期末复习压轴题专训40题（第十六、十七、十八、十九、二十章）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点题型归纳+题型专训（人教版）

八年级下学期【压轴题40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024•桥西区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣3），直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与l1相交于D．点P为线段DE上一点（不与点D，E重合），作直线BP． （1）求直线l1的表达式及点D的坐标； （2）若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024春•锦江区校级期中）如图1，直线l1：y＝x+4与x，y轴分别交于B，A两点．直线与直线l1交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，若D为直线l2上一点，连接AD，BD．△ABD的面积为，求D点坐标； （3）如图3，△AOB绕O旋转至△FOE．在旋转一周的过程中，直线l2上是否存在点G，使得点B、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024春•台江县校级期中）如图，直线l1：y＝﹣x+m与y轴交于点A，直线l2：y＝2x+n与y轴交于点C，与x轴交于点D，且它们都经过点B（2，2）． （1）求点A、点D坐标； （2）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，直线l2上是否存在一动点P，使△EDP是等腰三角形？若存在，请直线写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024春•威远县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标； （2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N， ①若线段MN＝1.5，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024春•台江县校级期中）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E． （1）直接写出坐标A：　 　，B：　 　，D：　 　； （2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE＝OE． 6．（2024春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　 　；（填写序号即可） ①P1（2，0）； ②P2（﹣1，6）； ③P3（4，﹣4）； ④P4（5，﹣6）． （2）点A，B都在二、四象限角平分线（直线y＝﹣x）上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）．①如图①，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图②，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围． 7．（2024春•东城区校级期中）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的关联点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳关联点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（2，2），C（4，0），D（4，3），E（6，0）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的关联点是 　 　； （2）将点O关于线段AB的最佳关联点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝kx上存在点O关于四边形ABTC的关联点，求k的取值范围． ③画出点O关于四边形ABTC的所有最佳关联点． 8．（2024春•郫都区校级期中）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E． （1）求证：AD＝CE，CD＝BE； （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（3，9），求点N的坐标； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标． 9．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FC，FD，当时，求点F的坐标； （3）如图2，连接AC，在直线AC上是否存在动点M，便得∠CDM+∠ABC＝∠BCE，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在．请说明理由． 10．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A．且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求△ADC的面积； （2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由： （3）平面内是否存在点Q，使得以A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 11．（2024春•德惠市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是直线MD在第四象限内的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）在（2）的条件下，当S＝20时，在平面直角坐标系内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 12．（2024春•兰州期中）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，DE经过点C，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，求点C的坐标． （2）如图3，一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作BC⊥AB，且BC＝AB，连结OC，则△OBC的面积为 　 　； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　 　． 【模型拓展】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，分别以CB、AB为直角边，点B为直角顶点，在CB两侧作等腰直角△CBE和等腰直角△ABD，连接DE，交CB的延长线于点F，则BF的长为 　 　． 13．（2024春•鼓楼区校级期中）已知直线a：y＝（x+1）k+1与x轴交于点P、与y轴交于点Q． （1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：　 　（直接写出结果）； （2）直线b：y＝（k﹣1）x+k与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断△BQM的面积是否为定值？若是定值，求△BQM的面积；若不是，说明理由； （3）如图，过点Q在第二象限内作线段CQ⊥PQ，且CQ＝AQ，连接AC，取AC的中点D．当k满足1≤k≤3时，求点D运动的路径长． 14．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点． （1）求证：∠ADO＝2∠OBE； （2）若F，G分别是OD，AB的中点． ①求证：△EFG是等腰三角形； ②当EF⊥EG，BC＝8时，直接写出线段BE的长 　 　． 15．（2024春•江津区期中）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）＝　 　，＝　 　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 16．（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 17．（2024•高新区校级二模）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）． （1）直接写出点C的坐标是 　 　； （2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标； （3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式． 18．（2024春•越秀区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：ED＝EF； （2）若AB＝2，，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数． 19．（2024•海淀区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　 　； （2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 20．（2024春•海门区月考）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 21．（2024春•广水市期中）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E， （1）求证：BC＝BE； （2）过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥BC于H，判断四边形EGBH的形状并证明； （3）若BC为，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长． 22．（2024春•宁乡市期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　 　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 23．（2024春•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，a），直线y＝﹣x+3与y轴交于点E，连接AE． （1）求直线l的解析式； （2）求△ACE的面积； （3）Q为直线y＝﹣x+3上一点，若△BEQ为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 24．（2024春•临颍县期中）观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得． （1）观察上面的解答过程，请写出＝　 　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　 　； （3）利用（2）中你发现的规律计算：． 25．（2024春•崇义县期中）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出＝　 　； （2）化简； （3）若，求3a2﹣18a+1的值． 26．（2024春•萨尔图区校级期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　 　； （2）化简：； （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 27．（2024春•台江县校级期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求m﹣n的绝对值． 28．（2024春•嘉祥县期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为＝，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，求的值，可以这样解答： 因为（×（+）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，所以． （1）代数式中x的取值范围是 　 　； （2）已知：，求： ①＝　 　； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 29．（2024春•大连月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）在图2中，四边形ACFE是正方形，利用两种不同的方法表示出四边形ABED的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2推导勾股定理； （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.8千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中，若AB≠AC，如图4，CH⊥AB，AC＝1千米，BC＝1.7千米，AB＝2.1千米，求CH的长． 30．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　 　（填“长方形”或“正方形”），其面积为 　 　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 31．（2024春•江阴市期中） 【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形ABCD的面积，从而得到公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，则小正方形的面积为 　 　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若a＝7，b＝4，则图4中阴影部分的周长为 　 　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3，则三个正方形的面积S1、S2、S3满足的关系式是 　 　． 32．