专题03 平行线中的拐点问题期末复习题型【五大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（北师大版）

专题03 平行线中的拐点问题期末复习之五大题型 目录 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 1 【题型二 铅笔头模型】 3 【题型三 牛角模型】 6 【题型四 羊角模型】 12 【题型五 蛇形模型】 20 【过关检测卷】 24 【期末题型】 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．    【题型二 铅笔头模型】 【模型解读】 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 图1 图2 图3 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．    2．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【题型三 牛角模型】 【模型解读】 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【变式训练】 1．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【题型四 羊角模型】 【模型解读】 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ， ， 又． ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数． （3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 【题型五 蛇形模型】 【模型解读】 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知，为、之间的一点，连接、，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，平分，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是 ．    6．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    7．（22-23七年级下·天津东丽·期末）如图，，，则的度数是 ．    8．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）（1）如图一，，，，则 ． （2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．    三、解答题 9．（22-23七年级下·湖北·期末）如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 10．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    11．（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）综合与探究：如图，已知直线，直线与直线，分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．    (1)如图1，当点在线段（不含端点和）上运动时，若，，则______，请你猜想，，三个角的数量关系______；（直接写出猜想结果，无需证明） (2)如图2，当点运动到直线上方时，若，，则______；（用含有，的式子表示） (3)如图3，当点运动到直线下方时，猜想，和三个角的数量关系，并证明你的猜想． 12．（22-23七年级下·重庆铜梁·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， 所以　 　，　 　． 又因为， 所以． (2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明 (3)如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 　 　°； (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 　 　；(用含a的代数式表示) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线中的拐点问题期末复习之五大题型 目录 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 1 【题型二 铅笔头模型】 3 【题型三 牛角模型】 6 【题型四 羊角模型】 12 【题型五 蛇形模型】 20 【过关检测卷】 24 【期末题型】 【题型一 猪蹄模型或锯齿模型】 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．    【答案】 【分析】过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，，再求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【题型二 铅笔头模型】 【模型解读】 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 图1 图2 图3 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【答案】/85度 【分析】过点P作，则，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点P作，如下图：    则 ∴， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．    【答案】/540度 【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作，，    ， ， 则，，， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键． 2．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．    图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案． 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的． 故答案为：，． 【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律． 【题型三 牛角模型】 【模型解读】 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 图1 图2 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意：牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作，    ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·重庆·期末）已知，，． (1)如图1，判断与的位置关系，并说明理由； (2)作的平分线交于点，点为线段上一点，连接，的平分线交线段于点．如图2，若，，，求的度数； (3)如图3，连接，在（2）的条件下，将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒（），已知，请直接写出的平分线与三角形的边平行时的值． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)4或6或26 【分析】（1）利用平行线的性质与判定定理得出结论； （2）过点作，利用平行线的性质与角平分线的定义，根据角的计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：当旋转到，时；当旋转到，时；当旋转到，时，利用平行线的性质和角平分线的性质进行角度求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点作， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当旋转到，时，如下图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ②当旋转到，时，如下图， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴； ③当旋转到，时，如下图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可知旋转前， ∴旋转角为， ∴． 综上所述：为4或6或26． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、与角平分线相关的计算等知识，正确理解题意，画出符合题意的图形是解题的关键． 【题型四 羊角模型】 【模型解读】 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④： (2)以图③为例说明理由见解析 【分析】（1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 证明见小问2详解； 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2）以图③为例：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ， ， 又． ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数． （3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；；；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点作， ，， 又， ， 故答案为：；；； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由：过点作， ， ， ∴， ， ， ． 2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．    (1)如图①，_______；如图②，_______； 如图③，______；如图④，______． (2)得到图②结论的过程如下：（补足理由） 过P点作，又∵， ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴_______，________（                ） ∵（图形性质） ∴_______（等量代换） (3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）． 【答案】(1)，，， (2)，，两直线平行，内错角相等， (3)选④，结论的过程（理由）见解析 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟练的利用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键； （1）过的作的平行线，再利用平行线的性质逐一分析即可； （2）过P点作，如图②；再利用内错角相等结合角的和差可得结论； （3）如图④，过点P作，再利用内错角相等结合角的和差可得结论； 【详解】（1）解：如图①， 过点P作． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ∴图①结论：， 过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） 图②结论：， 如图③，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． ∴图③结论为：； 如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 图④结论： （2）过P点作，又∵，如图②； ∴（同平行于第三条直线的两直线平行） ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（图形性质） ∴（等量代换） （3）如图④，过点P作， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴， 即． 【题型五 蛇形模型】 【模型解读】 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； 作，可得，根据平行线的性质求出和，进而计算即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点E，F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）（1）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，、、交于点，探究 、、之间的数量关系． （3）【拓展】如图③，，、分别平分和，且、所在直线交于点，过点作，若，则 度．    【答案】（1）65 （2） （3）38 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算，平行公理及推论，平行线的性质． （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，设，，进而根据角平分线的性质得到，，再结合题意运用平行公理推论得到，从而根据平行线的性质得到，，，，进而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：（1）过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， 即， ，， ． （2）过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，如图所示：    设，， 平分， ，， 平分， ， ，，， ， ，，，， ， ， ， 即， ． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（22-23七年级下·云南昆明·期末）如图，已知，为、之间的一点，连接、，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，则有，利用平行线的性质可求得与，即可求的度数． 【详解】解：过点作，如图，    ∵， ∴， ，， ，， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 2．（22-23六年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作直线，，根据平行线的性质可得，，，进而即可求得． 【详解】解：如下图，分别过点、作直线，， ， ，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） ，，，（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补） ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，平分，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质可知，，再由角平分线的定义即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ． ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题关键． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作，过点Q作，可得，从而得到，，，进而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵和的平分线交于点Q， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 二、填空题 5．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是 ．    【答案】 【分析】如图，过作，证明，，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．    【答案】/85度 【分析】过点P作，则，再根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点P作，如下图：    则 ∴， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 7．（22-23七年级下·天津东丽·期末）如图，，，则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得，，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 8．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）（1）如图一，，，，则 ． （2）如图二，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为 ．    【答案】 【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，，进而可得，即可求解； （2）根据（1）的结论，结合已知条件进行角的计算转换求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作，    ∵， ∴， ， 故答案为：； （2）同（1）可知，， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质是解题的关键． 三、解答题 9．（22-23七年级下·湖北·期末）如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②； 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，即可求解； （2）①分别过点作，利用平行线的性质求解即可；分别过点作，过点作，利用平行线的性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作，如下图：    则 ∴， 又∵， ∴； （2）解：①分别过点作，如下图：    则， ∴，， 又∵， ∴ ∴； ②分别过点作，过点作，如下图：    则， ∴，， ∴， 由①可得：； ∵和的平分线交于点G， ∴， ∴ 由题意可得： ； ∴； 【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的有关性质． 10．（22-23六年级下·山东济南·期末）已知，点为平面内的一点，，垂足为． (1)问题呈现 如图1，，则　　； (2)问题迁移 如图2，点在的上方，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展 如图3，在（2）的条件下，已知，，请求出的度数．    【答案】(1)150； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）过 作 , 根据平行线的性质得到 ，, 根据垂直的定义得到 , 于是得到结论； （2）过点 作 , 根据平行线的性质和垂直的定义即可得到结论； （3）过点 作 , 由 （2） 可知: , 根据平行线的性质得到 , 根据角的和差倍分即可得到结论； 【详解】（1）过作，    ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：150； （2）， 理由：过点作，    ，， ， ，， ． ， ， ； （3）过点作，    由（2）可知：， ，， ，， ，， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，正确地作出辅助线是解题的关键 11．（22-23七年级下·甘肃陇南·期末）综合与探究：如图，已知直线，直线与直线，分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．    (1)如图1，当点在线段（不含端点和）上运动时，若，，则______，请你猜想，，三个角的数量关系______；（直接写出猜想结果，无需证明） (2)如图2，当点运动到直线上方时，若，，则______；（用含有，的式子表示） (3)如图3，当点运动到直线下方时，猜想，和三个角的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)70， (2) (3)，见解析 【分析】（1）过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由“与平行线中的一条平行，与另一条也平行”可得，结合平行线的性质可得，即可获得答案； （2）过点作，与（1）同理求解即可； （3）过点作，与（1）同理分析即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即可猜想，，三个角的数量关系为． 故答案为：70，； （2）如下图，过点作，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）． 证明：过点作，如下图，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键． 12．（22-23七年级下·重庆铜梁·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．    (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过点A作， 所以　 　，　 　． 又因为， 所以． (2)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明 (3)如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 　 　°； (4)如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 　 　；(用含a的代数式表示) 【答案】(1) (2)见解析 (3)130 (4) 【分析】（1）利用平行线的性质解答即可； （2）过点B作，得到，利用两直线平行内错角相等得到，由此得到结论； （3）过点B作，则，根据平行线的性质推出，再根据角平分线求出的度数； （4）依据（2）（3）的结论推理计算可得答案． 【详解】（1）解：过点A作， 所以． 又因为， 所以． 故答案为：；    （2）解：过点B作，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作，则，    ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 根据（2）的结论可得：， 故答案为：130； （4）由（3）得，   ， ∵平分，平分， ∴， ∵平分，平分 ， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$