6.3.1 矩形的定义与性质-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

目　 录 第 6 章　 平行四边形 6. 1　 平行四边形及其性质 　 　 第 1 课时 平行四边形的定义及性质定理 1,2 1……………………………………………… 　 　 第 2 课时 平行四边形的性质定理 3 3…… 6. 2　 平行四边形的判定 　 　 第 1 课时 平行四边形的判定定理 1,2 5 … ……………………………………………… 　 　 第 2 课时 平行四边形的判定定理 3 7…… 6. 3　 特殊的平行四边形 　 　 第 1 课时 矩形的定义与性质 9…………… 　 　 第 2 课时 矩形的判定 11………………… 　 　 第 3 课时 菱形 13………………………… 　 　 第 4 课时 正方形 15……………………… 小专题 1　 平行四边形中的动态问题 17……… 6. 4　 三角形的中位线定理 19………………… 小专题 2　 巧作辅助线解决有关问题 21……… 第 7 章　 实数 7. 1　 算术平方根 23…………………………… 7. 2　 勾股定理 25……………………………… 7. 3　 2是有理数吗 　 　 第 1 课时 2 是有理数吗 27……………… 　 　 第 2 课时 用数轴上的点表示无理数 29… 7. 4　 勾股定理的逆定理 31…………………… 7. 5　 平方根 33………………………………… 7. 6　 立方根 35………………………………… 7. 7　 用计算器求平方根和立方根 37………… 7. 8　 实数 　 　 第 1 课时 实数 39………………………… 　 　 第 2 课时 实数对与坐标平面内的点、实数 的运算 41…………………………………… 小专题 3　 勾股定理及其逆定理的应用 43…… 第 8 章　 一元一次不等式 8. 1　 不等式的基本性质 　 　 第 1 课时 实数的大小比较 45…………… 　 　 第 2 课时 不等式的基本性质 47………… 8. 2　 一元一次不等式 　 　 第 1 课时 不等式的解集及其在数轴上的 表示 49……………………………………… 　 　 第 2 课时 一元一次不等式及其解法 51… 8. 3　 列一元一次不等式解应用题 53………… 8. 4　 一元一次不等式组 　 　 第 1 课时 一元一次不等式组及其解法 55 … …………………………………………… 　 　 第 2 课时 较复杂的一元一次不等式组及其 特殊解 57…………………………………… 小专题 4　 求一元一次不等式(组) 中待定字母 的值或取值范围 59……………………………… 第 9 章　 二次根式 9. 1　 二次根式和它的性质 　 　 第 1 课时 二次根式的概念和有意义的条件 61…………………………………………… 　 　 第 2 课时 a2 的性质和积的算术平方根的 性质 63……………………………………… 　 　 第 3 课时 商的算术平方根的性质和最简二 次根式 65…………………………………… 9. 2　 二次根式的加法与减法 67……………… 9. 3　 二次根式的乘法与除法 　 　 第 1 课时 二次根式的乘法与除法 69…… 　 　 第 2 课时 二次根式的混合运算 71……… 小专题 5　 二次根式计算化简的技巧 73……… 第 10 章　 一次函数 10. 1　 函数的图象 　 　 第 1 课时 函数的图象 75………………… 　 　 第 2 课时 函数图象的画法 77…………… 10. 2　 一次函数和它的图象 　 　 第 1 课时 一次函数的概念 79…………… 　 　 第 2 课时 一次函数的图象和待定系数法 81…………………………………………… 10. 3　 一次函数的性质 83……………………… 10. 4　 一次函数与二元一次方程 85…………… 10. 5　 一次函数与一元一次不等式 87………… 小专题 6 　 一次函数 y = kx+b 中的 k,b 的几何 意义 89…………………………………………… 10. 6　 一次函数的应用 91……………………… 第 11 章　 图形的平移与旋转 11. 1　 图形的平移 　 　 第 1 课时 平移及其基本性质 93………… 　 　 第 2 课时 平移作图和平移中的四边形 95 … …………………………………………… 　 　 第 3 课时 平面直角坐标系中的平移变换 97…………………………………………… 11. 2　 图形的旋转 　 　 第 1 课时 旋转及其基本性质 99………… 　 　 第 2 课时 旋转作图和旋转问题的有关计算 101…………………………………………… 　 　 第 3 课时 有关旋转问题的证明 103……… 小专题 7　 旋转的性质在几何证明中的应用 105 … …………………………………………… 11. 3　 图形的中心对称 　 　 第 1 课时 中心对称及其基本性质 107…… 　 　 第 2 课时 中心对称图形 109……………… 小专题 8　 网格中的平移旋转作图 111………… 参考答案及解析 113…………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 图书在版编目(CIP)数据 　 　 随堂小练习. 数学八年级 下册 / 朱凤娟主编. 银川 : 阳光出版社, 2022. 8(2023. 