5mg的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10℃下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素是否能提前12天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 5．（2024•漳州一模）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表（a为常数）： 一次性购买质量x（kg） 优惠方案 x≤a 不优惠 x＞a 超过akg的部分打七五折 设购买枇杷x kg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． （1）写出y甲，y乙关于x的函数表达式； （2）在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷，结果费用相同，求a的值； （3）请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 6．（2024春•馆陶县期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，B，C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B，C两地同时出发，沿公路匀速相向面行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示． 根据图象进行以下探究： （1）请在图1中标出A地的位置，并求图2中M点的坐标，同时解释该点的实际意义； （2）在图2中补全甲车的函数图象，并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式； （3）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，直接写出两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 7．（2024•沈阳二模）某超市的消费卡做促销活动，消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠0.4元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 8．（2024•西乡塘区模拟）在日常生活中，当手机剩余电量为20%时，张老师便会给手机充电，他发现单独使用快充充电器和单独用普通充电器对该手机充电，手机电量y（单位：%）与充电时间x（单位：分钟）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．请根据图中信息，解答下列问题： （1）张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用 　 　分钟； （2）求线段AB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）张老师若先用普通充电器充电m分钟后，再改用快充充电器直至充满，共用70分钟，请求出m的值． 9．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工a个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量y （个）与甲工作时间x （时）的函数图象． （1）甲的工作效率为　 　个/时，维修机器用了　 　小时； 乙的工作效率是　 　个/时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求a的值． 10．（2024•宜兴市二模）小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地600米，早上9：00小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上9：08才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的1.5倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） （1）小宜休息前登山的速度为 　 　米/分钟，小兴减速后登山的速度为 　 　米/分钟； （2）求a的值并说明点A所表示的实际意义； （3）若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟？ 11．（2024•西山区校级模拟）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，若用1200元购买，甲种服装比乙种服装少5件． （1）求甲、乙两种服装的进价； （2）现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的费用不得超过7500元．甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元．设甲种服装购进a件，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？ 12．（2024春•市中区校级月考）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． （1）分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，y与x之间的关系式； （2）若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ （3）已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 13．（2024春•左权县期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速v（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 谛回答下列问题： （1）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 　 　m； （2）根据如表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：　 　； （3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 14．（2024春•沙坪坝区校级期中）A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货，恰好两人同时到到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回．返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示，请根据图中的信息解决下列问题： （1）填空：AB两地距离为 　 　千米，a＝　 　； （2）当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米？ （3）当两人相距3千米，请直接写出x的值． 15．（2024春•邢台期中）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：线段OA、半圆弧AB、线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示． （1）请直接写出：花坛的半径是　 　米，蚂蚁爬行的速度为　 　米/分； （2）计算图中的a值； （3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出： ①蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离； ②蚂蚁返回点O的时间．（注：圆周率π的值取3） 16．（2024春•华安县期中）为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买6辆男式单车与8辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元． （1）求男式单车和女式单车的单价； （2）该社区要求男式单车比女式单车多5辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 17．（2024•武清区二模）已知小亮家、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小亮家1.6km，体育场离小亮家3km，小亮从家骑车匀速骑行10min到体育场锻炼，在那里停留了60min后，又匀速步行15min到超市，在超市停留了20min后，用了20min匀速散步返回家．图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 离开家的时间/min 5 10 30 88 离开家的距离/km 　1.5　 3 　3　 　1.6　 ②填空：体育场到超市的距离为 　 　km； ③当85≤x≤125时，请直接写出小亮离家的距离y关于x的函数解析式． （Ⅱ）当小亮离开体育场20min时，小亮的哥哥小明从家出发匀速步行直接去体育场，如果小明的速度为0.1km/min，那么小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 18．（2024•新城区校级模拟）2024年3月15日是第42个国际消费者权益日．为进一步加强消费者权益保护工作，增强消费安全意识，某校组织学生到附近社区举行一次以“倡导诚实守信•共铸消费和谐”为主题的宣传活动，活动之前需要印刷一些宣传资料，经了解，甲、乙两家快印店印刷相同品质宣传资料的定价均为5元/份，通过与店家协商，两家快印店分别给出了不同的优惠方案： 甲店：无论印刷多少，一律按定价的八折收费． 乙店：若一次性印刷不超过10份，则按定价收费；若一次性印刷超过10份，则不超过10份的部分按定价收费，超过10份的部分按定价的六折收费． 