2023-2024学年人教版七年级数学下册期末培优专题复习专题十一 平面直角坐标系考点分类解析

2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十一 平面直角坐标系考点分类解析 类型一、各象限点的坐标特点 ① 四个象限的坐标点的正负性： 第一象限：（＋，＋），第二象限：（－，＋），第三象限：（－，－），第四象限：（＋，－） ② 两坐标轴上的坐标点的特征： （1）在轴上：纵坐标的值为0 （2）在轴上：横坐标的值为0 例1-1．已知点在第一象限，则点在第______象限 针对练习1 1．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点的坐标为_____. 2．若点在y轴上，则点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .已经点在轴上，那么_____，则点的坐标为____． 类型二、点的坐标与点到坐标轴的距离直角的关系 坐标点P到两坐标轴的距离 （1）到轴的距离： （2）到轴的距离： 例2-1．已知点在第二象限，且它到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是_________. 针对练习2 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____. 2．若点在第二象限，且点P到x轴距离为4，则点P的坐标为______. 3．若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为______. 4．已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则______. 类型三、各象限角平分线上的点的坐标特征 （1）若P在第一、三象限的角平分线上，则 （2）若P在第二、四象限的角平分线上，则或 例3-1．已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，则点P的坐标为______； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值. 针对练习3 1．点在第二、四象限角平分线上，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 2．已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是( ) A.2 B.6 C.2或6 D.或 3．已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则______. 4．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为______. 类型四、连线平行坐标轴的点的坐标特征 （1）平行于轴的线段，每个点的纵坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 （2）平行于轴的线段，每个点的横坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 例4-1．在平面直角坐标系中，已知点，点. （1）若M在x轴上，求m的值； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，点M在点N的上方且，求n的值. 针对练习4 1．在平面直角坐标系中，已知点，. (1)若点B在x轴上，求点A的坐标； (2)若线段轴，求线段的长. 2．已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为. (1)若点M在y轴上，求a的值； (2)若轴，并且点N的坐标为. ①求点M的坐标及线段的长； ②P为y轴上一点，当的面积为20时，直接写出点P的坐标. 3．已知平面直角坐标系中有一点. (1)若点在第二象限，且到轴的距离为，请求出点的坐标； (2)若点，且轴，求线段的长度. 5．在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为( ) A. B. C.或 D.或 类型五、用坐标表示地理位置 通过建立适当的平面直角坐标系，刻画平面内某些点的位置的步骤： （1） 建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、Y轴的正方向。 （2） 根据具体问题确定单位长度。 在坐标系中画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称。 例5-1．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示.可是她忘记了在图中标出原点和x轴，y轴.只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），请你帮她画出坐标系，并写出其他各景点的坐标. 针对练习5 1．如图，请用两种不同的方式建立平面直角坐标系，并用坐标表示图形中各顶点的位置. 2．某市部分简图如图所示，一同学在简图中描述出了市场和超市的位置(图中小正方形的边长是：市场的坐标为、超市的坐标为、文化馆的坐标为. (1)依据上面信息，请你在简图上画出平面直角坐标系； (2)描述出其它地点的位置. 3．春天到了,七年级同学到人民公园春游,琪琪对着景区示意图(如图)(图中小正方形的边长是100m长);音乐台的坐标是.牡丹园的坐标是. （1）请你在景区示意图上画出琪琪建立的平面直角坐标系; （2）用琪琪建立的平面直角坐标系,描述公园内其他景点的坐标. 类型6、用方向和距离表示位置 1.描述方向时，通常以正南或正北为基准，用向东或向西偏离的角度来表示，写成北偏东（西）或南偏东（西）的形式。 2.用方向和距离表示平面内点的位置时，要和地图上的方向一致，即上北下南，左西右东。 例6-1．根据下列表述,能确定位置的是( ) A.东经,北纬 B.北京市二环路 C.东北 D.红星电影院排 针对练习6 1．如图，这是小明学校周边环境的示意图，以学校为参照点，儿童公园，图书市场分别距离学校500m、700m，若以（南偏西30°，500）来表示儿童公园的位置，则图书市场的位置应表示为( ) A.（700，南偏东45°） B.（南偏东45°，700） C.