12 重印) 　 　 ISBN 978 7 5525 6431 0 　 　 Ⅰ. ①随… Ⅱ. ①朱… Ⅲ. ①中学数学课 初中 教 学参考资料 Ⅳ. ①G634 　 　 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2022)第 149768 号 随堂小练习　 数学　 八年级　 下册　 　 　 　 朱凤娟　 主编 责任编辑　 贾　 莉 封面设计　 本心设计 地　 　 址　 宁夏银川市北京东路 139 号出版大厦(750001) 网　 　 址　 http: / / www. ygcbs. com 网上书店　 http: / / shop129132959. taobao. com 电子信箱　 yangguangchubanshe@ 163. com 经　 　 销　 全国新华书店 印刷装订　 淄博润州印业有限公司 印刷委托书号　 (宁)0027810 开　 　 本　 787mm×1092mm　 1 / 16 印　 　 张　 10 字　 　 数　 292 千字 版　 　 次　 2022 年 8 月第 1 版 印　 　 次　 2023 年 12 月第 2 次印刷 书　 　 号　 ISBN 978 7 5525 6431 0 定　 　 价　 36. 90 元 版权所有　 翻版必究 如有质量问题,请联系 0533-8601588 第 6 章　 平行四边形 6. 1　 平行四边形及其性质 第 1 课时　 平行四边形的定义及性质定理 1,2 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 平行四边形的定义 1. 如图,在▱ABCD 中,如果 EF∥AD,GH∥CD,EF 与 GH 相交于点 O,那么图中的平行 四边形一共有 (　 　 ) A. 4 个 B. 5 个 C. 8 个 D. 9 个 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,请你添加一个条件 , 使得四边形 ABCD 是平行四边形。 (只填一个即可) 知识点二　 平行四边形的性质定理 1 3. (必考题)如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E,AB = 3,BC = 5,则 DE 的长为 (　 　 ) A. 2. 5 B. 2 C. 1 D. 1. 5 4. 平行四边形的周长为 18,一边长为 5,则其邻边长为 。 知识点三　 平行四边形的性质定理 2 5. 在▱ABCD 中,∠A+∠C= 200°,则∠A 的度数为 (　 　 ) A. 130° B. 100° C. 80° D. 70° 6. 在▱ABCD 中,∠A ∶ ∠B ∶ ∠C ∶ ∠D 的度数比可能是 (　 　 ) A. 1 ∶ 1 ∶ 2 ∶ 3 B. 1 ∶ 2 ∶ 1 ∶ 2 C. 1 ∶ 1 ∶ 2 ∶ 2 D. 1 ∶ 2 ∶ 2 ∶ 1 【随堂小测】 1. (教材改编题)如图,在▱ABCD 中,若∠B= 2∠A,则∠C 的度数为 (　 　 ) A. 60° B. 120° C. 72° D. 36° 1 2. 平行四边形的周长为 24 cm,相邻两边的差为 2 cm,则平行四边形的各边长为 (　 　 ) A. 4 cm,4 cm,8 cm,8 cm B. 5 cm,5 cm,7 cm,7 cm C. 5. 5 cm,5. 5 cm,6. 5 cm,6. 5 cm D. 3 cm,3 cm,9 cm,9 cm 3. 如图,在▱ABCD 中,AE 平分∠BAD 且交 BC 于点 E,∠D= 58°,则∠AEC 的度数为 (　 　 ) A. 61° B. 109° C. 112° D. 119° 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. (必考题)如图,▱ABCO 的顶点 O,A,C 的坐标分别为(0,0),(3,0),(1,2),则顶点 B 的坐标为 。 5. (易错题)在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E,且点 E 把 AD 分成 5 cm 与 4 cm 的两部分,则▱ABCD 的周长为 。 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 的垂直平分线分别与边 AB 和边 CD 的延长线交于 点 M,N,垂足为 O。 求证:BM=DN。 7. (核心素养·推理能力)如图 1,在▱ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC 交 BC 于点 E,连接 ED,且 ED 平分∠AEC。 (1)求证:AE=BC; (2)如图 2,过点 C 作 CF⊥DE 交 DE 于点 F,连接 AF,BF,猜想△ABF 的形状并 证明。 图 1 　 图 2 2 第 2 课时　 平行四边形的性质定理 3 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 平行四边形的性质定理 3 1. 如图,已知▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AC = 24 cm,BD = 38 cm,AD = 14 cm,那么△OBC 的周长为　 　 　 　 cm。 2. (必考题)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OE=OF。 求证:(1)△BOE≌△DOF; (2)BE∥DF。 知识点二　 过平行四边形对角线交点的直线的性质 3. 如图,▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 F,E,若设该平行四边形的面积为 2,则图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 1 C. 1 2 D. 