专题02 相交线与平行线期末复习题型【八大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（北师大版）

专题02 相交线与平行线期末复习之八大题型 目录 【题型一 对顶角定义、对顶角的性质求角】 1 【题型二 利用垂线段最短】 4 【题型三 相交线中求角的度数问题】 5 【题型四 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 8 【题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别】 12 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 13 【题型七 根据平行线的性质求角度】 15 【题型八 根据平行线判定与性质求角度】 19 【过关检测卷】 24 【期末题型】 【题型一 对顶角定义、对顶角的性质求角】 例题1：（22-23七年级下·四川广安·期末）如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，三条直线相交于点．，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，、相交于O，，那么下列结论错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为补角 3．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【题型二 利用垂线段最短】 例题：（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆南川·期末）某中学在创建绿色和谐校园活动中，要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点修建一条花间小径到边．若要使修建小路所使用的材料最少，过点作于点，线段即为所求，这样作图的理由是 ．    2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米． 【题型三 相交线中求角的度数问题】 例题：（22-23七年级上·四川凉山·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【题型四 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 例题：（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【题型七 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【题型八 根据平行线判定与性质求角度】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，点在直线上，直线，，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）两张透明直角三角形纸片按下列选项中方式摆放，则与不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·云南昆明·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 7．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，则的补角等于 ． 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 11．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为 ．    12．（23-24七年级上·河南南阳·期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中，，，，和的两个角顶点重合在一起．若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， ．    三、解答题 13．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 14．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 15．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处． (1)找一个格点，过点画的平行线；（标出点） (2)找一个格点，过点画的垂线，垂足为；（标出点，） (3)比较大小：线段 线段（用“＞”“＜”“＝”号连接），依据是 ． 16．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，在中，，D是边上的一点，且于点E，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的度数（用含的式子表示）． 17．（22-23七年级上·四川眉山·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 18．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 19．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 20．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，直线，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为秒．    (1)用含的代数式表示：________，________； (2)当时，________． (3)当时，求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线期末复习之八大题型 目录 【题型一 对顶角定义、对顶角的性质求角】 1 【题型二 利用垂线段最短】 4 【题型三 相交线中求角的度数问题】 5 【题型四 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 8 【题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别】 12 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 13 【题型七 根据平行线的性质求角度】 15 【题型八 根据平行线判定与性质求角度】 19 【过关检测卷】 24 【期末题型】 【题型一 对顶角定义、对顶角的性质求角】 例题1：（22-23七年级下·四川广安·期末）如图图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查对顶角的定义，解题关键是两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，本题属于基础题型．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角逐一判断即可得解． 【详解】 解：A、和是邻补角，不符合题意； B、与两角是对顶角，故B符合题意； C、D、与两边不互为反向延长线，故C、D不符合题意； 故选：B． 例题2：（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，三条直线相交于点．，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义求出，然后利用对顶角相等解答． 本题考查垂线定义，余角性质，对顶角性质，掌握垂线定义，余角性质，对顶角性质是解题关键． 【详解】解：如图所示：    ∵，， ∴， ∴． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·重庆南川·期末）如图，直线相交于点，若射线平分，射线平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和平角的定义，对顶角的性质等知识，根据角平分线的性质可得，再根据平角的定义可得，根据对顶角的性质即可求解． 【详解】解：射线平分， ， 射线平分， ， ， ， ， ， . 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）如图，、相交于O，，那么下列结论错误的是（    ） A．与是对顶角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，余角和补角的知识，根据互余两角之和等于，互补两角之和等于，判断求解即可． 