（700，北偏东45°） D.（北偏东45°，700） 3．如图,小明家相对于学校的位置描述最准确的是( ) 3．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为，目标B的位置为，目标C的位置为，则图中目标D的位置可记为__________. 类型七、用坐标表示平移 平面直角坐标系内点的平移变化 左右平移，横坐标左加右减，纵坐标不变 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减。 例7-1．如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系，试解答下列问题： (1)写出三个顶点的坐标. (2)画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形. (3)求的面积. 针对练习7 1．如图，在平面直角坐标内有三角形ABC，其中，，，在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点A.平移该胶片使点A落在点处. (1)若点B，点C都与点A做同样的平移运动，点B，C平移后的对应点分别为点，，写出点，的坐标，______，______，并在坐标平面内画出三角形. (2)求三角形的面积. 2．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为( ) A.（1，2） B.（2，9） C.（5，3） D.（–9，–4） 3．如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为 ________. 类型八、坐标系中图形面积的求法 坐标系中图形面积通过割补转化成规则形图形的面积的和差。 例8-1．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点处开始，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，后，它们分别到达点,. （1）求出点,的坐标； （2）求四边形的面积. 针对练习8 1．如图，把先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到. （1）写出，，的坐标； （2）求出的面积； （3）点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标. 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，.若三角形ABC中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，. （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为___________； （3）点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是3时，直接写出点Q的坐标. 3．在如图的平面直角坐标系中，点，，，. (1)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上找一点P，使的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标. 类型九、平面直角坐标系中的新定义问题 通过阅读理解新定义，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； 重点是阅读,难点是理解,关键是应用 例9-1．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“相伴点”. 例如：点的一对“相伴点”是点与. （1）点的一对“相伴点”的坐标是________与________； （2）若点的一对“相伴点”重合，则y的值为________； （3）若点B的一个“相伴点”的坐标为，求点B的坐标； （4）如图，直线l经过点且平行于x轴.若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形. 针对练习9 1．定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”.例如：如图，点，，的“最佳间距”是1. (1)理解：点，，的“最佳间距”是__________. (2)探究：已知点，，. ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为_________； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为_________； (3)迁移：当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标.(提示：把(2)②的研究结论迁移过来) 2．平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义： 若，则称点Q为点P的“可控变点”. 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点“为点. （1）点的“可控变点”坐标为________. （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，试求出“可控变点”Q的横坐标. 3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点，的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点，的“识别距离”为；若，则，的“识别距离”为. （1）已知点，B为y轴上的动点. ①若点A与点B的“识别距离”为3，写出满足条件的B点的坐标. ②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值. （2）已知点，，写出点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标. 类型十、点的坐标的规律探索 结合图形的平移、旋转，正确归纳类推出一般规律。 