无法确定 【随堂小测】 1. (易混题)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,若 AC = 6,BD = 10,则 CD 的长 不可能为 (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,▱ABCD 的对角线交于点 O,且 AB= 7,△OCD 的周长为 19,则▱ABCD 的两条 对角线的和为 (　 　 ) A. 12 B. 13 C. 26 D. 24 3 3. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,OE⊥AC 交 CD 于点 E,连接 AE,若 ▱ABCD 的周长为 28,则△ADE 的周长为 (　 　 ) A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 4. 如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点 O,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,已知 AB= 4,BC= 6,OE= 3,那么四边形 EFCD 的周长是 (　 　 ) A. 16 B. 13 C. 11 D. 10 5. (易错题)如图,▱ABCD 的面积为 20,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 AE=DF,则图中阴影部分的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,△BOC 的周长比△BOA 的周长大 2,若 BC= 10,则 AB 的长为 。 7. (核心素养·推理能力)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F。 (1)求证:AE=CF; (2)若∠AOE= 74°,∠EAD= 3∠CAE,直接写出∠BCA 的度数。 8. (原创题)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,∠AOB = 60°,AB = 2, AC= 4。 (1)求证:△AOB 是正三角形; (2)判断 AB 与 BC 的位置关系,并说明理由。 4 6. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定定理 1,2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点一　 平行四边形的判定定理 1 1. (必考题)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB=CD,若要判定四边形 ABCD 为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件, 则这个条件可以为 。 2. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别在 DC,AB 上,且 DE=BF。 求证:四边形 AFCE 是平行 四边形。 知识点二　 平行四边形的判定定理 2 3. 如图,D 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 A,B,连接 AD,分别以 点 B,D 为圆心,AD,AB 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 CD, BC, 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, 理 由 是 。 4. 如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,若△ADE≌△CBF。 求证: 四边形 ABCD 是平行四边形。 【随堂小测】 1. 依据所标数据,下列图形中一定为平行四边形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 5 2. (易混题)在下列给出的条件中,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 (　 　 ) A. AB=CD,AD=BC B. AB∥CD,AD=BC C. AB∥CD,AD∥BC D. ∠A= ∠C,∠B= ∠D 3. (易错题)在如图所示的网格中,以格点 A,B,C,D,E,F 中的 4 个点为顶点,你能画 出平行四边形的个数为　 　 　 　 。 4. (易错题)在平面直角坐标系中,有四个点 O(0,0),A(3,0),B(1,2),C(x,2),若以 O,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,则 x= 。 5. 如图,在▱ABCD 中,点 M,N 分别在边 AB,CD 上,且 AM=CN。 求证:DM=BN。 6. 如图,E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。 求证:(1)△AFD≌△CEB; (2)四边形 ABCD 是平行四边形。 7. (核心素养·推理能力)如图,已知点 A,C 在线段 EF 上,且 AE = CF,作 AD∥BC, DE∥BF。 (1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形; (2)直接写出图中所有相等的线段(AE=CF 除外)。 6 第 2 课时　 平行四边形的判定定理 3 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 平行四边形的判定定理 3 1. 