专题01 整式的乘除期末复习题型【十二大题型+过关检测卷】-《期末复习题型》2023-2024学年七年级数学下册期末重点复习攻略（北师大版）

专题01 整式的乘除期末复习之十二大题型 目录 【题型一 幂的混合运算之选择题】 1 【题型二 幂的混合运算之解答题】 3 【题型三 科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【题型四 零指数、负整数指数幂的运算】 6 【题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7 【题型六 多项式乘多项式与图形面积】 9 【题型七 求完全平方式中的字母系数】 12 【题型八 整式的混合运算】 14 【题型九 整式的混合运算之化简求值】 17 【题型十 运用乘法公式简便运算】 19 【题型十一 平方差公式与几何图形】 20 【题型十二 完全平方公式与几何图形】 26 【过关检测卷】 31 【期末题型】 【题型一 幂的混合运算之选择题】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 幂的混合运算之解答题】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． (1) (2) 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 2．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 3．（22-23七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【题型三 科学记数法表示绝对值小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【题型四 零指数、负整数指数幂的运算】 例题：（22-23八年级下·四川乐山·期末）计算：． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）要使展开式中不含项和项，则 ． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【题型六 多项式乘多项式与图形面积】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)长方形地块的面积是多少？（用代数式表示） (2)绿化的面积是多少？（用代数式表示） (3)求出当，时的绿化面积． 【题型七 求完全平方式中的字母系数】 例题：（22-23八年级上·新疆阿克苏·期末）请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若代数式是一个完全平方式，则 ． 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）已知是完全平方式，则a的值为 ． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 【题型八 整式的混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【题型九 整式的混合运算之化简求值】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型十 运用乘法公式简便运算】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）用简便方法计算：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）（1）已知：，，求的值. （2）用简便方法计算： ①； ②. 【题型十一 平方差公式与几何图形】 例题：（23-24八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． (2)试利用这个公式计算：． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【题型十二 完全平方公式与几何图形】 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）． (1)图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示） (2)用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示，，三者之间的数量关系． (3)已知，求图②中阴影部分正方形的边长． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形是正方形， 连接， 通过探索， 小新发现四边形也是正方形， 如图3． 设．    (1)请用含a，b的代数式表示图3中阴影部分的面积． (2)若图3 中空白部分面积为 168，， 求的长． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若满足，求的值； (2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为， ①，长方形的面积为，求阴影部分的面积； ②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）空气的密度为，这个数用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江西上饶·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（    ） ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）若，则 ． 7．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）若，，则的值为 ． 8．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期末）边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则 ． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：； 12．（23-24八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值：其中，． 15．（23-24八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 16．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系： ； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ，求 的值． 17．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 18．（22-23七年级下·山东青岛·期末）（1）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．下列四种割拼方法，能够验证平方差公式是______．（填序号）    （2）利用公式计算： ①______． ②已知，，则______． ③． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 整式的乘除期末复习之十二大题型 目录 【题型一 幂的混合运算之选择题】 1 【题型二 幂的混合运算之解答题】 3 【题型三 科学记数法表示绝对值小于1的数】 4 【题型四 零指数、负整数指数幂的运算】 6 【题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 7 【题型六 多项式乘多项式与图形面积】 9 【题型七 求完全平方式中的字母系数】 12 【题型八 整式的混合运算】 14 【题型九 整式的混合运算之化简求值】 17 【题型十 运用乘法公式简便运算】 19 【题型十一 平方差公式与几何图形】 20 【题型十二 完全平方公式与几何图形】 26 【过关检测卷】 31 【期末题型】 【题型一 幂的混合运算之选择题】 例题：（23-24八年级上·安徽淮南·期末）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，同底数幂除法法则，幂的乘方法则将各项计算后进行判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，无法合并，则A不符合题意； B．，则B符合题意； C．，则C不符合题意； D．，则D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项不合题意； D．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意． 故选：A． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，积的乘方等，掌握相关运算法则是解题的关键． 利用同底数幂乘除法的法则，积的乘方法则，逐项判断即可． 【详解】A、，原式计算错误，故该项不符合题意； B、，原式计算错误，故该项不符合题意； C、，原式计算错误，故该项不符合题意； D、，计算正确，故该项符合题意； 故选：D． 