7.4 勾股定理的逆定理-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

7. 4　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 勾股定理的逆定理 1. (必考题)由下列各组线段围成的三角形中,是直角三角形的是 (　 　 ) A. 1,2,2 B. 2,3,4 C. 1, 2 , 3 D. 2, 2 , 3 知识点二　 勾股数组 2. 下列各组数为勾股数的是 (　 　 ) A. 3,4,5 B. 5,10,12 C. 0. 6,0. 8,1 D. 8,15,16 知识点三　 勾股定理的逆定理的实际应用 3. 如图,在一块三角形土地上,准备规划出阴影所示部分作为绿地,若规划图设计中 ∠ADC= 90°,AD= 8,CD= 6,AB= 26,BC= 24,则绿地的面积为　 　 　 　 。 4. 为加速城市更新步伐,绿地广场有一块三角形空地将进行绿化,如图,在△ABC 中, AB=AC,E 是 AC 上的一点,CE= 5,BC= 13,BE= 12。 (1)判断△ABE 的形状,并说明理由; (2)求线段 AB 的长。 【随堂小测】 1. 已知△ABC 的三边长分别为 9,40,41,则△ABC 的面积为 (　 　 ) A. 171 B. 180 C. 820 D. 不能确定 2. (原创题)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,且(a+c)(a-c)= b2,则 (　 　 ) A. ∠A 是直角 B. ∠B 是直角 C. ∠C 是直角 D. ∠A 是锐角 3. (易错题)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,下列条件中,不能判断 △ABC 是直角三角形的是 (　 　 ) A. ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C= 1 ∶ 2 ∶ 3 B. ∠A+∠B= ∠C C. a= 32,b= 42,c= 52 D. a2 -b2 = c2 13 4. 在△ABC 中,AB= 5,AC= 13,BC= 12,D 为 AC 的中点,则 BD= 　 　 　 　 。 5. 如图,在下列网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,O 都在格点上,则∠AOB 的度 数为 。 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,AC= 6,BC= 8,AB= 10,AD 是△ABC 的角平分线,CD= 。 7. (核心素养·几何直观)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 AB 上一点, 且 AF= 1 4 AB。 求证:CE⊥EF。 8. (核心素养·运算能力)如图,在△ABC 中,AB = 3,AC = 4,BC = 5,P 为边 BC 上一动 点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,M 为 EF 的中点,求 AM 的最小值。 23 8.解:(1)∵ 点 A(0,3),B(4,0), ∴ AO= 3,BO= 4。 ∴ AB= OB2 +OA2 = 42 +32 = 5。 根据题意可知在 x 轴上有点 C,使得 BA =BC,则有两 种情况, 若点 C 在点 B 的左侧,则点 C 的坐标为( -1,0); 若点 C 在点 B 的右侧,则点 C 的坐标为(9,0)。 ∴ 点 C 的坐标为(9,0)或( -1,0)。 (2)如图,连接 BD。 由题意知∠ABD= 90°。 在 Rt△ADB 和 Rt△ODB 中,根 据勾股定理,得 AD2 -AB2 = BD2 =OB2 +OD2 。 ∴ (3+OD) 2 -52 = 42 +OD2 。 解得 OD= 16 3 。 ∴ 点 D 的坐标为(0,- 16 3 )。 7. 4　 勾股定理的逆定理 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 12 +22 = 5≠22,故不能构成直角三角形, 不符合题意;B. 22 +32 = 13≠42,故不能构成直角三角 形,不符合题意;C. 12 +( 2) 2 = 3 =( 3) 2,故能构成直 角三角形,符合题意;D. ( 2 ) 2 +( 3 ) 2 = 5≠22,故不 能构成直角三角形,不符合题意。 故选 C。 2. A　 【解析】 A. 32 + 42 = 52,故是勾股数,符合题意; B. 52 +102 ≠122,故不是勾股数,不符合题意;C. 0. 6, 0. 