7.1 算术平方根-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 7 章　 实数 7. 1　 算术平方根 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 算术平方根的意义 1. 有理数 14 的算术平方根是 (　 　 ) A. 7 B. 14 C. 14 D. - 14 2. 下列式子中,正确的是 (　 　 ) A. -5 = -5 B. - 3. 6 = -0. 6 C. 36 = 6 D. 36 = -6 知识点二　 算术平方根的性质 3. ( 13 ) 2 = 。 知识点三　 算术平方根的应用 4. 一块面积为 5 m2 的正方形桌布,其边长为 m。 5. 如图,用两个面积为 5 cm2 的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形。 (1)求大正方形的边长; (2)想在这个大正方形的四周粘上彩纸,请问 12 cm 长的彩纸够吗? 请说明理由。 【随堂小测】 1. (易混题)下列关于 9 的算术平方根的说法正确的是 (　 　 ) A. 9 的算术平方根是 3 与-3 B. 9 的算术平方根是-3 C. 9 的算术平方根是 3 D. 9 的算术平方根不存在 2. 若 m 是 a 的算术平方根,则 (　 　 ) A. a=m2 B. m=a2 C. m= -a2 D. a= -m2 3. 若 | x | = 5,y 是 36 的算术平方根,则 x+y 的值为 (　 　 ) A. 11 B. -11 C. -1 D. 1 或 11 32 4. (核心素养·运算能力)如图,按下面的程序计算:若开始输入的 x 值为 1,则最后输 出的结果是 (　 　 ) A. 13 B. 4 C. 7 D. 7 5. (必考题) 5 的算术平方根是 ; 7 是 的算术平方根; ( - 2) 2 是 的算术平方根。 6. 某矩形的面积是 15,它的长与宽的比为 3 ∶ 1,则该矩形的宽为 。 7. 计算: (1) 1 7 9 ; (2) 1-16 25 ; (3) | -3 | -( 6 ) 2。 8. (核心素养·运算能力)某市在招商引资期间,把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资 商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的 400 m2 的正方形场地改建成 300 m2 的 长方形场地,且其长、宽的比为 5 ∶ 3。 (1)求原来正方形场地的周长; (2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用,围成新场地的长方形围墙, 那么这些铁栅栏是否够用? 试利用所学知识说明理由。 42 ∵ △ABE≌△CDF, ∴ BE=DF。 又∵ OB=OD,∴ OB-BE =OD-DF, 即 OE=OF。 ∵ OA=OC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 又∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC⊥BD。 ∴ 四边形 AECF 是菱形。 6. n- 1　 【解析】如图,标注 各 点, 连 接 O1B, O1C。 ∵ ∠BO1F+∠FO1C = 90°, ∠FO1C + ∠CO1G = 90°, ∴ ∠BO1F=∠CO1G。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠O1BF= ∠O1CG= 45°。 ∴ △O1BF≌△O1CG(ASA)。 ∴ 前两个正方形阴影部 分的面积是 1 4 S正方形 = 1 4 ×2×2 = 1。 同理另外两个正 方形阴影部分的面积也是 1 4 S正方形 = 1,∴ 把这样的 n 个小正方形按如图所示方式摆放,则重叠部分的面 积为 n-1。 7.解:此时存在等对边四边形,是 四边形 DBCE。 