专题01 平面图形的认识（二）期末复习题型【十一大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（苏科版）

专题01 平面图形的认识（二）期末复习之十一大题型 目录 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的识别】 1 【题型二 添加一个条件使两直线平行】 2 【题型三 根据平行线的性质求角度】 4 【题型四 根据平行线判定与性质求角度】 8 【题型五 生活中的平移现象及平移图形】 13 【题型六 利用平移的性质求解】 15 【题型七 利用平移解决实际问题】 18 【题型八 平移与平行线的综合问题】 20 【题型九 三边是否构成三角形】 25 【题型十 三角形中中线、高线、角平分线求角】 27 【题型十一 多边形的内角和与外角和】 30 【过关检测卷】 32 【期末题型】 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的识别】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【题型二 添加一个条件使两直线平行】 例题：（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【题型三 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【题型四 根据平行线判定与性质求角度】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【题型五 生活中的平移现象及平移图形】 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）下列四幅汽车标志设计中能用平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列运动属于平移的是（    ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 2．（22-23七年级下·安徽六安·期末）下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（    ）． A．   B．   C．   D．   3．（22-23七年级下·山西大同·期末）下列运动属于平移的是（　　） A．荡秋千 B．钟摆的摆动 C．随风飘扬的五星红旗 D．在笔直公路上行驶的汽车 【题型六 利用平移的性质求解】 例题：（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，将沿方向平移得到，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，在三角形中，，垂足为，将三角形沿射线的方向向右平移后，得到三角形，连接，若，则三角形的面积为 ． 4．（22-23八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 【题型七 利用平移解决实际问题】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 平方米． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影都分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 .    【题型八 平移与平行线的综合问题】 例题：（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，三角形沿直线l向右平移得到三角形； (1)若，求的度数； (2)若，，求三角形平移的距离. 2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．    (1)求证：； (2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且． ①设，求的度数（用含的代数式表示）； ②证明：． 3．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 【题型九 三边是否构成三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广西北海·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．1，2，3 【题型十 三角形中中线、高线、角平分线求角】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【题型十一 多边形的内角和与外角和】 例题：（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 2．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．8.5 D．10 2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，，点是边上一点，连接，延长、交于点．点是边上一点，连接，使得，作的平分线交于点．若，则的度数用含的式子表示为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ．        9．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则 ．    10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 11．（22-23七年级下·四川成都·期末）若三角形一个内角度数为α，另外两个内角的度数比为，则称此三角形为型三角形．若一个三角形为型三角形，则该三角形中最大内角的度数为 ；若一个三角形既是型三角形，又为型三角形，则n的最大值为 ． 12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，、、分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的是 ．（只填序号） 三、解答题 13．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，. (1)求证：； (2)若，是的平分线，试判断与的位置关系，并说明理由． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； (2)若，求的度数． 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，的外角的平分线与线段延长线交于点，点在线段上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，四边形中，、分别平分，． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求．（用含，的式子表示） 17．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①和相交于点O，若，则与的位置关系为 ． 【探宄】如图②，和相交于点O，，，试说明：． 【应用】如图③，过图②中的点C作且交的延长线于点E．试说明：． 18．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，直线，点B，A分别在直线，上，连接，在左侧作三角形，其中，且，直线平分交直线于D．    (1)若点C恰在直线上，如图1，求的度数． (2)将A点向左移动，其它条件不变，如图2，请直接写出的度数（不必说明理由） (3)若将题目条件“”，改为：“”，点C在直线上方，其它条件不变，求的度数（用含m的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面图形的认识（二）期末复习之十一大题型 目录 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的识别】 1 【题型二 添加一个条件使两直线平行】 2 【题型三 根据平行线的性质求角度】 4 【题型四 根据平行线判定与性质求角度】 8 【题型五 生活中的平移现象及平移图形】 13 【题型六 利用平移的性质求解】 15 【题型七 利用平移解决实际问题】 18 【题型八 平移与平行线的综合问题】 20 【题型九 三边是否构成三角形】 25 【题型十 三角形中中线、高线、角平分线求角】 27 【题型十一 多边形的内角和与外角和】 30 【过关检测卷】 32 【期末题型】 【题型一 同位角、内错角、同旁内角的识别】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角，根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线、被直线所截的同旁内角， 因此选项C符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的识别；两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，在两条被截线的同侧，这样的两个叫同位角；根据同位角的含义进行判断即可． 【详解】解：由同位角的意义知，选项D中的与是同位角，其它选项中的与都不是同位角； 故选：D． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【题型二 添加一个条件使两直线平行】 例题：（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】①∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ③∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：③． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 【详解】解：， 时，． 故答案为：30． 【题型三 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：116． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查了平行线的性质，先根据平角得到的度数，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出，，再根据角平分线的定义得出的度数，结合，即可求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 【题型四 根据平行线判定与性质求角度】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，再找到的同位角，结合已知，通过等量代换，即可得出结论， （2）通过三角形外角定理，求得的同旁内角的度数，进而求得的度数， 本题考查了平行线的性质和判定，以及通过其求角度，解题的关键是：熟练应用平行线的性质和判定，结合已知条件，找到角度间的等量关系． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， （内错角相等，两直线平行）， （2）解：， ． ， ， ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键． （1）由证得，得到，结合可得，由此可证得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，由平分求出 ，根据两直线平行，内错角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质与判定是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合可得，然后由“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）首先根据，可得，，结合，可得，易得，进而可得，然后结合，即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线之间的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由两直线平行，可得内错角相等，从而可得同旁内角互补，即可证明； （2）由直线平行和角平分线的条件可得出相应的角度，在结合平角和平行等角度之间的关系即可得出答案． 【详解】（1）证明： （2） 平分 【题型五 生活中的平移现象及平移图形】 例题：（23-24七年级下·贵州黔南·期末）下列四幅汽车标志设计中能用平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移的定义是解题的关键；因此此题可根据平移进行求解． 【详解】解：A、可以利用平移得到，故符合题意； B、不能用平移的方式得到，故不符合题意； C、不能用平移的方式得到，故不符合题意； D、不能用平移的方式得到，故不符合题意； 故选A． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江绥化·期末）下列运动属于平移的是（    ） A．荡秋千 B．地球绕着太阳转 C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动 【答案】D 【分析】此题考查的是平移的判断，掌握平移的定义是解决此题的关键．根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，逐一判断即可． 【详解】A．荡秋千不属于平移，故本选项不符合题意；     B．地球绕着太阳转不属于平移，故本选项不符合题意； C．风筝在空中随风飘动不属于平移，故本选项不符合题意；     D．急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故本选项符合题意； 故选D． 2．（22-23七年级下·安徽六安·期末）下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】解：A、利用图形旋转而成，不符合题意； B、利用图形平移而成，符合题意； C、利用轴对称而成，不符合题意； D、利用轴对称而成，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 3．（22-23七年级下·山西大同·期末）下列运动属于平移的是（　　） A．荡秋千 B．钟摆的摆动 C．随风飘扬的五星红旗 D．在笔直公路上行驶的汽车 【答案】D 【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、摇动的跳绳不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； B、钟摆的摆动是旋转，故此选项错误； C、随风摆动的红旗，不属于平移，故此选项错误； D、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】此题考查了平移定义，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 【题型六 利用平移的性质求解】 例题：（22-23七年级下·四川巴中·期末）如图，将沿方向平移得到，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，因此选项A、选项B、选项C均不符合题意， 由于，与不一定相等， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到，进而求出，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为： 3．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，在三角形中，，垂足为，将三角形沿射线的方向向右平移后，得到三角形，连接，若，则三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平移的性质，线段的和与差，三角形的面积计算，由平移的性质结合线段的和与差可求出，再根据三角形面积公式求解即可，掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：由平移可知， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．（22-23八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离； (2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【详解】（1）∵沿方向平移至， ∴． ∵， ∴； 即沿方向平移的距离是． （2）由平移的性质可得：， ∵， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长是． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型七 利用平移解决实际问题】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， (元)，购买地毯至少需要元， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）34米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，已知小道的宽为2米，则种植面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查平移的应用，解题的关键是巧妙的运用等积代换． 【详解】解：种植面积为平方米, 故答案为：． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影都分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 .    【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为30m,宽为的长方形面积即可． 【详解】由平移可得到图      其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移，掌握平移的性质是正确解答的前提． 【题型八 平移与平行线的综合问题】 例题：（22-23七年级下·四川南充·期末）如图，已知直线，，点、在边上，且满足，平分．    (1)求的度数； (2)若平行移动，那么：的值是否随之发生变化？若变化，请找出变化的规律；若不变，求出这个比值． 【答案】(1) (2)不变化，:的值恒等于: 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义解答即可； （2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ，平分， ，， ， ∴，即， ； （2）解：不变化 因为平行移动， ∵， ， ∵， ， ：的值恒等于：． 