【详解】解：A、、相交于O， 与是对顶角，本选项正确，不符合题意； B、， 与互为余角，本选项正确，不符合题意； C、与是对顶角，且与互为余角 与互为余角，本选项正确，不符合题意； D、与互为补角，，本选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（22-23七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分．若的度数为．则 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查几何图形中的角度计算问题，角平分线的定义，对顶角的性质等，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据平角的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型二 利用垂线段最短】 例题：（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段的性质，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·重庆南川·期末）某中学在创建绿色和谐校园活动中，要在一块三角形花园里种植两种不同的花草，同时拟从点修建一条花间小径到边．若要使修建小路所使用的材料最少，过点作于点，线段即为所求，这样作图的理由是 ．    【答案】垂线段最短 【分析】根据点到直线的距离的知识即可求解． 【详解】解：∵三角形花园中，从点修建一条花间小径到边，材料最少，过点作于点， ∴根据点到直线上所有连线中，垂线段最短， ∴沿着垂线段修建材料最少， 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离，理解并掌握点到直线上所有连线中，垂线段最短的知识是解题的关键． 2．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米． 故答案为：． 【题型三 相交线中求角的度数问题】 例题：（22-23七年级上·四川凉山·期末）如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·江西上饶·期末）如图，直线相交于点平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据（1）同理即可求出的大小． 【详解】（1）解：平分， ， ； （2）解：设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 2．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分 (1)若，则＿＿＿°； (2)若求的度数（用含n的代数式表示）； (3)在（2）题的基础上，如图2，在的内部作射线，使平分求的度数 【答案】(1)66 (2) (3)的度数为50° 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． （1）根据即可； （2）先根据，求出的度数，再根据角平分线的定义及邻补角的定义即可； （3）先表示出的度数，再列方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：66； （2）解：∵ ∵平分， ∴， ∴ （3）解：∵， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴ 故的度数为． 【题型四 画垂线、平行线并求点到直线的距离】 例题：（22-23七年级上·江苏盐城·期末）如图，点P是的边上的一个格点． (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)线段 的长度是点到的距离； (4)线段、、这三条线段大小关系是 （用“”号连接），依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4),垂线段最短 【分析】 本题主要考查了点到直线的距离，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可； （3）过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短． 【详解】（1）如图． （2）如图． （3）∵， ∴线段的长度是点O到的距离； （4）大小关系是：，依据是“垂线段最短”． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）如图，、、都在格点上，利用网格作图． (1)过点画直线的平行线； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查格点作图、平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握格点作图、平行线的性质及点到直线的距离是解题的关键． （1）根据平行线的性质及格点作图可进行求解； （2）由格点的特征可直接进行求解； （3）由（2）可直接进行求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）∵ ∴线段的长度是点到直线的距离． 2．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），      (1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）． ①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点； ②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足； (2)线段______的长就是点到直线的距离； (3)比较大小：______（填“”“”或“”） 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握． （1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答； （2）根据点到直线的距离的定义即可得； （3）根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求； ②如图所示，直线即为所求；    （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：． 【题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别】 例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图，下列对和的说法正确的是（　　） A．和同位角 B．和是内错角 C．和是同旁内角 D．和邻补角 【答案】C 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角、邻补角，根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义进行判断即可． 【详解】解：和是直线、被直线所截的同旁内角， 因此选项C符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）下列图形中，与是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同位角的识别；两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，在两条被截线的同侧，这样的两个叫同位角；根据同位角的含义进行判断即可． 【详解】解：由同位角的意义知，选项D中的与是同位角，其它选项中的与都不是同位角； 故选：D． 2．（22-23七年级下·山东济宁·期末）如图，下列说法正确的是（   ） ①和是同位角；②和是同位角；③和是同旁内角；④和是内错角    A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据同位角，内错角及同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，则和是同位角，和不是同位角，那么正确，错误； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为同旁内角，则和是同旁内角，那么正确； 两条直线，被第三条直线所截，在截线的两侧，且在被截两直线，之间的角，我们把这样的两个角称为内错角，则和不是内错角，那么错误； 综上，正确的为， 故选：C． 