7.6 立方根-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

7. 6　 立方根 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 立方根的意义和性质 1. 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 64 的平方根是 8 B. -16 的立方根是-4 C. 只有非负数才有立方根 D. -3 的立方根是-3 3 2. (必考题)若一个数的立方根是-5,则这个数是 (　 　 ) A. -3 5 B. -125 C. ±3 5 D. ±125 知识点二　 求一个数的立方根 3. -8 的立方根是 (　 　 ) A. -2 B. 2 C. ±2 D. 不存在 4. 计算: 3 27 = 。 知识点三　 求值 5. 体积为 7 的正方体的棱长为 。 6. (教材改编题)求下列各式中 x 的值。 (1)27x3 +1 000 = 0; (2)8(x+1) 3 = -64。 【随堂小测】 1. 下列计算正确的是 (　 　 ) A. 3 1 8 = ± 1 2 B. 3 -8( ) 2 = 4 C. 3 -3( ) 3 = 3 D. - 3 -23 = -2 2. - 64的立方根与 36 的平方根的和为 (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 4 或-6 D. 4 或-8 3. (易混题)下列说法错误的是 (　 　 ) A. 3 a中的 a 可以是正数、负数、零 B. a中的 a 不可能是负数 C. 数 a 的平方根有两个,它们互为相反数 D. 数 a 的立方根只有一个 53 4. (易错题) 3 2x-1 + 3 5x+8 = 0,则 x 的值是 (　 　 ) A. -3 B. -1 C. 1 2 D. 无选项 5. (原创题)若 a 是( -4) 2 的平方根,则3 a等于 (　 　 ) A. -4 B. 3 4 C. 3 4或-3 4 D. 4 或-4 6. (易错题)已知 x 没有平方根,且 | x | = 216,则 x 的立方根是 。 7. 已知 2a+1 的平方根是±3,3a+2b-4 的立方根是-2,求 4a-5b+8 的立方根。 8. (核心素养·运算能力)如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼 接而成的,已知一个长方形纸板的面积为 162 平方厘米。 (提示:182 = 324) (1)求正方形纸板的边长; (2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为 343 立方厘米的正方体,求 剩余的正方形纸板的面积。 9. (核心素养·抽象能力)对于平面直角坐标系中的点 P(a,b),若点 P′的坐标为(a+ kb,ka+b)(其中 k 为常数,且 k≠0),则称点 P′为点 P 的“k 属派生点”。 例如:点 P (1,4)的“2 属派生点”为点 P′(1+2×4,2×1+4),即点 P′(9,6)。 (1)已知某正数的两个不同的平方根是 3a-14 和 a-2;b-11 的立方根是-2,求点 P (a,b)的“2 属派生点”P′的坐标; (2)若点 P 的“3 属派生点”P′的坐标为(7,5),请判断点 P 在第几象限,并说明 理由。 63 又∵ FC2 =BF2 +BC2 = 9 16 a2 +a2 = 25 16 a2 , ∴ FE2 +EC2 =FC2 。 ∴ △FEC 是直角三角形。 ∴ CE⊥EF。 8.解:∵ 在△ABC 中,AB= 3,AC= 4,BC= 5, ∴ AB2 +AC2 =BC2 ,即∠BAC= 90°。 又∵ PE⊥AB,PF⊥AC, ∴ 四边形 AEPF 是矩形。 ∴ EF=AP。 ∵ M 是 EF 的中点, ∴ AM= 1 2 EF= 1 2 AP。 当 AP⊥BC 时,AP 的值最小,即 AP 为 Rt△ABC 斜边 上的高, ∴ 1 2 ×AB×AC= 1 2 ×AP×BC。 ∴ AP= 12 5 。 ∴ AM 的最小值是 1 2 × 12 5 = 6 5 。 7. 5　 平方根 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 25 = 5,本说法正确;B. ± 1 = ± 1,本 说法正确;C. ± (-4) 2 = ± 16 = ± 4,本说法错误; D. 0 的平方根与算术平方根都是 0,本说法正确。 故 选 C。 2. A　 【解析】A. -22 = -4,负数没有平方根,符合题意; B. (-2)2 =4,正数有两个平方根,不符合题意;C. -(-2) = 2,正数有两个平方根,不符合题意;D. -2 = 2,正 数有两个平方根,不符合题意。 