专题05 三角形与三角形全等判定和性质期末复习题型【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（北师大版）

专题05 三角形与三角形全等判定和性质期末复习之八大题型 目录 【题型一 三边是否构成三角形】 1 【题型二 三角形的稳定性及应用】 3 【题型三 三角形中中线、高线、角平分线求角】 5 【题型四 添加条件使三角形全等】 8 【题型五 三角形全等的判定和性质】 10 【题型六 几何动点中求使三角形全等的条件】 14 【题型七 用尺规作三角形】 19 【题型八 利用三角形全等测距离】 22 【过关检测卷】 25 【期末题型】 【题型一 三边是否构成三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广西北海·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．1，2，3 【题型二 三角形的稳定性及应用】 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【题型三 三角形中中线、高线、角平分线求角】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【题型四 添加条件使三角形全等】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 【题型五 三角形全等的判定和性质】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知点，，、在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，D是的边AB上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型六 几何动点中求使三角形全等的条件】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使． 【题型七 用尺规作三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 已知：如图，线段a，c，． 求作：，使得． 2．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）用尺规作图：已知线段a和、，求作，使，（不写作法，保留作图痕迹）． 3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）尺规作图（不要求写作法，要求保留作图痕迹） 已知：如图，线段a，c（），直角 求作：，，，．    【题型八 利用三角形全等测距离】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江西九江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    (1)求证：； (2)若m，m，求的长． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得． (1)求证：． (2)求路灯杆的高度． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 取两点，使， 再作垂足为， 使三点在一条直线上(如图所示)， 得到， 因此测得的长就是的长． 判定所依据的基本事实是（     ） A．角边角 B．边边角 C．边角边 D．边边边 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 7．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是 ． 8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，，使得．这个条件可以是： ．（只填一个条件即可） 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 11．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    12．（21-22八年级下·宁夏银川·期末）如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，当 时，与全等． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 14．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）尺规作圆 已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． （不写作法，保留作图痕迹，请不要在原来的图形上直接作图）      15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 16．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 18．（23-24八年级上·天津红桥·期末）在和中，，，，连接，．    【发现问题】如图①，若，延长交点D，则与的数量关系是_________，的度数为_________． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形与三角形全等判定和性质期末复习之八大题型 目录 【题型一 三边是否构成三角形】 1 【题型二 三角形的稳定性及应用】 3 【题型三 三角形中中线、高线、角平分线求角】 5 【题型四 添加条件使三角形全等】 8 【题型五 三角形全等的判定和性质】 10 【题型六 几何动点中求使三角形全等的条件】 14 【题型七 用尺规作三角形】 19 【题型八 利用三角形全等测距离】 22 【过关检测卷】 25 【期末题型】 【题型一 三边是否构成三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A．，不能组成三角形，符合题意； B．，能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，不符合题意； D．，能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）下面不能组成三角形的三条线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴三条长分别为的线段不能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴三条长分别为的线段能构成三角形，不符合题意； 故选；C． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）下列长度的3根小木棒，首尾顺次连接能够搭成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查构成三角形的条件，涉及三角形三边关系，根据三角形三边关系逐项验证即可得到答案，熟练掌握利用三角形三边关系判断线段是否能构成三角形是解决问题的关键． 【详解】解：A、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； B、由于，，由三角形三边关系可知，这3根木棍可以构成三角形，符合题意； C、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； D、由于，由三角形三边关系可知，这3根木棍不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·广西北海·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．1，2，3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中最短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； B选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； C选项：由于，则本选项中的三条线段能组成三角形； D选项：由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形． 故选：C 【题型二 三角形的稳定性及应用】 例题：（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选；C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）日常生活中三角形有着广泛的应用，例如右图的起重机的支架采用了三角形结构，在这个应用中蕴含的数学知识是（    ） A．三角形三个内角的和等于180度 B．三角形任何两边的和大于第三边 C．三角形具有稳定性 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：起重机的支架采用三角形结构是利用了三角形具有稳定性这一数学知识． 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川南充·期末）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，使其更稳固，其中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，五根木条钉成一个五边形框架，要使框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用．根据三角形的稳定性，只要使六边形框架变成三角形的组合体即可． 【详解】解：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添2根木条． 故答案为：2． 【题型三 三角形中中线、高线、角平分线求角】 例题：（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，是一张纸片，是边上的高线，把沿着折叠，点落在边上的处． (1)如果，，求的度数； (2)如果，，，求的面积． 