设该校本次需要印刷的宣传资料共x（x＞10）份，在甲店印刷共需费用为y甲元，在乙店印刷共需费用为y乙元． （1）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式； （2）若该校本次需要印刷的宣传资料共25份，请计算并说明，在哪家店印刷比较划算？ 19．（2024•长春一模）甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米．甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示． （1）a＝　 ； （2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 20．（2024•安宁市模拟）加强劳动教育，落实五育并举．安宁市某中学建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）求y与x的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 21．（2024•西青区二模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行40min到达B地；乙骑行75min直接到达B地，已知A，B两地相距15km．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填空： ①图中a＝　 　，b＝　 　； ②甲出发50min离A地的距离是 　 　km； ③乙骑行的速度为 　 km/min． （Ⅱ）请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； （Ⅲ）当甲乙相距1.5km时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 22．（2024春•温县期中）为迎接郑州市2025年花博会的举办，某社区负责人准备购买两种造型花卉来装扮社区，为郑州添彩，购买20株A种花卉和30株B种花卉共需2800元；购买30株A种花卉和10株B种花卉共需2100元． （1）求这两种花卉的单价； （2）在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：A种花卉按原价的八折销售，B种花卉20个以上超出部分按原价的六折销售．设购买x个A种花卉需要y1元，购买x个B种花卉需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式； （3）社区负责人准备联系多个社区集体购买同一种花卉，若购买花卉的数量超20株，则购买哪种花卉更合算？请说明理由． 23．（2024•莱芜区校级模拟）生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的1.5倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝． （1）玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？ （2）两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？ 24．（2024•蒲城县模拟）【项目情境】 校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为x（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为y1（元）和y2（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲、乙两厂的收费标准． （1）分别求y1、y2关于x的函数表达式． 目标2：给出最终选择方案． （2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 25．（2024•碑林区校级模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．为了解某品牌电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，琪琪在该汽车品牌4S店了解到该车电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与充电时间t（小时）的关系式为y1＝60t；在以平均每小时70千米的速度试驾过程中她发现满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程x（千米）满足一次函数关系，且记录了如下数据： 已行驶里程x（千米） 0 80 160 240 显示电量y2（%）y2 100 80 60 40 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）求出y2与x之间的函数关系式； （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点480千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶70千米，行驶4小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，并到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 26．（2024•让胡路区模拟）某公司计划购买A，B两种设备共100台，要求B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的已知A，B两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买A种设备x台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式： （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，A种设备单价上调了2a（a＞0）元/台，B种设备单价下调了3a元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出a的值． 27．（2024•阳泉一模）项目化学习 项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系 项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习． 驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系 项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 研究步骤：（1）将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°）； （2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图2）； （3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组α和β的值； （4）数据分析，形成结论． α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° β 160° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20° 问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务． （1）根据表中信息可知，β是α的 　 　函数（选填“一次”“二次”“反比例”），β与α的函数关系式为 　 　（0°＜α＜90°）； （2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式． 28．（2024•洛阳一模）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择 　 　超市（填“A”或“B”）更省钱； （2）当购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为25%（注：优惠率＝×100%）．若在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 29．（2024•越秀区校级一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 30．（2024•南安市模拟）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期【一次函数实际应用30题专训】 一．解答题（共30小题） 1．（2024•西双版纳一模）健康绿色生活，从饮用水开始．随着科技的发展和生活质量的不断提高，人们的自我保健意识也不断增强，对饮水品质的需求也越来越高，某乡镇家电商场抓住商机，准备用不超过10000元购进40台净水器，其中A型净水器每台200元，B型净水器每台300元，A型净水器每台售价300元，B型净水器每台售价350元，预计销售额不低于12800元．设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元． （1）该商场共有几种进货方案？ （2）该商场选择哪种进货方案才能使得总利润y最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器（40﹣x）台，依题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解； （2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设购进A型净水器x台，则购进B型净水器（40﹣x）台，依题意得， ， 解得：20≤x≤24， ∴x＝20，21，22，23，24， ∴共有5种进货方案； （2）设A型净水器购进x台，商场销售这两种净水器获得的总利润为y元，依题意得， ∴y＝（300﹣200）x+（350﹣300）（40﹣x）＝50x+2000， ∵50＞0，y随x的增大而增大， 又∵20≤x≤24， ∴当x＝24时，y取得最大值，最大利润为：50×24+2000＝3200（元）， 40﹣24＝16； 答：购进A型净水器24台，则购进B型净水器16台，能使得总利润最大，最大利润是3200元． 