【题型二 幂的混合运算之解答题】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的除法，再合并同类项，进行计算即可． （2）根据幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的除法，再合并同类项，进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）计算：． 【答案】0 【分析】先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后进行合并同类项即可，此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 2．（23-24七年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 3．（22-23七年级下·山东济南·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方进行计算即可求解； （2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 【题型三 科学记数法表示绝对值小于1的数】 例题：（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）生物学家发现一种病毒的长度为．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，正确的确定的值，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 2．（22-23八年级上·新疆伊犁·期末）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，这个数用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西玉林·期末）我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是0.000000051米，则数字0.000000051用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型四 零指数、负整数指数幂的运算】 例题：（22-23八年级下·四川乐山·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据整数指数幂、零指数幂以及负整数指数幂分别进行解答即可得出答案． 【详解】解： 【点睛】此题考查了实数的运算整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查负整数指数幂、零次幂及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算负整数指数幂、零指数幂及有理数的乘方运算，然后计算加减法即可． 【详解】解： 3．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、零次幂、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用乘方、零次幂、积的乘方化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（23-24八年级上·四川巴中·期末）若的乘积中不含项，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式．先根据多项式乘多项式的运算法则展开，再根据不含项，令系数为0，即可得出答案． 【详解】解： ∵的展开式中不含项， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）要使的展开式中不含项，则m的值为 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）要使展开式中不含项和项，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则，理解展开式中不含项和项是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，再根据积的展开式中不含项和项求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵展开式中不含项和项， ，且． ． ． 故答案为：11． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， ∵常数项为， ∴， ∴， ∵不含项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型六 多项式乘多项式与图形面积】 例题：（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)69平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时， （平方米）， 绿化部分的面积69平方米． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·重庆城口·期末）如图是一块长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，将长方形纸片的四个角剪去边长为a厘米的小正方形．． (1)试用含a，b的代数式表示长方形纸片剩余面积是多少平方厘米？ (2)若，请求出长方形纸片剩余面积． 【答案】(1)长方形纸片剩余面积为平方厘米 (2)长方形纸片剩余面积为700平方厘米 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题根据是正确识别图形，列出算式，熟练掌握多项式乘多项式法则． （1）由题意可知：长方形纸片剩余面积=长方形面积个边长为a的正方形的面积，列出算式，进行化简即可； （2）把代入（1）中所求的方形纸片剩余面积，进行计算即可． 【详解】（1）由题意得： （平方厘米）， 答：长方形纸片剩余面积为平方厘米； （2）把代入得： （平方厘米）， 答：当，长方形纸片剩余面积为700平方厘米． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某市有一块长为，宽为的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)长方形地块的面积是多少？（用代数式表示） (2)绿化的面积是多少？（用代数式表示） (3)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，代入求值，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）利用长宽表示长方行的面积即可； （2）运用长方形的面积正方形的面积解题即可； （3）代入，的值计算解题． 【详解】（1）解：长方形地块的面积； （2）绿化的面积是： ； （3）当，时， ． 【题型七 求完全平方式中的字母系数】 例题：（22-23八年级上·新疆阿克苏·期末）请在横线上补上一项，使多项式 成为完全平方式． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，解题关键是掌握 ． 【详解】解：， 或 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）若代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用：根据，结合，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是一个完全平方式 ∴ 则 解得或4 故答案为：或4 2．（23-24八年级上·重庆城口·期末）已知是完全平方式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式的应用能力，根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 ．（写出一个即可） 【答案】、、、． 【分析】本题主要考查了完全平方式．解决问题的关键是熟练掌握完全平方式特征，全面考虑，三个项分别充当中间项的情况，有三种情况，第四种情况；加上一个数，得到一个单独的单项式，也可以成为一个完全平方式．        多项式中，可把看作是中间项，或是看作第一项，根据完全平方公式可解答；当加上的一个单项式或时，同样成立． 【详解】根据完全平方公式定义得， 当是中间项时，那么，第三项为；组成的完全平方式为， ； 当是第一项时，那么，中间项为，组成的完全平方式为， ； 当多项式加上的一个单项式是或时，同样成立， ， ． 故答案为：、、、． 【题型八 整式的混合运算】 例题：（23-24八年级上·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，乘法公式，正确进行运算是解题的关键； （1）根据多项式乘多项式的法则展开，最后合并同类项即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键． （1）直接利用积的乘方同底数幂的乘法运算法则化简，再合并同类项得出答案； （2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 原式 ． 2．（23-24八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式的除法，然后合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：； ； （2） ． 3．