8 不是正整数,故不是勾股数,不符合题意;D. 82 + 152 ≠162,故不是勾股数,不符合题意。 故选 A。 3. 96　 【解析】在 Rt△ADC 中,∠ADC= 90°,AD= 8,CD= 6,∴ AC2 = AD2 +CD2 = 82 + 62 = 100。 ∴ AC = 10。 在 △ABC 中,∵ AC2 +BC2 = 102 +242 = 676,AB2 = 262 = 676, ∴ AC2 +BC2 = AB2。 ∴ △ABC 为直角三角形,S阴影 = SRt△ABC-SRt△ACD = 1 2 ×10×24- 1 2 ×8×6 = 96。 4.解:(1)△ABE 是直角三角形。 理由如下: ∵ BC2 = 132 = 169,BE2 = 122 = 144,CE2 = 52 = 25, ∴ BE2 +CE2 =BC2 。 ∴ ∠BEC= 90°。 ∴ ∠BEA= 90°。 ∴ △ABE 是直角三角形。 (2)设 AB=AC= x,则 AE= x-5。 由(1)可知△ABE 是直角三角形, ∴ 122 +(x-5) 2 = x2 。 解得 x= 16. 9。 ∴ AB= 16. 9。 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ △ABC 的三边长分别为 9,40,41,92 + 402 = 412,∴ △ABC 是直角三角形,两直角边长是 9, 40。 ∴ △ABC 的面积为 1 2 ×9×40 = 180。 故选 B。 2. A　 【解析】∵ (a+c)(a-c)= b2,∴ a2 -c2 = b2。 ∴ a2 = b2 + c2。 ∴ △ABC 是 直 角 三 角 形, ∠A 是 直 角。 故 选 A。 3. C　 【解析】A. ∵ ∠A ∶ ∠B ∶ ∠C= 1 ∶ 2 ∶ 3,∠A+∠B+ ∠C= 180°,∴ ∠C = 90°。 ∴ △ABC 是直角三角形。 B. ∵ ∠A+∠B = ∠C,∠A+∠B+∠C = 180°,∴ ∠C = 90°。 ∴ △ABC 是直角三角形。 C. ∵ (32) 2 +(42) 2 ≠ (52) 2,∴ △ABC 不是直角三角形。 D. ∵ a2 -b2 = c2, ∴ a2 = b2 +c2。 ∴ △ABC 是直角三角形。 故选 C。 4. 6. 5　 【解析】∵ AB = 5,BC = 12,AC = 13,∴ AB2 +BC2 = 25+ 144 = 169, AC2 = 132 = 169,即 AB2 + BC2 = AC2。 ∴ △ABC 为以 AC 为斜边的直角三角形。 又∵ D 为 AC 的中点,即 BD 为斜边上的中线, ∴ BD= 1 2 AC= 6. 5。 5. 45°　 【解析】如图,连接 AB。 ∵ OA2 = 12 +32 = 10,AB2 = 12 +32 = 10,OB2 = 22 +42 = 20,10+10 = 20,∴ OA2 +AB2 = OB2。 ∴ △AOB 是 等 腰 直 角 三 角 形。 ∴ ∠AOB = 45°。 6. 3　 【解析】如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E。 ∵ AC= 6,BC= 8,AB = 10,即 AC2 +BC2 = AB2,∴ ∠ACB = 90°。 ∵ AD 是△ABC 的角平分线,AC⊥BC,DE⊥ AB,∴ DC= DE。 ∵ S△ADB = 1 2 DE·AB = 1 2 AC·BD = 1 2 AC·(BC-DE),∴ 1 2 ×DE× 10 = 1 2 × 6×(8-DE)。 解得 DE= 3。 ∴ CD=DE= 3。 7.证明:如图,连接 FC。 设正方形 ABCD 的边长为 a。 ∵ E 为 AD 的中点, ∴ AE=ED= 1 2 AD= 1 2 a。 ∵ AF= 1 4 AB= 1 4 a, ∴ BF=AB-AF=a- 1 4 a= 3 4 a。 ∴ FE2 =AE2 +AF2 = 1 4 a2 + 1 16 a2 = 5 16 a2 ,EC2 =DE2 +DC2 = 1 4 a2 +a2 = 5 4 a2 。 ∴ FE2 +EC2 = 5 16 a2 + 5 4 a2 = 25 16 a2 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 621 又∵ FC2 =BF2 +BC2 = 9 16 a2 +a2 = 25 16 a2 , ∴ FE2 +EC2 =FC2 。 ∴ △FEC 是直角三角形。 ∴ CE⊥EF。 8.解:∵ 在△ABC 中,AB= 3,AC= 4,BC= 5, ∴ AB2 +AC2 =BC2 ,即∠BAC= 90°。 又∵ PE⊥AB,PF⊥AC, ∴ 四边形 AEPF 是矩形。 ∴ EF=AP。 ∵ M 是 EF 的中点, ∴ AM= 1 2 EF= 1 2 AP。 