（2024春•海州区期中）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值： 2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 ＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6 ＝2（x﹣1）2﹣8 又∵2（x﹣1）2≥0 ∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m+5； （2）当x、y取何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+18的值最小？并求出这个最小值； （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8b+6a﹣25，求△ABC周长的最大值． 33．（2024春•泰兴市期中）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　 　，正方形IJKL的面积可表示为 　 　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　 　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　 　． 34．（2024•单县校级一模）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题： （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 35．（2024春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M． （1）求证：∠CDM＝∠BFE； （2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM． ①依题意补全图形， ②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明． 36．（2024春•武威期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F． （1）求证：EB＝BF； （2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 37．（2024春•海淀区校级期中）正方形ABCD中，点P是射线BD上一动点，连结AP，过P作PE⊥AP，交射线CD于E，连结AE． （1）如图①，请补全图形； （2）如图②，当点E在CD的延长线上时，试确定线段BP与CE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点P在BD的延长线上，若AB＝3，，直接写出四边形ADPE的面积 　 　． 38．（2024春•蕲春县期中）材料阅读； 小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为（1，2），端点B的坐标为（3，4），则线段AB中点的坐标为（2，3），通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（）． 知识运用： 如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 　 　． 能力拓展： 在直角坐标系中，有A（﹣1，2）、B（3，4）、C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 39．（2024•厦门模拟）某实验室在10℃～15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一在10℃下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量（mg） 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度（mm/天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10℃～15℃范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（℃） 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素用量（mg） 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10℃下营养素用量从0mg增加到0.5mg的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10℃下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素是否能提前12天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 40．（2024•秦淮区校级模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图①，作7+4的加法线，先在横线上找到第一个加数7并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数4并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，l与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为11，则l为7+4的11号加法线.11号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为11． （1）在图②中画出3+6的9号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图②中画出8﹣3的5号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数x、y，判断x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴．则x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线所表示的函数表达式分别是 　 　． 【乘法线】 （4）如图④，若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线．求2号乘法线m的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多8人，且男同学人数是女同学人数的3倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）k号乘法线（k为常数，k≠0）上任一点的函数值与y1差的2号减法线和x+y＜2的3号加法线．当x＜2时，y2＞y1．结合图象，直接写出k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期【压轴题40题专训】 一．解答题（共40小题） 1．（2024•桥西区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣3），直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与l1相交于D．点P为线段DE上一点（不与点D，E重合），作直线BP． （1）求直线l1的表达式及点D的坐标； （2）若直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分，求点P的坐标； （3）点P是否存在某个位置，使得点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b，解方程组即可得到结论； （2）如图1，连接BC，过D作DF⊥x轴于F，由已知得AC＝，DF＝6，上，（Ⅰ）当点P在线段CD上时，设点P的横坐标为xP（xP＜0），BE＝6，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（Ⅱ）当点P在线段CE上时，如图2，设直线BP与x轴交于Q，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）（Ⅰ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴的负半轴上的D1′处是，如图3，（Ⅱ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在y轴上的D2′处时，如图4，过点P作PG⊥AD于G，PH⊥y轴于H，过D作DM⊥y轴于M，（Ⅲ）当点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴正半轴上的D3′处时，如图5，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设直线l1的表达式为y＝kx+b， ∵点A（4，0），点B（0，﹣3）， ∴， 解得， ∴直线l1的表达式为y＝x﹣3， 令x+3＝x﹣3， 解得x＝﹣4， ∴y＝﹣6， ∴点D的坐标为（﹣4，﹣6）； （2）如图1，连接BC，过D作DF⊥x轴于F， 由已知得AC＝，DF＝6， ∴S△ACD＝AC•DF＝××6＝16， ∵A（4，0），B（0，﹣3），D（﹣4，﹣6）， ∴点B是线段AD的中点， ∴S△BDC＝S△ABC， ∵直线BP将△ACD的面积分为7：9两部分， ∴点P在线段CD上或线段CE上， （Ⅰ）当点P在线段CD上时，设点P的横坐标为xP（xP＜0），be＝6， ∴S△BDP＝S△DBE﹣S△PBE＝×4×6﹣•|xp|×6＝12﹣3|xP|， ∴S△BDP＝S△ACD， ∴12﹣3|xP|＝×16， ∴|xP|＝， ∴xp＝﹣，代入直线l2得点P的坐标为（﹣，﹣）， （Ⅱ）当点P在线段CE上时，如图2，设直线BP与x轴交于Q， 此时有S△ABQ＝S△ACD， ∴AQ•BO＝×16， ∴AQ×3＝7， ∴AQ＝， ∴OQ＝﹣4＝， ∴Q（﹣，0）， ∴直线BQ的表达式为y＝﹣x﹣3， 令x+3＝﹣x﹣3， 解得x＝﹣， ∴点P的坐标为（﹣，1）， 综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣，1）； （3）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在直线AB上方的坐标轴上时，有以下三种情况 （Ⅰ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴的负半轴上的D1′处是，如图3， ∴∠DBP＝∠D1′BP，BD＝BD1′， 由（2）知，点B是线段AD的中点， ∴BD＝AB， ∴BD1′＝AB， ∴∠OAB＝∠OD1′B， ∵∠DBD1′＝∠OAB+∠OD1′B， ∵∠DBD1′＝∠DBP+∠D1′BP， ∴∠OD1′B＝∠D1′BP， ∴BP∥x轴， ∵B（0，﹣3）， ∴P（﹣，﹣3）； （Ⅱ）点D关于直线PB的对称点D'恰好落在y轴上的D2′处时，如图4，过点P作PG⊥AD于G，PH⊥y轴于H，过D作DM⊥y轴于M， 则PB平分∠DBD2′， ∴PG＝PH， ∵S△DBE＝S△BPE， ∴， ∴×6×4＝×5PG+×6PH， 解得，PG＝PH＝， ∴P（﹣，﹣）； （Ⅲ）当点D关于直线PB的对称点D'恰好落在x轴正半轴上的D3′处时，如图5， ∵点B是线段AD的中点， ∴由轴对称的性质得此时点D3′与点A重合，不符合题意，舍去， 综上所述，点P的坐标为（﹣，﹣3）或（﹣，﹣）． 2．（2024春•锦江区校级期中）如图1，直线l1：y＝x+4与x，y轴分别交于B，A两点．直线与直线l1交于点C． （1）求点A、B的坐标； （2）如图2，若D为直线l2上一点，连接AD，BD．△ABD的面积为，求D点坐标； （3）如图3，△AOB绕O旋转至△FOE．在旋转一周的过程中，直线l2上是否存在点G，使得点B、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据x轴交点y为0，y轴交点x为0代入求解即可得到答案； （2）设出点D的坐标，根据面积列方程求解即可得到答案； （3）设出点G，画出图形，根据平行四边形分类讨论列式求解即可得到答案． 【解答】解：（1）当x＝0时， y＝0+4＝4， 当y＝0时， 0＝x+4， 解得：x＝﹣4， ∴A（0，4），B（﹣4，0）； （2）设， ∵△ABD的面积为， ∴当m＜0时， ， 解得：； 当m＞0时， 解得：m＝4， ∴点D的坐标为或； （3）直线l2上存在点G，使得点B、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 如图1，过E作EH⊥x轴于H，过F作FI⊥x轴于I，设E（m，n）， 由旋转可得：OE＝OF，∠EOF＝90°， ∴∠EHO＝∠FIO＝90°＝∠EOF， ∴∠HEO＝∠FOI， ∴△EOH≌△OFI， ∴FI＝OH＝﹣m，EH＝OI＝n， ∴F（n，﹣m）， 设，而B（﹣4，0）， ∴， 解得：， ∴， ∴， 当时，如图2， ∴， ∴， 如图3，当四边形BEGF为平行四边形时， 同理可得：E（m，n），则F（n，﹣m）， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 当时，如图4， 此时， ∴； 综上：或或或． 3．（2024春•台江县校级期中）如图，直线l1：y＝﹣x+m与y轴交于点A，直线l2：y＝2x+n与y轴交于点C，与x轴交于点D，且它们都经过点B（2，2）． （1）求点A、点D坐标； （2）过点A作BC的平行线交x轴于点E，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，直线l2上是否存在一动点P，使△EDP是等腰三角形？若存在，请直线写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点B（2，2）求出直线l1、l2的解析式，即可求解； （2）根据AE∥BC，可设直线AE的解析式为y＝2x+b，利用待定系数法求出直线AE的解析，即可求出点E的坐标； （3）分为三种情况讨论：①以EP为底时；②以PD为底时；③以ED为底时；根据等腰三角形的性质列出方程即可求解． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣x+m过点B（2，2）， ∴2＝﹣2+m， 解得：m＝4， ∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+4， 令x＝0，则y＝0+4＝4， ∴A（0，4）， ∵直线l2：y＝2x+n过点B（2，2）， ∴2＝2×2+n， 解得：n＝﹣2， ∴直线l2的解析式为：y＝2x﹣2， 令y＝0，则0＝2x﹣2， 解得：x＝1， ∴D（1，0）； （2）∵AE∥BC， ∴设直线AE的解析式为y＝2x+b，如图1， 将A（0，4）代入得：4＝0+b， 解得：b＝4， ∴直线AE的解析式为y＝2x+4， 令y＝0，则0＝2x+4， 解得：x＝﹣2， ∴E（﹣2，0）； （3）①以EP为底时， ∵D（1，0），E（﹣2，0）， ∴ED＝PD＝3， 设P（x0，2x0﹣2）， ∴， ∴， ∴或； ②以PD为底时，则ED＝PE＝3， 设P（a，2a﹣2），且E（﹣2，0）， ∴， 解得：a＝1（舍去）或， ∴； ③以ED为底时，点P在ED的中垂线上， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或或 或． 4．（2024春•威远县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C． （1）点A的坐标，点B的坐标，点C的坐标； （2）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N， ①若线段MN＝1.5，请求出此时点N的坐标； ②当点M在点N的下方时，问y轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线与坐标轴存在交点可求得点A、点B坐标，根据两直线的交于点C可联立方程求得点C的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①根据题意设点M、N的坐标，根据MN＝1.5列方程求解即可； ②分∠QNM＝90°、∠NMQ＝90°两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵直线l2：与x轴、y轴分别交于点A、点B， 故把x＝0代入得：y＝3； 把y＝0代入得：x＝6， ∴与x轴、y轴分别交于点A、点B坐标分别为（6，0）、（0，3）， ∵直线l1与l2交于点C， 联立得方程组：， 解得：， 故点C（2，2）； （2）①设点M、N的坐标分别为（m，m）、， 根据题意可得：， 解得：m＝1或m＝3， 所以点N的坐标为（1，2.5）或（3，1.5）； ②y轴上存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形，理由如下： 设M、N、Q的坐标分别为（m，m）、、（0，n）， 当∠QNM＝90°时，如图1： 则MN＝QN，即：， 解得：， ； ∴Q点坐标为：； 当∠NMQ＝90°时，如图2： 则MN＝QM，即：， 解得：， ， ∴Q点坐标为：， 综上，点Q的坐标为或． 5．（2024春•台江县校级期中）如图，直线y1＝3x+6分别交x轴、y轴于A，B两点，直线y2＝kx+3（k≠3）分别交x轴、y轴于C，D，交y1于点E． （1）直接写出坐标A：　（﹣2，0）　，B：　（0，6）　，D：　（0，3）　； （2）如图1，若∠BED＝45°，求C点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，过点C关于y轴的对称点F作x轴的垂线交直线y2于点G，连接EF、BG、OE，求证：EF﹣BE＝OE． 【分析】（1）由y1＝3x+6，y2＝kx+3，可得A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）； （2）过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H，证明△AMB≌△BNH（AAS），得AM＝BN＝6，MB＝NH＝2，即可得点H的坐标为（6，4），直线AH的表达式为y＝x+1，从而直线CD的表达式为y＝x+3，可得点C（﹣6，0）； （3）由得E（﹣，），又点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F（6，0），得EF＝，又B（0，6）得BE＝，即得EF﹣BE＝，而OE＝×＝，故EF﹣BE＝OE． 【解答】（1）解：对于y1＝3x+6，令y1＝3x+6＝0，解得x＝﹣2，令x＝0，则y＝6， 对于y2＝kx+3，令x＝0，则y＝3， ∴A（﹣2，0）、B（0，6）、D（0，3）； 故答案为：（﹣2，0），（0，6），（0，3）； （2）解：过点B作直线BF⊥AB交CD于点F，过点A作直线AH∥CD交BF于点H， ∵AH∥CD，则∠BAH＝∠BED＝45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴AB＝BH， 由点A、B的坐标知，AM＝6，BM＝2， ∵∠ABM+∠MAB＝90°，∠ABM+∠NHB＝90°， ∴∠MAB＝∠NBH， ∴∠AMB＝∠BNH＝90°，AB＝BH， ∴△AMB≌△BNH（AAS）， ∴AM＝BN＝6，MB＝NH＝2， 故点H的坐标为（6，4）， 由点A（﹣2，0）、H（6，4）得，直线AH的表达式为y＝x+1， ∵AH∥CD，D（0，3）， ∴直线CD的表达式为y＝x+3， 令y＝x+3＝0，解得x＝﹣6， ∴点C（﹣6，0）； （3）证明：由得：， ∴E（﹣，）， ∵点C（﹣6，0）关于y轴的对称点为F， ∴F（6，0）， ∴EF＝＝， ∵B（0，6）， ∴BE＝＝， ∴EF﹣BE＝﹣＝， ∵OE＝＝， ∴OE＝×＝， ∴EF﹣BE＝OE． 6．（2024春•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0），给出如下定义：若存在实数x1，x2，y1，y2使得x0﹣x1＝x1﹣x2且y0﹣y1＝y1﹣y2，则称点P为以点（x1，y1）和（x2，y2）为端点的线段的等差点． （1）若线段m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2），则下列点是线段m等差点的有 　②④　；（填写序号即可） ①P1（2，0）； ②P2（﹣1，6）； ③P3（4，﹣4）； ④P4（5，﹣6）． （2）点A，B都在二、四象限角平分线（直线y＝﹣x）上，已知点A的横坐标为﹣2，M（t，0），N（t+1，1）．①如图①，当t＝﹣1时，线段AB的等差点在线段MN上，求满足条件的点B的坐标； ②如图②，点B横坐标为2，以AB为对角线构造正方形ACBD，在正方形ACBD的边（包括顶点）任取两点连接的线段中，若线段MN上存在其中某条线段的等差点，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）m 的两个端点坐标分别为（1，2）和 （3，﹣2），根据定义计算检验即可； （2）①根据解析式得A（﹣2，2），当t＝﹣1 时，M（﹣1，0），N（0，1），待定系数法确定 直线MN解析式为y＝x+1，联立 y＝﹣x，求解交点即等差点坐标为 （﹣0.5，0.5）；设点B（a，﹣a），根据定义即 可求解； ②如图，点B的横坐标为2，可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且 M（t，0），N（t+1，1）分别在x轴、直线 y＝1上，如图，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.75）的一个等差点为（﹣6，1），点 N（t+1，1）位于N1（﹣6，1）时，t取最小 值，t＝﹣7；正方形上两点（﹣2，2），（2，1）的一个等差点为 （6，0），点M（t，0）位于 M4（6，0）时，t取最大值，t＝6；任取两点 连接的线段的等差点不可能出现在正方形内，B4≤﹣2B1≤b 【解答】（1）m的两个端点坐标分别为（1，2）和（3，﹣2）， ①P1（2，0）： ∵2﹣1≠1﹣3，且2﹣3≠3﹣1， ∴P1（2，0）不是等差点； ②P2（﹣1，6）： ∵﹣1﹣1＝1﹣3，6﹣2＝2﹣（﹣2）， ∴P2（﹣1，6）是等差点； ③P3（4，﹣4）： ∵4﹣1≠1﹣3，且4﹣3≠3﹣1， ∴P3（4，﹣4）不是等差点； ④P4（5，﹣6）： ∵5﹣3＝3﹣1，且﹣6﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣2， ∴P（5，﹣6）是等差点． 故答案为：②④． （2）①∵点A直线y＝﹣x上，横坐标为﹣2， ∴A（﹣2，2）， 当t＝﹣1时，M（﹣1，0），N（0，1）， 设直线MN解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得， ∴直线MN解析式为y＝x+1， 联立， 解得， ∴交点即等差点坐标为（﹣0.5，0.5）； 设点B（a，﹣a）， 则﹣0.5﹣a＝a﹣（﹣2）或﹣0.5﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣a， 解得a＝﹣1.25或a＝﹣3.5， ∴B（﹣1.25，1.25）或（﹣3.5，3.5）； ②根据题意，可知A（﹣2，2），B（2，﹣2），C（﹣2，﹣2），D（2，2），且M（t，0），N（t+1，1）分别在x轴、直线y＝1上， 根据等差点定义知，正方形上两点（2，2），（﹣2，1.5）的一个等差点为（﹣6，1）， ∴点N（t+1，1）位于N1（﹣6，1）时，t取最小值， ∴t+1＝﹣6，即t＝﹣7； 正方形上两点（﹣2，2），（2，1）的一个等差点为（6，0）， ∴点M（t，0）位于M4（6，0）时，t取最大值，即t＝6； ∵正方形ACBD的边上（包括顶点）任取两点连接的线段的等差点不可能出现在正方形内部， ∴t≤﹣2或t+1≥2，即t≤﹣2或t≥1， 综上，﹣7≤t≤﹣2或1≤t≤6． 7．（2024春•东城区校级期中）对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的关联点．特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳关联点． 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（2，2），C（4，0），D（4，3），E（6，0）． （1）点C，D，E中，点O关于线段AB的关联点是 　点D　； （2）将点O关于线段AB的最佳关联点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线y＝kx上存在点O关于四边形ABTC的关联点，求k的取值范围． ③画出点O关于四边形ABTC的所有最佳关联点． 【分析】（1）根据关联点的定义可直接判定； （2）①因为当平行四边形OATB的面积最大时，称点T是点O关于线段AB的最佳关联点，画图可直接写出T的坐标； ②利用边界点确定两个k的值，如图，四边形ABTC和CSQP，当直线y＝kx经过点S（4，4）时，k＝1，从而得结论． ③作面积为8的平行四边形OBMC和平行四边形OTNC即可． 【解答】解：（1）由图可得，点O关于线段AB的关联点是点D，如图1， ； （2）①如图2， ∵点O关于线段AB的最佳关联点记为T， 即▱OABT的面积最大， ∴T（4，2）； ②将直线y＝kx上存在的点O关于四边形ABTC的关联点记为点H， ∵点A（2，0），B（2，2），C（4，0），T（4，2）， ∴四边形ABTC是正方形， ∵正方形ABTC及其内部的任意点K（除顶点A、B、T、C外），总能够在正方形ABTC上找到两点M，N，使点K是MN的中点， 由题意可知：四边形OMHN是平行四边形， ∴由平行四边形的性质可知：K也是O，H的中点， ∴所有的点H组成正方形CPQS和及其内部（边OP上的点和S，Q除外），如图3，将它记为图形G， 依题意：只需要直线y＝kx与图形G有一个公共点即可， 当直线y＝kx经过点S（4，4）时，k＝1 ∴0＜k＜1 ③如图4所示，点M、N即为所求． 四边形OBMC和四边形OTNC面积为8是最大的， ∴点M或N是最佳关联点． 8．（2024春•郫都区校级期中）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E． （1）求证：AD＝CE，CD＝BE； （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（3，9），求点N的坐标； （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标． 【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠ADC，再判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论； （2）先判断出MF＝NG，OF＝MG，进而得出MF＝1，OF＝3，即可求出FG＝MF+MG＝3+9＝12，即可得出结论； （3）分三种情况：以P为直角顶点，以Q为直角顶点，以R为直角顶点，运用全等三角形的性质可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l， ∴∠ACB＝∠ADC， ∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， （2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G， 由已知得OM＝MN，且∠OMN＝90° ∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG， ∵M（3，9）， ∴MF＝3，OF＝9， ∴MG＝9，NG＝3， ∴FG＝MF+MG＝3+9＝12， ∴OF﹣NG＝9﹣3＝6， ∴点N的坐标为（12，6）， （3）解：分三种情况： 当点P为直角顶点时，如图3， 过点R1作R1E⊥y轴于点E， 由（1）知，△R1EP≌△POQ， ∴ER1＝OP，EP＝OQ， ∵直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P， 当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝2 ∴P（0，6），Q（2，0） ∴OQ＝2，OP＝6， ∴OE＝6+2＝8，ER1＝6， ∴R1（6，8）， 同理可得R2（﹣6，4）． 当点Q为直角顶点时，如图4， 过点R3作R3D⊥x轴于点D， 由（1）知△R3DP≌△QOP， ∴DR3＝OQ，OP＝DQ， ∵P（0，6），Q（2，0） ∴OQ＝2，OP＝6， ∴OD＝6+2＝8，DR3＝2， ∴R3（8，2）， 同理可得R4（﹣4，﹣2）． 当点R为直角顶点时，如图5， 过点R5作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交ER5于点D， 由（1）知△R5DP≌△QER5， ∴DR5＝EQ，PD＝R5E， ∵P（0，6），Q（2，0） ∴OQ＝2，OP＝6， 设QE＝a，则PD＝a+2， ∴a+2+a＝6， ∴a＝2， ∴R5（4，4）， 同理可得R6（﹣2，2）． 综合以上可得点R的坐标为（4，4）或（6，8）或（8，2）或（﹣2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）． 