2．（2024•新城区模拟）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式． （2）为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 【分析】（1）甲、乙两家装修公司的工作效率分别是和；设剩下的工作乙装修公司需m天完成，根据题意列关于m的方程，并将m表示为x的函数，从而根据“装修的总费用＝甲装修公司的费用每天的费用×甲装修公司工作的天数+乙装修公司的费用每天的费用×乙装修公司工作的天数”写出y与x之间的函数关系式即可； （2）甲、乙两个装修公司工作的总天数为（x+m）天，将m关于x的函数关系式代入，根据题意列关于x的一元一次不等式并求解；根据（1）中求得的函数的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时y的值最小，求出其最小值，并将此时x的值代入m关于x的函数关系式求出m的值即可． 【解答】解：（1）设剩下的工作乙装修公司需m天完成， 根据题意，得+＝1， 解得m＝﹣x+12， 则y＝1000x+1800（﹣x+12）＝﹣200x+21600，即y＝﹣200x+21600， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣200x+21600． （2）根据题意，得x+（﹣x+12）≤15， 解得x≤9； ∵y＝﹣200x+21600，﹣200＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝9时，y的值最小，y最小＝﹣200×9+21600＝19800，此时m＝﹣×9+12＝6， ∴甲装修公司工作9天，乙装修公司工作6天，装修总费用最少，最少费用是19800元． 3．（2024•潍城区二模）第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？ （2）商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为x件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为w元，请写出w与x的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润． 【分析】（1）设每件甲种文创产品的进价是a元，则乙种文创产品的进价是（a﹣1）元，根据题意列方程并求解即可； （2）购买乙种文创产品的件数为（800﹣x）件，根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集；按照x的取值范围分别写出w关于x的关系式，根据函数的增减性和x的取值范围求出对应w的最大值，比较w的两个最大值取其中较大的一个即可． 【解答】解：（1）设每件甲种文创产品的进价是a元，则乙种文创产品的进价是（a﹣1）元． 根据题意，得＝2×， 解得a＝10， 经检验，a＝10是所列分式方程的解， 10﹣1＝9（元）， ∴每件甲种文创产品的进价是10元，乙种文创产品的进价是9元． （2）购买乙种文创产品的件数为（800﹣x）件． 根据题意，得， 解得160≤x≤310； 当160≤x≤180时，w＝（15﹣10）x+（15﹣9）（800﹣x）＝﹣x+4800， ∵﹣1＜0， ∴w随x的减小而增大， ∴当x＝160时，w的值最大，w最大＝﹣160+4800＝4640； 当180＜x≤310时，w＝（15﹣10）×180+（15﹣10×0.6）（x﹣180）+（15﹣9）（800﹣x）＝3x+4080， ∵3＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝310时，w的值最大，w最大＝3×310+4080＝5010． ∵4640＜5010， ∴这次采购的文创产品的最大利润是5010元． 4．（2024•厦门模拟）某实验室在10℃～15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一在10℃下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量（mg） 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度（mm/天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10℃～15℃范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（℃） 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素用量（mg） 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10℃下营养素用量从0mg增加到0.5mg的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10℃下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素是否能提前12天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）由表二求出不使用营养素时，该种幼苗的生长速度，进而求出不使用营养素时，该种幼苗从10mm培育到30mm所需的时间，再求出该种幼苗在10°C使用营养素的最大生长速度，求出比不使用营养素提前12天生长的高度，与30mm比较即可判断； （3）利用待定系数法解答即可求解． 【解答】解：（1）设营养素用量为x mg，该种幼苗的生长速度为y cm， ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设y＝mx+n（m≠0）， 根据表二，函数图象经过（0，1），（0.5，2），代入可得 ， 解得， ∴y＝2x+1（0≤x≤0.5）； （2）不能提前12天完成，理由如下： 由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是1mm/天， ∴不使用营养素时，该种幼苗从10mm培育到30mm所需的时间是（30−10）÷1＝20天， 由表三可知，在10°C下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是0.540mg， 即x＝0.540， 代入（1）中所求函数解析式可得y＝2.08， 即该种幼苗在10°C使用营养素的最大生长速度是2.08mm/天， 此种情况下，该种幼苗在20−12＝8天内的生长高度为2.08×8＝16.64mm 10+16.64＜30， ∴不能提前12天完成； （3）设营养素用量为x mg，该种幼苗的生长速度为y cm， ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设y＝kx+b（k＞0）， ∵在10°C～15°C的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当x＝0时，都有y＝1， ∴b＝1， 即y＝kx+1（k≠0） ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变， ∴由（2）可知，在10°C～15°C范围内的不同温度下，y最大＝2.08， 且当y取最大值时，在10°C～15°C范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将（0.360，2.08），（0.270，2.08），（0.216，2.08），（0.180，2.08），（0.156，2.08）逐一代入y＝kx+1，分别可求得在10°C～15°C范围内的不同温度下解析式中相应的k的值，如下表所示： t（°C） 10 11 12 13 14 15 k 2 3 4 5 6 6.92 根据表中数据，k的值与相应的温度值大致符合关系式为k＝t−8， y＝（t−8）x+1，其中0≤x≤， ∴在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式y＝（t−8）x+1（0≤x≤）表示． 5．（2024•漳州一模）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表（a为常数）： 一次性购买质量x（kg） 优惠方案 x≤a 不优惠 x＞a 超过akg的部分打七五折 设购买枇杷x kg，y甲，y乙（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． （1）写出y甲，y乙关于x的函数表达式； （2）在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷，结果费用相同，求a的值； （3）请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 【分析】（1）根据题意分别写出y甲，y乙关于x的函数表达式即可； （2）小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷的费用相同，列出方程，解方程求出a的值； （3）由（2）可得出购买方案． 【解答】解：（1）根据题意得：y甲＝40×0.9x＝36x； 当x≤a时，y乙＝40x， 当x＞a时，y乙＝40a+40×0.75（x﹣a）＝30x+10a， ∴y乙关于x的函数表达式为y乙＝； （2）小丽在甲商店购买10kg枇杷的费用为：36×10＝360（元）， 小丽在乙商店购买10kg枇杷的费用为y＝， ∵小丽在两家商店分别购买10kg的枇杷的费用相同， ∴300+10a＝360， 解得a＝6； （3）由（2）可知，当x＜10时，到甲商店购买更合算； 当x＝10时，到甲乙两家商店购买费用相同； 当x＞10时，到乙商店购买更合算． 6．