先找出各象限的点的坐标规律,然后研究周期数, 找出所求的 点在哪个象限 例10-1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点…则边长为8的正方形内部的整点的个数为（　　） A. 64个 B. 49个 C. 36个 D. 25个 针对练习10 1 .在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（　　） A. 504.5m2 B. 505m2 C. 505.5m2 D. 1010m2 2 .如图，一个粒子在第一象限和x,y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为（　　） A. （4，44） B. （5，44） C. （44，4） D. （44，5） 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1（1，0），A2（3，0），A3（6，0），A4（10，0），…，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，…，顶点B1，B2，B3，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点B5的坐标为 _____；点Bn的坐标为 _____． 4.如图，在平面直角坐标系中，从点P1（-1，0），P2（-1，-1），P3（1，-1），P4（1，1），P5（-2，1），P6（-2，-2），…依次扩展下去，则P2020的坐标为_____． 类型十一、平面直角坐标系性质的综合问题 综合运用平面直角坐标系中各象限点的坐标特点，平行坐标轴的点的坐标特点，到坐标轴距离与点的坐标的关系等知识，解决问题。 例11-1 .在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点，且直线轴，求线段的长． (3)若点在第四象限，且它到轴的距离比到轴的距离大4，求点的坐标． 针对练习11 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是. （1）若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标； （2）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在x轴的上方，求a的值及点A的坐标. 2．已知点P分别根据下列条件求出点P的坐标. （1）.点P在轴上； （2）.点P在轴上； （3）. （4）.点P到轴、轴的距离相等. 3 .已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标． (2)直线轴，且经过y轴上的点且，求点Q的坐标． 类型十二、平面直角坐标系中几何图形综合题 例12-1．如图,在平面直角坐标系中,点为轴负半轴上一点,点为轴正半轴上一点, ,,其中满足关系式: . 1. __________,__________,的面积为__________; 2.如图,若,点线段上一点,连接,延长交于点,当时,求证: 平分; 3.如图,若,点是点与点之间一动点,连接始终平分,当点在点与点之间运动时, 的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由.  针对练习12 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点的坐标及四边形的面积 (2)在y轴上是否存在一点P，连接，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由． (3)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与重合）给出下列结论：① 的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值． 2．已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段平移至线段，其中点A与点B对应. （1）如图①，若，连接，在坐标轴上存在一点D，使得，求点D的坐标； （2）如图②，若，点P为y轴上动点（点P不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明） 3．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示. （1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； （2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示.若（表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标. （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024年人教版七年级下期末培优专题复习 专题十一 平面直角坐标系考点分类解析（解析版） 类型一、各象限点的坐标特点 ① 四个象限的坐标点的正负性： 第一象限：（＋，＋），第二象限：（－，＋），第三象限：（－，－），第四象限：（＋，－） ② 两坐标轴上的坐标点的特征： （1）在轴上：纵坐标的值为0 （2）在轴上：横坐标的值为0 例1-1．已知点在第一象限，则点在第______象限 答案：三 解析：在第一象限，m>0， 所以点在第______象限在第三象限。 针对练习1 1．在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点的坐标为_____. 答案： 解析：∵点在y轴上， ∴点A的横坐标为0， ∴，即. 故点的坐标为：. 即：点B的坐标为. 2．若点在y轴上，则点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：点在y轴上， 所以m=0, 点坐标为（2，-3）， 所以Q（2，-3）在第四象限。 3 .已经点在轴上，那么_____，则点的坐标为____． 【答案】 ； ． 【分析】根据轴上点的横坐标等于零，可列方程，根据解方程即可求解． 【详解】∵在轴上， ∴，解得：， ∴， ∴点， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标系轴上点的坐标特点，解题的关键是利用轴上点的横坐标等于零得出方程． 