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条 AC,BD 的中点重叠,并用钉子固定,则四边形 ABCD 就是平行四边形,这种方法的依据是 (　 　 ) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 如图,当 AO=OC,BD= 6 cm,OB= 　 　 　 　 cm 时,四边形 ABCD 是平行四边形。 知识点二　 平行四边形的判定和性质的综合 3. (易混题)如图,在▱ABCD 中,要在对角线 BD 上找点 E,F,使四边形 AECF 为平行 四边形,现有甲、乙、丙三种方案,则正确的方案是 (　 　 ) 甲:只需要满足 BE=DF;乙:只需要满足 AE=CF;丙:只需要满足 AE∥CF。 A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、丙才是 C. 只有甲、乙才是 D. 只有乙、丙才是 4. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,AC 与 EF 相交于点 O,且 AO = CO。 求证:四边形 AECF 是平行四边形。 【随堂小测】 1. (必考题)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 是对角线 AC 上的 点。 下列条件中,不能判定四边形 BEDF 是平行四边形的是 (　 　 ) A. DE=BF B. AF=CE C. ∠ABE= ∠CDF D. DF∥BE 7 2. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,BD= 12 cm,AC= 6 cm,点 E 在线段 BO 上从点 B 以 1 cm / s 的速度运动,点 F 在线段 OD 上从点 O 以 2 cm / s 的速度运动。 若点 E,F 同时运动,设运动时间为 t s,当 t = 时,四边形 AECF 是平行 四边形。 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. (易错题)如图,AB∥CD,AC 平分∠BAD,DB 平分∠ADC,AC 和 BD 交于点 E,若 S△ABE = 4,则 S△ACD = 。 4. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,EF 与 BD 相交于点 O,AE = CF。 求 证:BD,EF 互相平分。 5. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长 线于点 E。 (1)求证:BE=CD; (2)若 BF 恰好平分∠ABE,连接 AC,DE。 求证:四边形 ACED 是平行四边形。 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,点 G,H 在 BD 上, 且 AE=CF,BG=DH。 (1)若 AC= 6,BD= 8,试求 AD 的取值范围; (2)若 AC=AD,∠CAD= 50°,试求∠ABC 的度数; (3)求证:四边形 EHFG 是平行四边形。 8 6. 3　 特殊的平行四边形 第 1 课时　 矩形的定义与性质 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 矩形的定义 1. 如图,要使▱ABCD 成为矩形,需添加的条件是 (　 　 ) A. AB=BC B. ∠ABC= 90° C. AC⊥BD D. ∠1 = ∠2 知识点二　 矩形的性质定理 1 2. (原创题)两个矩形的位置如图所示,若∠1 =α,则∠2 等于 (　 　 ) A. α-90° B. α+45° C. 90°-α D. 180°-α 3. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 CD 边上的中点。 求证:AE=BE。 知识点三　 矩形的性质定理 2 4. 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,∠AOB= 60°,AO= 4,则 AB 的长是 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在矩形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,若△AOB 的面积为 2,则矩形 ABCD 的面 积为 (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 知识点四　 直角三角形的性质定理 2 6. 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,若 AB= 8,则 CD 的长是 (　 　 ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9 【随堂小测】 1. (必考题)在以下矩形的性质中,错误的是 (　 　 ) A. 两组对边分别平行 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线互相垂直且平分 2. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E, 若∠AOB=α,则用 α 表示∠OAE 为 (　 　 ) A. α 2 B. 45°- α 2 C. 45°-α D. 90°-α 3. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,且 EF⊥CE,EF = CE,DE = 2,矩形的周长为 16,则 AE 的长为 。 