【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的意义，平移的性质，关键是利用平行线的性质进行解答． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图，三角形沿直线l向右平移得到三角形； (1)若，求的度数； (2)若，，求三角形平移的距离. 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解； （2）由平移的性质可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由三角形沿直线l向右平移得到三角形可知：， ∴， ∵， ∴； （2）解：由平移的性质可知：， ∵，， ∴，即， ∴三角形平移的距离为4． 2．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，将线段平移得到，使与对应，与对应，连接，．    (1)求证：； (2)点在的延长线上，点与关于直线对称，直线交的延长线于点．点在线段上，且． ①设，求的度数（用含的代数式表示）； ②证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据平移的性质可知，，再利用平行线的性质可知； （2）①根据平行线的性质及对称的性质可知，进而可知；②根据对称的性质可知的面积与的面积相等，再利用等面积法可知． 【详解】（1）证明：将线段平移得到，使与对应，与对应， ∴由平移性质知，， ∴，， ∴； （2）①解：∵由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由对称性质知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴；    ②证明：过作于，于，并连接， ∴由对称性质知，的面积与的面积相等，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 则， ∴，   ． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，轴对称的性质，掌握平移的性质及轴对称的性质是解题的关键． 3．（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图1，，被直线所截，，过点A作，D是线段上的点，过点D作交于点E．    (1)求的度数； (2)将线段沿线段方向平移得到线段，连接． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，当时，求的度数； ③在整个平移过程中，是否存在？若存在，直接写出此时的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③存在，或 【分析】（1）利用平行线的性质得，，根据同角的补角相等可得答案； （2）①如图1中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案； ②如图3中，过点D作，则，再证明，根据平行线的性质可得答案即可求解； ③分两种情形：图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，过点D作， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②如图3，过点D作， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ③存在，或． 如图2，当时， 由①知，，， ∴； 如图3，当时， 由②知，，， ∴    【点睛】本题考查了平移性质、平行线的性质，角的和差等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，并学会用分类讨论的思想思考问题． 【题型九 三边是否构成三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A．，不能组成三角形，符合题意； B．，能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，不符合题意； D．，能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； 故选；C． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，根据三角形三边关系逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用三角形三边关系判断线段是否能构成三角形是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； B、由于，，由三角形三边关系可知，这3根木棍可以构成三角形，符合题意； C、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； D、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·广西北海·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．1，2，3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中最短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； B选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； C选项：由于，则本选项中的三条线段能组成三角形； D选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形． 故选：C 【题型十 三角形中中线、高线、角平分线求角】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的面积，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形外角的性质即可得到结论； 根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵把沿着折叠， ， ，， ； （2）∵把沿着折叠，点落在边上的处， ， ， ， ，， 的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键． （1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）的解答过程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质， （1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故； （2）由（1）知，用和表示出，即可知与的关系． 【详解】（1）解：（1）， 是角平分线， 是高， ； （2）由（1）知，① 把代入①， 整理得， ． 【题型十一 多边形的内角和与外角和】 例题：（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）一个多边形内角和是，则这个多边形的边数为（      ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题即可．根据n边形的内角和是，根据多边形的内角和为，得到一个关于n的方程，从而求出边数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（    ）边形 A．六 B．五 C．四 D．三 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式的应用，多边形的外角和，解题的关键是要能列出一元一次方程．根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ， 解得， 即这个多边形是四边形． 故选：C． 2．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 3．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​． 【答案】/12度 【分析】 本题考查正多边形的性质，求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数，关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵正六边形的每个内角， 正五边形的每个内角， ∴， 故答案为：． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）已知三角形的两边长分别为3，6，则第三边的长不可能是（    ） A．4 B．6 C．8.5 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】解：设第三边的长为x，根据题意得： ， 即， ∴第三边的长不可能是10． 故选：D 2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选B． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）官渡区的区标包含如图的飞马形象，下列四个选项中能由图平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移变换的性质，解题的关键是理解平移变换的定义，平移不改变图形的形状和大小，只改变位置． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：由平移得到的图形是选项C， 故选：C． 4．（23-24八年级上·山东泰安·期末）七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键．根据外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得． 【详解】解：∵、、、的外角的角度和为， ∴， ∴， ∵五边形内角和， ∴， ∴． 故选：． 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 6．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，，点是边上一点，连接，延长、交于点．点是边上一点，连接，使得，作的平分线交于点．若，则的度数用含的式子表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质、角平分线的定义，设，由平行线的性质得出，从而得出，推出，求出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及解一元一次方程，设最小的内角为，则另外两角的大小分别为，由三角形内角之间为，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设最小的内角为，则另外两角的大小分别为，依题意，得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·河南郑州·期末）一杆古秤在称物体时的状态如图所示，已知，则的度数是 ．        【答案】/75度 【分析】本题考查了平行线的性质∶两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，内错角相等得到，由的度数求出的度数，即可得到的度数． 【详解】解：如图，      由题意得：， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，直线，且分别与直线交于，两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则 ．    【答案】52°/52度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：由已知可得，， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：52°．    10．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 【详解】解：， 时，． 故答案为：30． 11．（22-23七年级下·四川成都·期末）若三角形一个内角度数为α，另外两个内角的度数比为，则称此三角形为型三角形．若一个三角形为型三角形，则该三角形中最大内角的度数为 ；若一个三角形既是型三角形，又为型三角形，则n的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，三角形内角和定理，最值的意义，设型三角形中较小的角为x，则另一个为，根据，计算即可；一个三角形既是型三角形，又为型三角形，则三角形的两个角为，设另一个为r，是型三角形，要使n最大，则有即；为型三角形，则有即；结合，计算即可． 【详解】设型三角形中较小的角为x，则另一个为， 根据， 解得， 故答案为：； 由三角形既是型三角形，又为型三角形，则三角形的两个角为， 设另一个为r， ∵是型三角形，要使n最大，则有即； ∵为型三角形，则有即； ∵， ∴ 解得． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，、、分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查平行线的性质定理与角平分线的定义以及三角形内角和定理，掌握平行线的性质定理与角平分线的定义是解题的关键． 首先根据平行线的性质得到，然后由角平分线的概念得到，，然后利用三角形内角和定理可判断①；由角平分线的概念得到，，然后结合平角的概念得到，即可判断②；然后得到，证明出，即可判断③；由得到，然后等量代换得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题 13．（22-23八年级上·陕西榆林·期末）如图，已知，. (1)求证：； (2)若，是的平分线，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据平行线的性质及等量代换即可证明结论； （2）根据平行线的性质求出，进而求出，即可得出，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． ∴． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，，，． (1)直线与有怎样的位置关系？并证明你的结论； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理以及外角的性质，解题的关键是： （1）利用三角形外角的性质求出，进而求出，结合，推出，即可推出； （2）利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，延长交于点P， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 15．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，的外角的平分线与线段延长线交于点，点在线段上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查的是三角形外角的性质、平行线的判定、角平分线的定义，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据，可知，据此得出结论； （2）由是的平分线可知，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明： （2）是的平分线， ． 16．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）如图，四边形中，、分别平分，． (1)若，，，求的度数； (2)若，，求．（用含，的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形内角和问题，角平分线的定义，三角形 内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）利用四边形内角和为，得出，进而求出的度数即可； （2）由角平分线的定义，得出，，再结合四边形内角和，得到，然后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵、分别平分，， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 17．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①和相交于点O，若，则与的位置关系为 ． 【探宄】如图②，和相交于点O，，，试说明：． 【应用】如图③，过图②中的点C作且交的延长线于点E．试说明：． 【答案】[感知] ；[探究]见解析；[应用]见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质． [感知]根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； [探究]根据三角形内角和定理证明，然后根据平行线的判定即可得证； [应用]根据平行线的性质可得，结合即可得证． 【详解】解：[感知]∵， ∴， 故答案为：； [探究]∵，，，， ∴， ∴； [应用]∵， ∴， 又， ∴． 18．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，直线，点B，A分别在直线，上，连接，在左侧作三角形，其中，且，直线平分交直线于D．    (1)若点C恰在直线上，如图1，求的度数． (2)将A点向左移动，其它条件不变，如图2，请直接写出的度数（不必说明理由） (3)若将题目条件“”，改为：“”，点C在直线上方，其它条件不变，求的度数（用含m的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了平行线性质，以及角平分线性质，根据两直线平行，同旁内角互补求出，推出，再根据直线平分，得到，利用，即可求解． （2）本题考查了平行线性质，以及角平分线性质和三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的内角和定理表示出、、再利用平角等于列式表示出整理即可得解． （3）根据（2）的结论，即可解题． 【详解】（1）解：， ，， ， ， ， ， 直线平分， ， ． （2）解：如图，设，即，    ， ， 在中，， 直线平分， ， ， ， ． （3）解：由（2）可知，时， 有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$