6.4 三角形的中位线定理-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

6. 4　 三角形的中位线定理 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点　 三角形的中位线定理 1. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的中点。 若∠A = 70°,∠AED = 65°,则 ∠B 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 2. 如图,D,E,F 分别是△ABC 三边的中点,AH⊥BC 于点 H。 求证:(1)∠BDF= ∠BAC; (2)DF=EH。 【随堂小测】 1. 已知△ABC 是等边三角形,D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 的中点,若 BC= 4,则△DEF 的周长等于 (　 　 ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是各边的中点,若△ABC 的面积为 16 cm2,则△DEF 的面积是 (　 　 ) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,G 是 BC 上一点,连接 DE,DG,EG, F 是 DE 的中点,连接 FG。 若 DG⊥EG,FG= 3,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 6 B. 16 C. 18 D. 12 91 4. (必考题)如图,把两根钢条 OA,OB 的一个端点连在一起,C,D 分别是 OA,OB 的中 点,若 CD= 4 cm,则该工件内槽宽 AB 的长为 cm。 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 的中点。 若 AB+BC = 14,则四边形 DBFE 的周长为 。 6. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是边 AC,AB,BC 的中点,连接 DE,DF,EF,BD,BD 与 EF 相交于点 O。 求证:OB=OD。 7. (核心素养·几何直观)如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,O 是△ABC 内一 动点,F,G 分别是 OB,OC 的中点。 判断四边形 DEGF 的形状,并证明。 8. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是边 AB 的中点,DE∥BC 交 AC 于点 E,连接 BE,F,G,H 分别为 BE,DE,BC 的中点。 (1)求证:FG=FH; (2)当∠A 为多少度时,FG⊥FH? 并说明理由。 02 5.解:四边形 A′FCE 是菱形。 理由如下, ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD,AD∥BC,AB∥CD,∠DAC= ∠DCA。 ∵ 菱形 ABCD 沿 AC 方向平移至 A′B′C′D′, ∴ AD∥A′D′,CD∥C′D′。 ∴ ∠DAC= ∠D′A′C,A′E∥BC,CE∥A′B′。 ∴ ∠D′A′C= ∠DCA,四边形 A′FCE 是平行四边形。 ∴ A′E=CE。 ∴ 平行四边形 A′FCE 是菱形。 6. ①④　 【解析】∵ △AEF 是等边三角形,∴ ∠EAF= 60°, AE=AF。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAC=∠DAC= 45°,AB= AD,∠B = ∠D = ∠BAD = 90°。 ∴ Rt △ABE≌ Rt△ADF(HL)。 ∴ BE = DF。 故①正确;∴ ∠BAE = ∠DAF。 ∵ AC 平 分 ∠BAD, ∴ ∠BAG = ∠DAG。 ∴ ∠EAG= ∠FAG。 ∴ AG 垂直平分 EF。 ∴ G 是 EF 的中点。 ∵ ∠ECF = 90°,∴ CG = 1 2 EF,即 EF = 2CG。 而 EF>AG,∴ AG<2CG。 故②错误;∵ ∠EAG= 1 2 ∠EAF =30°,∠BAE= 45° -30° = 15°,∴ BE≠EG。 ∵ BE+DF = 2BE,EF= 2EG。 ∴ BE+DF≠EF。 故③错误;如图,延 长 CB 到点 F′,使 BF′ = DF,过点 E 作 EH⊥AF′于点 H,可得△ABF′≌△ABE。 ∴ ∠EAF′= 30°。 