第4章 平行四边形 期末复习课件2023-2024学年浙教版数学八年级下册

《平行四边形》期末复习 第4章 平行四边形 浙教版 八年级下册 知识整理 平行四边形 归纳 归纳 归纳 归纳 归纳 归纳 归纳 易错专训 防误区 【例1】　(2023春·宁波市余姚市期末)一个多边形的每一个内角都是135°，则这个多边形是 (　　) A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 专题一 多边形 【答案】 B 　　n边形的内角和为(n－2)×180°(n≥3)，外角和为360°.反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数. 【跟踪训练1­1】　(2023春·金华市金东区期末)过某个多边形的一个顶点连结它的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是________边形. 【答案】 七 【跟踪训练1­2】　(2023春·金华市东阳市期末)如图，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝________. (跟踪训练1­2) 【解析】 ∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∴∠AEO＝∠EAB－∠MON＝108°－60°＝48°. 【答案】 48° 【例2】　(2023春·杭州市上城区期末)下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 专题二 中心对称 【答案】 D 轴对称图形与中心对称图形比较： 轴对称图形 中心对称图形 (1) 至少有一条对称轴 只有一个对称中心 (2) 图形沿对称轴对折(翻转180°)，对折后两部分图形重合 图形绕对称中心旋转180°，旋转后的图形与原图形重合 【跟踪训练2】　(2023春·金华市东阳市期末)如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，I，J是网格线的交点，若△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是 (　　) (跟踪训练2) A. 点G B. 点H C. 点I D. 点J 【答案】 C 【答案】 D 【例3】　(2023春·杭州市滨江区期末)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC⊥BC于点C.若AC＝4，AB＝5，则BD的长为 (　　) A. 4 B. C. 4 D. 2 专题三 平行四边形的性质与判定 (一)平行四边形的性质 【解析】 ∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点E，∴AE＝CE＝AC＝×4＝2，BE＝DE.∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴BE＝＝＝，∴BD＝2BE＝2. 2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质. 1.平行四边形的性质定理： (1)平行四边形的对边平行且相等. (2)平行四边形的对角相等，邻角互补. (3)平行四边形的对角线互相平分. 【跟踪训练3­1】　(2023春·宁波市慈溪市期末)如图，在□ABCD中，AE平分∠DAB，交BC于点E，∠D＝112°，则∠AEC的度数为 (　　) (跟踪训练3­1) A. 34° B. 68° C. 136° D. 146° 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D＝112°， ∴∠BAD＝180°－∠B＝68°，∠DAE＋∠AEC＝180°.∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAD＝34°，∴∠AEC＝180°－∠DAE＝146°. 【答案】 D 【跟踪训练3­2】　(2023春·绍兴市上虞区期末)如图，E是直线CD上的一点.已知▱ABCD的面积为52 cm2，则△ABE的面积为________cm2. (跟踪训练3­2) 【答案】 26 【例4】　如图，已知▱ABCD的一组邻边AB，BC.利用尺规作图的方式作▱ABCD，在下列四个作图中，作法正确的有 (　　) 　 (例4) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (二)平行四边形的判定 【解析】 图①：由作图可知，CD＝BA，AD＝BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可得，图①的作法正确；图②：由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连结BO并延长，使OD＝BO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图②的作法正确；图③：所作的同位角相等，得出CD∥BA，再截取CD＝BA，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图③的作法正确；图④：所作的同位角相等，得出CD∥BA，再截取AD＝BC，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图④的作法错误.综上所述，作法正确的有3个. 【答案】 C (4)对角线互相平分的四边形是平行四边形. (5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 2.解决平行四边形的判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明.证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范. 1.平行四边形的判定方法： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【跟踪训练4】　求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(请根据提供的图形，写出已知、求证，并给予证明). (跟踪训练4) 【解析】 已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在四边形ABCD中，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴2(∠A＋∠B)＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 【例5】　(2023春·绍兴市上虞区期末)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连结AE，CF，AC，EF，添加下列条件后不能使四边形AECF成为平行四边形的是 (　　) A. BE＝DF B. AE∥CF C. OE＝OF D. AF＝AE (三)平行四边形的性质与判定的综合 【解析】 A.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意.B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意.C.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝ ∠CEO.又∵OE＝OF，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意.D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.由AF＝AE不能判定四边形AECF为平行四边形，故选项D符合题意. 【答案】 D 1.在解题的过程中，我们有时既需要用到平行四边形的判定定理，又需要用到平行四边形的性质定理，请注意正确使用，不要混淆.进行有关计算时，还需要用到特殊三角形等其他几何知识以及数形结合的数学思想. 2.在已知条件中，若出现两线段互相平分，则可构造平行四边形，利用平行四边形的性质解题. 