（2024春•馆陶县期中）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，B，C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B，C两地同时出发，沿公路匀速相向面行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示． 根据图象进行以下探究： （1）请在图1中标出A地的位置，并求图2中M点的坐标，同时解释该点的实际意义； （2）在图2中补全甲车的函数图象，并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式； （3）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，直接写出两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 【分析】（1）作图后根据图示分析可知点A满足AB：AC＝2：3； （2）直接根据题意列式可求，乙车的速度150÷2＝75千米/时，90÷75＝1.2，所以点M表示乙车1.2小时到达A地； （3）根据图象可知当0≤x≤1时，y1＝﹣60x+60；当1＜x≤2.5时，y1＝60x﹣60； （4）根据“两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话”作为不等关系列不等式组，求解即可得到通话的时间范围，所以可求两车同时与指挥中心通话的时间为小时． 【解答】解：（1）A地位置如图所示．使点A满足AB：AC＝2：3； 乙车的速度150÷2＝75千米/时， 90÷75＝1.2（小时）， 所以点M表示乙车1.2小时到达A地； ∴M（1.2，0）， （2）由于甲车匀速行驶，因此从1时到2时行驶的距离也是60千米，即甲的图象过点（2，60），又v甲＝＝60千亩/时，因此甲再行驶90千米需要的时间＝＝1.5h，所以甲车的函数图象如图所示： 当0≤x≤1时，y1＝﹣60x+60； 当1＜x≤2.5时，y2＝60x﹣60； （3）设甲车x时与指挥中心相距15千米，乙车y时与指挥中心相距15千米，则对于甲车由题意得：，得， 对于乙车由题意得：，得， ∴． ∴两车同时与指挥中心通话的时间为小时． 7．（2024•沈阳二模）某超市的消费卡做促销活动，消费卡售价y（元）与面值x（元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品． （1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元； （2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠0.4元．设小张购买的大米原价为m元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w元，求w与m的函数关系式． 【分析】（1）求出OA解析式为y＝0.85x，当x＝1000时，y＝850，故小张购买这张消费卡实际花费850元； （2）用20乘以单价可得w＝20（m﹣0.4）＝20m﹣8． 【解答】解：（1）设OA解析式为y＝kx，把（500，425）代入得： 425＝500k， 解得k＝0.85， ∴y＝0.85x， 当x＝1000时，y＝0.85×1000＝850， ∴小张购买这张消费卡实际花费850元； （2）根据题意得：w＝20（m﹣0.4）＝20m﹣8， ∴w与m的函数关系式为w＝20m﹣8． 8．（2024•西乡塘区模拟）在日常生活中，当手机剩余电量为20%时，张老师便会给手机充电，他发现单独使用快充充电器和单独用普通充电器对该手机充电，手机电量y（单位：%）与充电时间x（单位：分钟）的函数图象分别为图中的线段AB，AC．请根据图中信息，解答下列问题： （1）张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用 　80　分钟； （2）求线段AB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）张老师若先用普通充电器充电m分钟后，再改用快充充电器直至充满，共用70分钟，请求出m的值． 【分析】（1）单独用快充充电器充满电需40分，单独用普通充电器充满电需120分，故张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用80分钟； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+20，把（40，100）代入得100＝40k+20，故k＝2，线段AB对应的函数表达式为y＝2x+20； （3）用普通充电器，每分钟充电＝，可得20+m+2（70﹣m）＝100，即可解出m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，单独用快充充电器充满电需40分，单独用普通充电器充满电需120分， ∴张老师单独用快充充电器充满电比用普通充电器少用120﹣40＝80（分钟）， 故答案为：80； （2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+20，把（40，100）代入得： 100＝40k+20， 解得k＝2， ∴线段AB对应的函数表达式为y＝2x+20； （3）用普通充电器，每分钟充电＝， 根据题意，20+m+2（70﹣m）＝100， 解得m＝45， ∴m的值为45． 9．（2024•盐城二模）甲、乙两名工人分别加工a个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量y （个）与甲工作时间x （时）的函数图象． （1）甲的工作效率为　20　个/时，维修机器用了　0.5　小时； 乙的工作效率是　60　个/时； （2）乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； （3）若乙比甲早1小时完成任务，求a的值． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以分别得到甲的工作效率，甲维修机器用的时间和乙的工作效率； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到相应的方程，从而可以得到乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同和此时乙加工零件的个数； （3）根据甲、乙两名工人分别加工a个同种零件和乙比甲早1小时完成任务，可以得到关于a的方程，从而可以求得a的值． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的工作效率为：10÷0.5＝20（个/小时）， 维修机器用了1﹣0.5＝0.5（小时）， 乙的工作效率是20×3＝60（个/小时）， 故答案为：20，0.5，60； （2）设乙加工x小时与甲加工的零件数量相同， 60x＝20（x+1.5﹣0.5）， 解得，x＝0.5， 60x＝30， 答：乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，此时乙加工零件是30个； （3）+1+（1.5﹣0.5）＝， 解得，a＝60， 即a的值是60． 10．（2024•宜兴市二模）小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地600米，早上9：00小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上9：08才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的1.5倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） （1）小宜休息前登山的速度为 　10　米/分钟，小兴减速后登山的速度为 　12　米/分钟； （2）求a的值并说明点A所表示的实际意义； （3）若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟？ 【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出小宜休息前登山的速度；根据题意，求出m的值及小兴开始爬山的速度，根据“时间＝路程÷速度”求出小兴爬到半山腰所用的时间，从而根据“速度＝路程÷时间”求出小兴减速后登山的速度； （2）根据“路程＝速度×时间”分别求出小宜、小兴到达半山腰前距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式，两函数联立列方程组并求解即可； （3）设小宜比原来速度提高a米/分钟，小宜到达山顶所用的时间为35+，根据题意列不等式并求解即可． 【解答】解：（1）小宜休息前登山的速度为300÷30＝10（米/分钟）； 根据题意，得m＝8，小兴开始爬山的速度为10×1.5＝15（米/分钟）， 小兴爬到半山腰所用的时间为300÷15＝20（米/分钟）， ∴当x＝8+20＝28时，小兴爬到半山腰， ∴小兴减速后登山的速度为（600﹣300）÷（53﹣28）＝12（米/分钟）． 故答案为：10，12． （2）当0≤x≤30时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为y＝10x； 当8≤x≤28时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为y＝15（x﹣8）＝15x﹣120； 根据图象，得， 解得， ∴点A表示小兴在爬了16分钟后，于上午9：24追上小宜，此时二人离出发地相距240米． （3）设小宜比原来速度提高a米/分钟． 根据题意，得35+≤53， 解得x≥， ∴他加速后的速度至少应提高米/分钟． 11．（2024•西山区校级模拟）某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，若用1200元购买，甲种服装比乙种服装少5件． （1）求甲、乙两种服装的进价； （2）现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的费用不得超过7500元．甲种服装每件售价120元，乙种服装每件售价90元．