8.4.2 较复杂的一元一次不等式组及其特殊解-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 2 课时　 较复杂的一元一次不等式组及其特殊解 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 解不等式组 1. 不等式组 2x-3<x +3 2 , 1+x≥ 1 3 x+2 ì î í ï ïï ï ïï 的解集为　 　 　 　 　 　 。 知识点二　 求不等式组的特殊解 2. (必考题)不等式组 3-2x 3 >-6 -x 3 , x-1 5 ≥0. 2 ì î í ï ïï ï ïï 的整数解有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 3. 不等式组 x-4 2 +3>x, 1-3(x-1)≤6-x ì î í ï ï ïï 的负整数解是 (　 　 ) A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 知识点三　 一元一次不等式组的应用 4. 一幢学生宿舍楼有一些空宿舍,现有一批学生要入住,若每间住 5 人,则有 25 人无 法入住;若每间住 10 人,则有 1 间房不空也不满。 求空宿舍的间数和这批学生的 人数。 【随堂小测】 1. (易错题)若关于 x 的不等式组 4(x-1) >3x-1, 5x>3x+2a{ 的解集是 x>3,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a>3 B. a<3 C. a≥3 D. a≤3 2. 不等式组 x+x +15 5 >1+ x 5 , x-1 3 +x-6 6 <2 +x 6 ì î í ï ïï ï ïï 的最小整数解是 (　 　 ) A. 5 B. 0 C. -1 D. -2 75 3. 若不等式组 x<1, x≥m-1{ 恰有两个整数解,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. -1≤m<0 B. -1<m≤0 C. -1≤m≤0 D. -1<m<0 4. (核心素养·运算能力)对于任意实数 m,n,定义一种新运算 m※n=mn-m-n+3,等 式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:2※6 = 2×6-2-6+3 = 7,请根据上述定义 解决问题:若 a<4※x<8,且解集中有 2 个整数解,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. -1<a≤2 B. -1≤a<2 C. -4≤a<-1 D. -4<a≤-1 5. 不等式组 2x+3>3x, x+3 3 -x-1 6 ≥1 ì î í ï ï ïï 的整数解的和为 。 6. 已知关于 x,y 的方程组 x-y= 2k, x+3y= 1-5k{ 的解满足不等式-1≤x+y<5,则实数 k 的取值 范围为　 　 　 　 。 7. (核心素养·模型观念)某中学为打造“书香校园”,计划在校内组建中、小型两类图 书角共 30 个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本,人文类书籍 50 本,组 建一个小型图书角需科技类书籍 30 本,人文类书籍 60 本。 目前学校用于组建图书 角的科技类书籍不超过 1 900 本,人文类书籍不超过 1 620 本。 (1)符合题意的组建方案有几种? 请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是 860 元,小型图书角的费用是 570 元,试说明 (1)中哪种方案的费用最低,最低费用是多少元? 8. (核心素养·模型观念)复苏的“地摊经济”带来了市场新活力,小丹准备购进 A, B 两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售。 已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇 进价共 100 元,3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元。 (1)求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元; (2)小丹准备购进这两种风扇共 100 台,根据市场调查发现,A 型风扇销售情况比 B 型风扇好,小丹准备多购进 A 型风扇,但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍,购 进 A,B 两种风扇的总金额不超过 1 170 元。 根据以上信息,小丹共有哪些进货 方案? 