【答案】(1)； (2)15 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的面积，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质和三角形外角的性质即可得到结论； 根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵把沿着折叠， ， ，， ； （2）∵把沿着折叠，点落在边上的处， ， ， ， ，， 的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，是的高线，是的角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线定义、三角形的高等知识点，结合图形分析清楚各角之间的关系是解答的关键． （1）由高线可得，再由三角形的内角和可求得，利用角平分线的定义可求得，从而可求的度数； （2）参照（1）的解答过程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是的高线， ∴， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）中，，平分交于点E．    (1)，，求的大小． (2)若，则与是否相等？若相等，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质， （1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故； （2）由（1）知，用和表示出，即可知与的关系． 【详解】（1）解：（1）， 是角平分线， 是高， ； （2）由（1）知，① 把代入①， 整理得， ． 【题型四 添加条件使三角形全等】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加结合根据即可证明． 【详解】∵ 添加结合根据即可证明， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知点在上，，，添加一个条件，使．你所添加的条件是 ．（只需写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据得，由，得，因此，只要再添加一组对应角相等即可． 【详解】解： 即 因此，只要再添加一组对应角相等即即可， 证明如下： 在和中 （ASA）． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图，已知，利用“”加上条件 ，可以证明．    【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．利用的判定方法求解． 【详解】 解：∵， ∴当添加时，． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，可以添加，再根据，，证明即可．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：添加条件：， 在和中， ， ∴； 添加， ∴，即， 在，中， ， ∴； 添加， 在中， ， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【题型五 三角形全等的判定和性质】 例题：（22-23七年级下·全国·期末）如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）解：， ∴, ， ∴，则， ∵， ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，已知点，，、在同一条直线上，，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由，两边加上，得到，利用即可得证； （）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质解答即可； 此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，交于一点，，点C在线段上，且，，连接． (1)求证：； (2)若，则的度数？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据，得到，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ． 3．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，D是的边AB上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，得到是解题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， 即的长为3． 【题型六 几何动点中求使三角形全等的条件】 例题：（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了全等三角形的性质及运用．是两条直角边长分别为3和1的直角三角形，当和全等，观察图形可知，运动在和上时，会出现全等．算出运动的路程，除以它的速度即可得到相应的时间． 【详解】解：①点在上． 如图：． ． 的速度为每秒2个单位长度， 点运动的时间． ②点在线段上． 如图：和都是直角三角形的斜边，长度都超过5，，中三边长分别为3，5，大于5的边长，所以和不会全等． ③点在线段上． 如图：． ． 运动路程为：， 点运动的时间． 综上，的值为或6． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动．若经过秒后，与全等，则的值是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，设运动时间为秒，点的运动速度为秒，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设．两点的运动时间为秒，点的运动速度为秒， 则，，． ， ①当时， ，． ， ； ②当时， ，， ， ． 综上，当的值是1或时，能够使与全等． 故答案为：1或． 3．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使． 【答案】或 【详解】解：，， ， ， ， ， 当在上方时， ，， 当时，． ， ； 当在下方时， ，， 当时，， ， ， 当或时，能使． 故答案为：或． 【题型七 用尺规作三角形】 例题：（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作射线，在射线上截取，使得，在的上方作，，射线，交于点，即为所求． 【详解】解：按如下字母命名题干已知： 作射线，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则；以点为圆心，长为半径画弧，交的两边于两点，连接，再以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，连接与两弧的交点得到射线，则；再以点为圆心，为半径作弧，交两边于，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，后以点为圆心，为半径作弧，连接点与两弧交点得射线，两个射线交点为点，即为所求，作图如下： 【变式训练】 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 已知：如图，线段a，c，． 求作：，使得． 【答案】见解析 【分析】可作，然后在的两边上分别截取，连接即可．本题考查基本尺规作图-作一个角等于已知角，作三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法是解答的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求作． 2．（22-23七年级下·甘肃张掖·期末）用尺规作图：已知线段a和、，求作，使，（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】图见解析 【分析】根据尺规作线段，尺规作角的方法画出即可 【详解】解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题考查尺规作图—作三角形．熟练掌握尺规作线段，尺规作角的方法，是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河南郑州·期末）尺规作图（不要求写作法，要求保留作图痕迹） 已知：如图，线段a，c（），直角 求作：，，，．    【答案】见解析 【分析】先作出，在上截取，以为圆心为半径，作弧，交于点，则，，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求．    【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，作线段，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【题型八 利用三角形全等测距离】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）某学校八年级的数学综合实践课活动中，数学学习小组要测量某公园内池塘两岸相对的两点A，B的距离．如图所示，组长小聪建议在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上． 此时组员小慧马上就明白了测量哪条线段就可以得到A，B两点的距离了． (1)请你直接写出小慧要测量的这条线段是 ； (2)请说明你的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析. 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）观察图形，找出线段的对应边即可； （2）先根据题意得出，结合，根据证明全等即可． 