9．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FC，FD，当时，求点F的坐标； （3）如图2，连接AC，在直线AC上是否存在动点M，便得∠CDM+∠ABC＝∠BCE，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在．请说明理由． 【分析】（1）根据直线AB，点E的坐标分别求出点D的坐标，由此即可求解； （2）根据题意分别算出A，B，C，D，E的坐标，算出△ADE的面积，再算出△CDF的面积，设F（f，2f+6），当F在CD下方时：根据S△CDF＝S△COD+S△COF﹣S△ODF，即可求解；当F在CD上方时，根据S△CDF＝S△OCF+S△ODF﹣S△COD解答即可； （3）根据题意可得∠CDM+∠ABC＝∠BCE＝45°，图形结合，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点B， ∴令x＝0时，y＝6；令y＝0时，x＝﹣3； ∴A（﹣3，0），B（0，6）， ∴OD＝OA＝3，则D（3，0）， ∵点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点， ∴当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）+6＝4， ∴E（﹣1，4）， 设直线CD的解析式为：y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+3； （2）由（1）可知直线CD的解析式为：y＝﹣x+3， 令x＝0时，y＝3，则C（0，3）， ∵A（﹣3，0），D（3，0），E（﹣1，4）， ∴， ∴， ∵点F为直线AB上一动点，且直线AB的解析式为y＝2x+6， ∴设F（f，2f+6）， 当点F在CD下方时，如图所示， 当点F在y轴右边时，﹣3≤f＜0， 连接OF， ∴S△CDF＝S△COD+S△COF﹣S△ODF＝9， ＝ ＝ ＝， ∴， 解得f＝﹣9（不符合题意，舍去）； 当点F在y轴左边时，﹣3≤f＜0， ∴， 解得f＝﹣3， ∴F（﹣3，0）； 当F＜﹣3时， ∴， 解得f＝﹣3， ∴F（﹣3，0）； 当F′在CD上方时，如图1.2， S△CDF′＝S△OCF′+S△ODF′﹣S△COD ＝×3×m+×3（2m+6）﹣×3×3 ＝m+3m+9﹣ ＝m+＝9， 解得：m＝1， ∴F′（1，8）， 综上所述，点F的坐标（﹣3，0）或（1，8）； （3）存在，点M的坐标为（﹣1，2），（1，4），理由如下， 已知A（﹣3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为：y＝x+3， ∴△AOC，△COD，△ACD是等腰直角三角形， ∴∠ODC＝∠OCD＝∠OAC＝∠OCA＝45°， ∴∠BCE＝∠OCD＝45°， ∴若∠CDM+∠ABC＝∠BCE，则∠CDM+∠ABC＝45°， 第一种情况，如图2所示，连接BD交AC于点M， ∵OB⊥AD，OA＝OD＝3， ∴△ABD是等腰三角形，AB＝BD，∠ABO＝∠DBO， ∵∠OCD是△BCD的外角，即∠CBD+∠CDM＝∠OCD＝45°， ∴点M即为所求点的位置， 设直线BD的解析式为y＝ax+c（a≠0），B（0，6），D（3，0）， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为：y＝﹣2x+6， 联立直线BD与直线AC的解析式， ∴， 解得， ∴M（1，4）； 第二种情况，如图所示，∠CDM关于CD的对称，则∠CDM′＝∠CDM， ∴∠M′DC+∠ABC＝∠BCE＝45°， 由第一种情况可得，M（1，4），C（0，3）， 根据中点坐标公式得，M′（﹣1，2）， 综上所述，存在，点M的坐标为（﹣1，2），（1，4）． 10．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A．且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求△ADC的面积； （2）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由： （3）平面内是否存在点Q，使得以A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点E，则△BCE的周长最短，先求得直线BC′的函数解析式，即可求得点E的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等，分AD为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解． 【解答】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5）， ∴5＝1+b， 解得：b＝4， ∴直线l2：y＝﹣x+4． ∵直线l2：y＝﹣x+4经过点C（2，m）， ∴m＝﹣2+4＝2， ∴C（2，2）， 把C（2，2）代入y＝kx+1，得到2k+1＝2． ∴， 对于直线，令y＝0，得到x＝﹣2， ∴D（﹣2，0）， ∴OD＝2． 对于直线l2：y＝﹣x+4，令y＝0，得到x＝4， ∴A（4，0）， ∴OA＝4，AD＝6． ∵C（2，2）， ∴； （2）在x轴上存在一点E，使△BCE的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点E，则△BCE的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知C′的坐标为（2，﹣2）． 设直线BC′的函数解析式为y＝mx+n（m≠0）． 将B（﹣1，5），C′（2，﹣2）代入y＝mx+n（m≠0），得 ， 解得， ∴直线BC′的函数解析式为． 令y＝0，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）A（4，0），C（2，2），D（﹣2，0）， AD＝4﹣（﹣2）＝6， 当AD为平行四边形的边时，AD∥CQ， ∴CQ＝AD＝6 ∴Q点的横坐标为：2+6＝8或2﹣6＝﹣4， 点Q的坐标为（8，2）或（﹣4，2）， 当AD为平行四边形的对角线时，AC∥DQ， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为（﹣2+2，0﹣2），即Q（0，﹣2）； 综上，点Q的坐标为（8，2）或（﹣4，2）或（0，﹣2） 11．（2024春•德惠市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B．直线与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）直接写出点B和点D的坐标； （2）若点P是直线MD在第四象限内的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x之间的函数关系； （3）在（2）的条件下，当S＝20时，在平面直角坐标系内存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）利用y轴上的点的坐标特征即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再用三角形的面积之和即可得出结论； （3）分三种情况利用对角线互相平分的四边形是平行四边形和线段的中点坐标的确定方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点B是直线AB：y＝x+4与y轴的交点坐标， ∴B（0，4）， ∵点D是直线CD：y＝﹣x﹣1与y轴的交点坐标， ∴D（0，﹣1）； （2）如图1，∵直线AB与CD相交于M， ∴M（﹣5，）， ∵B（0，4），D（0，﹣1）， ∴BD＝5， ∵点P是直线MD在第四象限内的一个动点， ∴x≥0， S＝S△BDM+S△BDP＝×5（5+x）＝x+（x≥0）， （3）如图2， 由（2）知，S＝x+， 当S＝20时，x+＝20， ∴x＝3， ∴P（3，﹣2）， ①当BP是对角线时，取BP的中点G，连接MG并延长取一点E'使GE'＝GM， 设E'（m，n）， ∵B（0，4），P（3，﹣2）， ∴BP的中点坐标为（，1）， ∵M（﹣5，）， ∴＝，＝1， ∴m＝8，n＝， ∴E'（8，）， ②当AB为对角线时，同①的方法得，E（﹣8，）； ③当MP为对角线时，同①的方法得，E''（﹣2，﹣）； 即：满足条件的点E的坐标为（8，）、（﹣8，）、（﹣2，﹣）． 12．（2024春•兰州期中）从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，DE经过点C，过点A作AD⊥DE于点D，过点B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“k型全等”．模型方法可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型应用】 （1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（0，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，求点C的坐标． （2）如图3，一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B． ①过点B在y轴右侧作BC⊥AB，且BC＝AB，连结OC，则△OBC的面积为 　2　； ②当a的取值变化时，点A随之在x轴上运动．如图4，将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，连接OQ，则OQ长的最小值是 　2　． 【模型拓展】 （3）如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，分别以CB、AB为直角边，点B为直角顶点，在CB两侧作等腰直角△CBE和等腰直角△ABD，连接DE，交CB的延长线于点F，则BF的长为 　3　． 【分析】（1）过点C作CD⊥OA于D，则△AOB≌△CDA（AAS），由全等三角形的性质得CD＝AO＝5，AD＝BO＝3，即可求解； （2）①过点C作CD⊥OB于D，则△BCD≌△ABO（AAS）．由全等三角形的性质得CD＝OB＝2，即可求解； ②由三角形的三边关系得OQ≥AQ﹣OA，则当Q、O、A共线时，OQ＝AQ﹣OA，OQ的长最小，根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）过点D作DH⊥CB于H，同理得△ABC≌△BDH（AAS）．由全等三角形的性质得BH＝AC＝6，CB＝DH，再证△EBF≌△DHF（AAS）．即可得BF＝HF＝BH＝3． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥OA于D， ∴∠CDA＝∠AOB＝90°， ∵将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC， ∴∠BAC＝90°，AB＝CA， ∴∠CAD+∠OAB＝∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠CAD＝∠ABO， ∴△AOB≌△CDA（AAS）， ∴CD＝AO＝5，AD＝BO＝3， ∴OD＝OA+AD＝8， ∴点C的坐标为（﹣8，5）； （2）①如图3，过点C作CD⊥OB于D， ∵一次函数y＝ax+2（a＜0）的图象与坐标轴分别交于点A、B， ∴B（0，2）， ∴OB＝2， 同（1）得△BCD≌△ABO（AAS）， ∴CD＝OB＝2， ∴S△OBC＝•OB•CD＝×2×2＝2， 故答案为：2； ②如图4，连接AQ， ∵OQ≥AQ﹣OA， ∴当Q、O、A共线时，OQ＝AQ﹣OA，OQ的长最小，如图， ∵AB＝BQ，OB⊥OA， ∴OQ＝OA＝OB＝2， ∴OQ长的最小值是 2． 故答案为：2； （3）如图5，过点D作DH⊥CB于H， ∵△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝BD， 同理得△ABC≌△BDH（AAS）， ∴BH＝AC＝6，CB＝DH， ∵△CBE是等腰直角三角形， ∴EB＝CB， ∴EB＝DH， ∵∠EBF＝∠DHF＝90°，∠BFE＝∠HFD， ∴△EBF≌△DHF（AAS）， ∴BF＝HF＝BH＝3， 故答案为：3． 13．（2024春•鼓楼区校级期中）已知直线a：y＝（x+1）k+1与x轴交于点P、与y轴交于点Q． （1）直线a经过定点A，则点A的坐标为：　（﹣1，1）　（直接写出结果）； （2）直线b：y＝（k﹣1）x+k与y轴交于点M，与直线a交于点B，判断△BQM的面积是否为定值？若是定值，求△BQM的面积；若不是，说明理由； （3）如图，过点Q在第二象限内作线段CQ⊥PQ，且CQ＝AQ，连接AC，取AC的中点D．当k满足1≤k≤3时，求点D运动的路径长． 【分析】（1）对于y＝（x+1）k+1，令x＝﹣1，求出y的值，即可解答； （2）分别求出M（0，k），B（﹣1，1），Q（0，k+1），从而得出QM＝|yM﹣yQ|＝1，再结合三角形面积公式求解即可； （3）过A作AM⊥y轴于M，连接DQ、DM，过D作DN⊥DM交MA的延长线于点N．先证明点D的运动轨迹为直线DM，再求出，进而即可求解． 【解答】解：（1）对于y＝（x+1）k+1，令x＝﹣1，则y＝1， ∴直线a经过定点（﹣1，1），即点A的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）； （2）△BQM的面积为定值，理由如下： 对于y＝（k﹣1）x+k，令x＝0，则y＝k， ∴M（0，k）． 联立得：， 解得：， ∴B（﹣1，1）． 对于y＝（x+1）k+1，令x＝0，则y＝k+1， ∴Q（0，k+1）， ∴QM＝|yM﹣yQ|＝|k﹣（k+1）|＝1， ∴S△BQM＝QM•|xB|＝×1×1＝， ∴△BQM的面积为定值，且面积为； （3）如图，过A作AM⊥y轴于M，连接DQ、DM，过D作DN⊥DM交MA的延长线于点N． ∵CQ⊥PQ，点D为AC中点， ∴DQ＝AD＝CD＝AC． 又∵CQ＝AQ， ∴DQ⊥AC，即△ADQ是等腰直角三角形， ∴∠ADN+∠ADM＝∠QDM+∠ADM＝90°， ∴∠ADN＝∠QDM． ∵∠ADQ＝∠AMQ＝90°， ∴∠DQM+∠DAM＝180°． 又∵∠DAN+∠DAM＝180°， ∴∠DQM＝∠DAN， ∴△ADN＝△QDM（ASA）， ∴DN＝DM，AN＝QM＝k+1﹣1＝k，NM＝AN+AM＝k+1，∠QMD＝∠AND＝45°， ∴点D的运动轨迹为直线DM． ∵△MDN为等腰直角三角形，MN∥x轴， ∴D（，）． 当k＝3时，D（﹣2，3）； 当k＝1时，D（﹣1，2）， ∴点D运动的路径长为． 14．