类型二、点的坐标与点到坐标轴的距离直角的关系 坐标点P到两坐标轴的距离 （1）到轴的距离： （2）到轴的距离： 例2-1．已知点在第二象限，且它到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标是_________. 答案： 解析：点在第二象限，且它到x轴的距离为3，到y轴的距离为4 所以|m|=4 ,|n|=3,所以m=-4,n=3 所以点P的坐标是 针对练习2 1．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为_____. 答案： 解析：点到轴的距离为， 故答案为：. 2．若点在第二象限，且点P到x轴距离为4，则点P的坐标为______. 答案： 解析：点在第二象限，且点P到x轴距离为4， ， 解得， ， 点P的坐标为， 故答案为：. 3．若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为6，则的值为______. 答案： 解析：∵点在第一象限， ∴， ∴点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵点到轴的距离与到轴的距离之和为6， ∴， ∴， 故答案为：. 4．已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则______. 答案： 解析：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 根据题意得： ， 所以， 解得（舍去）或. 故答案为：. 类型三、各象限角平分线上的点的坐标特征 （1）若P在第一、三象限的角平分线上，则 （2）若P在第二、四象限的角平分线上，则或 例3-1．已知点，解答下列各题： （1）若点P在x轴上，则点P的坐标为______； （2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值. 答案：（1） （2）2023 解析：（1）； （2）点Р在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等 ， 解得：， 把代入. 针对练习3 1．点在第二、四象限角平分线上，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：在二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数， ∴，解得：， 则， 故选：C. 2．已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是( ) A.2 B.6 C.2或6 D.或 答案：C 解析：P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 故选：C. 3．已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则______. 答案： 解析：∵点在第二象限， ∴，， ∴， 根据题意得： ， 所以， 解得（舍去）或. 故答案为：. 4．在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为______. 答案：或 解析：点到两坐标轴的距离相等， 则①， 解得， 点P的坐标为， ②， 解得， 点P的坐标为， 综上：点P的坐标为或， 故答案为：或. 类型四、连线平行坐标轴的点的坐标特征 （1）平行于轴的线段，每个点的纵坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 （2）平行于轴的线段，每个点的横坐标的值相等。如在A，B中，线段AB∥轴，则 例4-1．在平面直角坐标系中，已知点，点. （1）若M在x轴上，求m的值； （2）若点M到x轴，y轴距离相等，求m的值； （3）若轴，点M在点N的上方且，求n的值. 答案：（1） （2）或 （3）4 解析：（1）点在x轴上， ，解得； （2）点到x轴，y轴距离相等， ，即或， 解得或. （3）轴，且，点，点， ，， 解得，. 针对练习4 1．在平面直角坐标系中，已知点，. (1)若点B在x轴上，求点A的坐标； (2)若线段轴，求线段的长. 答案：(1) (2)8 解析：（1）∵在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为； （2）∵点，，线段轴， ∴， ∴. 则点，， ∴ 2．已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为. (1)若点M在y轴上，求a的值； (2)若轴，并且点N的坐标为. ①求点M的坐标及线段的长； ②P为y轴上一点，当的面积为20时，直接写出点P的坐标. 答案：(1) (2)①点M的坐标为，；②或 解析：（1）∵点M在y轴上， ∴点M的横坐标为0，即， ∴； （2）①∵轴，并且点N的坐标为， ∴点M的纵坐标与点N的纵坐标相等，即， ∴， ∴点M的坐标为，线段； ②设点P的坐标为，则点P到直线的距离为， ∵的面积为20， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或. 3．已知平面直角坐标系中有一点. (1)若点在第二象限，且到轴的距离为，请求出点的坐标； (2)若点，且轴，求线段的长度. 答案：(1) (2)7 解析：（1）∵点在第二象限，且到轴的距离为， ∴，解得，将代入 ∴点的坐标为； （2）∵轴， ∴，点的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∴（，）， ∴线段的长度. 5．在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为( ) A. B. C.或 D.或 答案：D 解析：点，点，轴， ， ， ，解得：或8， 点A的坐标为或， 故选：D. 类型五、用坐标表示地理位置 通过建立适当的平面直角坐标系，刻画平面内某些点的位置的步骤： （1） 建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、Y轴的正方向。 （2） 根据具体问题确定单位长度。 在坐标系中画出这些点，写出各点的坐标和各个点的名称。 例5-1．