【点睛】本题考查同位角，内错角及同旁内角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【题型六 添加一个条件使两直线平行】 例题：（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，在下列给出的条件中，不可以判定的是 （填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】①∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ②∵， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； ③∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意； 故答案为：③． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山西临汾·期末）如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角板如图所示叠放在一起，使位于内部，三角板的位置保持不变，改变三角板的位置， 时，． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解此题的关键． 【详解】解：， 时，． 故答案为：30． 【题型七 根据平行线的性质求角度】 例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图所示，已知，直线分别交于E、F两点，平分，交于点G．若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，根据对顶角相等，可得，根据两直线平行、同旁内角互补，可得，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：116． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，直线经过点，，，则 ． 【答案】/75度 【分析】此题考查了平行线的性质，先根据平角得到的度数，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，，，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等得出，，再根据角平分线的定义得出的度数，结合，即可求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知直线，为两直线间一定点，，若点为平面内一动点，且满足，连接，，则的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平线的定义，根据题意可分两种情况进行讨论，一种是点F在下方，一种是点F在上方，先作平行线，设出来角度，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义可得到结果，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质，理解角平分线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：当点F在下方时， 过点F作，过点E作，如图1所示： 设， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当点F在上方时，过点E作，如图2所示： 设， ∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所示：的平分线与的平分线所在直线所夹的锐角为或， 故答案为：14°或37°． 【题型八 根据平行线判定与性质求角度】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，连接、交于点．连接并延长到点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，再找到的同位角，结合已知，通过等量代换，即可得出结论， （2）通过三角形外角定理，求得的同旁内角的度数，进而求得的度数， 本题考查了平行线的性质和判定，以及通过其求角度，解题的关键是：熟练应用平行线的性质和判定，结合已知条件，找到角度间的等量关系． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又， ， （内错角相等，两直线平行）， （2）解：， ． ， ， ， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键． （1）由证得，得到，结合可得，由此可证得； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，由平分求出 ，根据两直线平行，内错角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．    (1)猜想与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质与判定是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，结合可得，然后由“同旁内角互补，两直线平行”证明结论即可； （2）首先根据，可得，，结合，可得，易得，进而可得，然后结合，即可求得的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，点、、分别在线段、、上，点在线段上．若． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线之间的性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由两直线平行，可得内错角相等，从而可得同旁内角互补，即可证明； （2）由直线平行和角平分线的条件可得出相应的角度，在结合平角和平行等角度之间的关系即可得出答案． 【详解】（1）证明： （2） 平分 【过关检测卷】 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查学生对对顶角的认识，对顶角由两条相交的直线产生． 【详解】解：A：图中是一条折线，不满足对顶角条件．不符合题意． B：图中由两条直线产生和，满足对顶角条件．符合题意． C：图中是两个折线，不满足对顶角条件．不符合题意． D：图中两个角不是同一个顶点，不满足条件．不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，点在直线上，直线，，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义等知识点．根据平角可求，进而根据平行线的性质即可求出的度数．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（22-23七年级下·云南迪庆·期末）如图所示，直线，相交于点，于点，且，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 4．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）两张透明直角三角形纸片按下列选项中方式摆放，则与不一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握两个定义是解决问题的关键．根据余角或者补角的定义分别判断每个选项中的与是否一定相等即可作出选择． 【详解】解：A中与互为补角，且相等，故A不符合题意； B中与加上重合部分后的和相等，与两个角一定不相等，故B不符合题意； C中与互为余角，但是不一定相等，故C符合题意； D中与加上重合部分后的和相等，所以两个角一定相等，故D不符合题意； 故选：C． 5．（22-23七年级下·云南昆明·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等可求出的度数，根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知与互为邻补角，且．平分，射线使，当时，则的度数为（本题中所有角都是指大于且小于的角）（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了角度之间的和差关系，解题的关键是掌握角平分线的定义，邻补角的定义． 先根据题意得出，则，再进行分类讨论：①当再内部时，②当再外部时． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵与互为邻补角， ∴， ①当再内部时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； ②当再外部时， ∵， ∴， ∴； 综上：的度数为或， 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级上·吉林·期末）已知，则的补角等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了补角，关键是掌握补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 【详解】解：的补角为， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）已知与互为补角，并且的2倍比大，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，互为补角的和为得性质．根据题意列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：的2倍比大30°， ， 与互为补角， 即， ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交直线于点． 若，则的度数为 °． 【答案】36 【分析】本题考查求角度，涉及补角定义、平行线的性质等知识，由互补得到，再结合平行线的性质即可求出的度数，熟练掌握平行线的性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为． 故答案为：10． 11．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点．使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为 ．    【答案】/35度 【分析】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线、外角定理，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大．，，则，则，在中，，故，即可等量代换求解． 【详解】解：，， ， 的角平分线为， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 12．（23-24七年级上·河南南阳·期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中，，，，和的两个角顶点重合在一起．若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时， ．    【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案． 【详解】解：如图1，当绕点O顺时针旋转时，，此时．    如图2，当绕点O逆时针旋转时，，    ∵ ∴． 故答案为：或． 三、解答题 13．（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，对顶角相等，角平分线的定义，采用数形结合的思想，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，即可得到答案； （2）由平角定义得到，由对顶角的性质得到，而，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线相交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由对顶角相等可得，由垂直可得，即可得，再根据角平分线的定义可得，利用角的和差关系即可求解； （）由可得，解方程求出，得到，再利用邻补角的定义即可求解； 本题考查了对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的定义，一元一次方程的应用，邻补角的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 15．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处． (1)找一个格点，过点画的平行线；（标出点） (2)找一个格点，过点画的垂线，垂足为；（标出点，） (3)比较大小：线段 线段（用“＞”“＜”“＝”号连接），依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)＞，垂线段最短 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的判定画出对应的平行线即可得到答案； （2）根据垂直的定义画出对应的图形即可； （3）根据点到直线的距离垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）如图，点． （3）由垂线段最短可知，线段＞线段． 故答案为：＞；垂线段最短． 16．（23-24八年级上·广东清远·期末）如图，在中，，D是边上的一点，且于点E，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义； （1）先由，，得，则两直线平行，内错角相等，即可作答． （2）因为，所以，结合垂直定义，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，且， ∴ ∵ ∴ ∵由（1）知 ∴ 17．（22-23七年级上·四川眉山·期末）已知：，点在直线上，点在直线上． (1)如图，，． ①若，求的度数． ②试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）①根据两直线平行，内错角相等可得的度数；②说明，可证； （2）由平分，得，由平分，得，则，从而证明结论． 【详解】（1）①，， ， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， ，，，， ， （2），理由如下： 平分， ， 平分， ， ， 即， ， ， ． 18．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，三角尺的直角顶点P在直线上，其中，．    (1)如图①，若，求的度数． (2)如图②，若，平分，求的度数． (3)在（1）的条件下，将三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，旋转t秒后得到三角尺，如图③，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知角求解即可； （2）根据平行线的性质得到,由平分得到，即可得到答案； （3）根据t的取值范围分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， , 平分， ∴， ∴； （3）由得 当时，， 解得，（舍）； 当时，， 解得，； 当时，， 解得（舍）； 当时，， 解得，， 综上所述，或． 19．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先根据证明，得到，进而可证，根据同旁内角互补两直线平行可证； （2）①由可得，由可得，进而求出，结合可求出； ②由可求得，进而求出，，然后根据两直线平行同位角相等可求的度数． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）①∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 20．（22-23七年级上·广西贵港·期末）如图，直线，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为秒．    (1)用含的代数式表示：________，________； (2)当时，________． (3)当时，求出的值． 【答案】(1)， (2) (3)或. 【分析】（1）由题意不难得出，，继而得到； （2）由平行线的性质可得，再结合是的平分线，即可求解； （3）由平行线的性质可得，再由得到，从而求得，分两种情况讨论：当点在左侧时和当点在右侧时，结合已知条件，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：，， ，， ； 故答案为：，； （2）， ， 是的平分线， ， 当时，； 故答案为：70； （3）①当点在左侧时，    ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当点在右侧时，如图，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是对这些知识点的掌握和熟练应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$