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，点E为OC的中点． （1）求证：∠ADO＝2∠OBE； （2）若F，G分别是OD，AB的中点． ①求证：△EFG是等腰三角形； ②当EF⊥EG，BC＝8时，直接写出线段BE的长 　　． 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO，则∠ADO＝∠CBO，AD＝BO＝BC，可得△BOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO，进而结论得证； （2）①由等腰三角形的性质可知∠BEA＝90°，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG＝AB，由中位线的性质可知EF＝CD，由平行四边形的性质可知AB＝CD，可得EG＝EF，进而结论得证；②证明四边形BEFG是平行四边形，则∠EFG＝∠GBE，证明△EFG∽△EBA，则△ABE是等腰三角形，∠BAE＝∠ABE＝45°，设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝，在Rt△BCE中，由勾股定理BC2＝BE2+CE2求出满足要求的x值，进而可得BE． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，BD＝2DO＝2BO， ∴∠ADO＝∠CBO， ∵BD＝2AD， ∴AD＝BO＝BC， ∴△BOC是等腰三角形， ∵OE＝CE， ∴∠OBE＝∠CBE＝∠CBO＝∠ADO， ∴∠ADO＝2∠OBE． （2）①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点， ∴EB⊥CO， ∴∠BEA＝90°， ∵G为AB中点， ∴EG＝AB， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF＝CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴EG＝EF， ∴△EFG是等腰三角形． ②解：由题意知，EF∥CD∥BG， ∴EF＝CD＝AB＝BG， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∴∠EFG＝∠GBE， ∵∠FEG＝∠AEB＝90°， ∴△EFG∽△EBA， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠BAE＝∠ABE＝45°， ∴EG⊥AB， 设AG＝GE＝x，则BE＝AE＝x，CE＝， 在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC2＝BE2+CE2，即82＝+， 解得x＝或x＝﹣（不合题意，舍去）， ∴BE＝． 故答案为：． 15．（2024春•江津区期中）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）＝　　，＝　（﹣）　． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值． 【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，a﹣1＝得a2﹣2a＝1，可求出代数式的值． 【解答】解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣）， 故答案为：，（﹣）， （2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣） ＝（﹣3+11） ＝4； （2）a＝＝+1， ∴a﹣1＝， ∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5． 16．（2023秋•内江期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21，设AH＝x，可以求CH的值，请帮小明写出求CH的过程． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设AB＝AC＝x千米，则AH＝（x﹣0.6）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2， 也可以表示为ab+ab+c2， ∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2， 即a2+b2＝c2； （2）设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中，根据勾股定理得：CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得x≈0.83， 即CA≈0.83千米， ∴CA﹣CH≈0.83﹣0.8≈0.03（千米）， 答：新路CH比原路CA少约0.03千米； （3）∵AH＝x， ∴BH＝AB﹣AH＝21﹣x， ∵CH⊥AB，AC＝10，BC＝17，AB＝21， 根据勾股定理： 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2， 解得：x＝6， ∴AH＝6， ∴CH＝＝＝8． 17．（2024•高新区校级二模）如图（1），四边形OBCD正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，4）． （1）直接写出点C的坐标是 　（4，4）　； （2）如图（2），点F为线段BC的中点，点E在线段OB上，若∠EDF＝∠CDF，求点E的坐标； （3）如图（3），动点E，F分别在边OB，CD上，将正方形OBCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边OD上（点M不与点O，D重合），点C落在点N处，设OM＝x，四边形BEFC的面积为S，请求出S与x的关系式． 【分析】（1）根据正方形的性质和D点的坐标得出C点坐标即可； （2）过点F作FG⊥DE于点G，连接EF，证△DGF≌△DCF（AAS），得GF＝BF＝2，证Rt△EFG≌Rt△EFB（HL），得GE＝BE，根据勾股定理求出OE即可确定E点坐标； （3）设ME＝BE＝m，CF＝n，且m＞0，n＞0，分别用含有x的代数式表示出m和n，再根据三角形面积公式得出S和x的关系式即可． 【解答】解：（1）∵四边形OBCD是正方形，O（0，0），D（0，4）， ∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，BC⊥x轴， ∴C（4，4）， 故答案为：（4，4）； （2）如图，过点F作FG⊥DE于点G，连接EF， ∵四边形OBCD是正方形，O（0，0），D（0，4）， ∴OB＝BC＝CD＝OD＝4，∠C＝∠OBC＝∠BOD＝90°， ∵FG⊥DE， ∴∠DGF＝∠C＝90°， 在△DGF和△DCF中， ， ∴△DGF≌△DCF（AAS）， ∴GD＝CD＝4，GF＝CF， ∵点F为线段BC的中点， ∴BF＝CF＝BC＝×4＝2， ∴GF＝BF＝2， 在Rt△EFG和Rt△EFB中， ， ∴Rt△EFG≌Rt△EFB（HL）， ∴GE＝BE， 设OE＝a（a＞0），则GE＝BE＝OB﹣OE＝4﹣a， ∴DE＝GD+GE＝4+4﹣a＝8﹣a， 在Rt△DOE中，根据勾股定理得，OE2+OD2＝DE2， 即a2+42＝（8﹣a）2， 解得a＝3， ∴OE＝3， ∵点E在x轴的正半轴上， ∴E（3，0）； （3）如图，分别连接BM、MF、BF， ∵EF是折痕， ∴EF垂直平分BM， ∴ME＝BE，MF＝BF， 设ME＝BE＝m，CF＝n，且m＞0，n＞0， 则OE＝OB﹣BE＝4﹣m，DF＝CD﹣CF＝4﹣n， ∵OM＝x，点B的对应点M始终落在边OD上（M不与点O，D重合）， ∴DM＝OD﹣OM＝4﹣x（0＜x＜4）， 在Rt△MOE中，根据勾股定理得，OM2+OE2＝ME2， 即x2+（4﹣m）2＝m2， 解得m＝， 在Rt△DMF和Rt△CBF中，BF2＝BC2+CF2， ∵MF＝BF， ∴DM2+DF2＝BC2+CF2， ∴（4﹣x）2+（4﹣n）2＝42+n2， 解得n＝， 即CF＝n＝， ∵S＝S四边形BEFC＝（CF+BE）•BC， ∴S＝（+）×4＝x2﹣2x+8， 即S和x的关系式为：S＝x2﹣2x+8（0＜x＜4）． 18．（2024春•越秀区校级期中）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：ED＝EF； （2）若AB＝2，，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，求∠EFC的度数． 【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED； （2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， （2）解：如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2， ∵EC＝， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝． （3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°， 则∠CDE＝90°﹣30°＝60°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示： ∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD， ∴∠EFC＝∠CDE＝30°， 综上所述，∠EFC＝120°或30°． 19．（2024•海淀区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　6　； （2）当t＝　8　时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 【分析】（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果； （2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值； （3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）作∠B的角平分线交AD于F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4， ∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16， ∴2t＝16，解得t＝8． ∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点P在BC上运动时， S△ABP＝×BP×AB＝×2t×4＝4t；（0＜t＜4）； ②当点P在CD上运动时， S△ABP＝×AB×BC＝×4×8＝16；（4≤t≤6）； ③当点P在AD上运动时， S△ABP＝×AB×AP＝×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动， 根据题意分情况讨论： ①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等， ∴点P到AD边的距离为4， ∴点P到AB边的距离也为4， 即BP＝4， ∴2t＝4，解得t＝2s； ②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4， ∴点P到DE边的距离也为4， ∴PE＝DE＝5， ∴PC＝PE﹣CE＝2， ∴8﹣2t＝2，解得t＝3s； ③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H， 点P到DE、BE边的距离相等， 即PC＝PH， ∵PC＝2t﹣8， ∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE， ∴3×4＝5×PH+3×PC， ∴12＝8PH， ∴12＝8（2t﹣8）， 解得t＝． 综上所述：t＝2或t＝3或t＝时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 20．（2024春•海门区月考）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积． 【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题； （2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题； （3）求出DF的长，由正方形的面积公式可得出答案． 【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF（ASA）， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形； （2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6； （3）解：连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3，AB∥CD， ∵F是AB中点， ∴AF＝FB＝， ∴DF＝＝＝， ∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝． 21．（2024春•广水市期中）如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E， （1）求证：BC＝BE； （2）过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥BC于H，判断四边形EGBH的形状并证明； （3）若BC为，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长． 