设 CG= x,则 EG=FG = x,AE = 2x。 ∴ EH = x。 ∴ S△AF′E = 1 2 × 2x × x = x2 = 2S△ABE, S△CEF = 1 2 × x × 2x = x2。 ∴ S△CEF = 2S△ABE。 故④正确。 综上所述,正确的结论 有①④。 7.证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ OA=OB,AC⊥BD,∠BAD= ∠ABC= 90°。 ∴ ∠OAE= ∠OBF= 45°,∠AOB= 90°。 ∵ 四边形 A′B′C′O 是正方形, ∴ ∠EOF= 90°。 ∴ ∠AOB= ∠EOF。 ∴ ∠AOE= ∠BOF。 ∴ △AOE≌△BOF(ASA)。 ∴ S△AOE =S△BOF。 ∴ 四边形 EOFB 的面积 S1 =S△AOB = 1 4 S2 , 即 S1 = 1 4 S2 。 8. B 　 【解析】 ∵ △ACD 和 △BCE 都是等边三角形, ∴ ∠A= ∠BCE= ∠ACD = ∠B = 60°,CD = AD = AC,CE =BE=BC。 ∴ AF∥CE,CD∥BF。 ∴ 四边形 CDFE 是 平行四边形。 ∴ CD = EF,CE = DF。 ∵ ∠A = ∠B = 60°,∴ ∠F = 60°。 ∴ △ABF 是等边三角形。 ∴ AF = BF=AB= 4。 ∴ 四边形 CEFD 的周长为 2(DF+CD)= 2(DF+AD)= 2AF= 8。 故选 B。 9.解:(1)四边形 DEBF 是平行四边形。 理由如下, ∵ 点 E,F 分别从 A,C 两点同时出发,以相同的速度 向终点 O 运动,∴ AE=CF。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OD=OB,OA=OC。 ∴ OA-AE=OC-CF,即 OE=OF。 ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。 (2)∵ 四边形 DEBF 是平行四边形, ∴ 当 BD=EF 时,四边形 DEBF 是矩形。 ∴ EF=BD= 24 cm。 ∴ OE=OF= 12 cm。 ∵ AC=32 cm,∴ OA=OC=16 cm。 ∴ AE=OA-OE=4 cm。 ∵ 点 E,F 的运动速度都是 4 cm / s, ∴ 当运动时间为 4÷ 4 = 1( s) 时,四边形 DEBF 是矩 形。 故答案为 1。 6. 4　 三角形的中位线定理 【边学边练】 1. A 　 【解析】 ∵ ∠A = 70°,∠AED = 65°,∴ ∠ADE = 180°-∠A-∠AED= 45°。 ∵ D,E 分别是 AB,AC 的中 点,∴ DE∥BC。 ∴ ∠B= ∠ADE= 45°。 故选 A。 2.证明:(1)∵ D,F 分别是 AB,BC 边的中点, ∴ DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DF∥AC,DF= 1 2 AC。 ∴ ∠BDF= ∠BAC。 (2)∵ AH⊥BC 于点 H,E 是 AC 边的中点, ∴ EH= 1 2 AC。 ∴ DF=EH。 【随堂小测】 1. B　 【解析】∵ D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点,AB= BC=AC= 4,∴ DE,EF,DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DE= 1 2 BC= 2,EF= 1 2 AB= 2,DF= 1 2 AC= 2。 ∴ △DEF 的周长为 2+2+2 = 6。 故选 B。 2. B　 【解析】∵ D,F 分别是 AB,AC 的中点,∴ DF∥BC,DF = 1 2 BC。 ∴ DF∥BE。 ∵ E 是 BC 的中点,∴ BE= 1 2 BC。 ∴ DF=BE。 ∴ 四边形BEFD 是平行四边形。 ∴ BD=EF。 ∴ △BDE≌△FED(SSS)。 同理可证△DAF≌△FED, △EFC≌△FED,即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED。 ∴ S△DEF = 1 4 S△ABC = 1 4 ×16=4(cm2)。 故选 B。 3. D　 【解析】∵ DG⊥EG,∴ ∠DGE= 90°。 ∵ F 是 DE 的 中点,∴ FG= 1 2 DE。 ∵ FG= 3,∴ DE= 6。 ∵ D,E 分别 是 AB,AC 的中点,∴ DE 是△ABC 的中位线。 ∴ BC = 2DE= 12。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 121 4. 