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示.可是她忘记了在图中标出原点和x轴，y轴.只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），请你帮她画出坐标系，并写出其他各景点的坐标. 答案：图见解析，各点坐标为：A（0，4），B（﹣3，2），C（﹣2，﹣1），E（3，3），F（0，0） 解析：如图所示： A（0，4），B（﹣3，2），C（﹣2，﹣1），E（3，3），F（0，0）. 针对练习5 1．如图，请用两种不同的方式建立平面直角坐标系，并用坐标表示图形中各顶点的位置. 答案：见解析 解析：方法一：以点F为坐标原点，EF所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立如图l所示的平面直角坐标系. 由矩形的性质可得，， 所以该图形各顶点的坐标分别为，，，，，. 方法二：以点C为坐标原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系. 所以该图形各顶点的坐标分别为，，，，，.（答案不唯一） 2．某市部分简图如图所示，一同学在简图中描述出了市场和超市的位置(图中小正方形的边长是：市场的坐标为、超市的坐标为、文化馆的坐标为. (1)依据上面信息，请你在简图上画出平面直角坐标系； (2)描述出其它地点的位置. 答案：(1)图见解析； (2)火车站，宾馆，医院，体育场. 解析：(1)根据已知，画出平面直角坐标系如图所示： 3．春天到了,七年级同学到人民公园春游,琪琪对着景区示意图(如图)(图中小正方形的边长是100m长);音乐台的坐标是.牡丹园的坐标是. （1）请你在景区示意图上画出琪琪建立的平面直角坐标系; （2）用琪琪建立的平面直角坐标系,描述公园内其他景点的坐标. 答案：（1）见解析 （2）见解析 解析:（1） （2）湖心亭 西门 南门 游乐园 中心广场 东门 望春亭 类型6、用方向和距离表示位置 1.描述方向时，通常以正南或正北为基准，用向东或向西偏离的角度来表示，写成北偏东（西）或南偏东（西）的形式。 2.用方向和距离表示平面内点的位置时，要和地图上的方向一致，即上北下南，左西右东。 例6-1．根据下列表述,能确定位置的是( ) A.东经,北纬 B.北京市二环路 C.东北 D.红星电影院排 答案：A 解析:A.东经,北纬,位置很明确,能确定位置,故本选项正确; B.北京市四环路,具体位置不能确定,故本选项错误; C.北偏东,具体位置不能确定,故本选项错误; D.红星电影院2排,具体位置不能确定,故本选项错误. 故选:A. 针对练习6 1．如图，这是小明学校周边环境的示意图，以学校为参照点，儿童公园，图书市场分别距离学校500m、700m，若以（南偏西30°，500）来表示儿童公园的位置，则图书市场的位置应表示为( ) A.（700，南偏东45°） B.（南偏东45°，700） C.（700，北偏东45°） D.（北偏东45°，700） 答案：D 解析：由于儿童公园的位置表示为(南偏西，500)，结合图形可知图书市场的位置表示为(北偏东，700)， 故选：D. 3．如图,小明家相对于学校的位置描述最准确的是( ) A.距离学校1 200米处 B.北偏东65°方向上的1 200米处 C.南偏西65方向上的1 200米处 D.南偏西25°方向上的1 200米处 答案：C 解析：根据“方向角+距离”确定位置,可知小明家在学校的南偏西65°方向上的1 200米处. 3．某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A的位置为，目标B的位置为，目标C的位置为，则图中目标D的位置可记为__________. 答案： 解析：由题意可知点D的位置可记为. 类型七、用坐标表示平移 平面直角坐标系内点的平移变化 左右平移，横坐标左加右减，纵坐标不变 上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减。 例7-1．如图，在单位正方形网格中，建立了平面直角坐标系，试解答下列问题： (1)写出三个顶点的坐标. (2)画出向右平移6个单位，再向下平移2个单位后的图形. (3)求的面积. 答案：(1) (2)画图见解析 (3) 解析：（1）根据坐标系可得 （2）如图： （3）的面积=. 针对练习7 1．如图，在平面直角坐标内有三角形ABC，其中，，，在坐标平面内放置一透明胶片，并在胶片上描画出点A.平移该胶片使点A落在点处. (1)若点B，点C都与点A做同样的平移运动，点B，C平移后的对应点分别为点，，写出点，的坐标，______，______，并在坐标平面内画出三角形. (2)求三角形的面积. 答案：(1)，，图见解析； (2)4； 解析：(1)，；三角形如图所示， 故答案为：，； (2). 2．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为( ) A.（1，2） B.（2，9） C.（5，3） D.（–9，–4） 答案：A 解析：∵线段CD是由线段AB平移得到的， 而点A(−1，4)的对应点为C(4，7)， ∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3， 则点B(−4，−1)的对应点D的坐标为(1，2). 故选：A. 3．如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：A 解析：由点A，B的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，知线段AB向右平移了4个单位长度，向上平移了3个单位长度，，. 4．如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形ABDC的面积为15，则点C的坐标为 ________. 答案： 解析：把沿x轴向右平移到， 四边形是平行四边形， ，A和C的纵坐标相同， 四边形的面积为15，点A的坐标为， ， ， ， 故答案为：. 类型八、坐标系中图形面积的求法 坐标系中图形面积通过割补转化成规则形图形的面积的和差。 例8-1．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，小虫甲从点处开始，以每秒3个单位长度的速度沿y轴向下爬行，同时小虫乙从点处开始，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左爬行，后，它们分别到达点,. （1）求出点,的坐标； （2）求四边形的面积. 