6.3.2 矩形的判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 矩形的判定定理 1 1. 如图,在▱ABCD 中,AE⊥CD 于点 E,CF⊥AB 于点 F。 求证:四边形 AFCE 是矩形。 知识点二　 矩形的判定定理 2 2. 四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 (　 　 ) A. AB=CD B. AC=BD C. AB=BC D. AD=BC 3. 如图,在▱ABCD 中,若∠1 = ∠2,则四边形 ABCD 是　 　 　 　 。 【随堂小测】 1. (必考题)在数学活动课上,同学们在判断一个四边形门框是否为矩形,下面是几个 学习小组拟定的方案,其中正确的是 (　 　 ) A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个内角是否都为直角 2. (易错题)依据所标数据,下列一定是矩形的是 (　 　 ) ① 　 　 ② 　 　 ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 3. (教材改编题)如图,在▱ABCD 中,下列条件:①AC = BD;②AB = AD;③∠1 = ∠2; ④AB⊥BC,能说明▱ABCD 是矩形的有 (填写序号)。 11 4. 如图,在△ABC 中,AC=BC,CD⊥AB 于点 D,四边形 DBCE 是平行四边形。 求证:四边形 ADCE 是矩形。 5. 如图,在▱ABCD 中,E,F 是 BC 上两点,且 BE=CF,AF=DE。 求证:(1)△ABF≌△DCE; (2)四边形 ABCD 是矩形。 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分 线,CE⊥AN,垂足为 E。 求证:四边形 ADCE 为矩形。 7. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC 中,D 是边 AB 上一点,E 是 BC 的中点,过点 C 作 CF∥AB,交 DE 的延长线于点 F。 (1)求证:BD=CF; (2)连接 CD,BF。 如果 D 是 AB 的中点,那么当 AC 与 BC 满足什么条件时,四边形 CDBF 是矩形? 证明你的结论。 21 OA=OD。 ∵ ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,∴ ∠DAE = 1 2 ∠BAD= 1 2 ×90° = 45°。 ∵ ∠AOB = α,∴ ∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - α。 ∴ ∠OAD = 180° -∠AOD 2 = 1 2 α。 ∴ ∠OAE= ∠DAE-∠OAD= 45°- 1 2 α。 故选 B。 3. 3　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A = ∠D = 90°。 ∵ EF⊥CE,∴ ∠AFE+∠AEF = ∠AEF+∠DEC, 即∠AFE = ∠DEC。 ∵ EF = CE, ∴ △AEF ≌ △DCE (AAS)。 ∴ AE = DC。 ∵ 矩形的周长为 16,∴ 2(AD+ CD)= 16。 ∴ AD+CD = 8。 ∴ AE+DE+AE = 8,即 AE+ 2+AE= 8。 ∴ AE= 3。 4. 72　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A= ∠ADC= ∠C= 90°,AD∥BC。 ∵ ∠CDG = 54°,∴ ∠CGD = 90° - ∠CDG= 90° - 54° = 36°。 ∴ ∠ADG = ∠CGD = 36°。 ∵ 将矩形 ABCD 沿 DE 折叠,点 A 落在边 BC 上的点 G 处,∴ ∠DGE= ∠A= 90°,∠GDE= ∠ADE= 1 2 ∠ADG= 1 2 × 36° = 18°。 ∴ ∠DEG = 90° - ∠GDE = 90° - 18° = 72°。 5.解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC= ∠BCD= 90°,OC=OA= 1 2 AC, OD=OB= 1 2 BD,AC=BD。 ∴ OA=OC=OB=OD。 ∴ ∠OAD= ∠ODA。 ∵ DF 平分∠ADC, ∴ ∠ADF= ∠CDF= 45°,CD=CF。 ∴ ∠ODC= ∠BDF+∠CDF= 15°+45° = 60°。 ∴ △OCD 是等边三角形。 ∴ OC=CD=CF。 ∴ ∠DOC= ∠OCD= ∠ODC= 60°。 ∴ ∠OCF= 90°-60° = 30°。 ∴ ∠COF= 1 2 ×(180°-30°)= 75°。 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠GAC= ∠BCA。 ∵ △ABC 和△AEC 关于直线 AC 对称, ∴ ∠GCA= ∠BCA。 ∴ ∠GAC= ∠GCA。 ∴ AG=CG。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=CB。 ∵ △ABC 和△AEC 关于直线 AC 对称, ∴ CE=CB,AC⊥BE。 ∴ AD=CE。 ∵ AG=CG, ∴ AD-AG=CE-CG,即 DG=EG。 ∴ ∠GED= ∠GDE。 ∴ ∠AGE= ∠GED+∠GDE= 2∠GDE。 ∵ ∠GAC= ∠GCA。 ∴ ∠AGE= ∠GAC+∠GCA= 2∠GAC。 ∴ 2∠GDE= 2∠GAC。 ∴ ∠GDE= ∠GAC。 ∴ DE∥AC。 ∴ DE⊥BE。 ∴ ∠BED= 90°。 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 1.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD。 ∵ AE⊥CD,CF⊥AB, ∴ ∠AFC= ∠AEC= 90°。 ∴ ∠FCE= ∠AFC= 90°。 ∴ 四边形 AFCE 是矩形。 2. B　 【解析】可添加 AC =BD。 ∵ 四边形 ABCD 的对角 线互相平分,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AC = BD,根据矩形的判定定理 2,∴ 平行四边形 ABCD 是 矩形。 故选 B。 3. 矩形　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AO = CO= 1 2 AC,BO=DO= 1 2 BD。 ∵ ∠1 = ∠2,∴ BO=CO。 ∴ AC=BD。 ∴ ▱ABCD 是矩形。 【随堂小测】 1. D　 【解析】A. 测量对角线是否相互平分,能判定平行 四边形,故选项不符合题意;B. 测量两组对边是否相 等,能判定平行四边形,故选项不符合题意;C. 测量对 角线是否相等,不能判定形状,故选项不符合题意; D. 测量其中三个内角是否都为直角,能判定矩形,故 选项符合题意。 故选 D。 2. C　 【解析】题图①中有一组对边相等与一个直角,对边可 能不平行,故不一定是矩形,故①错误;如图 1,连接 BD。 在 Rt △ABD 和 Rt △CDB 中, AB=CD, BD=DB,{ ∴ Rt△ABD ≌ Rt△CDB(HL)。 ∴ ∠ABD= ∠CDB。 ∴ AB∥CD。 ∵ AB =CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ ∠A = 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 故②正确; 图 1 　 　 图 2 如图 2,∵ ∠A + ∠D = 90° + 90° = 180°,∴ AB∥CD。 ∵ AB=CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ ∠A = 90°,∴ 四边形 ABCD 是矩形。 故③正确。 故选 C。 3. ①④　 【解析】①∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 711 BD,∴ ▱ABCD 是矩形;②四边形 ABCD 是平行四边 形,AB= AD,不能说明▱ABCD 是矩形;③ ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC。 ∴ ∠1 = ∠2。 故③ 不能说明▱ABCD 是矩形;④∵ AB⊥BC,∴ ∠ABC = 90°。 ∴ ▱ABCD 是矩形。 4.证明:∵ AC=BC,CD⊥AB, ∴ ∠ADC= 90°,AD=BD。 ∵ 在▱DBCE 中,EC∥BD,EC=BD, ∴ EC∥AD,EC=AD。 ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形。 又∵ ∠ADC= 90°, ∴ 四边形 ADCE 是矩形。 5.证明:(1)∵ BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF, ∴ BF=CE。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=DC。 在△ABF 和△DCE 中, AB=DC, BF=CE, AF=DE, { ∴ △ABF≌△DCE(SSS)。 (2)∵ △ABF≌△DCE,∴ ∠B= ∠C。