（23-24八年级上·海南海口·期末）计算 (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，主要考查学生的计算能力和化简能力． （1）根据多项式乘多项式和积的乘方计算可以解答本题； （2）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题； （3）先据单项式乘多项式和完全平方公式化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时，原式． 【题型九 整式的混合运算之化简求值】 例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，运用乘法公式，合并同类项，即整式的混合运算进行化简，再代入求值即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 把代入得， 原式． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2．（23-24七年级上·江西抚州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，再将，代入即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查了代数式化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【题型十 运用乘法公式简便运算】 例题：（23-24八年级上·吉林·期末）用简便方法计算：． 【答案】1 【分析】 此题考查了利用完全平方公式进行简便计算；对原式进行变形，然后利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式的形式是解题关键． （1）将原式写成，利用平方差公式即可求解； （2）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）（1）已知：，，求的值. （2）用简便方法计算： ①； ②. 【答案】（1）30；（2）①10000；②33000 【分析】（1）由，相加减可得，，即可求解； （2）①利用完全平方公式进行计算即可； ②利用乘法分配律及平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，即：， ，即：， ∴； （2）① ； ② ． 【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，熟记平方差公式及完全平方公式是解决问题的关键． 【题型十一 平方差公式与几何图形】 例题：（23-24八年级上·山东济宁·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图3：______．（直接填相应的数学公式） 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，求的值． 解：， 又， ．即． (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求阴影部分面积并写出求解过程． 【答案】(1)， (2)28 (3)12 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：28； （3）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． (2)试利用这个公式计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式： （1）图甲阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图乙阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积，再根据两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （2）根据（1）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵图甲和图乙中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；；； （2）解： 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）图①、图②分别由两个长方形拼成． (1)图②中的阴影部分面积是：，那么图①中的阴影部分面积为 ； (2)观察图①和图②，请你写出代数式、、之间的等量关系式； (3)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法，从几何图形得到面积的代数式，进行解答． （1）根据图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差，即可； （2）由图①，图②可知，阴影部分面积相等，图②长方形阴影的面积为：，图①阴影部分的面积为：，即可； （3）由（2）得，，则，即可． 【详解】（1）∵图①阴影部分的面积为：两个正方形的面积差， ∴图①阴影部分的面积为：． 故答案为：． （2）由（1）得，图②长方形的阴影面积为：；图①阴影部分的面积为：， ∵图①，图②阴影部分面积相等， ∴代数式，，之间的数量关系式为：． （3）由（2）得，， ∴． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________； A．     B． C．          D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】(1)B (2)①；②． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用． （1）表示出两个图中阴影的面积可得答案； （2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可． 【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为， ∴可以验证的等式是：， 故答案为：B； （2）解：① ②原式． 【题型十二 完全平方公式与几何图形】 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）现有长为a，宽为b的长方形卡片（如图①）若干张，某同学用4张卡片拼出了一个大正方形（不重叠、无缝隙，如图②）． (1)图②中，大正方形的边长是 ，阴影部分正方形的边长是 ．（用含a，b的式子表示） (2)用两种方法表示图②中阴影部分正方形的面积（不化简），并用一个等式表示，，三者之间的数量关系． (3)已知，求图②中阴影部分正方形的边长． 【答案】(1)，； (2)； (3)阴影部分正方形的边长为6． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何解释．熟练掌握矩形、正方形的面积公式，是解决问题的关键． （1）观察图形，得出图②中大正方形的边长：，阴影部分正方形的边长： ； （2）方法一：根据“图②中大正方形的面积图①中长方形的面积”可得出阴影部分的面积；方法二：根据“图②中小正方形的面积”可得出阴影部分的面积；再根据两种方法得到的阴影部分的面积相等即可得出，，三者之间的数量关系； （3）将，代入（2）中得出的结论即可得到阴影部分正方形的边长，开平方时，结果取算术平方根． 【详解】（1）观察图形得：图②中大正方形的边长是，阴影部分正方形的边长是； 故答案为：；． （2）方法一：∵图②中大正方形的面积图①中长方形的面积， ∴； 方法二：∵图②中小正方形的面积， ∴， ∴； （3）∵，， ∴由（2）知，， ∵ ∴． ∴阴影部分正方形的边长为6． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·四川成都·期末）手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形是正方形， 连接， 通过探索， 小新发现四边形也是正方形， 如图3． 设．    (1)请用含a，b的代数式表示图3中阴影部分的面积． (2)若图3 中空白部分面积为 168，， 求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，正方形的性质． （1）根据阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积即可； （2）由空白部分面积，得到，根据，利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：阴影部分的面积等于四个小直角三角形的面积加上小正方形的面积， ； （2）解：∵空白部分面积为168， ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ． 请仿照上面的方法解决下面问题： (1)若满足，求的值； (2)正方形和正方形如图放置，分别延长，，交和于，两点，四边形和都是正方形．若正方形的边长为， ①，长方形的面积为，求阴影部分的面积； ②，，长方形的面积是，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）本题考查有关完全平方公式的运算，根据直接求解即可得到答案； （2）①本题考查完全平方公式在图形面积中的应用，根据题意得到，，根据面积及求解即可得到答案；②根据题意得到，，结合面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ； （2）解：①由题意知：，， ， 令， ，， ； ②由题意知：，， 令，， ，， ． 