设甲种服装购进a件，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？ 【分析】（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价（x+20）元，根据“用1200元购买，甲种服装比乙种服装少5件“列出方程，解方程即可； （2）设计划购买a件甲种服装，则购买（100﹣a）件乙种服装，根据“甲种服装不少于65件，且购进这100件服装的费用不得超过7500元”列出不等式组，求出a的取值范围，设总利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种服装的利润之和列出函数关系式，由函数的性质得出结论． 【解答】解：（1）设乙种服装的进价x元，甲种服装进价（x+20）元， 据题意得：， 解得：x1＝60，x2＝﹣80（不合题意，舍去）， 经检验x＝60是原方程的根，且符合题意． 答：甲种服装的进价为80元，乙种服装的进价为60元； （2）设计划购买a件甲种服装，则购买（100﹣a）件乙种服装， 根据题意得 解得65≤a≤75，且a是整数， 设总利润为w元，则w＝（120﹣80）a+（90﹣60）（100﹣a）＝10a+3000， ∵10＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝75时，w有最大值， ∴购进甲种服装75件，乙种服装25件才能获得最大利润． 12．（2024春•市中区校级月考）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． （1）分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，y与x之间的关系式； （2）若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ （3）已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？ 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）设小丽家4月份所用煤气量为x立方米，先判断x是否大于50，然后代入对应的关系式中求值即可； （3）设6月份小丽家用了a立方米的煤气，先判断a是否大于50，然后根据题意列方程，并解方程即可． 【解答】解：（1）当x≤50时，y＝0.8x； 当x＞50时，y＝0.8×50+1.2（x﹣50）＝1.2x﹣20； （2）设小丽家4月份用煤气x立方米， ∵0.8×50＝40（元），而88元＞40元， 根据题意得：1.2x﹣20＝88， 解得：x＝90， 答：小丽家4月份用煤气90立方米； （3）设6月份小丽家用了a立方米的煤气， 根据题意得：1.2a﹣20＝0.95a， 解得：a＝80， 答：6月份小丽家用了80立方米的煤气． 13．（2024春•左权县期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速v（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 谛回答下列问题： （1）当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 　15　m； （2）根据如表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：　s＝0.25v（v≥0）　； （3）该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？（相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．） 【分析】（1）根据表格数据可得答案； （2）根据刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，可得答案； （3）结合（2）的结论得出可得车速为128km/h，进而得出答案． 【解答】解：（1）由表格信息可得：当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是15m； 故答案为：15； （2）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m， ∴y与x之间的关系式为：s＝0.25v（v≥0）， 故答案为：s＝0.25v（v≥0）； （3）当s＝32时，32＝0.25v， ∴v＝128， ∵120＜128， ∴事故发生时，汽车是超速行驶． 答：推测刹车时车速是128km/h，所以事故发生时，汽车是超速行驶． 14．（2024春•沙坪坝区校级期中）A，B两地之间有一快递中转站C，且它们在同一直线上．快递员甲、乙骑电动车分别从A地、B地同时出发以各自的速度匀速前往中转站C地取货，恰好两人同时到到达C地．取货后（取货时间忽略不计）各自沿原路线原速返回．返回途中甲突然想起乙拿错一件快递，于是甲立即掉头以原来速度的3倍追及乙，乙一直保持原速返回B地，经过一段时间，甲赶上乙后，两人立即以甲提速后的速度一起前往中转站C核对信息．已知乙的速度为15千米/时．在此过程中，甲、乙两人距C地的距离和为y（单位：千米）与出发时间x（单位：小时）之间的关系如图所示，请根据图中的信息解决下列问题： （1）填空：AB两地距离为 　12.5　千米，a＝　　； （2）当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地多少千米？ （3）当两人相距3千米，请直接写出x的值． 【分析】（1）根据图中信息可得AB两地距离，可算出甲距离快递站距离和速度，再利用速度和乘以时间等于路程和可求得a； （2）利用路程差除以速度差可求出甲追上乙的时间，即乙行驶的时间，即可解答； （3）分类讨论，即未到快递站，出快递站，和甲追乙差3千米，三种情况，即可解答． 【解答】解：（1）由图中信息可得AB两地距离为12.5千米；甲的速度为 （千米/时）， ∴， 故答案为：12.5；； （2）根据题意，甲用追上乙， 此时乙离开C地 （千米）； ∴当快递员甲追上快递员乙时，他们距中转站C地6千米； （3）当未到快递站时，， 当出快递站，（12.5+3）÷（15+10）＝； 当甲追乙差3千米时，， 综上，x的值为或 或． 15．（2024春•邢台期中）一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：线段OA、半圆弧AB、线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示． （1）请直接写出：花坛的半径是　4　米，蚂蚁爬行的速度为　2　米/分； （2）计算图中的a值； （3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出： ①蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离； ②蚂蚁返回点O的时间．（注：圆周率π的值取3） 【分析】（1）（2）根据圆上的点到圆心的距离等于半径可知S开始不变时的值即为花坛的半径，然后求出蚂蚁的速度，再根据时间＝路程÷速度计算即可求出a； （3）①根据蚂蚁吃食时离出发点的距离不变判断出蚂蚁在BO段，再求出蚂蚁从B爬到吃食时的时间，然后列式计算即可得解； ②求出蚂蚁吃完食后爬到点O的时间，再加上11计算即可得解． 【解答】解：（1）由图可知，花坛的半径是4米， 蚂蚁的速度为4÷2＝2米/分， 故答案为：4，2； （2）由题意得：a＝（4+4π）÷2＝（4+4×3）÷2＝8； （3）①设s＝kt（k≠0）， ∵函数图象经过点（2，4）， ∴2k＝4， 解得k＝2， ∴s＝2t； ∵沿途只有一处食物， ∴蚂蚁只能在BO段吃食物，11﹣8﹣2＝1， ∴蚂蚁从B爬1分钟找到食物， 4﹣1×2＝2（米）， ∴蚂蚁停下来吃食的地方距出发点2米； ②∵蚂蚁停下来吃食的地方距出发点2米， 2÷2＝1（分钟）， 11+1＝12（分钟）， ∴蚂蚁返回O的时间为12分钟． 16．（2024春•华安县期中）为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买6辆男式单车与8辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元． （1）求男式单车和女式单车的单价； （2）该社区要求男式单车比女式单车多5辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 【分析】（1）设男式单车单价每辆a元，女式单车单价每辆b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设该社区购置男式单车m辆，则购置女式单车（m﹣5）辆，根据题意列关于m的不等式组并求其解集，根据m为整数确定m的取值；设购置所需总费用为W元，写出W关于m的关系式，根据该关系式的增减性和m的取值情况，确定当m为何值时W的值最小，求出W的最小值和此时（m﹣5）的值即可． 【解答】解：（1）设男式单车单价每辆a元，女式单车单价每辆b元． 根据题意，得， 解得， ∴男式单车单价每辆2000元，女式单车单价每辆1500元． （2）设该社区购置男式单车m辆，则购置女式单车（m﹣5）辆． 根据题意，得， 解得≤m≤， ∵m为整数， ∴m＝14，15，16， ∴该社区有3种购置方案； 设购置所需总费用为W元，则W＝2000m+1500（m﹣5）＝3500m﹣7500， ∵3500＞0， ∴W随m的减小而减小， ∵m＝14，15，16， ∴当m＝14时，W的值最小，W最小＝3500×14﹣7500＝41500，此时购置女式单车14﹣5＝9（辆）， ∴购置男式单车14辆、女式单车9辆才能使所需总费用最低，最低费用是41500元． 17．（2024•武清区二模）已知小亮家、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离小亮家1.6km，体育场离小亮家3km，小亮从家骑车匀速骑行10min到体育场锻炼，在那里停留了60min后，又匀速步行15min到超市，在超市停留了20min后，用了20min匀速散步返回家．