证明如下: 如图,过点 C 作 CG⊥BE 于点 G,过点 B 作 BF⊥CD 交 CD 的 延长线于点 F。 ∵ ∠DCB= ∠EBC= 1 2 ∠A,BC 为公共边, ∴ △BCF≌△CBG。 ∴ BF=CG。 ∵ ∠BDF= ∠ABE+∠EBC+∠DCB, ∠CEG= ∠ABE+∠A, ∴ ∠BDF= ∠CEG。 ∵ ∠BFD= ∠CGE,BF=CG, ∴ △BDF≌△CEG。 ∴ BD=CE。 ∴ 四边形 DBCE 是等对边四边形。 8. B　 【解析】如图,连接 BP。 ∵ 四边形 ABCD 为菱形,菱 形 ABCD 的周长为 20,∴ BA = BC = 20 ÷ 4 = 5, S△ABC = 1 2 S菱形ABCD = 12。 ∵ S△ABC = S△PAB+S△PBC,∴ 1 2 ×5×PF+ 1 2 ×5×PE = 12。 ∴ PE+PF = 24 5 。 故选 B。 9.证明:如图, 延长 BF 交 DA 的延长线于点 M, 连 接 BD。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ MD∥BC。 ∴ ∠AMF= ∠EBF,∠MAF= ∠E。 ∵ F 是 AE 的中点, ∴ FA=FE。 ∴ △AFM≌△EFB。 ∴ AM=EB,FM=FB。 ∵ 在矩形 ABCD 中,AC=BD,AD=BC, ∴ BC+BE=AD+AM,即 CE=MD。 ∵ CE=AC,∴ AC=BD=MD。 ∵ FB=FM,∴ BF⊥DF。 第 7 章　 实数 7. 1　 算术平方根 【边学边练】 1. C　 2. C 3. 13 4. 5 　 【解析】设正方形桌布的边长为 a m。 由题意,得 a2 = 5。 ∴ a= 5,即正方形桌布的边长为 5 m。 5.解:(1)∵ 大正方形的面积为 5+5 = 10(cm2 ), ∴ 大正方形的边长为 10 cm。 (2)不够。 理由如下: ∵ 分到每条边的彩纸长为 12÷4 = 3(cm), 且 3 cm< 10 cm, ∴ 12 cm 长的彩纸不够。 【随堂小测】 1. C 2. A　 【解析】∵ m 是 a 的算术平方根,∴ (m) 2 = a,即 m2 =a。 故选 A。 3. D　 【解析】∵ | x | = 5,∴ x= 5 或-5。 ∵ y 是 36 的算术 平方根,∴ y= 6。 当 x= 5,y= 6 时,x+y= 5+6 = 11;当 x = -5,y= 6 时,x+y= -5+6 = 1。 故选 D。 4. D　 【解析】当 x= 1 时, 3x+1 = 4 = 2,不能输出;当 x= 2 时, 3x+1 = 7 >2,可以输出。 故选 D。 5. 5 　 7　 16　 【解析】∵ ( 5 ) 2 = 5,( 7 ) 2 = 7,(-2) 2 = 4,42 = 16,∴ 5 的算术平方根是 5, 7是 7 的算术平方 根,(-2) 2 是 16 的算术平方根。 6. 5 　 【解析】设矩形的宽为 x,则长为 3x。 根据题意, 得 3x2 = 15。 解得 x = 5 (负值舍去)。 ∴ 矩形的宽 为 5。 7.解:(1) 1 7 9 = 16 9 = 4 3 。 (2) 1- 16 25 = 9 25 = 3 5 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321 (3) -3 -( 6 ) 2 = 3-6 = -3。 8.解:(1) 400 = 20(m),4×20 = 80(m)。 ∴ 原来正方形场地的周长为 80 m。 (2)这些铁栅栏够用。 理由如下, 设这个长方形场地的宽为 3a m,则长为 5a m。 根据题意,得 3a×5a= 300,即 a2 = 20。 ∴ a= 20 。 ∴ 这个长方形场地的周长为 2 ( 3a + 5a) = 16a = 16 20 m。 ∵ 80 = 16×5 = 16× 25 >16 20 , ∴ 这些铁栅栏够用。 7. 2　 勾股定理 【边学边练】 1. A　 【解析】∵ 直角三角形两直角边边长分别为 3 cm 和 4 cm,∴ 斜边长为 42 +32 = 5(cm)。 故选 A。 2. A　 【解析】设斜边长为 x,则一直角边长为 x-3。 