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD。 ∴ ∠B+∠C= 180°。 ∴ ∠B= ∠C= 90°。 ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 6.证明:∵ AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线, ∴ AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD。 ∴ ∠ADC= 90°。 ∵ AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线, ∴ ∠MAN= ∠CAN。 ∴ ∠DAE= 90°。 ∵ CE⊥AN, ∴ ∠AEC= 90°。 ∴ 平行四边形 ADCE 为矩形。 7. (1)证明:∵ E 是 BC 的中点,∴ BE=CE。 ∵ CF∥AB,∴ ∠B= ∠FCE,∠BDE= ∠F。 在△BDE 和△CFE 中, ∠B= ∠FCE, ∠BDE= ∠F, BE=CE, { ∴ △BDE≌△CFE(AAS)。 ∴ BD=CF。 (2)解:当 AC=BC 时,四边形 CDBF 是矩形。 证明如下: 如图,连接 CD,BF。 ∵ BD=CF,CF∥AB, ∴ 四边形 CDBF 是平行四边形。 当 AC=BC 时,△ABC 是等腰三角形。 ∵ D 是 AB 的中点,∴ ∠CDB= 90°。 ∴ 四边形 CDBF 是矩形。 ∴ 当 AC=BC 时,四边形 CDBF 是矩形。 第 3 课时　 菱形 【边学边练】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 的对角线互相平分, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AB=BC,∴ 四边形 ABCD 是菱形(一组邻边相等的 平行四边形是菱形)。 故选 D。 2.证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=CD,∠A= ∠C。 ∵ DE⊥AB,DF⊥BC, ∴ ∠AED= ∠CFD= 90°。 ∴ △ADE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE=CF。 3. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA= OC,OB = OD。 ∵ ∠AOB = ∠COD, ∠AOD = ∠COB, ∴ △ABO≌ △CDO ( SAS), △AOD ≌ △COB ( SAS)。 ∵ AO=AO,OB=OD,∠AOB= ∠AOD= 90°,∴ △ABO≌ △ADO(SAS)。 由三角形全等的传递性,得△ABO≌ △CBO,△DOC≌△BOC,△AOD≌△COD。 共 6 对全 等的直角三角形。 故选 D。 4.解:(1)∵ 五边形 ABCDE 是正五边形, ∴ AB=AE= BC =DE = CD,∠BAE = 180° -360° 5 = 108°。 ∴ ∠ABE= ∠AEB= 1 2 ×(180°-108°)= 36°。 同理可得∠BAF= ∠BCA= 36°, ∴ ∠FAE= ∠BAE-∠BAF= 108°-36° = 72°。 (2) 证明: ∵ ∠FAE = 72°, ∠AFE = ∠BAF + ∠ABE = 36°+36° = 72°,∴ AE=EF。 同理 BC=CF。 ∴ EF=CF=DE=CD。 ∴ 四边形 CDEF 是菱形。 5. D　 【解析】能判定四边形 ABCD 是菱形的是 AC,BD 互相平分。 理由如下:∵ AC,BD 互相平分,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 又∵ AC⊥BD,∴ 平行四边形 ABCD 是菱形。 故选 D。 【随堂小测】 1. A 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD, ∠ADB= ∠CDB。 ∴ ∠A+∠ADC= 180°。 ∵ ∠A= 50°, ∴ ∠ADC = 130°。 ∴ ∠ADB = 1 2 × 130° = 65°。 故 选 A。 2. B　 【解析】∵ 菱形的两条对角线分别长 8,6,∴ S = 1 2 ×8×6 = 24。 故选 B。 3. A　 【解析】在菱形 ABCD 中,∠BAD = 120°,∴ ∠B = 180°-120° = 60°。 又∵ AB=BC,∴ △ABC 是等边三角 形。 ∴ AB=AC= 6。 ∴ 菱形 ABCD 的周长 = 6×4 = 24。 故选 A。 4. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 811