图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （Ⅰ）①填表： 离开家的时间/min 5 10 30 88 离开家的距离/km 　1.5　 3 　3　 　1.6　 ②填空：体育场到超市的距离为 　1.4　km； ③当85≤x≤125时，请直接写出小亮离家的距离y关于x的函数解析式． （Ⅱ）当小亮离开体育场20min时，小亮的哥哥小明从家出发匀速步行直接去体育场，如果小明的速度为0.1km/min，那么小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【分析】（Ⅰ）①列式×5计算可得离开家5min，距家的距离为1.5km；由图可知，离开家30min，距家的距离为3km；离开家88min，距家的距离为1.6km； ②由超市离小亮家1.6km，体育场离小亮家3km可得体育场到超市的距离为1.4km； ③分两种情况：当85≤x≤105时，y＝1.6；当105＜x≤125时，y＝1.6﹣（x﹣105）＝﹣0.08x+10； （Ⅱ）小亮离开体育场20min时，x＝70+20＝90，设小明距家y'km，则y'＝0.1（x﹣90）＝0.1x﹣9，可得0.1x﹣9＝﹣0.08x+10，x＝，即可得小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是km． 【解答】解：（Ⅰ）①∵×5＝1.5（km）， ∴离开家5min，距家的距离为1.5km； 由图可知，离开家30min，距家的距离为3km； 由图可知，离开家88min，距家的距离为1.6km； 故答案为：1.5，3，1.6； ②∵3﹣1.6＝1.4（km）， ∴体育场到超市的距离为1.4km； 故答案为：1.4； ③当85≤x≤105时，y＝1.6； 当105＜x≤125时，y＝1.6﹣（x﹣105）＝﹣0.08x+10； ∴y＝； （Ⅱ）小亮离开体育场20min时，x＝70+20＝90，此时小亮在超市，小明从家出发， 设小明距家y'km，则y'＝0.1（x﹣90）＝0.1x﹣9， 根据题意，0.1x﹣9＝﹣0.08x+10， 解得x＝， ∴y'＝0.1x﹣9＝0.1×﹣9＝， ∴小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是km． 18．（2024•新城区校级模拟）2024年3月15日是第42个国际消费者权益日．为进一步加强消费者权益保护工作，增强消费安全意识，某校组织学生到附近社区举行一次以“倡导诚实守信•共铸消费和谐”为主题的宣传活动，活动之前需要印刷一些宣传资料，经了解，甲、乙两家快印店印刷相同品质宣传资料的定价均为5元/份，通过与店家协商，两家快印店分别给出了不同的优惠方案： 甲店：无论印刷多少，一律按定价的八折收费． 乙店：若一次性印刷不超过10份，则按定价收费；若一次性印刷超过10份，则不超过10份的部分按定价收费，超过10份的部分按定价的六折收费． 设该校本次需要印刷的宣传资料共x（x＞10）份，在甲店印刷共需费用为y甲元，在乙店印刷共需费用为y乙元． （1）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式； （2）若该校本次需要印刷的宣传资料共25份，请计算并说明，在哪家店印刷比较划算？ 【分析】（1）到甲厂印刷需要支付的费用（5×0.8x）元，到乙厂印刷需要支付的费用为[5×10+5×0.6（x﹣10）]元，计算即可； （2）当印刷25份宣传材料时，代入函数解析式计算即可． 【解答】解：（1）y甲＝5×0.8x＝4x， y乙＝5×10+5×0.6（x﹣10）＝3x+20； （2）当x＝25时， y甲＝4×25＝100（元）， y乙＝3×25+20＝95（元）， ∵100＞95， ∴在乙店印刷比较划算． 19．（2024•长春一模）甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米．甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示． （1）a＝　10　； （2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度． 【分析】（1）用3加上挂7千克重物甲弹簧伸长的长度可得a的值； （2）列式算出乙弹簧挂1千克重物伸长的长度，即可得到函数关系式； （3）根据弹簧的长度恰好相同求出所挂重物质量，再结合（2）可得答案． 【解答】解：（1）∵3+7×1＝10， ∴a＝10； 故答案为：10； （2）∵＝0.5， ∴y＝5+0.5x（0≤x≤10）； （3）由3+x＝5+0.5x得x＝4， 在y＝5+0.5x中，令x＝4+4＝8得，y＝5+0.5×8＝9， ∴乙弹簧的长度为9厘米． 20．（2024•安宁市模拟）加强劳动教育，落实五育并举．安宁市某中学建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜，经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）求y与x的函数解析式； （2）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 【分析】（1）利用待定系数法求解并写成分段函数的形式即可； （2）根据“总种植成本＝甲种蔬菜种植成本+乙种蔬菜种植成本”，分别写出当200≤x＜600和600≤x≤700时W关于x的函数关系式并求其最小值即可，比较W的两个最小值取较小的一个即可． 【解答】解：（1）当200≤x＜600时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（200，20）和（600，40）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝0.05x+10； ∴y与x的函数解析式为y＝． （2）乙种蔬菜的种植面积为（1000﹣x）m2． 当200≤x＜600时，W＝x（0.05x+10）+50（1000﹣x）＝0.05（x﹣400）2+42000， 当x＝400时，W的值最小，W最小＝42000，此时乙种蔬菜的种植面积为1000﹣400＝600（m2）； 当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000， ∵﹣10＜0， ∴W随x的增大而减小， ∵600≤x≤700， ∴当x＝700时，W的值最小，W最小＝﹣10×700+50000＝43000，此时乙种蔬菜的种植面积为1000﹣700＝300（m2）； ∵42000＜43000， ∴甲种蔬菜种植400m2，乙种蔬菜种植600m2使W最小． 21．（2024•西青区二模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行40min到达B地；乙骑行75min直接到达B地，已知A，B两地相距15km．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填空： ①图中a＝　40　，b＝　5　； ②甲出发50min离A地的距离是 　7.5　km； ③乙骑行的速度为 　0.2　km/min． （Ⅱ）请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围； （Ⅲ）当甲乙相距1.5km时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【分析】（Ⅰ）①根据题意可直接得到a的值；根据“速度＝路程÷时间”求出甲骑行的速度，再由“路程＝速度×时间”求出20min甲骑行的路程，即b的值； ②根据“路程＝速度×时间”计算即可； ③根据“路程＝速度×时间”计算即可； （Ⅱ）当0≤x＜20时，由“路程＝速度×时间”求出对应函数关系式；当20≤x＜40时，y＝5；40≤x≤80时，利用待定系数法求出对应函数关系式；将它们写成分段函数的形式即可； （Ⅲ）根据题意，作出乙离A地的距离与时间的图象，根据甲、乙之间的距离列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）①根据题意，得20+20＝40（min）， ∴a＝40； 甲骑行的速度为15÷（80﹣20）＝0.25（km/min），甲骑行20min的路程为0.25×20＝5（km）， ∴b＝5． 故答案为：40，5． ②甲出发50min离A地的距离是0.25×（50﹣20）＝7.5（km）． 故答案为：7.5． ③乙骑行的速度为15÷75＝0.2（km/min）． 故答案为：0.2． （Ⅱ）当0≤x＜20时，y＝0.25x； 当20≤x＜40时，y＝5； 当40≤x≤80时，设y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（40，5）和（80，15）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y＝0.25x﹣5． 综上，甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式为y＝． （Ⅲ）根据题意，乙离A地的距离与时间的图象如图所示： 乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为y＝0.2x（0≤x≤75）． 当0≤x＜20时，|0.25x﹣0.2x|＝1.5，解得x＝30（舍去）； 当20≤x＜40时，|5﹣0.2x|＝1.5，解得x＝（舍去）或x＝； 当40≤x＜75时，|0.25x﹣5﹣0.2x|＝1.5，解得x＝70或x＝130（舍去）； 当75≤x≤80时，|0.25x﹣5﹣15|＝1.5，解得x＝74（舍去）或x＝86（舍去）； 综上，x＝或70． ∴当甲乙相距1.5km时，甲出发的时间是min或70min． 22．（2024春•温县期中）为迎接郑州市2025年花博会的举办，某社区负责人准备购买两种造型花卉来装扮社区，为郑州添彩，购买20株A种花卉和30株B种花卉共需2800元；购买30株A种花卉和10株B种花卉共需2100元． （1）求这两种花卉的单价； （2）在“五一”前夕，某花卉市场开展了促销活动，具体办法如下：A种花卉按原价的八折销售，B种花卉20个以上超出部分按原价的六折销售．设购买x个A种花卉需要y1元，购买x个B种花卉需要y2元，分别求出y1、y2关于x的函数关系式； （3）社区负责人准备联系多个社区集体购买同一种花卉，若购买花卉的数量超20株，则购买哪种花卉更合算？