6.3.4 正方形-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 4 课时　 正方形 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 正方形的性质 1. 如图,在正方形 ABCD 中,在 BA 延长线上取一点,使 BE =BD,连接 DE,则∠EDA 的 度数为 (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 22. 5° 2. 如图,AC 为正方形 ABCD 的对角线,E 为 AC 上一点,且 AB = AE,EF⊥AC,交 BC 于 点 F,试说明 EC=EF=BF。 知识点二　 正方形的判定 3. 下列说法正确的有 (　 　 ) ①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;②对角线相等或有一个角是 直角的菱形是正方形;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;④对角线 互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 如图,在 Rt△ABC 中,E 是两锐角平分线的交点,ED⊥BC,EF⊥AC,垂足分别为 D, F。 求证:四边形 CDEF 是正方形。 【随堂小测】 1. (教材改编题)已知在四边形 ABCD 中,∠A= ∠B= ∠C = 90°,如果添加一个条件,即 可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 (　 　 ) A. ∠D= 90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD 2. (必考题)如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 CDE,则∠DAE 的度数为 (　 　 ) A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 51 3. (易错题)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,2),以 OA 为一边作正方形 OABC,则点 B 的坐标为 (　 　 ) A. (2,2) B. (2,-2) C. (2,2)或(2,-2) D. (2,2)或( -2,2) 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 4. (原创题)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD 和 AD 上,且 CE=DF,AE 与 BF 相交于点 O,下列结论:①AE = BF;②AE⊥BF;③OA = OE;④S△AOB = S四边形DEOF。 其中正确的有 (　 　 ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 5. 如图,P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点,PE⊥AD 于点 E,PE= 3,则点 P 到直 线 AB 的距离为 。 6. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,试添加一个条件 ,使得 矩形 ABCD 为正方形。 7. (核心素养·几何直观)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC。 求证:四边形 CFDE 是正方形。 8. (核心素养·逻辑推理)在正方形 ABCD 中,E 是△ABD 内的点,EB=EC。 (1)如图 1,若 EB=BC,求∠EBD 的度数; (2)如图 2,EC 与 BD 交于点 F,连接 AE,若 S四边形ABFE =a,试探究线段 FC 与 BE 之间 的数量关系,并说明理由。 图 1 　 图 2 61 O,且 互 相 平 分, ∴ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形。 ∴ AD∥BC。 当 AB = AD 或 AC⊥BD 时,均可判定四边 形 ABCD 是菱形;当 AC =BD 时,可判定四边形 ABCD 是矩形;当∠BAC = ∠DAC 时,由 AD∥BC,得∠DAC = ∠BCA,∴ ∠BAC = ∠BCA。 ∴ AB = BC。 ∴ 四 边 形 ABCD 是菱形。 故选 C。 5.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ CD=AB=BC,AB∥CD,AD∥BC。 ∴ ∠C= ∠CBE。 ∵ BE=AB, ∴ CD=BE。 ∵ EF∥AD, ∴ EF∥BC。 ∴ ∠DBC= ∠F,∠E= ∠CBE。 ∴ ∠C= ∠E。 ∴ △DCB≌△BEF(AAS)。 ∴ CB=EF。 ∴ DC=EF。 6.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=CB,AB=CD,∠A= ∠C。 ∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ AE= 1 2 AB,CF= 1 2 CD。 ∴ AE=CF。 ∵ ∠A= ∠C,AD=CB, ∴ △ADE≌△CBF(SAS)。 (2)∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ DF= 1 2 CD,BE= 1 2 AB。 又∵ 在▱ABCD 中,AB∥CD,AB=CD, ∴ DF∥BE,DF=BE。 ∴ 四边形 DEBF 为平行四边形。 ∵ DB⊥BC, ∴ ∠DBC= 90°。 ∴ △DBC 为直角三角形。 又∵ F 为边 DC 的中点, ∴ BF= 1 2 DC=DF。 又∵ 四边形 DEBF 为平行四边形, ∴ 四边形 DEBF 是菱形。 第 4 课时　 正方形 【边学边练】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABD = 45° = ∠ADB。 ∵ BE = BD,∴ ∠BDE = 1 2 ×(180° - 45°) = 67. 5°。 ∴ ∠EDA= ∠BDE-∠ADB= 22. 5°。 故选 D。 2.解:在 Rt△AEF 和 Rt△ABF 中, AE=AB, AF=AF,{ ∴ Rt△AEF≌Rt△ABF(HL)。 ∴ EF=BF。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ACB= 1 2 ∠BCD= 45°。 在 Rt△CEF 中,∵ ∠ACB= 45°, ∴ ∠CFE= 45°。 ∴ ∠ACB= ∠CFE。 ∴ EC=EF。 ∴ EC=EF=BF。 3. D　 4.证明:如图,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M。 ∵ AE 平分∠CAB,EF⊥AC, ∴ EF=EM。 ∵ BE 平分∠CBA, ED⊥BC, ∴ EM=ED。 ∴ EF=ED。 ∵ ED⊥BC,EF⊥AC,△ABC 是直角三角形, ∴ ∠CFE= ∠CDE= ∠C= 90°。 ∴ 四边形 EFCD 是矩形。 ∵ EF=ED, ∴ 四边形 CDEF 是正方形。 【随堂小测】 1. D　 【解析】添加条件 BC = CD。 理由如下:∵ ∠A = ∠B= ∠C= 90°,∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ∵ BC =CD, ∴ 四边形 ABCD 是正方形。 故选 D。 2. C　 【解析】根据题意,得 AB = CD = DE,∠ADC = 90°, ∠CDE= 60°,∴ △ADE 是等腰三角形。 在△ADE 中, ∠ADE= ∠ADC+∠CDE = 90° +60° = 150°,∴ ∠DAE = ∠DEA= 1 2 (180°-∠ADE)= 1 2 ×(180° -150°)= 15°。 故选 C。 3. D　 【解析】如图,∵ 四边形 OABC 是正方形,点 A 的 坐标为(0,2),∴ 点 B 可能在第一象限,也可能在第 二象限。 ∴ 点 B 的坐标为(2,2)或(-2,2)。 故选 D。 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD =DA,∠BAD = ∠ADC = 90°。 ∵ CE = DF,∴ CD-CE = DA - DF, 即 DE = AF。 在 △BAF 和 △ADE 中, AF=DE, ∠BAF= ∠ADE, AB=DA, { ∴ △BAF≌ △ADE( SAS)。 ∴ BF = AE。 故①正确;∴ ∠ABF = ∠DAE。 ∵ ∠DAE+∠BAO = ∠BAD = 90°,∴ ∠ABF + ∠BAO = 90°。 ∴ ∠AOB = 90°,即 AE ⊥ BF。 故 ② 正 确; ∵ △BAF ≌ △ADE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 ∴ S△BAF = S△ADE。 ∴ S△BAF - S△AOF = S△ADE - S△AOF,即 S△AOB =S四边形DEOF。 故④正确;无法证明 OA=OE,故③ 错误。 故选 B。 5. 3　 【解析】如图,过点 P 作 PF⊥AB 于点 F。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB = BC = CD = AD。 ∴ ∠PAE= ∠PAB。 ∵ PE⊥AD,PF⊥AB,PE = 3,∴ PF =PE= 3。 ∴ 点 P 到直线 AB 的距离为 3。 6. AB=AD(答案不唯一) 7.证明:∵ ∠ACB= 90°,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴ 四边形 CFDE 是矩形。 又∵ CD 平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC, ∴ DE=DF。 ∴ 四边形 CFDE 是正方形。 8.解:(1)∵ EB=BC=EC, ∴ △EBC 是等边三角形。 ∴ ∠EBC= 60°。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠CBD= 45°。 ∴ ∠EBD= ∠EBC-∠CBD= 60°-45° = 15°。 (2)线段 FC 与 BE 之间的数量关系是 FC·BE = 2a。 理由如下: 如右图,连接 AF 交 BE 于点 G。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠ABD= ∠CBD。 ∵ BF=BF, ∴ △ABF≌△CBF(SAS)。 ∴ AF=CF,∠BAF= ∠BCF。 ∵ EB=EC, ∴ ∠ECB= ∠EBC。 ∵ ∠ABC= ∠DCB= 90°, ∴ ∠ABE= ∠DCE。 ∴ ∠ABE+∠BAF= ∠DCE+∠BCF= 90°。 ∴ ∠AGB= 90°。 ∴ AF⊥BE。 ∴ S四边形ABFE =S△ABE +S△BEF = 1 2 BE·AG+ 1 2 BE·FG = 1 2 BE·AF= 1 2 BE·CF。 ∵ S四边形ABFE =a, ∴ 1 2 BE·CF=a。 ∴ FC·BE= 2a。 小专题 1　 平行四边形中的动态问题 1. D　 【解析】不同的划分方法有 4 种,如图,所得任一 多边形的内角和度数可能是 360°或 540°或 180°。 故 选 D。 　 　 　 2. 2 或 8　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC, AD=BC。 ∴ ∠GAE= ∠HCF。 ∵ E,F 是对角线 AC 上 的两个动点,速度均为每秒 1 个单位长度,∴ AE = CF = t。 ∵ G,H 分别是 AD,BC 的中点,∴ AG = 1 2 AD,CH = 1 2 BC。 ∴ AG = CH。 ∴ △AEG ≌ △CFH ( SAS)。 ∴ EG = FH, ∠AEG = ∠CFH。 ∴ ∠FEG = ∠EFH。 ∴ EG∥HF。 ∴ 四边形 EGFH 是平行四边形。 如图,连 接 GH。 ∵ AG =BH,AG∥BH,∠B = 90°,∴ 四边形 ABHG 是矩形。 ∴ GH= AB = 6。 若四边形 EGFH 是矩形,则 EF=GH= 6。 ①如图 1,当点 E,F 未相遇时,EF = 10- 2t= 6。 ∴ t= 2。 图 1 　 　 图 2 ②如图 2,当点 E,F 相遇后,EF = t+t-10 = 2t-10 = 6。 ∴ t= 8。 ∴ 当四边形 EGFH 为矩形时,t 的值为 2 或 8。 3.解:(1)∵ 在矩形 ABCD 中,AB= 5 cm,BC= 10 cm, ∴ M,N 两点同时从点 D 出发,到第一次相遇时共运 动了 2×(5+10)= 30(cm)。 ∴ t= 30÷(2+3)= 6(s)。 ∴ 经过 6 s,M,N 两点停止运动。 (2)由题意知,当点 N 在 AD 边上运动,点 M 在 BC 边 上运动时,点 A,E,M,N 才可能组成平行四边形。 设 经过 t s,四点可组成平行四边形。 ①当构成▱AEMN 时,10-2t= 10-1+5-3t,解得 t= 4。 ②当构成▱AMEN 时,10-2t= 3t-(10-1+5), 解得 t= 4. 8。 ∴ 当点 A,E,M,N 构成平行四边形时,M,N 两点运动 的时间为 4 s 或 4. 8 s。 4. D　 【解析】如图,连接 BD。 ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∴ AB = AD, ∠ADB = 1 2 ∠ADC = 60°, ∠ABC = ∠ADC= 120°。 ∴ △ABD 是等边三角形。 ∴ ∠ABD = ∠BAD = 60°,AD = BD。 ∴ ∠DBF = ∠ABC- ∠ABD = 60° = ∠DAE。 又∵ △DEF 是等边三角形,∴ ∠EDF = 60°。 又∵ ∠ADB = 60°,∴ ∠ADE = ∠BDF。 ∴ △ADE≌ △BDF(ASA)。 ∴ AE= BF。 ∵ AE = t cm,CF = 2t cm, ∴ BF=BC-CF= 5-2t。 ∴ t= 5-2t。 ∴ t= 5 3 。 故选 D。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021