故选 A。 3. C 4. ±8 5. C　 【解析】∵ 2x-4 与 3x-1 是同一个数的两个不相 等的平方根,∴ 2x-4+(3x-1)= 0。 解得 x= 1。 ∴ 2x- 4 = 2-4 = -2。 ∴ 这个数是(-2) 2 = 4。 故选 C。 6.解:(1)49x2 = 25,x2 = 25 49 ,x= ± 5 7 。 (2)(x-2) 2 = 9,x-2 = ±3,x-2 = 3 或 x-2 = -3。 解得 x= 5 或-1。 【随堂小测】 1. D　 【解析】①因为负数没有平方根,所以原说法不正 确;②一个数的算术平方根不一定是正数,0 的算术 平方根是 0,所以原说法不正确;③当 a≥0 时,a2 的 算术平方根是 a。 当 a<0 时,a2 的算术平方根是-a, 所以原说法不正确;④一个数的算术平方根不可能是 负数,所以原说法正确。 不正确的有 3 个。 故选 D。 2. D　 【解析】∵ 一个数的平方根是 a,∴ 这个数是 a2。 ∴ 比这个数大 2 的数是 a2 +2。 故选 D。 3. D　 【解析】在-a,-a2 +1,-a2,-a2 -1 中,-a2 -1 是负 数,没有平方根。 故选 D。 4. C　 【解析】 (-4) 2 = 16 = 4,4 的平方根是±2。 故 选 C。 5. C　 【解析】∵ x+3 是 16 的一个平方根,∴ x+3 = 4 或 x+3 = -4。 解得 x= 1 或 x= -7。 故选 C。 6. ± 24 　 【解析】∵ a-3 +2 12-4a = b-8,∴ a-3≥ 0,12- 4a≥0。 解得 a = 3。 ∴ b- 8 = 0。 解得 b = 8。 ∴ ab= 24。 ∴ ab 的平方根是± 24。 7.解:∵ b 的平方根分别为 2a-4 与 1-a, ∴ (2a-4) +(1-a)= 0。 解得 a= 3。 ∴ b= (2×3-4) 2 = 4。 ∵ 直角三角形 ABC 的三边长为 a,b,c, ∴ c= 42 -32 = 7或 c= 42 +32 = 5。 8.解:(1) ±1　 (2) ±4 (3)① | a+1 | = 2,b2 = 25, ∴ a+1 = ±2,b= ±5,即 a= 1 或 a= -3,b= ±5。 ②由 a,b 同号可知, 当 a= 1,b= 5 时,a-b= 1-5 = -4; 当 a= -3,b= -5 时,a-b= -3-( -5)= 2。 ∴ a-b 的值为-4 或 2。 9.解:(1)∵ 3+2 3是 a+12 3的完美平方根, ∴ (3+2 3 ) 2 =a+12 3 ,即 9+12 3 +12 =a+12 3 。 ∴ a= 9+12 = 21。 (2)∵ m+n 5是 a+b 5的完美平方根, ∴ (m+n 5 ) 2 =a+b 5 。 ∴ m2 +5n2 +2mn× 5 =a+b 5 。 ∴ a=m2 +5n2 ,b= 2mn。 (3)∵ 17-12 2 = (3-2 2 ) 2 = (2 2 -3) 2 , ∴ 3-2 2或 2 2 -3 是 17-12 2的完美平方根。 7. 6　 立方根 【边学边练】 1. D　 【解析】A. 64 的平方根是±8,故本选项不符合题 意;B. -16 的立方根是 3 -16 ≠- 4,故本选项不符合 题意;C. 任何实数都有立方根,故本选项不符合题意; D. -3 的立方根是-3 3,故本选项符合题意。 故选 D。 2. B 　 【解析】 ∵ 一个数的立方根是 - 5,∴ 这个数是 (-5) 3 = -125。 故选 B。 3. A 4. 3　 5. 3 7 6.解:(1)27x3 +1 000 = 0,27x3 = -1 000, x3 = - 1 000 27 ,x= - 10 3 。 (2)8(x+1) 3 = -64,则(x+1) 3 = -8,故 x+1 = -2。 解得 x= -3。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 721 【随堂小测】 1. B 　 【解析 】 A. 3 1 8 = 1 2 , 选 项 不 符 合 题 意; B. 3 (-8) 2 = 3 64 = 4,选项符合题意;C. 3 (-3) 3 = -3,选项不符合题意;D. - 3 -23 = -(-2)= 2,选项不 符合题意。 故选 B。 2. D　 【解析】∵ - 64 = -8,∴ -8 的立方根是-2。 ∵ 36 的平方根是± 6,∴ - 2 + 6 = 4 或- 2 +( - 6) = - 8。 故 选 D。 3. C　 【解析】A. 3 a中的 a 可以是正数、负数、零,故选项 正确;B. a中的 a 不可能是负数,故选项正确;C. 如 果 a 小于 0,没有平方根,故选项错误;D. 数 a 的立方 根只有一个,故选项正确。 故选 C。 