8　 【解析】∵ C,D 分别是 OA,OB 的中点,∴ CD 是 △AOB 的中位线。 ∴ AB= 2CD。 ∵ CD = 4 cm,∴ AB = 2CD= 8 cm。 5. 14　 【解析】 ∵ D,E,F 分别是 AB,AC,BC 的中点, ∴ DE= 1 2 BC,EF= 1 2 AB,BD= 1 2 AB,BF= 1 2 BC。 ∴ 四边形 DBFE 的周长为 DE+BD+BF+EF=AB+BC=14。 6.证明:∵ D,E,F 分别是 AC,AB,BC 的中点, ∴ DE,DF 是△ABC 的中位线。 ∴ DE∥BC,DF∥AB。 ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形。 ∴ OB=OD。 7.解:四边形 DEGF 是平行四边形。 证明如下, ∵ D,E 是△ABC 边 AB,AC 的中点, ∴ DE= 1 2 BC,DE∥BC。 ∵ F,G 是 OB,OC 的中点, ∴ FG= 1 2 BC,FG∥BC。 ∴ DE=FG,DE∥FG。 ∴ 四边形 DEGF 是平行四边形。 8. (1)证明:∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠ACB。 ∵ DE∥BC, ∴ ∠ADE= ∠ABC,∠AED= ∠ACB。 ∴ ∠ADE= ∠AED。 ∴ AD=AE。 ∴ DB=EC。 ∵ F,G,H 分别为 BE,DE,BC 的中点, ∴ FG 是△EDB 的中位线,FH 是△BCE 的中位线。 ∴ FG= 1 2 BD,FH= 1 2 CE。 ∴ FG=FH。 (2)解:当∠A 为 90°时,FG⊥ FH。 理由如下, 如图,延长 FG 交 AC 于点 N。 ∵ FG 是△EDB 的中位线,FH 是△BCE 的中位线, ∴ FH∥AC,FN∥AB。 ∴ ∠HFN+∠FNE= 180°,∠A= ∠FNE。 ∵ FG⊥FH,∴ ∠A= 90°。 ∴ 当∠A= 90°时,FG⊥FH。 小专题 2　 巧作辅助线解决有关问题 1. C　 【解析】如图,连接 BN。 ∵ E,F 分别是 BM,NM 的中点,∴ EF= 1 2 BN。 ∵ N 是 CD 上一定点,B 是定点,∴ BN 的长度不变,即 EF 的 长度不改变。 故选 C。 2. C　 【解析】如图,连接 BD,取 BD 的中点 M,连接 EM, FM。 由题意可知 E 是 BC 的中点。 ∵ F 是 AD 的中点, ∴ FM 是△ABD 的中位线,EM 是△BCD 的中位线。 ∴ FM= 1 2 AB = 1,EM = 1 2 CD = 9 2 。 ∵ EM-FM<EF< EM+FM,∴ 9 2 -1<EF< 9 2 +1,即 7 2 <EF< 11 2 。 故选 C。 3.解:如图,延长 CD 交 AB 于点 E。 ∵ AD 平分∠BAC,CD⊥AD, ∴ ∠CAD= ∠EAD,∠ADC= ∠ADE。 又∵ AD=AD,∴ △ACD≌△AED(ASA)。 ∴ AE=AC= 6,CD=DE。 ∴ D 是 CE 的中点。 ∵ G 是 BC 的中点,∴ DG 是△CEB 的中位线。 ∴ DG= 1 2 BE= 1 2 (AB-AE)= 1 2 ×(8-6)= 1。 4. A　 【解析】如图,过点 A 作 AG⊥BE 于点 G, 连 接 BD, 交 AC 于 点 O。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AC⊥ BD,OA = OB。 ∵ BE∥CA,∴ BD⊥ BE。 ∴ 四 边 形 AGBO 是 正 方 形。 ∴ ∠ABG= ∠ABO = 45°,AG = AO = 1 2 AC。 ∵ AE = AC, ∴ AG = 1 2 AE。 又∵ AG⊥BE,∴ ∠AEG = 30°。 ∵ CF∥AE,∴ ∠CFB = ∠AEG = 30°。 又∵ ∠FBC = ∠FBA + ∠ABC = 135°, ∴ ∠BCF = 180° - ∠CFB - ∠FBC = 15°。 ∴ ∠BCF = 1 2 ∠AEB。 故选 A。 5. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=CD,∠ABE= ∠CDF= 45°。 ∵ AE∥CF, ∴ ∠AEF= ∠CFE。 ∴ ∠AEB= ∠CFD。 ∵ ∠ABE= ∠CDF,AB=CD, ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 (2)解:四边形 AECF 是菱形。 理由如下, 如图,连接 AC 与 BD 交于点 O。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221