3．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 【答案】(1)7 (2)18 (3)236 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值； （1）根据完全平方公式得出，将代入，即可求解； （2）根据完全平方公式得出，将，代入，即可求解； （3）设，，则，，，由，得，所以，则，所以，即可求得，所以正方形和面积的和为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）， ， ， ， ， ， 的值是． （3）设，，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形和面积的和为， 故答案为：． 【过关检测卷】 一、单选题 1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算的正确结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）空气的密度为，这个数用科学记数法可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示，形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据表示方法解题即可； 【详解】解：这个数用科学记数法可表示为， 故选：C． 3．（23-24八年级上·江西上饶·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方、合并同类项、平方差公式、单项式的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 故选：A． 5．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）关于x的二次三项式，关于x的三次三项式，下列说法中正确的个数为（    ） ①当多项式乘积不含时，则； ②当M能被整除时，； ③； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． ①根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再由题意可得； ②由题意可知，则，即可求得； ③由题意可得，从而得到，分别求出c、d、e的值即可判定． 【详解】解：① 多项式乘积不含， ，则， 故①符合题意； ②， ， 即， 故②符合题意； ③， ， ， 解得：， ， 故③不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级上·甘肃庆阳·期末）若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是牢记平方差公式．运用平方差公式先将分解因式，再根据即可求解． 【详解】解： 故答案为：4． 7．（22-23七年级下·甘肃酒泉·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，代数式求值，由可得，进而得到，代入已知计算即可求解，掌握同底数幂除法和幂的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东德州·期末）若，则的值为 ． 【答案】1或/或1 【分析】本题考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分析即可求解． 【详解】若，则1的任意次方均为1，解得； 若且为偶数，则的偶次方均为1，解得，不合题意，舍去； 若且，则依据可得，解得； 综上，的值为1或， 故答案为：1或． 9．（23-24八年级上·福建厦门·期末）边长分别为和的两个正方形按如图的样式摆放，记图中阴影部分的面积为，没有阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、整式的加减的应用，分别表示出、，从而即可得出，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： ， ， ， 故选：． 10．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的规律，根据题意得到规律求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，如图所示， ， 第四条斜线所在位置数字规律是：是上一行之前第三斜线的数字之和， 即含项的系数为：， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数的混合运算，先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算加减即可．能正确根据其运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级上·四川南充·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则． （1）先计算乘方，乘法，再计算加减； （2）先运用完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再去去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算单项式除以单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可； （2）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值：其中，． 【答案】，2024 【分析】本题考查的是整式的化简求值，解题的关键是注意公式的使用，以及合并同类项． 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并，然后计算除法，最后把m，n的值代入计算即可． 【详解】 ， ， ， 当，时， 原式． 15．（23-24八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）先算乘方，再乘除，最后算加减，化简后再代入求值； （2）先算乘方，再乘除，最后算加减，化简后再代入求值； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ， 将，代入得：． （2） ， 当，时，原式． 16．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请你直接写出三个代数式，，之间的等量关系： ； 根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： （2）已知 ，求 的值； （3）已知 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）图2中利用正方形面积公式，四个图形的面积和，两种方法列出正确结果即可； （2）由可得，故，，即可得出结果； （3）设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【详解】解：（1）图2中大正方形的面积可以表示为：， 也可以表示为两个小正方形面积与两个长方形面积的和，即：， ∴； 故答案为：． （2）由（1）题结论可得， ，时， ， ； ； （3）设，， 可得， ， ， 又， 由，可得： ， ∴． 17．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 18．（22-23七年级下·山东青岛·期末）（1）如图，阴影部分是在一个边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．下列四种割拼方法，能够验证平方差公式是______．（填序号）    （2）利用公式计算： ①______． ②已知，，则______． ③． 【答案】（1）①②③④；（2）①；②；③ 【分析】（1）根据每个图所反映的拼接方法，用不同的方法表示阴影部分的面积后再进行判断即可； （2）①将转化为，再利用平方差公式计算即可； ②将转化为，再代入计算即可； ③将转化为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：（1）图①中，∵拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴，因此可以验证平方差公式； 图②中，∵拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为， ∴，因此可以验证平方差公式； 图③中，∵拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴，因此可以验证平方差公式； 图④中，∵拼接前阴影部分的面积为，拼接后是一个底为，高为的平行四边形，因此面积为， ∴，因此可以验证平方差公式； ∴能够验证平方差公式是①②③④， 故答案为：①②③④． （2）① ， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ③ ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景和平方差公式的灵活应用．用代数式表示出拼接前后的阴影部分面积、牢记平方差公式：是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$