【分析】（1）计算得到∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝67.5°，∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝67.5°，即可证明BC＝BE； （2）先证明四边形EGBH是矩形，求出∠BHE＝∠EBH＝45°，推出HE＝BH，即可证明四边形EGBH是正方形； （3）求出△FEB≌△ECD，根据全等三角形的性质得出BF＝DE，由勾股定理求得BD＝2，由（1）得到BE＝BC＝，据此求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∠BDC＝∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°， ∠BEC＝∠BDC+∠DCE＝45°+22.5°＝67.5°＝∠BCE， ∴BE＝BC； （2）解：四边形EGBH是正方形；理由见解析： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠DBC＝45°， ∵EG⊥AB，EH⊥BC， ∴四边形EGBH是矩形， ∵四边形ABCD是正方形，EH⊥BC， ∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∠BHE＝90°， ∴∠BEH＝∠EBH＝45°， ∴HE＝BH， ∴四边形EGBH是正方形； （3）解：∵FE⊥CE， ∴∠CEF＝90°， ∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE， ∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD， ∴△FEB≌△ECD（ASA）， ∴BF＝DE， 由（1）得BE＝BC＝CD＝， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝2， ∴BF＝DE＝BD﹣BE＝2﹣． 22．（2024春•宁乡市期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　四边形EGFH是平行四边形　；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 【分析】（1）利用三角形全等可得EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，则EG∥FH，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形EGFH为矩形，另一种是FGEH为矩形，利用EF＝GH即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形AGCH为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下： 由题意得：AE＝CF＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC中点， ∴AG＝AD，CH＝BC， ∴AG＝CH， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； 故答案为：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图1，连接GH， 由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， ∴EF＝GH＝6， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10﹣2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， ∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6， ∴t＝8； 综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8； （3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O， ∵四边形EGFH为菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF， ∴OA＝OC，AG＝AH， ∴四边形AGCH为菱形， ∴AG＝CG， 设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x， 由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2， 即：62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝， ∴MG＝﹣4＝，即t＝， ∴当t＝时，四边形EGFH为菱形． 23．（2024春•南岸区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B（0，6），与直线y＝﹣x+3交于点C（﹣1，a），直线y＝﹣x+3与y轴交于点E，连接AE． （1）求直线l的解析式； （2）求△ACE的面积； （3）Q为直线y＝﹣x+3上一点，若△BEQ为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据S△ACE＝S△ABE﹣S△BCE，即可求解； （3）分BQ＝BE、BQ＝EQ、BE＝QE三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3过点C（﹣1，a）， ∴a＝1+3＝4， ∴点C（﹣1，4）， 直线l过点B（0，6），C（﹣1，4）， 则设直线l的解析式为y＝kx+6， 将点C的坐标代入上式得：4＝﹣k+6，解得k＝2， 故直线l的表达式为y＝2x+6； （2）对于y＝2x+6，令y＝2x+6＝0，解得x＝﹣3， 故点A（﹣3，0）， 对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3， 故点E（0，3）， ∵点C（﹣1，4），B（0，6）， ∴S△ACE＝S△ABE﹣S△BCE＝×（6﹣3）×3﹣×（6﹣3）×1＝3； （3）如图： 设点Q（m，3﹣m）， 由点B、E、Q的坐标得：BQ2＝m2+（3﹣m﹣6）2，BE2＝9，QE2＝2m2， 当BQ＝BE时，即m2+（3﹣m﹣6）2＝9， 解得m＝0（舍去）﹣3， ∴点Q的坐标（﹣3，6）； 当BQ＝EQ时，同理可得：m＝﹣， ∴点Q的坐标（﹣，）； 当BE＝QE时，同理可得：m＝±， ∴点Q的坐标（，3﹣）或（﹣，3+）； 综上，点Q的坐标为（﹣3，6）或（﹣，）或（，3﹣）或（﹣，3+）． 24．（2024春•临颍县期中）观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得． （1）观察上面的解答过程，请写出＝　﹣　； （2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 　＝﹣　； （3）利用（2）中你发现的规律计算：． 【分析】（1）根据已知的等式所反映的规律和分母有理化求解； （2）两相邻正整数的算术平方根的和的倒数等于这两个正整数的算术平方根的差； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）＝﹣； 故答案为：﹣； （2）＝﹣； （3）原式＝1+﹣1+﹣+•••+﹣ ＝． 25．（2024春•崇义县期中）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵，∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出＝　﹣　； （2）化简； （3）若，求3a2﹣18a+1的值． 【分析】（1）模仿例题分母有理化即可； （2）分母有理化，再合并同类二次根式； （3）利用整体代入的思想解决问题即可． 【解答】解：（1）原式＝＝﹣； 故答案为：﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝2﹣1； （3）∵a＝＝3﹣2， ∴3a2﹣18a+1＝3（a2﹣6a+9﹣9）+1＝3（a﹣3）2﹣26＝3×（3﹣2﹣3）2﹣26＝﹣2． 26．（2024春•萨尔图区校级期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝　　； （2）化简：； （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）＝， 故答案为：； （2） ＝ ＝； （3）∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴a4﹣4a3﹣4a+3 ＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3 ＝a2×1﹣4a+3 ＝a2﹣4a+3 ＝1+3 ＝4． 27．（2024春•台江县校级期中）阅读材料： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答下列问题： （1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知，其中m是整数，且0＜n＜1，求m﹣n的绝对值． 【分析】（1）估算出，即可得出答案； （2）估算出，，即可得出a、b的值，代入进行计算即可； （3）估算出，得出，从而得出m、n的值，计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵16＜23＜25， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）∵9＜13＜16， ∴，即， ∴， ∵25＜27＜36， ∴，即， ∴b＝5， ∴； （3）∵4＜5＜9， ∴，即， ∴． ∵，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝6，， ∴， ∴m﹣n的绝对值是． 28．（2024春•嘉祥县期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为＝，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，求的值，可以这样解答： 因为（×（+）＝（）2﹣（）2＝18﹣x﹣11+x＝7，所以． （1）代数式中x的取值范围是 　2≤x≤10　； （2）已知：，求： ①＝　2　； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【分析】（1）根据被开方数大于等于0，列不等式组可得结论； （2）①根据平方差公式可解答； ②两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：2≤x≤10； 故答案为：2≤x≤10； （2）①∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且+＝8， ∴﹣＝2； 故答案为：2； ②∵+＝8， ∴＝8﹣， 两边同时平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x， ∴＝3， 两边同时平方得：4﹣x＝9， ∴x＝﹣5， 经检验：x＝﹣5是原方程的解． 29．（2024春•大连月考）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）在图2中，四边形ACFE是正方形，利用两种不同的方法表示出四边形ABED的面积，也可以证明勾股定理，请你利用图2推导勾股定理； （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.8千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （3）在第（2）问中，若AB≠AC，如图4，CH⊥AB，AC＝1千米，BC＝1.7千米，AB＝2.1千米，求CH的长． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设AB＝AC＝x千米，则AH＝（x﹣0.6）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】（1）证明：由题意知BF＝b﹣a， ∵，， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）解：设AB＝AC＝x千米， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.8）千米， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2， ∴x2＝1.22+（x﹣0.8）2， 解得x＝1.3， 即CA＝1.3千米， ∴CA﹣CH＝1.3﹣1.2＝0.1（千米）， 答：新路CH比原路CA少0.1千米； （3）解：设AH＝x千米， ∴BH＝AB﹣AH＝2.1﹣x（千米）， ∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝∠BHC＝90°，AC＝1千米，BC＝1.7千米，AB＝2.1千米， 根据勾股定理得，在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即12﹣x2＝1.72﹣（2.1﹣x）2， 解得：x＝0.6， ∴AH＝0.6， ∴千米． 答：CH的长是0.8千米． 30．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b（a＜b），斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a2+b2＝c2． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　正方形　（填“长方形”或“正方形”），其面积为 　（b﹣a）2　（用含a、b的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2＝c2的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝12，BC＝20，利用上面的结论求EF的长． 【分析】（1）根据正方形的判定判断四边形EFGH是正方形；根据正方形面积公式可得到其面积； （2）根据“正方形ABCD面积＝4个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积”即可列式说明； （3）先求出BF，CF，设EF＝x，可用x表示出EC，在Rt△EFC中，利用勾股定理列方程解出x即可． 【解答】解：（1）由题意知：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°， EF＝FG＝GH＝HE＝b﹣a， ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为（b﹣a）， 故答案为：正方形，（b﹣a）2； （2）∵S正方形ABCD＝4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2＝4×ab+（b﹣a）2， 整理，得a2+b2＝c2， 故a2+b2＝c2的正确； （3）∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF＝AD＝BC＝20，DC＝AB＝12，EF＝DE， 在Rt△ABF中， ∵AB＝12， ∴由勾股定理，得BF＝＝＝16， ∴CF＝BC﹣BF＝20﹣16＝4， 设EF＝x，则EC＝DC﹣DE＝12﹣x， 在Rt△EFC中， 由勾股定理，得EF2＝CF2+EC2， 即x2＝42+（12﹣x）2， 解得x＝， 即EF的长为． 