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,将矩形 ABCD 沿图中标示的 DE 折叠,点 A 恰好落在边 BC 上的点 G 处,若∠CDG= 54°,则∠DEG 的度数为 °。 5. 如图,在矩形 ABCD 中,∠ADC 的平分线 DF 交 AC 于点 E,交 BC 于点 F,∠BDF = 15°,求∠DOC 和∠COF 的度数。 6. (核心素养·推理能力)如图,四边形 ABCD 是矩形,△ABC 和△AEC 关于直线 AC 对称,连接 BE 交 AC 于点 F,EC 交 AD 于点 G。 (1)求证:AG=CG; (2)连接 DE,求∠BED 的度数。 01 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 矩形的判定定理 1 1. 如图,在▱ABCD 中,AE⊥CD 于点 E,CF⊥AB 于点 F。 求证:四边形 AFCE 是矩形。 知识点二　 矩形的判定定理 2 2. 四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 (　 　 ) A. AB=CD B. AC=BD C. AB=BC D. AD=BC 3. 如图,在▱ABCD 中,若∠1 = ∠2,则四边形 ABCD 是　 　 　 　 。 【随堂小测】 1. (必考题)在数学活动课上,同学们在判断一个四边形门框是否为矩形,下面是几个 学习小组拟定的方案,其中正确的是 (　 　 ) A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个内角是否都为直角 2. (易错题)依据所标数据,下列一定是矩形的是 (　 　 ) ① 　 　 ② 　 　 ③ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③ 3. (教材改编题)如图,在▱ABCD 中,下列条件:①AC = BD;②AB = AD;③∠1 = ∠2; ④AB⊥BC,能说明▱ABCD 是矩形的有 (填写序号)。 11 4. 如图,在△ABC 中,AC=BC,CD⊥AB 于点 D,四边形 DBCE 是平行四边形。 求证:四边形 ADCE 是矩形。 5. 如图,在▱ABCD 中,E,F 是 BC 上两点,且 BE=CF,AF=DE。 求证:(1)△ABF≌△DCE; (2)四边形 ABCD 是矩形。 6. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC 的平分线,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分 线,CE⊥AN,垂足为 E。 求证:四边形 ADCE 为矩形。 7. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC 中,D 是边 AB 上一点,E 是 BC 的中点,过点 C 作 CF∥AB,交 DE 的延长线于点 F。 (1)求证:BD=CF; (2)连接 CD,BF。 如果 D 是 AB 的中点,那么当 AC 与 BC 满足什么条件时,四边形 CDBF 是矩形? 证明你的结论。 21 第 3 课时　 菱形 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 菱形的定义 1. 如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它变为菱形,需要添加的条件是 (　 　 ) A. AB=CD B. AD=BC C. AC=BD D. AB=BC 知识点二　 菱形的性质定理 1 2. 如图,在菱形 ABCD 中,过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,作 DF⊥BC 于点 F。 求证:AE=CF。 知识点三　 菱形的性质定理 2 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中全等的直角三角形共有 (　 　 ) A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对 知识点四　 菱形的判定定理 1 4. 如图,正五边形 ABCDE 的两条对角线 AC,BE 相交于点 F。 (1)求∠FAE 的度数; (2)求证:四边形 CDEF 是菱形。 知识点五　 菱形的判定定理 2 5. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形 ABCD 为 菱形的是 (　 　 ) A. AD=CD B. AC=BD C. AB∥DC D. AC,BD 互相平分 31 【随堂小测】 1. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A= 50°,则∠ADB 的度数为 (　 　 ) A. 65° B. 55° C. 45 D. 25° 第 1 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 第 4 题图 2. (必考题)若菱形的两条对角线分别长 8,6,则菱形的面积为 (　 　 ) A. 48 B. 24 C. 14 D. 12 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC= 6,∠BAD= 120°,则菱形 ABCD 的周长为 (　 　 ) A. 24 B. 30 C. 36 D. 18 4. 如图,四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O,且互相平分,添加下列条件,仍不能 判定四边形 ABCD 为菱形的是 (　 　 ) A. AC⊥BD B. AB=AD C. AC=BD D. ∠BAC= ∠DAC 5. 