【跟踪训练5】　(2023春·宁波市北仑区期末)如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且DF∥BE. (1)求证：四边形DEBF是平行四边形. (2)若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求▱ABCD的面积. 【解析】 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∴∠DCF＝∠BAE.∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠AEB.在△CFD和△AEB中，∵∴△CFD≌△AEB(AAS)，∴DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形. (2)如解图，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，则∠G＝90°.又∵∠CAB＝30°，∴CG＝AC＝×8＝4，∴S▱ABCD＝AB·CG＝6×4＝24. 【例6】　(2023春·杭州市滨江区期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AB，BC的中点.若OE＝5，OF＝4，则▱ABCD的周长为________. 专题四 三角形的中位线 【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AB＝CD.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴OE是△ABD的中位线，OF是 △BCD的中位线，∴OE＝AD，OF＝CD，∴AD＝2OE＝10，CD＝2OF＝8，∴▱ABCD的周长＝2(AD＋CD)＝36. 【答案】 36 1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 2.当题目中出现多条线段的中点时，要联想到三角形的中位线.三角形的中位线定理既有两条线段之间的位置关系(平行)，又有两条线段之间的数量关系(1∶2). 3. 三角形的中位线通常可以用来解决与线段的位置关系和数量关系相关的问题.在实际运用中，有些问题虽然没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过添加辅助线就可运用其解决相关问题. 【跟踪训练6】　(2023春·宁波市北仑区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC边上，AD＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，连结BD，EF.若AD＝2，则EF的长为 (　　) A. 1 B. C. D. 【解析】 ∵AD＝BC，AD＝2，∴BC＝2.取BD的中点G，连结EG，FG.∵E是CD的中点，∴EG是△BCD的中位线，∴EG＝BC＝1，EG∥BC， ∴∠DEG＝∠C＝90°.∵F是AB的中点，∴FG是△ABD的中位线，∴FG＝AD＝1，FG∥AD，∴∠FGE＝180°－∠DEG＝90°，∴EF＝＝. 【答案】 B 【例7】　(2023春·杭州市滨江区期末)用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应假设 (　　) A. 四边形中没有一个角是钝角或直角 B. 四边形中四个内角都是钝角或直角 C. 四边形中至多有一个角是钝角或直角 D. 四边形中至少有一个角是锐角 专题五 反证法 【答案】 A 　　反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式十分必要.例如：“是与不是”“等于与不等于”“大于与不大于”“小于与不小于”“都是与不都是”“至少有一个与一个都没有”“至少有n个与至多有(n－1)个”“至多有一个与至少有两个”“唯一与至少有两个”. 【跟踪训练7】　(2023春·宁波市北仑区期末)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中 (　　) A. 两锐角都大于45° B. 有一个锐角小于45° C. 有一个锐角大于45° D. 两锐角都小于45° 【答案】 A ④平行四边形的性质与判定(第5，7题)； ⑤平行四边形中的分类讨论(第9，10题). 本章易错点主要有： ①求多边形的边数(第3，8题)； ②中心对称图形的识别(第1，4题)； ③用反证法证明的第一步(第2，6题)； 1.(2023春·金华市金东区期末)下列三星堆文物图案中，既属于中心对称图形又属于轴对称图形的是 (　　) A. B. C. D. 【答案】 C 2.(2022春·温州市鹿城区期中)用反证法证明命题“若|a|<3，则a2<9”时，应假设 (　　) A. a≥3 B. a>3 C. a2≥9 D. a2>9 【答案】 C 3.若一个多边形截去一个角后变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为 (　　) A. 14或15　 B. 13或14 C. 13或14或15 D. 14或15或16 【答案】 C 4.如图①，4张扑克牌放在桌子上，小明将其中一张旋转180°后得到图②，则他所旋转的牌从左边数起是 (　　) (第4题) A. 第1张 B. 第2张 C. 第3张 D. 第4张 【答案】 D 5.(2023春·金华市金东区期末)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形，则点D的坐标不可能是 (　　) A. (－3，5) B. (1，－1) C. (5，3) D. (4，2) 【答案】 D 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABP≠∠ACP，求证：PB≠PC.当用反证法证明时，第一步应假设____________. (第6题) 【答案】 PB＝PC 7.如图所示为由9个小平行四边形组成的大平行四边形，则图中共有________个带有“”的平行四边形. (第7题) 【答案】 16 8.(2023春·湖州市吴兴区期末)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是________. 【答案】 7 9.在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点O作直线m分别交直线AB于 点E，交直线CD于点F.若AB＝4，AE＝6，则DF的长为________. 【解析】 分两种情况讨论：①当点F在DC的反向延长线上时，如解图①.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，FC∥AE，∴∠F＝∠E.在△COF和△AOE中， ∵∴△COF≌△AOE(AAS)，∴AE＝CF.又∵AB＝CD， ∴DF＝BE＝AE－AB＝2. ②当点F在DC的延长线上时，如解图②.同理可得DF＝10.综上所述， DF的长为2或10. 【答案】 2或10 10.(2023春·宁波市北仑区期末)在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线分别与边CD相交于点E，F.若点C，D，E，F中每相邻两点间的距离相等，则的值为________. 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB.∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED，∴DE＝AD.同理，BC＝CF，∴DE＝CF＝AD.设AD＝a，则DE＝CF＝a.分两种情况讨论：①当点F在点E的左侧时，如解图①.∵点C，D，E，F中每相邻两点间的距离相等，∴DF＝EF＝CE.设DF＝EF＝CE＝x，则DE＋CF＝DF＋EF＋EF＋CE＝4x＝2a，∴x＝a，∴CE＝a，∴AB＝CD＝DE＋CE＝a，∴＝＝. ②当点F在点E的右侧时，如解图②.∵点C，D，E，F中每相邻两点间的距离相等，∴DE＝EF＝CF＝a，∴AB＝CD＝DE＋EF＋CF＝3a，∴＝＝.综上所述，的值为或. 【答案】 或 $$