4. B 　 【解 析 】 3 2x-1 + 3 5x+8 = 0, 即 3 2x-1 = - 3 5x+8,故有 2x-1 = -5x-8。 解得 x= -1。 故选 B。 5. C 6. -6　 【解析】∵ | x | = 216,∴ x = ± 216。 又∵ x 没有平 方根,∴ x= -216。 ∴ x 的立方根是-6。 7.解:∵ 2a+1 的平方根是±3,3a+2b-4 的立方根是-2, ∴ 2a+1 = 9,3a+2b-4 = -8。 解得 a= 4,b= -8。 ∴ 4a-5b+8 = 4×4-5×( -8) +8 = 64。 ∴ 4a-5b+8 的立方根是 4。 8.解:(1)根据题意,得 162×2 = 18(厘米),即正方形 纸板的边长为 18 厘米。 (2)根据题意,得 3 343 = 7(厘米), 则裁剪纸板的面积为 7×7×6 = 294(平方厘米), 剩余纸板的面积为 324-294 = 30(平方厘米), 即剩余的正方形纸板的面积为 30 平方厘米。 9.解:(1)由题意,得(3a-14) +(a-2)= 0, ∴ a= 4。 ∵ b-11 的立方根是-2,∴ b-11 = -8。 ∴ b= 3。 ∴ 点 P(4,3)的“2 属派生点”P′的坐标为(4+2×3,2× 4+3),即点 P′(10,11)。 (2)点 P 在第一象限。 理由如下: 设点 P 的坐标为(x,y)。 根据题意,得 x+3y= 7, 3x+y= 5。{ 解得 x= 1, y= 2。{ ∴ 点 P 的坐标为(1,2)。 ∴ 点 P 在第一象限。 7. 7　 用计算器求平方根和立方根 【边学边练】 1. B　 【解析】∵ 7 ≈2. 646,∴ 与 7最接近的是 2. 6。 故 选 B。 2. 3　 【解析】由题图可得代数式为 x ÷ 2+ 1。 当 x = 16 时,原式= 16 ÷2+1 = 4÷2+1 = 2+1 = 3。 3. 1. 2　 【解析】∵ 3 1 728 = 12,∴ 3 1. 728 = 1. 2。 故屏 幕显示的结果为 1. 2。 【随堂小测】 1. B　 【解析】计算 8 的值,按键顺序为 　 8 = ,故 选项 B 符合题意。 故选 B。 2. B　 【解析】计算器按键转为算式( 4 ) 3 = 23 = 8。 故 选 B。 3. <　 4. <　 5. 278. 5 6. (1)0. 2　 20　 【解析】∵ (0. 2) 2 = 0. 04,∴ 0. 04 = 0. 2,即 x= 0. 2。 ∵ 202 = 400,∴ 400 = 20,即 y= 20。 (2)①0. 143 5　 ②14. 35　 【解析】根据题意,得被开 方数扩大或缩小 102n 倍,被开方数的算术平方根就 相应地扩大或缩小 10n 倍;或者说被开方数的小数点 向左或向右移动 2n 位,被开方数的算术平方根的小 数点就向左或向右移动 n 位。 ∵ 2. 06 ≈1. 435, ∴ 0. 0 206 ≈0. 143 5, 206 ≈14. 35。 (3)12. 60　 【解析】类比算术平方根中的变化规律可 得被开立方数扩大或缩小 103n 倍,被开立方数的立 方根就相应地扩大或缩小 10n 倍;或者说被开立方数 的小数点向左或向右移动 3n 位,被开立方数的立方 根的小数点就向左或向右移动 n 位。 ∵ 3 2 ≈1. 260, ∴ 3 2 000 ≈12. 60。 7.解:∵ 1> 1 2 > 1 3 >…> 1 19 > 1 20 ,即这组数从 1 开始逐 渐减小,因此,通过观察,先选择其中最大的五个数据 相加计算:1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 = 1+ 2 2 + 3 3 + 1 2 + 5 5 ≈ 1+0. 707 1+0. 577 4+0. 5+0. 447 2 = 3. 231 7>3,再选 择其中最大的四个数据相加计算:1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 = 1+ 2 2 + 3 3 + 1 2 ≈1+0. 707 1+0. 577 4+0. 5 = 2. 784 5<3, 所以至少要选 5 个数。 8.解:(1)3　 33　 333　 3 333 (2)根据题意,得根号内被开方数是 2n 个数字 1 和 n 个数字 2 的差,结果为 n 个数字 3。 (3)33 333　 用计算器计算可知结果正确。 7. 8　 实数 第 1 课时　 实数 【边学边练】 1. D　 【解析】A. 无限不循环小数是无理数,故本选项错 误,不符合题意;B. 1 的平方根是±1,故本选项错误, 不符合题意;C. 0 和正数有平方根,负数没有平方根, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 821