如图,已知四边形 ABCD 为菱形,延长 AB 到点 E,使得 BE = AB,过点 E 作 EF∥AD, 交 DB 的延长线于点 F。 求证:DC=EF。 6. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,BD 是对角线。 (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 DB⊥BC,请证明四边形 BEDF 是菱形。 41 第 4 课时　 正方形 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 正方形的性质 1. 如图,在正方形 ABCD 中,在 BA 延长线上取一点,使 BE =BD,连接 DE,则∠EDA 的 度数为 (　 　 ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 22. 5° 2. 如图,AC 为正方形 ABCD 的对角线,E 为 AC 上一点,且 AB = AE,EF⊥AC,交 BC 于 点 F,试说明 EC=EF=BF。 知识点二　 正方形的判定 3. 下列说法正确的有 (　 　 ) ①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形;②对角线相等或有一个角是 直角的菱形是正方形;③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;④对角线 互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 如图,在 Rt△ABC 中,E 是两锐角平分线的交点,ED⊥BC,EF⊥AC,垂足分别为 D, F。 求证:四边形 CDEF 是正方形。 【随堂小测】 1. (教材改编题)已知在四边形 ABCD 中,∠A= ∠B= ∠C = 90°,如果添加一个条件,即 可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 (　 　 ) A. ∠D= 90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD 2. (必考题)如图,在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 CDE,则∠DAE 的度数为 (　 　 ) A. 25° B. 20° C. 15° D. 10° 51 3. (易错题)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,2),以 OA 为一边作正方形 OABC,则点 B 的坐标为 (　 　 ) A. (2,2) B. (2,-2) C. (2,2)或(2,-2) D. (2,2)或( -2,2) 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 4. (原创题)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD 和 AD 上,且 CE=DF,AE 与 BF 相交于点 O,下列结论:①AE = BF;②AE⊥BF;③OA = OE;④S△AOB = S四边形DEOF。 其中正确的有 (　 　 ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 5. 如图,P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点,PE⊥AD 于点 E,PE= 3,则点 P 到直 线 AB 的距离为 。 6. 如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,试添加一个条件 ,使得 矩形 ABCD 为正方形。 7. (核心素养·几何直观)如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,CD 平分∠ACB,DE⊥BC, DF⊥AC。 求证:四边形 CFDE 是正方形。 8. (核心素养·逻辑推理)在正方形 ABCD 中,E 是△ABD 内的点,EB=EC。 (1)如图 1,若 EB=BC,求∠EBD 的度数; (2)如图 2,EC 与 BD 交于点 F,连接 AE,若 S四边形ABFE =a,试探究线段 FC 与 BE 之间 的数量关系,并说明理由。 图 1 　 图 2 61 小专题 1　 平行四边形中的动态问题 一、与矩形有关的动态问题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 已知矩形 ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,则所得任一多边形的内角 和度数不可能是 (　 　 ) A. 180° B. 360° C. 540° D. 720° 2. (易错题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,E,F 是对角线 AC 上的 两个动点,分别从点 A,C 同时出发相向而行,速度均为每秒 1 个单位长 度,运动时间为 t 秒,其中 0≤t≤10,G,H 分别是 AD,BC 的中点,当四 边形 EGFH 为矩形时,t 的值为 。 3. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 5 cm,BC = 10 cm,动点 M 从点 D 出发,按折线 DCBAD 方向以 3 cm / s 的速度运动,动点 N 从点 D 出发,按折线 DABCD 方向以 2 cm / s 的速 度运动。 