答案：（1）， （2） 解析：（1）由题意知，，， ，； （2）由题意知， ， 四边形的面积为. 针对练习8 1．如图，把先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到. （1）写出，，的坐标； （2）求出的面积； （3）点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标. （1）答案：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 解析：（1）由题图可知，点A，B，C的坐标分别为，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为. （2）答案：6 解析：. （3）答案：点P的坐标为或 解析：设点P的坐标为. 因为，点P到BC的距离为， 且， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或. 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，.若三角形ABC中任意一点，平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，. （1）在图中画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为___________； （3）点Q为y轴上一动点，当三角形的面积是3时，直接写出点Q的坐标. 答案：（1）见详解 （2）7 （3）或 解析：（1）三角形ABC中任意一点，经平移后对应点 三角形向左平移1单位、向上平移3单位 据此平移方式作图如下： 即为所求； （2）的面积； （3）设点Q的坐标为，则， 三角形的面积为， 解得：或5， 点Q坐标为或. 3．在如图的平面直角坐标系中，点，，，. (1)求四边形ABCD的面积； (2)在y轴上找一点P，使的面积等于四边形ABCD面积的一半，求点P的坐标. 答案：(1) (2)点P的坐标为或 解析：(1)如图，过C，D两点分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则 . (2)设的AB边上高为h， 则由， 得，解得. 又因为点P在y轴上， 所以点P的坐标为或. 类型九、平面直角坐标系中的新定义问题 通过阅读理解新定义，模拟提供材料中所述的过程方法，去解决类似的相关问题； 重点是阅读,难点是理解,关键是应用 例9-1．对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“相伴点”. 例如：点的一对“相伴点”是点与. （1）点的一对“相伴点”的坐标是________与________； （2）若点的一对“相伴点”重合，则y的值为________； （3）若点B的一个“相伴点”的坐标为，求点B的坐标； （4）如图，直线l经过点且平行于x轴.若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形. 答案：（1）， （2）-4 （3）或 （4）图形见解析 解析：（1）， ，， 点的一对“相伴点”的坐标是与， 故答案为：，； （2）点， ，， 点的一对“相伴点”的坐标是和， 点的一对“相伴点”重合， ， ， 故答案为：-4； （3）设点， 点B的一个“相伴点”的坐标为， 或， 或， 或； （4）设点， ，， 点C的一对“相伴点”的坐标是与， 当点C的一个“相伴点”的坐标是， 点M在直线上， 当点C的一个“相伴点”的坐标是， 点N在直线上， 即点M，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示， 针对练习9 1．定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”.例如：如图，点，，的“最佳间距”是1. (1)理解：点，，的“最佳间距”是__________. (2)探究：已知点，，. ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为_________； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为_________； (3)迁移：当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标.(提示：把(2)②的研究结论迁移过来) 答案：(1)2 (2)① ②3 (3)点P的坐标是或 解析：(1)因为点，，， 所以，，轴，轴，所以. 因为垂线段最短，所以， 所以点，，的“最佳间距”是2. 故答案为2. (2)①因为点，，， 所以，，所以. 因为点O，A，B的“最佳间距”是1， 所以，所以. 故答案为. ②当时，点O，A，B的“最佳间距”是； 当或时，，点O，A，B的“最佳间距”是， 所以点O，A，B的“最佳间距”的最大值为3.故答案为3. (3)同(2)②可知，当时，点，，的“最佳间距”取到最大值. 因为，，所以或. 当时，，则；当时，，则. 综上所述，点P的坐标是或. 2．平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义： 若，则称点Q为点P的“可控变点”. 例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点“为点. （1）点的“可控变点”坐标为________. （2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，试求出“可控变点”Q的横坐标. 答案：解：（1）根据“可控变点”的定义可知. （2）当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，“可控变点”Q的横坐标为或3. 解析： 3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点，的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点，的“识别距离”为；若，则，的“识别距离”为. （1）已知点，B为y轴上的动点. ①若点A与点B的“识别距离”为3，写出满足条件的B点的坐标. ②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值. （2）已知点，，写出点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标. 