专题02 平行线中的拐点问题期末复习题型【五大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（苏科版）

专题02 平行线中的拐点问题期末复习之五大题型 目录 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 1 【题型二 铅笔头模型】 4 【题型三 牛角模型】 8 【题型四 羊角模型】 11 【题型五 蛇形模型】 20 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．    2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．    【题型二 铅笔头模型】 【模型解读】 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 图1 图2 图3 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．    2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【题型三 牛角模型】 【模型解读】 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【题型四 羊角模型】 【模型解读】 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ， ， 又． ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数． （3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 【题型五 蛇形模型】 【模型解读】 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线，点分别在直线上，平分，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，，，，那么 .    6．（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．    7．（22-23七年级下·浙江台州·期末）直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为 ．      8．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    三、解答题 9．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 10．（22-23七年级上·山东日照·期末）课上老师呈现一个问题： 已知：如图，，于点O，交于点P，当时，求的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点F作（如图甲）； 思路二：过P作，交于点N； 思路三：过O作，交于点N． 解答下列问题：    (1)根据思路一（图甲），则 ，并写出解答过程． (2)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 11．（23-24八年级上·广东梅州·期末）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展提升：如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    13．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 14．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？    （1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论） 问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧， （2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论） 问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点F． （3）如图4，若，求的度数；（写证明过程） （4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论． 15．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线中的拐点问题期末复习之五大题型 目录 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 1 【题型二 铅笔头模型】 4 【题型三 牛角模型】 8 【题型四 羊角模型】 11 【题型五 蛇形模型】 20 【过关检测卷】 23 【期末题型】 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【答案】 【分析】过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，，再求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．    【答案】/108度 【分析】过点F作，可得，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【题型二 铅笔头模型】 【模型解读】 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 图1 图2 图3 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【答案】/85度 【分析】过点P作，则，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点P作，如下图：    则 ∴， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．    【答案】/540度 【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作，，    ， ， 则，，， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答． 【详解】解：如图：作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， 同理：作可证明： 作可证明：，， … 归纳可得： 由题意得：，解得． 故答案为：5． 3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案． 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的． 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律． 【题型三 牛角模型】 【模型解读】 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：过作，    ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作，    ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【题型四 羊角模型】 【模型解读】 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④： (2)以图③为例说明理由见解析 【分析】（1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 证明见小问2详解； 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2）以图③为例：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ， ， 又． ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数． （3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点作， ，， 又， ， 故答案为：；；； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由：过点作， ， ， ∴， ， ， ． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 【答案】(1)，，， (2)，，两直线平行，内错角相等， (3)选④，结论的过程（理由）见解析 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟练的利用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键； （1）过的作的平行线，再利用平行线的性质逐一分析即可； （2）过P点作，如图②；再利用内错角相等结合角的和差可得结论； （3）如图④，过点P作，再利用内错角相等结合角的和差可得结论； 【详解】（1）解：如图①， 过点P作． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ∴图①结论：， 过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） 图②结论：， 如图③，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． ∴图③结论为：； 如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 图④结论： （2）过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） （3）如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 【题型五 蛇形模型】 【模型解读】 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； 作，可得，根据平行线的性质求出和，进而计算即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，过点作，则，，再由可知，故，据此可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作，则，， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质等知识点，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，，等量代换计算得，即可求解；掌握性质，作出辅助线求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，    ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线，点分别在直线上，平分，平分，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 过点作交于点，由平分可知，故，由可知，再由可知，根据平分可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题 5．