点 E 在线段 BC 上,且 BE= 1 cm,若 M,N 两点同时从点 D 出发,到第一次 相遇时停止运动。 (1)求经过几秒 M,N 两点停止运动; (2)求点 A,E,M,N 构成平行四边形时,M,N 两点运动的时间。 二、与菱形有关的动态问题 4. 如图,在菱形 ABCD 中,AB= 5 cm,∠ADC= 120°,点 E,F 同时由 A,C 两点出发,分别 沿 AB,CB 方向向点 B 匀速移动(到点 B 为止),点 E 的速度为 1 cm / s,点 F 的速度 为 2 cm / s,经过 t s,△DEF 为等边三角形,则 t 的值为 (　 　 ) A. 3 4 B. 4 3 C. 3 2 D. 5 3 71 5. 如图,将菱形 ABCD 沿 AC 方向平移至 A′B′C′D′,A′D′交 CD 于点 E,A′B′交 BC 于点 F,判断四边形 A′FCE 是不是菱形,并说明理由。 三、与正方形有关的动态问题 6. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的动点,三角形 AEF 是 等边三角形,连接 AC 交 EF 于点 G,下列结论:①BE =DF;②AG = 2CG; ③BE+DF=EF;④S△CEF = 2S△ABE。 正确的有 (只填序号)。 7. 如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,O 是正方形 A′B′C′O 的一个顶点,如果两 个正方形的边长相等,正方形 A′B′C′O 绕点 O 自由转动,设两个正方形重叠部分的 面积为 S1,正方形 ABCD 的面积为 S2。 求证:S1 = 1 4 S2。 四、与平行四边形有关的动态问题 8. (核心素养·几何直观)如图,C 是线段 AB 上的动点(不与点 A,B 重合),分别以 AC,BC 为边向上作等边三角形 ACD 和 BCE,延长 AD,BE 交于点 F,若 AB = 4,则四 边形 CEFD 的周长为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别从 A,C 两点同时出发, 以相同的速度向终点 O 运动。 (1)当点 E 与点 F 不重合时,四边形 DEBF 是平行四边形吗? 请说明理由; (2)若点 E,F 的运动速度都是 4 cm / s,且 BD = 24 cm,AC = 32 cm,当运动时间为 s 时,(1)中的四边形 DEBF 是矩形。 81 6. 4　 三角形的中位线定理 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点　 三角形的中位线定理 1. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的中点。 若∠A = 70°,∠AED = 65°,则 ∠B 的度数为 (　 　 ) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 2. 如图,D,E,F 分别是△ABC 三边的中点,AH⊥BC 于点 H。 求证:(1)∠BDF= ∠BAC; (2)DF=EH。 【随堂小测】 1. 已知△ABC 是等边三角形,D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 的中点,若 BC= 4,则△DEF 的周长等于 (　 　 ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是各边的中点,若△ABC 的面积为 16 cm2,则△DEF 的面积是 (　 　 ) A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,G 是 BC 上一点,连接 DE,DG,EG, F 是 DE 的中点,连接 FG。 若 DG⊥EG,FG= 3,则 BC 的长为 (　 　 ) A. 6 B. 16 C. 18 D. 12 91 4. (必考题)如图,把两根钢条 OA,OB 的一个端点连在一起,C,D 分别是 OA,OB 的中 点,若 CD= 4 cm,则该工件内槽宽 AB 的长为 cm。 第 4 题图 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是边 AB,AC,BC 的中点。 若 AB+BC = 14,则四边形 DBFE 的周长为 。 6. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是边 AC,AB,BC 的中点,连接 DE,DF,EF,BD,BD 与 EF 相交于点 O。 求证:OB=OD。 7. (核心素养·几何直观)如图,D,E 分别是△ABC 边 AB,AC 的中点,O 是△ABC 内一 动点,F,G 分别是 OB,OC 的中点。 判断四边形 DEGF 的形状,并证明。 8. (核心素养·推理能力)如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是边 AB 的中点,DE∥BC 交 AC 于点 E,连接 BE,F,G,H 分别为 BE,DE,BC 的中点。 (1)求证:FG=FH; (2)当∠A 为多少度时,FG⊥FH? 并说明理由。 02 小专题 2　 巧作辅助线解决有关问题 一、有线段中点构造三角形的中位线 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　1. 如图,在四边形 ABCD 中,M 是 AD 上的动点,N 是 CD 上一定点,E,F 分别是 BM, NM 的中点,当点 M 从点 A 向点 D 移动时,下列结论一定正确的是 (　 　 ) A. 