哪种进货方案的费用最低? 最低费用为多少元? 85 6. a≥-2　 【解析】∵ 解不等式 x-1<0,得 x<1。 不等式 组 x-1<0, x<a+3{ 的解集是 x<1,∴ a+3≥1。 解得 a≥-2。 7.解:解不等式①,得 x≤2。 解不等式②,得 x>-2。 故原不等式组的解集为-2<x≤2, 在数轴上表示其解集如下: 8.解:(1)∵ 3x-y= 2a-5, x+2y= 3a+3,{ ∴ x=a-1, y=a+2。{ 由于该方程组的解都是正数, ∴ a-1>0, a+2>0。{ ∴ a>1。 (2)∵ a+b= 4,∴ a= 4-b。 ∴ b>0, 4-b>1。{ 解得 0<b<3。 ∴ z= 2(4-b) -3b= 8-5b。 ∵ 0<b<3,∴ -15<-5b<0。 ∴ -7<8-5b<8。 ∴ -7<z<8。 第 2 课时　 较复杂的一元一次不等式 组及其特殊解 【边学边练】 1. 3 2 ≤x<3　 【解析】解不等式 2x-3<x +3 2 ,得 x<3。 解 不等式 1+x≥ 1 3 x+2,得 x≥ 3 2 。 则不等式组的解集 为 3 2 ≤x<3。 2. C　 【解析】解不等式 3- 2x 3 >-6 -x 3 ,得 x<5。 解不等式 x-1 5 ≥0. 2,得 x≥2。 ∴ 不等式组的解集是 2≤x< 5。 ∴ 整数解是 2,3,4,共有 3 个。 故选 C。 3. C　 【解析】解不等式x -4 2 +3>x,得 x<2。 解不等式 1- 3(x-1)≤6-x,得 x≥-1。 ∴ 不等式组的解集是-1≤ x<2。 ∴ 不等式组的负整数解为-1。 故选 C。 4.解:设空宿舍有 x 间。 根据题意,得 5x+25>10(x-1), 5x+25<10x。{ 解得 5<x<7。 ∵ x 是整数, ∴ x= 6。 5×6+25 = 55(人)。 ∴ 空宿舍有 6 间,这批学生有 55 人。 【随堂小测】 1. D　 【解析】解不等式 4(x-1)>3x-1,得 x>3。 解不等 式 5x>3x+2a,得 x>a。 ∵ 不等式组的解集是 x>3,∴ a≤ 3。 故选 D。 2. C　 【解析】解不等式 x+x +15 5 >1+ x 5 ,得 x>-2。 解不 等式 x-1 3 +x-6 6 < 2 +x 6 ,得 x< 5。 ∴ 不等式组的解集是 -2<x< 5。 ∴ 该不等式组的最小整数解为 - 1。 故 选 C。 3. B　 【解析】∵ 不等式组 x<1, x≥m-1,{ ∴ 该不等式组的解 集为 m-1≤x<1。 ∵ 不等式组 x<1, x≥m-1{ 恰有两个整数 解,∴ -2<m-1≤-1。 ∴ -1<m≤0。 故选 B。 4. B　 【解析】根据题意,得 4※x = 4x- 4 -x+ 3 = 3x- 1。 ∴ a<3x-1<8。 解得a +1 3 <x<3。 ∵ 解集中有 2 个整数 解,∴ 0≤a +1 3 <1。 解得-1≤a<2。 故选 B。 5. 2　 【解析】解不等式 2x+3>3x,得 x<3。 解不等式x +3 3 - x-1 6 ≥1,得 x≥-1。 ∴ 原不等式组的解集是-1≤x<3。 ∴ 原不等式组的整数解是-1,0,1,2。 ∴ 整数解的和 为-1+0+1+2 = 2。 6. -3<k≤1　 【解析】将方程组中两个方程相加,得 2x+ 2y=1-3k,则 x+y= 1 -3k 2 。 ∵ -1≤x+y<5,∴ -1≤1 -3k 2 <5。 解得-3<k≤1。 7.解:(1)设组建中型图书角 x 个,则组建小型图书角 (30-x)个。 根据题意,得 80x+30(30-x)≤1 900, 50x+60(30-x)≤1 620。{ 解得 18≤x≤20。 又∵ x 为整数, ∴ x 可以取 18,19,20。 ∴ 共有 3 种组建方案, 方案 1:组建中型图书角 18 个,小型图书角 12 个; 方案 2:组建中型图书角 19 个,小型图书角 11 个; 方案 3:组建中型图书角 20 个,小型图书角 10 个。 (2)选择方案 1 的费用为 860×18+570×12=22 320(元); 选择方案 2 的费用为 860×19+570×11 = 22 610(元); 选择方案 3 的费用为 860×20+570×10 = 22 900(元)。 ∵ 22 320<22 610<22 900, ∴ 方案 1 的费用最低,最低费用是 22 320 元。 8.解:(1)设 A 型风扇进货的单价是 x 元,B 型风扇进货 的单价是 y 元。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 531 根据题意,得 2x+5y= 100, 3x+2y= 62。{ 解得 x= 10, y= 16。{ ∴ A 型风扇进货的单价是 10 元,B 型风扇进货的单 价是 16 元。 (2)设购进 A 型风扇 m 台,则购进 B 型风扇( 100 - m)台。 