请说明理由． 【分析】（1）设A种花卉的单价为m元，B种花卉的单价为n元，由“购买20株A种花卉和30株B种花卉共需2800元；购买30株A种花卉和10株B种花卉共需2100元”列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）由A种花卉按原价的八折销售可得出y1关于x的函数关系式，由B种花卉20个以上超出部分按原价的六折销售可得出y2关于x的函数关系式； （3）分三种情况：当y1＞y2时，当y1＝y2时，当y1＜y2时，进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）设A种花卉的单价为m元，B种花卉的单价为n元， 根据题意得： ， 解得：， ∴A种花卉的单价为50元，B种花卉的单价为60元； （2）根据题意得： y1＝0.8×50x＝40x， 当x≤20时，y2＝60x， 当x＞20时，y2＝60×20+（x﹣20）×60×0.6＝36x+480， ∴， ∴； （3）∵购买花卉的数量超20株， ∴当y1＞y2时，即40x＞36x+480， 解得：x＞120， ∴当购买花卉数量大于120株时，购买花卉B划算， 当y1＝y2时，40x＝36x+480， 解得：x＝120， ∴购买花卉数量为120株时，购买花卉A或花卉B一样划算， 当y1＜y2时，即40x＜36x+480， 解得：x＜120， ∴购买花卉数量为大于20株，小于120株时，购买花卉A划算， 综上所述：当购买花卉数量大于120株时，购买花卉B划算；购买花卉数量为120株时，购买花卉A或花卉B一样划算；购买花卉数量为大于20株，小于120株时，购买花卉A划算． 23．（2024•莱芜区校级模拟）生活需要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提升，鲜花深受广大消费者喜爱．某鲜花店为了满足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃馨．已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨的1.5倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量少30枝． （1）玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？ （2）两种鲜花到店后很快售馨，鲜花店老板准备再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各购买多少枝花费最少？最少费用是多少元？ 【分析】（1）设康乃馨的单价是x元，则玫瑰花的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用1800元购进玫瑰花的数量比用1380元购进康乃馨的数量少30枝，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出康乃馨的单价，再将其代入1.5x中，即可求出玫瑰花的单价； （2）设购进m枝玫瑰花，则购进（600﹣m）枝康乃馨，根据购进玫瑰花的数量不低于康乃馨的3倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为w元，利用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设康乃馨的单价是x元，则玫瑰花的单价是1.5x元， 根据题意得：﹣＝30， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是所列方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×6＝9（元）． 答：玫瑰花的单价是9元，康乃馨的单价是6元； （2）设购进m枝玫瑰花，则购进（600﹣m）枝康乃馨， 根据题意得：m≥3（600﹣m）， 解得：m≥450． 设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为w元，则w＝9m+6（600﹣m）， 即w＝3m+3600， ∵3＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝450时，w取得最小值，最小值为3×450+3600＝4950（元），此时600﹣m＝600﹣450＝150（枝）． 答：当购进450枝玫瑰花，150枝康乃馨时花费最少，最少费用是4950元． 24．（2024•蒲城县模拟）【项目情境】 校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为x（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为y1（元）和y2（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲、乙两厂的收费标准． （1）分别求y1、y2关于x的函数表达式． 目标2：给出最终选择方案． （2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 【分析】（1）求出甲厂每本收费400÷1000＝0.4（元），可得y1＝0.4x；设y2＝kx+b，把（0，500），（1000，700）代入得：，即可解得y2＝0.2x+500； （2）分三种情况讨论：当y1＞y2，即0.4x＞0.2x+500时，x＞2500，当y1＝y2，即0.4x＝0.2x+500时，x＝2500，当y1＜y2，即0.4x＜0.2x+500时，x＜2500，故印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂． 【解答】解：（1）由图象可知，甲厂每本收费400÷1000＝0.4（元）， ∴y1＝0.4x； 设y2＝kx+b，把（0，500），（1000，700）代入得： ， 解得， ∴y2＝0.2x+500； （2）当y1＞y2，即0.4x＞0.2x+500时， 解得：x＞2500， ∴印制数量大于2500本时，选择乙厂； 当y1＝y2，即0.4x＝0.2x+500时， 解得：x＝2500， ∴印制数量为2500本时，选择两个厂都一样； 当y1＜y2，即0.4x＜0.2x+500时， 解得：x＜2500， ∴印制数量小于2500本时，选择甲厂； 答：印制数量大于2500本时，选择乙厂；印制数量为2500本时，选择两个厂都一样；印制数量小于2500本时，选择甲厂． 25．（2024•碑林区校级模拟）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．为了解某品牌电动汽车电池需要多久能充满，以及在满电状态下该汽车的最大行驶里程，琪琪在该汽车品牌4S店了解到该车电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与充电时间t（小时）的关系式为y1＝60t；在以平均每小时70千米的速度试驾过程中她发现满电状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程x（千米）满足一次函数关系，且记录了如下数据： 已行驶里程x（千米） 0 80 160 240 显示电量y2（%）y2 100 80 60 40 根据以上提供的信息，请你解答下列问题： （1）求出y2与x之间的函数关系式； （2）该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离出发点480千米处的目的地，若电动汽车平均每小时行驶70千米，行驶4小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，并到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【分析】（1）设y2＝kx+b，把（0，100），（80，80）代入得，求出k，b的值可得y2＝﹣x+100； （2）由求出先在满电的情况下行驶了280（千米），在服务区未充电前电量显示为30%，设在服务区充电了t小时，可得30+60t＝﹣×200+100，即可解得答案． 【解答】解：（1）设y2＝kx+b，把（0，100），（80，80）代入得： ， 解得， ∴y2＝﹣x+100； （2）由题意得，先在满电的情况下行驶了70×4＝280（千米）， 当x＝280时，y2＝﹣×280+100＝30， ∴在服务区未充电前电量显示为30%， 设在服务区充电了t小时，则增加电量为y1＝60t， ∴充完电出发时电量为30+60t，走完剩余路程480﹣280＝200（千米）， ∴30+60t＝﹣×200+100， 解得t＝， 答：至少要在服务区充电小时． 26．（2024•让胡路区模拟）某公司计划购买A，B两种设备共100台，要求B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的已知A，B两种设备的单价分别是1000元/台，1500元/台，设购买A种设备x台． （1）求该公司计划购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式： （2）求该公司按计划购买这两种设备有多少种方案？ （3）由于市场行情波动，实际购买时，A种设备单价上调了2a（a＞0）元/台，B种设备单价下调了3a元/台，此时公司购买这两种设备所需最少费用为121500元，请直接写出a的值． 