31．（2024春•江阴市期中） 【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形ABCD的面积，从而得到公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，则小正方形的面积为 　1　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若a＝7，b＝4，则图4中阴影部分的周长为 　36　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3，则三个正方形的面积S1、S2、S3满足的关系式是 　S1+S3＝2S2　． 【分析】【回顾旧知】从整体看，大正方形的边长为c，那么面积为c2，从大正方形的构成看，是由四个直角边长为a、b的直角三角形和一个边长为a﹣b的小正方形组成，从两个不同的角度计算出大正方形的面积，整理可得勾股定理； 【拓展应用】①小正方形的边长为a﹣b，则小正方形的面积为（a﹣b）2，根据所给条件先判断出ab的值，进而可得小正方形的面积； ②根据勾股定理可得CA的长，进而根据阴影部分的周长＝4（AC+AB），计算即可； ③分别表示出三个正方形的面积，整理可得三个正方形的面积S1、S2、S3满足的关系式． 【解答】解：【回顾旧知】∵大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积为c2． ∵大正方形由四个直角边长为a、b的直角三角形和一个边长为a﹣b的小正方形组成， ∴大正方形的面积为：4×ab+（a﹣b）2． ∴4×ab+（a﹣b）2＝c2． ∴（a﹣b）2+2ab＝c2． ∴a2+b2＝c2． 【拓展应用】①∵大正方形的面积是25， ∴c2＝25． ∴a2+b2＝25． ∵（a+b）2＝49， ∴a2+2ab+b2＝49． ∴2ab＝24． ∴ab＝12． ∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1， ∴小正方形的面积为1． 故答案为：1； ②∵BD＝a＝7，AB＝b＝4， ∴BC＝3． 由题意得：∠ABC＝90°， ∴AC＝5． ∴阴影部分的周长＝4×（4+5）＝36． 故答案为：36； ③由题意得：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2， ∴S1+S3＝2S2． 故答案为：S1+S3＝2S2． 32．（2024春•海州区期中）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值： 2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 ＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6 ＝2（x﹣1）2﹣8 又∵2（x﹣1）2≥0 ∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣6m+5； （2）当x、y取何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+18的值最小？并求出这个最小值； （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8b+6a﹣25，求△ABC周长的最大值． 【分析】（1）仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答； （2）仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答； （3）利用配方法可得（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，再利用偶次方的非负性可求出a，b的值，然后利用三角形的三边关系求出c的最大值，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）m2﹣6m+5 ＝m2﹣6m+9﹣9+5 ＝（m﹣3）2﹣4 ＝（m﹣3+2）（m﹣3﹣2） ＝（m﹣1）（m﹣5）； （2）2x2+y2﹣8x+6y+18 ＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+9 ＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+9 ＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+9 ＝2（x﹣2）2+（y+3）2+1， ∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+18有最小值，最小值是1； （3）∵a2+b2＝8b+6a﹣25， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0， ∴a＝3，b＝4， ∵4﹣3＜c＜4+3， ∴1＜c＜7， ∵c为正整数， ∴c最大取6， ∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13， ∴△ABC周长的最大值为13． 33．（2024春•泰兴市期中）如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c． 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形． （1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为 　（a+b）2　，正方形IJKL的面积可表示为 　（a﹣b）2　（用含a，b的式子表示） （2）请结合图2，用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系． 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3、4、5所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现a2+b2＝c2 （3）请你从图3、4、5中选一个合适的图形用面积法证明a2+b2＝c2． 你的选择是图 　3　， 你的证明： （4）根据（3）中的结论回答，当a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4时，c的值为 　3　． 【分析】（1）分别表示出所求的正方形的边长，进而可得所求的正方形的面积； （2）由图2可以看出，正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积＝4个矩形的面积，把相关数值代入即可； （3）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理； （4）根据c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，把相关数值代入后可得c2的值，进而可得c的值． 【解答】解：（1）∵正方形CDEF的边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为（a+b）2． ∵正方形IJKL的边长为a﹣b， ∴正方形IJKL的面积为（a﹣b）2． 故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2； （2）由图2可以看出，正方形CDEF的面积﹣正方形IJKL的面积＝4个矩形的面积． ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）①选择图3． 由题意得：四边形CDEF为正方形，边长为a+b， ∴正方形CDEF的面积为：（a+b）2． ∵四边形CDEF由四个直角边长为a，b的直角三角形和一个边长为c的正方形组成， ∴正方形CDEF的面积为：4×ab+c2． ∴（a+b）2＝4×ab+c2． ∴a2+2ab+b2＝2ab+c2． ∴a2+b2＝c2． ②选择图4． 由题意得：四边形ABED是正方形，边长为c． ∴正方形ABED的面积为：c2． ∵四边形ABED是由4个直角边长为a和b的直角三角形和一个边长为a﹣b的正方形组成的， ∴正方形ABED的面积为：4×ab+（a﹣b）2． ∴4×ab+（a﹣b）2＝c2． ∴a2+b2＝c2． ③选择图5． ∵S五边形BCFGA＝S正方形BCED+S正方形HEFG+S△BID+S△IHG＝S正方形ABIG+S△ABC+S△AGF， ∴a2+b2+ab+ab＝c2+ab+ab． ∴a2+b2＝c2． （4）∵a﹣b﹣2m＝1，ab+2m2+2m＝4， ∴a﹣b＝2m+1，ab＝4﹣2m2﹣2m． ∵a2+b2＝c2． ∴c2＝（a﹣b）2+2ab＝（2m+1）2+2（4﹣2m2﹣2m）＝4m2+4m+1+8﹣4m2﹣4m＝9． ∵c＞0， ∴c＝3． 故答案为：3． 34．（2024•单县校级一模）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题： （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　垂直　，数量关系为 　相等　． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 【分析】（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD． （2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，由（1）①可知CF⊥BD． 【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分） 故答案为：垂直、相等． ②成立，理由如下：…（3分） ∵∠FAD＝∠BAC＝90° ∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中， ∵ ∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分） ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝90° ∴CF⊥BD …（7分） （2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分） 过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分） 则∵∠ACB＝45° ∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45° ∵AG＝AC，AD＝AF， ∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠FAC， ∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分） ∴∠ACF＝∠AGD＝45° ∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90° ∴CF⊥BC …（12分） 35．（2024春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AD，BC上的点，作DM⊥EF于M． （1）求证：∠CDM＝∠BFE； （2）在MF上截取MN＝DM，连接BN，G为BN中点，连接CG，CM． ①依题意补全图形， ②用等式表示线段CG和CM的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形两锐角互余即可证明结论； （2）①根据题意补全图形即可； ②连接MG并延长使得MG＝GH，利用SAS可证△BGH≌△NGM，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明△CBH≌△CDM（SAS），进而可证明△MCH，△CGM是等腰直角三角形，即可得． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠BFE＝∠DEM，∠CDM+∠EDM＝90°， 又∵DM⊥EF， ∴∠DEM+∠EDM＝90°， ∴∠CDM＝∠DEM， ∴∠CDM＝∠BFE； （2）解：①根据题意补全图形如图所示： ②， 证明：连接MG并延长使得MG＝GH， ∵点G为BN的中点， ∴BG＝NG， 又∵∠BGH＝∠NGM， ∴△BGH≌△NGM（SAS）， ∴HG＝MG，BH＝NM，∠BHG＝∠NMG，则BH∥NM， ∴∠CBH＝∠BFE， 由（1）可知，∠CDM＝∠BFE， ∴∠CBH＝∠CDM， ∵MN＝DM， ∴BH＝DM， 由正方形的性质可知，CB＝CD， ∴△CBH≌△CDM（SAS）， ∴CH＝CM，∠BCH＝∠DCM，∠BCD＝90°， 则∠BCH+∠BCM＝∠DCM+∠BCM＝∠BCD＝90°， ∴△MCH是等腰直角三角形， ∵HG＝MG， ∴CG⊥MH，则△CGM也是等腰直角三角形，则CG＝MG， ∴． 36．（2024春•武威期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为4，点B是线段OA上的一个动点，过点B作直线MN平行于x轴，设MN分别交射线OA与x轴所成的两个角的平分线于点E、F． （1）求证：EB＝BF； （2）当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论； （3）是否存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的性质以及等角对等边即可得出BO＝BF，BO＝BE，进而求出答案； （2）根据当＝时，首先求出四边形AEOF是平行四边形，进而得出利用角平分线的性质得出∠EOF＝90°，即可得出四边形AEOF是矩形； （3）根据当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形，进而即可得出四边形AEOF为正方形． 