根据题意,得 m≤3(100-m), 10m+16(100-m)≤1 170。{ 解得 71 2 3 ≤m≤75。 又∵ m 为正整数, ∴ m 可以取 72,73,74,75。 ∴ 小丹共有 4 种进货方案, 方案 1:购进 A 型风扇 72 台,B 型风扇 28 台; 方案 2:购进 A 型风扇 73 台,B 型风扇 27 台; 方案 3:购进 A 型风扇 74 台,B 型风扇 26 台; 方案 4:购进 A 型风扇 75 台,B 型风扇 25 台。 ∵ B 型风扇进货的单价大于 A 型风扇进货的单价, ∴ 方案 4:购进 A 型风扇 75 台,B 型风扇 25 台的费用 最低,最低费用为 75×10+25×16 = 1 150(元)。 小专题 4　 求一元一次不等式(组)中待 定字母的值或取值范围 1. B　 【解析】(k+3)x | k | -2 +5<k-4 是关于 x 的一元一次 不等式,∴ k+3≠0 且 | k | -2 = 1。 解得 k = 3。 则不等 式为 6x+5<3-4。 解得 x<-1。 故选 B。 2. 4　 【解析】∵ 1 2 (m+4)x |m | -3 +6>0 是关于 x 的一元一 次不等式,∴ m -3 = 1 且 1 2 (m+4)≠0。 解得 m= 4。 3. B　 【解析】由题意,得 a+1<0。 解得 a<-1。 故选 B。 4. 10　 【解析】移项,得 2x>2-m,则 x>2 -m 2 。 根据题意, 得 2-m 2 = -4。 解得 m= 10。 5. D　 【解析】将两个方程相加可得 3x+3y = a+2。 两边 都除以 3,得 x+y = a +2 3 。 根据题意,得a +2 3 ≥0。 解得 a≥-2。 故选 D。 6. D　 【解析】 x+2y= 4k,① 2x+y= 2k+1,②{ ① - ②,得 y- x = 2k- 1。 ∴ 2k-1<1,即 k<1。 故选 D。 7. D　 【解析】解不等式 -2x+3m 4 ≤2x,得 x≥3m 10 。 解不 等式 2x+7≤4(x+1),得 x≥ 3 2 。 ∵ 不等式组的解集 为 x≥ 3 2 ,∴ 3m 10 ≤ 3 2 。 解得 m≤5。 解方程 3y- 2 = 2m-(5-3y) 2 ,得 y= 2m -1 3 。 ∵ 方程的解为非负整数, ∴ 符合 m≤5 的 m 的值为 2 和 5,则符合条件的所有 整数 m 的积为 10。 故选 D。 8. m≤1 或 m> 3 2 　 【解析】解关于 x 的方程x -1 2 -mx+1 3 = 1,得 x= 11 3-2m 。 根据题意,得 11 3-2m ≤11。 解得 m≤1 或 m> 3 2 。 9.解:(1) x+y= -7-m,① x-y= 1+3m,②{ ①+②,得 2x= 2m-6。 ∴ x=m-3。 ①-②,得 2y= -8-4m。 ∴ y= -2m-4。 ∵ x<0,y<0, ∴ m-3<0, -2m-4<0。{ 解得-2<m<3。 (2)移项,得(2m+1)x<2m+1。 ∵ 不等式(2m+1)x-2m<1 的解集为 x>1, ∴ 2m+1<0。 解得 m<- 1 2 。 又∵ -2<m<3,∴ m 的取值范围是-2<m<- 1 2 。 ∴ 整数 m 的值为-1。 10. A　 【解析】解不等式x -2 3 ≤m,得 x≤3m+2。 解不等 式 x-12>3-2x,得 x>5。 ∵ 不等式组无解,∴ 3m+2≤ 5。 解得 m≤1。 故选 A。 11. B　 【解析】解不等式 x-a< 1,得 x<a+ 1。 解不等式 x+b>2,得 x> 2 -b。 ∵ 不等式组的解集是 0 <x< 4, ∴ a+1 = 4,2-b= 0。 解得 a = 3,b = 2。 ∴ b-a = 2-3 = -1。 故选 B。 12. C 　 【解析】 -2x+1≥□,① 3x+12>0,②{ 解 不 等 式 ①, 得 x ≤ 1-□ 2 。 解不等式②,得 x>-4。 ∴ 不等式组的解集为 -4<x≤1 -□ 2 。 ∵ 不等式组 -2x+1≥□, 3x+12>0{ 的整数解有 2 个,∴ -2≤1 -□ 2 <-1。 ∴ 3<□≤5。 故选 C。 13. D　 【解析】解不等式组 x-a≥2,① 6-2x>0,②{ 解不等式①,得 x≥a+2。 解不等式②,得 x<3。 ∵ 原不等式组只有 3 个 整数解,∴ 这 3 个整数解分别为 2,1,0,-1<a+2≤0。 ∴ -3<a≤-2。 ∵ (a+2) x<1 的解集为 x> 1 a+2 ,∴ a+ 2<0。 ∴ a<-2。 ∴ 满足所有条件的 a 的取值范围是 -3<a<-2。 ∴ a 一个整数也取不到。 故选 D。 14.解:解方程2x +1 3 =a+4,得 x= 3a +11 2 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631