【详解】（1）解：观察图形可得，线段的对应边是， 因此小慧要测量的这条线段是， 故答案为：； （2）解：理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·江西九江·期末）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    (1)求证：； (2)若m，m，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ，   ∴； （2）∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）小明利用一根长为的竿子来测量路灯杆的高度（），方法如下：如图，在地面上选一点P，使，然后把在的延长线上左右移动，使，且，此时测得． (1)求证：． (2)求路灯杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的应用： （1）根据题意求出，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得路灯杆的高度． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）已知三角形两边的长分别是4cm和8cm，则此三角形第三边的长可能是（    ） A．2cm B．4cm C．8cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，设三角形的第三边为，即可得到，据此即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边为， 则x的取值范围为， 即． 故选：C 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查全靠等三角形的判定根据全等三角形的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； B、，，，两边以及一边对角对应相等，不能判定，故此选项符合题意； C、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； D、∵，，， ∴()，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】 如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 4．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某段河的两岸所在直线相互平行，要测量河宽，先在河岸上取两点，使， 再作垂足为， 使三点在一条直线上(如图所示)， 得到， 因此测得的长就是的长． 判定所依据的基本事实是（     ） A．角边角 B．边边角 C．边角边 D．边边边 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形全等的判定，由已知可以得到， 又， 由此根据角边角即可判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴ 在和中， ∴ 故选： A． 5．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解：，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 和不一定相等，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 6．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断④． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； 根据已知条件无法证明，故①错误，不符合题意； 综上，符合题意的有3个， 故选：B 二、填空题 7．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可求解，理解三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：玉环月亮桥桥梁的斜拉钢索采用三角形的结构，其数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，，使得．这个条件可以是： ．（只填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理：、、，即可得出答案． 【详解】解：添加， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 9．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法，性质是解题的关键． 根据，可得，根据点是的中点，可得，可证，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ． 【答案】6 【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 证明≌，推出与面积相等，可得结论． 【详解】解：在等腰三角形中，，， 与等高，底边比值为， 与的面积比为． 的面积为， 与的面积分别为和， ， ． ，，， ， ． 在和中， ， ， 与面积相等， 与的面积之和为的面积， 与的面积之和为． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则． 【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：30．    12．（21-22八年级下·宁夏银川·期末）如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，当 时，与全等． 【答案】4或4.8 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：当或4.8时与全等， 故答案为：4或4.8． 三、解答题 13．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理判断得，从而得即可证明结论成立； （2）根据全等三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及垂线定义．解题的关键是证明和全等． 【详解】（1）证明：∵，是延长线上一点， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 14．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）尺规作圆 已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． （不写作法，保留作图痕迹，请不要在原来的图形上直接作图）      【答案】见解析 【分析】首先根据一个角等于已知角的方法作，再在角的两边分别截取，，再连接． 【详解】解：如图所示：即为所求．    【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用余角性质证明，再利用“”即可证明； （）由得到，，进而得到，再根据梯形的面积计算公式计算即可求解； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中 ， ； （2）解：， ，， ∵， ， 又，， ， ， ∴四边形的面积为． 16．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）本题考查平行线性质和全等三角形的判定，根据平行线性质得到，，再结合题干条件即可证明． （2）本题考查全等三角形性质，根据，得到，再根据即可解题． 【详解】（1）证明：， ，， 在与中， ； （2）解：，且，， ． ． 17．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，的两条高与交于点O，，． (1)求的长； (2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】(1)6 (2)1.2或2． 【分析】本题考查全等三角形的判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【详解】（1）解： ，， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．   ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 18．（23-24八年级上·天津红桥·期末）在和中，，，，连接，．    【发现问题】如图①，若，延长交点D，则与的数量关系是_________，的度数为_________． 【类比探究】如图②，若，延长，相交于点D，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作，垂足为点M，请猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【发现问题】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展延伸】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先根据证明≌，再根据全等三角形的性质得出答案，仿照上述过程解答后两问. 【详解】，， 理由如下：如图1所示，设与交于点O，    ∵， ∴， 即. ∵，， ∴≌， ∴，. ∵，， ∴． 故答案为：，； ，. 理由如下：如图2，    ∵， ∴， 即. ∵，， ∴≌， ∴，. ∵，， ∴， ∴． ， 理由如下：如图3，    ∵， ∴， 即， ∵，， ∴≌， ∴. ∵，，， ∴，即. ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$