【解答】（1）证明：如图所示； ∵OF是∠AOX的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∵MN∥x轴， ∴∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴BO＝BF， 同理可证BO＝BE， ∴EB＝BF， （2）解：当＝，四边形AEOF是矩形， ∵＝， ∴OB＝AB， 又∵BE＝BF， ∴四边形AEOF是平行四边形， ∵OE、OF是角平分线， ∴∠EOF＝90°， ∴四边形AEOF是矩形； （3）解：存在点A、B使四边形AEOF为正方形，如图所示， ∵MN∥x轴， ∴当A点在y轴时，即A点坐标为（0，4）时，有OA⊥EF，此时，取OA的中点B（0，2），由（2）知四边形AEOF是矩形， ∴四边形AEOF为正方形， ∴存在A（0，4），B（0，2），使四边形AEOF为正方形． 37．（2024春•海淀区校级期中）正方形ABCD中，点P是射线BD上一动点，连结AP，过P作PE⊥AP，交射线CD于E，连结AE． （1）如图①，请补全图形； （2）如图②，当点E在CD的延长线上时，试确定线段BP与CE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，当点P在BD的延长线上，若AB＝3，，直接写出四边形ADPE的面积 　10　． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）过点P作PH⊥AB于H，HP交CD于F，PG⊥BC于G，则四边形OHBG为正方形，四边形PGCH为矩形，由勾股定理得，证△ADP和△CDP全等得∠DAP＝∠DCP＝α，则∠CPF＝90°﹣α，根据PH∥AD，PE⊥AP得∠EPF＝90°﹣α，即∠CPF＝∠EPF，由此可证△CPF和△EPF全等，则CP＝EP，CF＝EF，进而得PG＝CF＝EF＝CE，由此可得线段BP与CE之间的数量关系； （3）过点P作PT⊥CE于T，同理可证CP＝EP，则CT＝ET，△PDT为等腰直角三角形，根据AB＝3，可得DT＝PT＝1，AB＝CD＝AD＝3，则CT＝ET＝CD+DT＝4，ED＝ET+DT＝5，再分别求出S△ADE＝7.5，S△PDE＝2.5，然后根据S四边形ADPE＝S△ADE+S△PDE可得出答案． 【解答】解：（1）补全图形如图1所示： （2）线段BP与CE之间的数量关系是：，理由如下： 过点P作PH⊥AB于H，HP交CD于F，PG⊥BC于G，如图2所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形OHBG为正方形，四边形PGCH为矩形， ∴PG＝BG＝CF，PH∥AD， 由勾股定理得：BP＝， 即， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， 设∠DAP＝∠DCP＝α，则∠CPF＝90°﹣α， ∵PH∥AD， ∴∠APH＝∠DAP＝α， ∵PE⊥AP， ∴∠EPF＝90°﹣α， ∴∠CPF＝∠EPF＝90°﹣α， 在△CPF和△EPF中， ， ∴△CPF≌△EPF（ASA）， ∴CP＝EP，CF＝EF， ∴PG＝CF＝EF＝CE， ∴， 即； （3）过点P作PT⊥CE于T，如图3所示： 同理可证：CP＝EP，则CT＝ET， ∵∠PDT＝∠CDB＝45°， ∴△PDT为等腰直角三角形， ∴PT＝DT， 由勾股定理得：DP＝， ∵， ∴DT＝PT＝1， ∵AB＝CD＝AD＝3， ∴CT＝ET＝CD+DT＝4， ∴ED＝ET+DT＝4+1＝5， ∵S△ADE＝DE•AD＝×5×3＝7.5，S△PDE＝DE•PT＝×5×1＝2.5 ∴S四边形ADPE＝S△ADE+S△PDE＝7.5+2.5＝10． 故答案为：10． 38．（2024春•蕲春县期中）材料阅读； 小明偶然发现线段AB的端点A的坐标为（1，2），端点B的坐标为（3，4），则线段AB中点的坐标为（2，3），通过进一步的探究发现在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（）． 知识运用： 如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为 　（2，）　． 能力拓展： 在直角坐标系中，有A（﹣1，2）、B（3，4）、C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标． 【分析】知识运用：由矩形的性质得出OM＝EM，M为OE的中点，由线段中点坐标公式即可得出结果； 能力拓展：有三种情况：①当AB为对角线时，②当BC为对角线时，③当AC为对角线时，由平行四边形的性质即可得出结果． 【解答】知识运用： 解：∵矩形ONEF的对角线相交于点M， ∴OM＝EM，M为OE的中点， ∵O为坐标原点，点E的坐标为（4，3）， ∴点M的坐标为（，）， 即点M的坐标为（2，）； 故答案为：（2，）； 能力拓展： 解：如图所示： 有三种情况：①当AB为对角线时， ∵A（﹣1，2），B（3，4），C（1，4）， ∴BC＝2， ∴AD＝2， ∴D点坐标为（1，2）， ②当BC为对角线时， ∵A（﹣1，2），B（3，4），C（1，4）， D点坐标为（5，6）． ③当AC为对角线时， ∵A（﹣1，2），B（3，4），C（1，4）， D点坐标为：（﹣3，2）， 综上所述，符合要求的点D的坐标为（1，2）或（﹣3，2）或（5，6）． 39．（2024•厦门模拟）某实验室在10℃～15℃的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，并通过实验研究其对幼苗生长速度的影响． 研究人员发现，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律，且温度越高生长速度增大的幅度越大；但营养素超过一定量，则会抑制幼苗的生长速度．此外，在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，研究人员获得了两组数据，分别如表一、表二所示． 表一在10℃下营养素不同的用量所对应的生长速度 营养素用量（mg） 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 该种幼苗的生长速度（mm/天） 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 1.5 1 表二在10℃～15℃范围内的不同温度下达到最大生长速度平均所需的营养素用量 温度（℃） 10 11 12 13 14 15 该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素用量（mg） 0.54 0.360 0.270 0.216 0.180 0.156 （1）在10℃下营养素用量从0mg增加到0.5mg的过程中，该种幼苗的生长速度随之变化的规律可大致用一个数学关系式描述，请求出该关系式； （2）请判断实验室在10℃下使用营养素将该种幼苗从10mm培育到30mm，比不使用营养素是否能提前12天完成，并说明理由； （3）请通过合理估计，用一个数学关系式大致描述在10℃～15℃范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解； （2）由表二求出不使用营养素时，该种幼苗的生长速度，进而求出不使用营养素时，该种幼苗从10mm培育到30mm所需的时间，再求出该种幼苗在10°C使用营养素的最大生长速度，求出比不使用营养素提前12天生长的高度，与30mm比较即可判断； （3）利用待定系数法解答即可求解． 【解答】解：（1）设营养素用量为x mg，该种幼苗的生长速度为y cm， ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设y＝mx+n（m≠0）， 根据表二，函数图象经过（0，1），（0.5，2），代入可得 ， 解得， ∴y＝2x+1（0≤x≤0.5）； （2）不能提前12天完成，理由如下： 由表二可知，在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度是1mm/天， ∴不使用营养素时，该种幼苗从10mm培育到30mm所需的时间是（30−10）÷1＝20天， 由表三可知，在10°C下该种幼苗达到最大生长速度平均所需的营养素是0.540mg， 即x＝0.540， 代入（1）中所求函数解析式可得y＝2.08， 即该种幼苗在10°C使用营养素的最大生长速度是2.08mm/天， 此种情况下，该种幼苗在20−12＝8天内的生长高度为2.08×8＝16.64mm 10+16.64＜30， ∴不能提前12天完成； （3）设营养素用量为x mg，该种幼苗的生长速度为y cm， ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随着营养素用量的增加都会大致呈现出均匀增大的规律， ∴可设y＝kx+b（k＞0）， ∵在10°C～15°C的温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围内的生长速度相同，结合表二可知，当x＝0时，都有y＝1， ∴b＝1， 即y＝kx+1（k≠0） ∵在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变， ∴由（2）可知，在10°C～15°C范围内的不同温度下，y最大＝2.08， 且当y取最大值时，在10°C～15°C范围内的不同温度下，对应的营养素用量如表三中第二行数据所示，将（0.360，2.08），（0.270，2.08），（0.216，2.08），（0.180，2.08），（0.156，2.08）逐一代入y＝kx+1，分别可求得在10°C～15°C范围内的不同温度下解析式中相应的k的值，如下表所示： t（°C） 10 11 12 13 14 15 k 2 3 4 5 6 6.92 根据表中数据，k的值与相应的温度值大致符合关系式为k＝t−8， y＝（t−8）x+1，其中0≤x≤， ∴在10°C～15°C范围内的不同温度下，该种幼苗的生长速度随营养素用量的增加而增大直至达到最大的规律可用关系式y＝（t−8）x+1（0≤x≤）表示． 40．（2024•秦淮区校级模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图①，作7+4的加法线，先在横线上找到第一个加数7并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数4并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，l与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为11，则l为7+4的11号加法线.11号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为11． （1）在图②中画出3+6的9号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图②中画出8﹣3的5号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数x、y，判断x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴．则x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线所表示的函数表达式分别是 　y＝﹣x+1l，y＝x﹣5　． 【乘法线】 （4）如图④，若0所表示的点为坐标原点，以横线为x轴，竖线为y轴，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线．求2号乘法线m的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多8人，且男同学人数是女同学人数的3倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）k号乘法线（k为常数，k≠0）上任一点的函数值与y1差的2号减法线和x+y＜2的3号加法线．当x＜2时，y2＞y1．结合图象，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）根据新定义，类比画出3+6的9号加法线； （2）根据新定义，类比画出8﹣3的5号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线，即y＝2x； （5）设男同学的人数为x人，女同学的人数为y人，分别画出号乘法线与y﹣x的8号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得y1＝kx+2，y2＝﹣x+3，则y1过定点（0，2），进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【解答】解：（1）在图②中画出3+6的9号加法线，如图所示， 作3+6的加法线，先在横线上找到第一个加数3并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数6并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，1与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为9，则l为3+6的9号加法线． （2）作8﹣3的减法线，先在横线上找到第一个被减数8并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数3并作竖线的垂线，两条垂线相交于点A，过点A沿小方格对角线作直线l，1与横线相交于点B，则点B在横线上所表示的数为5，则l为8﹣3的5号减法线． （3）①如图所示， x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， ∴x+y的11号加法线与x﹣y的5号减法线的位置关系是互相垂直． ②∵x+y＝11， ∴y＝﹣x+11， ∵x﹣y＝5， 则 y＝x﹣5． 故答案为：y＝﹣x+1l，y＝x﹣5． （4）依题意，x与乘数2的积的乘法线m称为2号乘法线，即y＝2x， 所以2号乘法线m的函数表达式为y＝2x． （5）设男同学的人数为x人，女同学的人数为 y人， 依题意，y＝x﹣8，y＝x， 即画出号乘法线与y﹣x的8号减法线， 如图所示，交点对应的横坐标为x＝12， ∴男同学人数是12人． （6）如图所示， 2号减法线的解析式为y＝x+2， 3号加法线的解析式为y＝﹣x+3， ∵k号乘法线（k为常数，k≠0）上任一点的函数值与y1的2号减法线和x+y2的3号加法线， 设k号乘法线的解析式为y＝kx， ∴y1＝kx+2，y2＝﹣x+3， 则y1过定点（0，2）， 如图所示， ∵当x＜2时，y2＞y1， 当x＝2时，y2＝1， 将（2，1）代入y1＝kx+2得1＝2k+2， ∴k＝﹣， 结合函数图象可得k≥＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$