当 AP⊥BC 时,AP 的值最小,即 AP 为 Rt△ABC 斜边 上的高, ∴ 1 2 ×AB×AC= 1 2 ×AP×BC。 ∴ AP= 12 5 。 ∴ AM 的最小值是 1 2 × 12 5 = 6 5 。 7. 5　 平方根 【边学边练】 1. C　 【解析】A. 25 = 5,本说法正确;B. ± 1 = ± 1,本 说法正确;C. ± (-4) 2 = ± 16 = ± 4,本说法错误; D. 0 的平方根与算术平方根都是 0,本说法正确。 故 选 C。 2. A　 【解析】A. -22 = -4,负数没有平方根,符合题意; B. (-2)2 =4,正数有两个平方根,不符合题意;C. -(-2) = 2,正数有两个平方根,不符合题意;D. -2 = 2,正 数有两个平方根,不符合题意。 故选 A。 3. C 4. ±8 5. C　 【解析】∵ 2x-4 与 3x-1 是同一个数的两个不相 等的平方根,∴ 2x-4+(3x-1)= 0。 解得 x= 1。 ∴ 2x- 4 = 2-4 = -2。 ∴ 这个数是(-2) 2 = 4。 故选 C。 6.解:(1)49x2 = 25,x2 = 25 49 ,x= ± 5 7 。 (2)(x-2) 2 = 9,x-2 = ±3,x-2 = 3 或 x-2 = -3。 解得 x= 5 或-1。 【随堂小测】 1. D　 【解析】①因为负数没有平方根,所以原说法不正 确;②一个数的算术平方根不一定是正数,0 的算术 平方根是 0,所以原说法不正确;③当 a≥0 时,a2 的 算术平方根是 a。 当 a<0 时,a2 的算术平方根是-a, 所以原说法不正确;④一个数的算术平方根不可能是 负数,所以原说法正确。 不正确的有 3 个。 故选 D。 2. D　 【解析】∵ 一个数的平方根是 a,∴ 这个数是 a2。 ∴ 比这个数大 2 的数是 a2 +2。 故选 D。 3. D　 【解析】在-a,-a2 +1,-a2,-a2 -1 中,-a2 -1 是负 数,没有平方根。 故选 D。 4. C　 【解析】 (-4) 2 = 16 = 4,4 的平方根是±2。 故 选 C。 5. C　 【解析】∵ x+3 是 16 的一个平方根,∴ x+3 = 4 或 x+3 = -4。 解得 x= 1 或 x= -7。 故选 C。 6. ± 24 　 【解析】∵ a-3 +2 12-4a = b-8,∴ a-3≥ 0,12- 4a≥0。 解得 a = 3。 ∴ b- 8 = 0。 解得 b = 8。 ∴ ab= 24。 ∴ ab 的平方根是± 24。 7.解:∵ b 的平方根分别为 2a-4 与 1-a, ∴ (2a-4) +(1-a)= 0。 解得 a= 3。 ∴ b= (2×3-4) 2 = 4。 ∵ 直角三角形 ABC 的三边长为 a,b,c, ∴ c= 42 -32 = 7或 c= 42 +32 = 5。 8.解:(1) ±1　 (2) ±4 (3)① | a+1 | = 2,b2 = 25, ∴ a+1 = ±2,b= ±5,即 a= 1 或 a= -3,b= ±5。 ②由 a,b 同号可知, 当 a= 1,b= 5 时,a-b= 1-5 = -4; 当 a= -3,b= -5 时,a-b= -3-( -5)= 2。 ∴ a-b 的值为-4 或 2。 9.解:(1)∵ 3+2 3是 a+12 3的完美平方根, ∴ (3+2 3 ) 2 =a+12 3 ,即 9+12 3 +12 =a+12 3 。 ∴ a= 9+12 = 21。 (2)∵ m+n 5是 a+b 5的完美平方根, ∴ (m+n 5 ) 2 =a+b 5 。 ∴ m2 +5n2 +2mn× 5 =a+b 5 。 ∴ a=m2 +5n2 ,b= 2mn。 (3)∵ 17-12 2 = (3-2 2 ) 2 = (2 2 -3) 2 , ∴ 3-2 2或 2 2 -3 是 17-12 2的完美平方根。 7. 6　 立方根 【边学边练】 1. D　 【解析】A. 64 的平方根是±8,故本选项不符合题 意;B. -16 的立方根是 3 -16 ≠- 4,故本选项不符合 题意;C. 任何实数都有立方根,故本选项不符合题意; D. -3 的立方根是-3 3,故本选项符合题意。 故选 D。 2. B 　 【解析】 ∵ 一个数的立方根是 - 5,∴ 这个数是 (-5) 3 = -125。 故选 B。 3. A 4. 3　 5. 3 7 6.解:(1)27x3 +1 000 = 0,27x3 = -1 000, x3 = - 1 000 27 ,x= - 10 3 。 (2)8(x+1) 3 = -64,则(x+1) 3 = -8,故 x+1 = -2。 解得 x= -3。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 721