答案：（1）①为y轴上的一个动点， 设点B的坐标为. 点A与点B的“识别距离”为3，， ，，解得或， 点B的坐标是或. ②设点B的坐标为，且， 若，则点A与点B的“识别距离”为； 若，则点A与点B的“识别距离”为， 点A与点B的“识别距离”的最小值为2. （2），， ①当时，点C与点D的“识别距离”为， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， ；当时，， 解得，，. 的最小值为， 此时，，. ②当时，点C与点D的“识别距离”为， 当时，，解得，； 当时，，解得， ；当时，， 解得. 或，. 综上所述，点C与点D的“识别距离”的最小值为，相应的C点坐标为. 类型十、点的坐标的规律探索 结合图形的平移、旋转，正确归纳类推出一般规律。 先找出各象限的点的坐标规律,然后研究周期数, 找出所求的 点在哪个象限 例10-1．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点…则边长为8的正方形内部的整点的个数为（　　） A. 64个 B. 49个 C. 36个 D. 25个 【答案】B 针对练习10 1 .在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第n次移动到An，则△OA3A2020的面积是（　　） A. 504.5m2 B. 505m2 C. 505.5m2 D. 1010m2 【答案】B 【解析】由OA4n=2n知OA2020=2×505=1010，据此利用三角形的面积公式计算可得． 解：由题意知OA4n=2n, ∵2020÷4=505， ∴OA2020=2×505=1010， 则△OA3A2020的面积是×1×1010=505m2， 故选：B． 2 .如图，一个粒子在第一象限和x,y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒运动一个单位长度，那么2020秒时，这个粒子所处位置为（　　） A. （4，44） B. （5，44） C. （44，4） D. （44，5） 【答案】A 【解析】该题显然是数列问题．设粒子运动到A1，A2，…An时所用的时间分别为a1，a2，…an，则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20，…，由an-an-1=2n,则a2-a1=2×2，a3-a2=2×3，a4-a3=2×4，…，an-an-1=2n,以上相加得到an-a1的值，进而求得an来解． 解：由题意， 设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的间分别为a1，a2，…，an， 则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20，…，an-an-1=2n, a2-a1=2×2， a3-a2=2×3， a4-a3=2×4， …， an-an-1=2n, 相加得： an-a1=2（2+3+4+…+n）=n2+n-2， ∴an=n（n+1）． ∵44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A44（44，44）； 又由运动规律知：A1，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故达到A44（44，44）时向左运动40秒到达点（4，44）， 即运动了2020秒．所求点应为（4，44）． 故选：A． 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1（1，0），A2（3，0），A3（6，0），A4（10，0），…，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，…，顶点B1，B2，B3，…都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点B5的坐标为 _____；点Bn的坐标为 _____． 【答案】(1)（18，3）;(2); 【解析】利用图形分别得出B点横坐标B1，B2，B3，…的横坐标分别为：，，，…，即可得出点B5的横坐标为：，点Bn的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案． 解：分别过点B1，B2，B3，作B1D⊥x轴，B2E⊥x轴，B3F⊥x轴于点D，E，F， ∵A1（1，0），∴A1A2=3-1=2，A1D，=1，OD=2，B1D=A1D，=1， 可得出B1（2，1）， ∵A2（3，0），∴A3A2=6-3=3，EB2=，B2E=EA2=，OE=6-=， 可得B2（，）， 同理可得出：B3（8，2），B4（，），…， ∵B1，B2，B3，…的横坐标分别为：，，，…，∴点B5的横坐标为：， 点Bn的横坐标为：， ∵B1，B2，B3，…的纵坐标分别为：1，，，，…，∴点B5的纵坐标为：=3， 点Bn的纵坐标为：， ∴点B5的坐标为（18，3）；点Bn的坐标为：． 故答案为：（18，3），． 4.如图，在平面直角坐标系中，从点P1（-1，0），P2（-1，-1），P3（1，-1），P4（1，1），P5（-2，1），P6（-2，-2），…依次扩展下去，则P2020的坐标为_____． 【答案】（505，505） 【解析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2020在第一象限，且横、纵坐标=2020÷4，再根据第一象限点的规律即可得出结论． 解：由规律可得，2020÷4=505， ∴点P2020在第一象限， ∵点P4（1，1），点P8（2，2），点P12（3，3）， ∴点P2020（505，505）， 故答案为：（505，505）． 类型十一、平面直角坐标系性质的综合问题 综合运用平面直角坐标系中各象限点的坐标特点，平行坐标轴的点的坐标特点，到坐标轴距离与点的坐标的关系等知识，解决问题。 例11-1 .