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，，，，那么 .    【答案】/50度 【分析】过点M作直线利用平行线的性质得到，所以由“两直线平行，内错角相等”得到 【详解】解：如图，过点M作直线，则， 又， ，    ， ， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键 6．（22-23七年级下·河南许昌·期末）如图，于，交于点，交于点．若， ．    【答案】45 【分析】如图，过点F作，根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】解：如图，过点F作，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定． 7．（22-23七年级下·浙江台州·期末）直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为 ．      【答案】/25度 【分析】过点C作n的平行线l，得到，，根据平行线的性质求出，再根据直角三角板中含的角，得到，则，进而得到，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点C作n的平行线l，    ∵，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 8．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    【答案】/60度 【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 三、解答题 9．（21-22八年级上·陕西汉中·期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又， ， ； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 10．（22-23七年级上·山东日照·期末）课上老师呈现一个问题： 已知：如图，，于点O，交于点P，当时，求的度数． 下面提供三种思路： 思路一：过点F作（如图甲）； 思路二：过P作，交于点N； 思路三：过O作，交于点N． 解答下列问题：    (1)根据思路一（图甲），则 ，并写出解答过程． (2)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1)，过程见详解 (2)，过程见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质、垂直的定义以及角度和差关系， （1）根据两直线平行同位角相等求得，结合垂直的定义得，进一步求得，结合即可求得答案； （2）思路二：根据两直线平行同位角相等求得和，结合垂直的定义得，进一步得到，利用，即可求得答案；思路三：根据两直线平行内错角相等求得则，两直线平行同位角相等得，由垂直得，结合内错角相等，则可求得． 【详解】（1）解：过点F作（如图甲）， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）思路二：过P作，交于点N，如图，    则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 思路三：过O作，交于点N．如图，    则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·广东梅州·期末）（1）已知：如图1，，求证：； （2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展提升：如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数． 【答案】（1）见解析   （2），理由见解析  （3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线性质得出，，即可得出答案； （2）根据平行线性质求出，，即可得出答案； （3）由，，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过E点作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由为： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）由（1）可得：， 又∵，分别平分与， ∴，， ∴． 12．（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    【答案】（1）65 （2） （3）38 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算，平行公理及推论，平行线的性质． （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，设，，进而根据角平分线的性质得到，，再结合题意运用平行公理推论得到，从而根据平行线的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：（1）过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， 即， ，， ． （2）过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，如图所示：    设，， 平分， ，， 平分， ， ，，， ， ，，，， ， ， ， 即， ． 13．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)4或6或26 【分析】（1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当旋转到，时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ②当旋转到，时，如下图， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ③当旋转到，时，如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴． 综上所述：为4或6或26． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、与角平分线相关的计算等知识，正确理解题意，画出符合题意的图形是解题的关键． 14．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？    （1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论） 问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧， （2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论） 问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点F． （3）如图4，若，求的度数；（写证明过程） （4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先证明，再由平行线的性质得到，进而可得； （2）如图所示，过P作，先证明，再由平行线的性质得到，进而可得； （3）由（1）（2）的结论可得，，则可求出，再由角平分线的定义可得； （4）由（1）（2）的结论可知，，进而得到，再由角平分线的定义得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过P作， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故答案为：；    （3）由（1）（2）的结论可知，， ∵， ∴， ∵与两个角的角平分线相交于点F， ∴， ∴； （4），证明如下： 由（1）（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵与两个角的角平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·山东济南·期末）【阅读探究】 （1）如图1，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 解：过点作， 所以______， 因为， 所以， 所以______， 因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线可将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系为________． 【方法应用】 （3）如图2，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数． 【应用拓展】 （4）如图3，分别是上的点，点在两平行线之间，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间），若，则的度数为________（用含的式子表示）． 【答案】 （1）， （2） （3） （4） 【分析】本题考查平行公理的应用，涉及平行线的判定与性质，角平分线的性质，是重要考点，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据题干的推理信息可得答案； （2）过点作，由平行线的性质得到，，继而证明； （3）过点作，则，由平行线的性质得到，结合等式的性质解答即可； （4）由角平分线的性质解得，，过点作，接着由平行线的性质得到，，再根据，整理解答即可． 【详解】解：（1）过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）过点作， ∴， ∵ ， ∴，    ∴， ∴， ∴； （3）过点作，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∵，， ∴． （4）∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点作，如图3所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$