根 据勾股定理,得 92 + ( x - 3) 2 = x2。 解得 x = 15。 故 选 A。 3.证明:∵ 1 2 (a+b)(a+b)= 2× 1 2 ab+ 1 2 c2 , ∴ (a+b) 2 =2ab+c2。 ∴ a2+2ab+b2 =2ab+c2。 ∴ a2+b2 =c2 。 4. 4. 55　 【解析】设折断处离地面 x 尺高。 根据题意,得 x2 +32 =(10-x) 2。 解得 x= 4. 55。 【随堂小测】 1. C　 【解析】如图,∵ 正方形 PQED 的面积为 64,正方 形 PRGF 的面积为 100,∴ PQ2 = 64,PR2 = 100。 又 ∵ △PQR 是直角三角形,根据勾股定理,得 PR2 =PQ2 + QR2,∴ QR2 =PR2 -PQ2 = 100-64 = 36,即正方形 QMNR 的面积为 36。 故选 C。 2. D　 【解析】设第三边为 x。 ①若直角边长为 12,则第 三边是斜边。 由勾股定理,得 52 +122 = x2,∴ x2 = 169。 ②若斜边长为 12,则第三边是直角边。 由勾股定理, 得 52 +x2 = 122。 ∴ x2 = 119。 ∴ 第三边的长的平方为 169 或 119。 故选 D。 3. B　 【解析】梯子的顶端距墙底端的距离为 252 -72 = 24 ( m), 顶 端 下 滑 后 梯 足 距 墙 底 端 的 距 离 为 252 -(24-4) 2 = 15(m)。 15-7 = 8(m)。 故选 B。 4. C　 【解析】设芦苇的长度为 x 尺,则 AB 为(x-1)尺。 根据勾股定理,得(x-1) 2 +( 8 2 ) 2 = x2。 解得 x = 8. 5, 即芦苇的长度为 8. 5 尺。 故选 C。 5. 12 5 　 【解析】 如 图, 连 接 OP。 ∵ AB= 3,BC = AD = 4,∴ S矩形ABCD =AB·BC= 12,AC= AB2+BC2 = 32+42 =5。 ∴ S△AOD = 1 4 S矩形ABCD = 3,OA = OD = 1 2 AC = 5 2 。 ∴ S△AOD = S△AOP +S△DOP = 1 2 OA·PE+ 1 2 OD· PF= 1 2 OA(PE+PF)= 1 2 × 5 2 ×(PE+PF)= 3。 ∴ PE+PF= 12 5 。 6. 96　 【解析】根据题意,得 a2 +b2 = c2 = 202。 ∵ b-a= 4, ∴ (b-a) 2 = 16。 ∴ ab = 192。 ∴ S直角三角形 = 1 2 ab = 1 2 × 192 = 96。 7.解:由折叠,得 AC′=AC= 6,C′F⊥AB,CF=C′F。 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 8,AC= 6, ∴ AB= AC2 +BC2 = 62 +82 = 10。 ∴ BC′=AB-AC′= 10-6 = 4。 设 C′F= x,则 BF= 8-x。 ∴ x2 +42 = (8-x) 2 。 解得 x= 3,即 C′F= 3。 8.解:(1)学校会受到噪音影响。 理由如下, 如图,过点 A 作 AB⊥MN 于点 B。 ∵ AP= 120 m,∠QPN= 30°, ∴ AB= 1 2 AP= 60 m。 ∵ 60 m<100 m, ∴ 消防车在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时,学校会受 到噪音影响。 (2)如图,以点 A 为圆心,100 m 为半径画弧,交 MN 于 C,D 两点。 ∵ AB⊥CD, ∴ BC=BD。 在 Rt△ABC 中,AC= 100 m,AB= 60 m, BC= AC2 -AB2 = 80 m。 ∴ CD= 2BC= 160 m。 ∵ 消防车的速度为 5 m / s, ∴ 消防车在公路MN 上的 CD 段行驶所需要的时间为 160÷5 = 32(s)。 ∴ 学校受影响的时间为 32 s。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 421