在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点，且直线轴，求线段的长． (3)若点在第四象限，且它到轴的距离比到轴的距离大4，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）根据平行y轴的横坐标相等求解； （3）根据点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，根据点与x轴与y轴的关系，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：∵点，且直线轴， ∴， 解得． ∴， ∴； （3）解：点在第四象限，它到轴的距离比到轴的距离大4，得 ， 解得，，， ∴． 【点睛】本题考查了点的坐标，坐标轴上的点的特征，利用了点到坐标轴的距离：点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离． 针对练习11 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标是. （1）若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标； （2）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在x轴的上方，求a的值及点A的坐标. 答案：解：（1），A的坐标是 （2），A的坐标是 或，A的坐标是 解析： 2．已知点P分别根据下列条件求出点P的坐标. （1）.点P在轴上； （2）.点P在轴上； （3）. （4）.点P到轴、轴的距离相等. 答案：（1）. （2）. （3）. （4）. 3 .已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标． (2)直线轴，且经过y轴上的点且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由点在y轴上，可知P点的横坐标为0，可得，据此可得a的值，进而得出点P的坐标； （2）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，据此可得a的值，再根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ． ， ， ∴点的坐标为； （2）解：∵直线轴，且经过y轴上的点， ， ， ． ∴点的坐标为． ∵， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特点，分别考查了坐标轴上点的坐标特点、平行于坐标轴的直线上的点的坐标的特点，熟练掌握和运用点的坐标特点是解决本题的关键． 类型十二、平面直角坐标系中几何图形综合题 例12-1．如图,在平面直角坐标系中,点为轴负半轴上一点,点为轴正半轴上一点, ,,其中满足关系式: . 1. __________,__________,的面积为__________; 2.如图,若,点线段上一点,连接,延长交于点,当时,求证: 平分; 3.如图,若,点是点与点之间一动点,连接始终平分,当点在点与点之间运动时, 的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由.  答案：1.-3; -4; 6; 2.证明:∵ ∴ 又∵, ∴ 又∵ ∴ ∴平分 3. 的值是定值, 理由如下: ∵ ∴ ∴ 又∵平分 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴ 又∵, ∴ ∴ ∴ ∴ 针对练习12 1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，现同时将点分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点的对应点，连接． (1)求点的坐标及四边形的面积 (2)在y轴上是否存在一点P，连接，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由． (3)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与重合）给出下列结论：① 的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值． 答案：解：（1）， （2）设点P的坐标为，则 ,即 或 （3）正确的结论是：①.证明如下： 证明：过点P作, 点点, , 即 . 2．已知点A在平面直角坐标系中第一象限内，将线段平移至线段，其中点A与点B对应. （1）如图①，若，连接，在坐标轴上存在一点D，使得，求点D的坐标； （2）如图②，若，点P为y轴上动点（点P不与原点重合），请直接写出与之间的数量关系（不用证明） 答案：（1）平移到 即向右平移2个单位，向下平移3个单位， 点平移到点， 连接 ，当点D在x轴上时， 点D的坐标为或； 当点D在y轴上时， 点D的坐标为或 点D的坐标为或或或 （2）延长交y轴于E点，利用及求解， 分类讨论如下， ①当P在y轴的正半轴上时： ②当P在y轴的负半轴上时： 若P在E点上方（含与E点重合）， 若P在E点下方， 与的数量关系是或或 3．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示. （1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标； （2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示.若（表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标. （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）； （2），； （3）存在点P，其坐标为或. 解析：（1）平移后的对应点为， 点B向左平移了5个单位长度，向上平移了4个单位长度， A点平移后的对应点； （2）设D点纵坐标为y， ∵点C在y轴上，点D在第二象限， 线段AB向左平移3个单位长度，向上平移个单位长度， ，， 连接OD， 则， 即， 解得：， ，； （3）设点， ， ， ， ， 或， 存在点P，其坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$