【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价，表示出购买A，B两种设备的总价，然后将其相加就是总共所需要的费用； （2）根据题意“B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的”，列出不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围，从而得到购买方案； （3）根据题意列出y与x的函数关系式，分系数5a﹣500＞0和5a﹣500＜0时，根据一次函数的性质，进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：y＝1000x+1500（100﹣x）＝﹣500x+150000； ∴购买这两种设备所需费用y（元）与x的函数关系式为y＝﹣500x+150000； （2）∵B种设备数量不低于A种的，且不高于A种的， ∴， 解得75≤x≤80， ∵x为整数， ∴x可以取75，76，77，78，79，80这6个整数， ∴该公司按计划购买这两种设备有6种方案； （3）根据题意可得： y＝（1000+2a）+（1500﹣3a） （100﹣x）＝（5a﹣500）x+150000﹣300a， 当5a﹣500＜0时，即a＜100时，y随x的增大而减小， ∴当x＝80时，y最小， ∴（5a﹣500）×80﹣150000﹣300a＝121500， 解得：a＝115，不符合a＜100，舍去； 当5a﹣500＞0时，即a＞100时，y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y最小， ∴（5a﹣500）×75﹣150000﹣300a＝121500，解得：a＝120， ∴综上所述，a＝120． 27．（2024•阳泉一模）项目化学习 项目主题：进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系 项目背景：自行车尾灯是由若干个两个互相垂直的平面镜构成，当光线经过镜子反射时，进入车尾灯的光线与离开车尾灯的光线互相平行（如图1）．某校综合与实践小组受自行车尾灯设计的启发，以探究“进入光线和离开光线夹角与两块镜子夹角的关系”为主题展开项目式学习． 驱动任务：探究进入光线和离开光线夹角度数与两块镜子夹角度数的关系 项目素材：平面镜反射光线规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等． 研究步骤：（1）将两块平面镜AB，BC竖直放置在桌面上，并使它们镜面间夹角的度数为α（0°＜α＜90°）； （2）在同一平面内，用一束激光射到平面镜AB上，分别经过平面镜AB，BC两次反射后，进入光线m与离开光线n形成的夹角度数为β（如图2）； （3）多次调整两块平面镜的夹角，并进行测量，得到多组α和β的值； （4）数据分析，形成结论． α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° β 160° 140° 120° 100° 80° 60° 40° 20° 问题解决：请根据项目实施的相关材料完成下列任务． （1）根据表中信息可知，β是α的 　一次　函数（选填“一次”“二次”“反比例”），β与α的函数关系式为 　β＝﹣2α+180　（0°＜α＜90°）； （2）请你在图2中用学过的物理原理和几何知识验证（1）中的函数关系式． 【分析】（1）由表格中的数据可得：随着α度数的增加，β的度数逐渐减小，那么β是α的一次函数，设出一次函数解析式，把表格中的任意两对数值代入可得k和b的值，即可求得β和α的函数解析式； （2）由物理知识可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，进而根据三角形的内角和是180°及平角的知识判断出β和α之间的关系即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据可得：随着α度数的增加，β的度数逐渐减小，那么β是α的一次函数． 设β＝kα+b（k≠0）． ∴． 解得：． ∴β＝﹣2α+180． 故答案为：一次，β＝﹣2α+180（或 β＝180°﹣2α）； （2） ∵∠1＝∠2， ∠5＝180°﹣∠1﹣∠2， ∴∠5＝180°﹣2∠2． 同理：∠6＝180°﹣2∠3． ∴∠5+∠6＝360°﹣2（∠2+∠3） ∵∠5+∠6＝180°﹣β，∠2+∠3＝180°﹣α， ∴180°﹣β＝360°﹣2（180°﹣α）． 即180°﹣β＝2α． ∴β＝180°﹣2α． 28．（2024•洛阳一模）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 （1）当购物金额为90元时，选择 　A　超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择 　B　超市（填“A”或“B”）更省钱； （2）当购物金额为x（0≤x＜200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为25%（注：优惠率＝×100%）．若在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 【分析】（1）根据“在A超市购物实付金额＝0.75×90”和“在B超市购物实付金额＝90”计算并比较大小即可得出结论； （2）根据“在A超市购物实付金额＝0.75×购物金额”写出yA关于x的函数表达式，根据题意分别写出当0≤x＜100和100≤x＜200时yB关于x的函数表达式，并通过比较yA与yB的大小确定x的取值范围即可； （3）分别计算在B超市购物金额为100元、160元时对应的优惠率进行说明即可． 【解答】解：（1）当购物金额为90元时，在A超市购物实付金额90×0.75＝67.5（元），在B超市购物实付金额90元， ∵67.5＜90， ∴当购物金额为90元时，选择A超市更省钱； 当购物金额为120元时，在A超市购物实付金额120×0.75＝90（元），在B超市购物实付金额120﹣40＝80（元）， ∵90＞80， ∴当购物金额为120元时，选择B超市更省钱． 故答案为：A，B． （2）当0≤x＜200时，在A超市购物实付金额yA＝0.75x； 当0≤x＜100时，在B超市购物实付金额yB＝x； 当100≤x＜200时，在B超市购物实付金额yB＝x﹣40； ∴在B超市购物实付金额yB＝． 当x＝0时，yA＝yB＝0； 当0＜x＜100时：yA＜yB； 当100≤x＜200时： 若yA＜yB，0.75x＜x﹣40，解得x＞160； 若yA＝yB，0.75x＝x﹣40，解得x＝160； 若yA＞yB，0.75x＞x﹣40，解得x＜160． 综上，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；当x＝0或x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可； 当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱． （3）在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．举例说明如下： 当在B超市购物金额为100元时，返40元，实付金额为100﹣40＝60（元），优惠率为×100%＝40%； 当在B超市购物金额为160元时，返40元，实付金额为160﹣40＝120（元），优惠率为×100%＝25%， ∴在B超市购物、购物金额越大，享受的优惠率不一定越大． 29．（2024•越秀区校级一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元）， 根据题意得：＝﹣4， 解得x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合实际意义， 0.8x＝16（元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个， 则w＝（35﹣20）a+（25﹣16）（100﹣a）＝6a+900， ∴w与a的函数关系式为w＝6a+900； ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半， ∴a≤（100﹣a）， 解得a≤， ∵w＝6a+900，6＞0，a是正整数， ∴当a＝33时，w最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 30．（2024•南安市模拟）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元：若购进A种茶具3套和B种茶具4套则需要600元．且已知销售一套A种茶具，可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元． （1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？ （2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具工厂对两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折；如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得最大的利润？最大的利润是多少？ 【分析】（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元，根据题意列方程组并求解即可； （2）计算再次购进A、B两种茶具时，A种茶具和B种茶具每套的价格，根据“A种茶具每套进价×购进A种茶具的套数+B种茶具每套进价×购进B种茶具的套数≤6240”列关于x的一元一次不等式并求解，设获得的利润为W元，根据“获得的利润＝每套A种茶具的利润×购进A种茶具的套数+每套B种茶具的利润×购进B种茶具的套数”写出W关于x的关系式，根据该关系式的增减性和x的取值范围，确定当x为何值时W的值最大，求出其最大值此时（80﹣x）的值即可． 【解答】解：（1）设A种茶具每套进价a元，B种茶具每套进价b元． 根据题意，得， 解得， ∴A种茶具每套进价100元，B种茶具每套进价75元． （2）再次购进A、B两种茶具时，A种茶具每套进价为100×（1+8%）＝108（元），B种茶具每套进价为75×0.8＝60（元）． 设购进A种茶具x套，则购进B种茶具（80﹣x）套． 根据题意，得108x+60（80﹣x）≤6240， 解得x≤30； 设获得的利润为W元，则W＝30x+20（80﹣x）＝10x+1600， ∵10＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵x≤30， ∴当x＝30时，W的值最大，W最大＝10×30+1600＝1900，此时购进B种茶具80﹣30＝50（套）， 购进A种茶具30套、B种茶具50套获得最大的利润，最大的利润是1900元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$