6.3.3 菱形-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 3 课时　 菱形 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 菱形的定义 1. 如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 (　 　 ) A. AB=CD B. AD=BC C. AC=BD D. AB=BC 知识点二　 菱形的性质定理 1 2. 如图,在菱形 ABCD 中,过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,作 DF⊥BC 于点 F。 求证:AE=CF。 知识点三　 菱形的性质定理 2 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中全等的直角三角形共有 (　 　 ) A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 知识点四　 菱形的判定定理 1 4. 如图,正五边形 ABCDE 的两条对角线 AC,BE 相交于点 F。 (1)求∠FAE 的度数; (2)求证:四边形 CDEF 是菱形。 知识点五　 菱形的判定定理 2 5. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形 ABCD 为 菱形的是 (　 　 ) A. AD=CD B. AC=BD C. AB∥DC D. AC,BD 互相平分 31 【随堂小测】 1. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A= 50°,则∠ADB 的度数为 (　 　 ) A. 65° B. 55° C. 45 D. 25° 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. (必考题)若菱形的两条对角线分别长 8,6,则菱形的面积为 (　 　 ) A. 48 B. 24 C. 14 D. 12 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC= 6,∠BAD= 120°,则菱形 ABCD 的周长为 (　 　 ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 18 4. 如图,四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,且互相平分,添加下列条件,仍不能 判定四边形 ABCD 为菱形的是 (　 　 ) A. AC⊥BD B. AB=AD C. AC=BD D. ∠BAC= ∠DAC 5. 如图,已知四边形 ABCD 为菱形,延长 AB 到点 E,使得 BE = AB,过点 E 作 EF∥AD, 交 DB 的延长线于点 F。 求证:DC=EF。 6. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,BD 是对角线。 (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 DB⊥BC,请证明四边形 BEDF 是菱形。 41 BD,∴ ▱ABCD 是矩形;②四边形 ABCD 是平行四边 形,AB= AD,不能说明▱ABCD 是矩形;③ ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC。 ∴ ∠1 = ∠2。 故③ 不能说明▱ABCD 是矩形;④∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC = 90°。 ∴ ▱ABCD 是矩形。 4.证明:∵ AC=BC,CD⊥AB, ∴ ∠ADC= 90°,AD=BD。 ∵ 在▱DBCE 中,EC∥BD,EC=BD, ∴ EC∥AD,EC=AD。 ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形。 又∵ ∠ADC= 90°, ∴ 四边形 ADCE 是矩形。 5.证明:(1)∵ BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF, ∴ BF=CE。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC。 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC, BF=CE, AF=DE, { ∴ △ABF≌△DCE(SSS)。 (2)∵ △ABF≌△DCE,∴ ∠B= ∠C。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD。 ∴ ∠B+∠C= 180°。 ∴ ∠B= ∠C= 90°。 ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 6.证明:∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD。 ∴ ∠ADC= 90°。 ∵ AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线, ∴ ∠MAN= ∠CAN。 ∴ ∠DAE= 90°。 ∵ CE⊥AN, ∴ ∠AEC= 90°。 ∴ 平行四边形 ADCE 为矩形。 7. (1)证明:∵ E 是 BC 的中点,∴ BE=CE。 ∵ CF∥AB,∴ ∠B= ∠FCE,∠BDE= ∠F。 在△BDE 和△CFE 中, ∠B= ∠FCE, ∠BDE= ∠F, BE=CE, { ∴ △BDE≌△CFE(AAS)。 ∴ BD=CF。 (2)解:当 AC=BC 时,四边形 CDBF 是矩形。 证明如下: 如图,连接 CD,BF。 ∵ BD=CF,CF∥AB, ∴ 四边形 CDBF 是平行四边形。 当 AC=BC 时,△ABC 是等腰三角形。 ∵ D 是 AB 的中点,∴ ∠CDB= 90°。 ∴ 四边形 CDBF 是矩形。 ∴ 当 AC=BC 时,四边形 CDBF 是矩形。 第 3 课时　 菱形 【边学边练】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 的对角线互相平分, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AB=BC,∴ 四边形 ABCD 是菱形(一组邻边相等的 平行四边形是菱形)。 故选 D。 2.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD,∠A= ∠C。 ∵ DE⊥AB,DF⊥BC, ∴ ∠AED= ∠CFD= 90°。 ∴ △ADE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE=CF。 3. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA= OC,OB = OD。 ∵ ∠AOB = ∠COD, ∠AOD = ∠COB, ∴ △ABO≌ △CDO ( SAS), △AOD ≌ △COB ( SAS)。 ∵ AO=AO,OB=OD,∠AOB= ∠AOD= 90°,∴ △ABO≌ △ADO(SAS)。 由三角形全等的传递性,得△ABO≌ △CBO,△DOC≌△BOC,△AOD≌△COD。 共 6 对全 等的直角三角形。 故选 D。 4.解:(1)∵ 五边形 ABCDE 是正五边形, ∴ AB=AE= BC =DE = CD,∠BAE = 180° -360° 5 = 108°。 ∴ ∠ABE= ∠AEB= 1 2 ×(180°-108°)= 36°。 同理可得∠BAF= ∠BCA= 36°, ∴ ∠FAE= ∠BAE-∠BAF= 108°-36° = 72°。 (2) 证明: ∵ ∠FAE = 72°, ∠AFE = ∠BAF + ∠ABE = 36°+36° = 72°,∴ AE=EF。 同理 BC=CF。 ∴ EF=CF=DE=CD。 ∴ 四边形 CDEF 是菱形。 5. D　 【解析】能判定四边形 ABCD 是菱形的是 AC,BD 互相平分。 理由如下:∵ AC,BD 互相平分,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 又∵ AC⊥BD,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形。 故选 D。 【随堂小测】 1. A 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD, ∠ADB= ∠CDB。 ∴ ∠A+∠ADC= 180°。 ∵ ∠A= 50°, ∴ ∠ADC = 130°。 ∴ ∠ADB = 1 2 × 130° = 65°。 故 选 A。 2. B　 【解析】∵ 菱形的两条对角线分别长 8,6,∴ S = 1 2 ×8×6 = 24。 故选 B。 3. A　 【解析】在菱形 ABCD 中,∠BAD = 120°,∴ ∠B = 180°-120° = 60°。 又∵ AB=BC,∴ △ABC 是等边三角 形。 ∴ AB=AC= 6。 ∴ 菱形 ABCD 的周长 = 6×4 = 24。 故选 A。 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 811 O,且 互 相 平 分, ∴ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形。 ∴ AD∥BC。 当 AB = AD 或 AC⊥BD 时,均可判定四边 形 ABCD 是菱形;当 AC =BD 时,可判定四边形 ABCD 是矩形;当∠BAC = ∠DAC 时,由 AD∥BC,得∠DAC = ∠BCA,∴ ∠BAC = ∠BCA。 ∴ AB = BC。 ∴ 四 边 形 ABCD 是菱形。 故选 C。 5.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ CD=AB=BC,AB∥CD,AD∥BC。 ∴ ∠C= ∠CBE。 ∵ BE=AB, ∴ CD=BE。 ∵ EF∥AD, ∴ EF∥BC。 ∴ ∠DBC= ∠F,∠E= ∠CBE。 ∴ ∠C= ∠E。 ∴ △DCB≌△BEF(AAS)。 ∴ CB=EF。 ∴ DC=EF。 6.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=CB,AB=CD,∠A= ∠C。 ∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ AE= 1 2 AB,CF= 1 2 CD。 ∴ AE=CF。 ∵ ∠A= ∠C,AD=CB, ∴ △ADE≌△CBF(SAS)。 (2)∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ DF= 1 2 CD,BE= 1 2 AB。 又∵ 在▱ABCD 中,AB∥CD,AB=CD, ∴ DF∥BE,DF=BE。 ∴ 四边形 DEBF 为平行四边形。 ∵ DB⊥BC, ∴ ∠DBC= 90°。 ∴ △DBC 为直角三角形。 又∵ F 为边 DC 的中点, ∴ BF= 1 2 DC=DF。 又∵ 四边形 DEBF 为平行四边形, ∴ 四边形 DEBF 是菱形。 第 4 课时　 正方形 【边学边练】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABD = 45° = ∠ADB。 ∵ BE = BD,∴ ∠BDE = 1 2 ×(180° - 45°) = 67. 5°。 ∴ ∠EDA= ∠BDE-∠ADB= 22. 5°。 故选 D。 2.解:在 Rt△AEF 和 Rt△ABF 中, AE=AB, AF=AF,{ ∴ Rt△AEF≌Rt△ABF(HL)。 ∴ EF=BF。 ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ACB= 1 2 ∠BCD= 45°。 在 Rt△CEF 中,∵ ∠ACB= 45°, ∴ ∠CFE= 45°。 ∴ ∠ACB= ∠CFE。 ∴ EC=EF。 ∴ EC=EF=BF。 3. D　 4.证明:如图,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M。 ∵ AE 平分∠CAB,EF⊥AC, ∴ EF=EM。 ∵ BE 平分∠CBA, ED⊥BC, ∴ EM=ED。 ∴ EF=ED。 ∵ ED⊥BC,EF⊥AC,△ABC 是直角三角形, ∴ ∠CFE= ∠CDE= ∠C= 90°。 ∴ 四边形 EFCD 是矩形。 ∵ EF=ED, ∴ 四边形 CDEF 是正方形。 【随堂小测】 1. D　 【解析】添加条件 BC = CD。 理由如下:∵ ∠A = ∠B= ∠C= 90°,∴ 四边形 ABCD 是矩形。 ∵ BC =CD, ∴ 四边形 ABCD 是正方形。 故选 D。 2. C　 【解析】根据题意,得 AB = CD = DE,∠ADC = 90°, ∠CDE= 60°,∴ △ADE 是等腰三角形。 在△ADE 中, ∠ADE= ∠ADC+∠CDE = 90° +60° = 150°,∴ ∠DAE = ∠DEA= 1 2 (180°-∠ADE)= 1 2 ×(180° -150°)= 15°。 故选 C。 3. D　 【解析】如图,∵ 四边形 OABC 是正方形,点 A 的 坐标为(0,2),∴ 点 B 可能在第一象限,也可能在第 二象限。 ∴ 点 B 的坐标为(2,2)或(-2,2)。 故选 D。 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD =DA,∠BAD = ∠ADC = 90°。 ∵ CE = DF,∴ CD-CE = DA - DF, 即 DE = AF。 在 △BAF 和 △ADE 中, AF=DE, ∠BAF= ∠ADE, AB=DA, { ∴ △BAF≌ △ADE( SAS)。 ∴ BF = AE。 故①正确;∴ ∠ABF = ∠DAE。 ∵ ∠DAE+∠BAO = ∠BAD = 90°,∴ ∠ABF + ∠BAO = 90°。 ∴ ∠AOB = 90°,即 AE ⊥ BF。 故 ② 正 确; ∵ △BAF ≌ △ADE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911