线段 EF 的长度逐渐减小 B. 线段 EF 的长度逐渐增大 C. 线段 EF 的长度不改变 D. 线段 EF 的长度不能确定 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,在四边形 ABCD 中,AB= 2,CD= 9,由尺规作图可以确定边 BC 上一点 E,取 AD 的中点 F,连接 EF,则 EF 的长可能为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,CD⊥AD 于点 D,G 是 BC 的中点。 若 AB = 8,AC = 6,求 DG 的值。 二、有正方形作出正方形的对角线 4. 如图,过正方形 ABCD 的顶点 B 作 BE∥CA,且作 AE = AC,CF∥AE,则下列等式成立 的是 (　 　 ) A. ∠BCF= 1 2 ∠AEB B. ∠BCF= 1 3 ∠AEB C. ∠BCF= 1 5 ∠CAE D. ∠BCF= ∠BFC 5. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD 上,AE∥CF,连接 AF,CE。 (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)试判断四边形 AECF 的形状,并说明理由。 12 三、构造全等三角形 6. 如图,三个边长均为 2 的正方形重叠在一起,O1,O2 是其中两 个正方形对角线的交点,若把这样的 n 个正方形按如图所示方 式摆放,则重叠部分的面积为　 　 　 　 。 7. 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 类似地,我们定义:至少有一组 对边相等的四边形叫做等对边四边形。 如图,在△ABC 中,AB>AC,点 D,E 分别在 AB,AC 上,设 CD,BE 相交于点 O,如果∠A 是锐角,∠DCB= ∠EBC= 1 2 ∠A。 探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形? 请证明你的结论。 四、分割图形求面积 8. 如图,在菱形 ABCD 中,P 是对角线 AC 上一动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AB 于点 F。 若菱形 ABCD 的周长为 20,面积为 24,则 PE+PF 的值为 (　 　 ) A. 4 B. 24 5 C. 6 D. 48 5 五、构造等腰三角形证垂直 9. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE = AC,连接 AE,F 是 AE 的中 点,连接 BF,DF。 求证:BF⊥DF。 22 第 7 章　 实数 7. 1　 算术平方根 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 算术平方根的意义 1. 有理数 14 的算术平方根是 (　 　 ) A. 7 B. 14 C. 14 D. - 14 2. 下列式子中,正确的是 (　 　 ) A. -5 = -5 B. - 3. 6 = -0. 6 C. 36 = 6 D. 36 = -6 知识点二　 算术平方根的性质 3. ( 13 ) 2 = 。 知识点三　 算术平方根的应用 4. 一块面积为 5 m2 的正方形桌布,其边长为 m。 5. 如图,用两个面积为 5 cm2 的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形。 (1)求大正方形的边长; (2)想在这个大正方形的四周粘上彩纸,请问 12 cm 长的彩纸够吗? 请说明理由。 【随堂小测】 1. (易混题)下列关于 9 的算术平方根的说法正确的是 (　 　 ) A. 9 的算术平方根是 3 与-3 B. 9 的算术平方根是-3 C. 9 的算术平方根是 3 D. 9 的算术平方根不存在 2. 若 m 是 a 的算术平方根,则 (　 　 ) A. a=m2 B. m=a2 C. m= -a2 D. a= -m2 3. 若 | x | = 5,y 是 36 的算术平方根,则 x+y 的值为 (　 　 ) A. 11 B. -11 C. -1 D. 1 或 11 32 4. (核心素养·运算能力)如图,按下面的程序计算:若开始输入的 x 值为 1,则最后输 出的结果是 (　 　 ) A. 13 B. 4 C. 7 D. 7 5. (必考题) 5 的算术平方根是 ; 7 是 的算术平方根; ( - 2) 2 是 的算术平方根。 6. 某矩形的面积是 15,它的长与宽的比为 3 ∶ 1,则该矩形的宽为 。 7. 计算: (1) 1 7 9 ; (2) 1-16 25 ; (3) | -3 | -( 6 ) 2。 8. (核心素养·运算能力)某市在招商引资期间,把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资 商,该投资商为减少固定资产投资,将原来的 400 m2 的正方形场地改建成 300 m2 的 长方形场地,且其长、宽的比为 5 ∶ 3。 (1)求原来正方形场地的周长; (2)如果把原来的正方形场地的铁栅栏围墙全部利用,围成新场地的长方形围墙, 那么这些铁栅栏是否够用? 试利用所学知识说明理由。 42 7. 2　 勾股定理 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 勾股定理 1. 直角三角形两直角边的边长分别为 3 cm 和 4 cm,则斜边长为 (　 　 ) A. 5 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 10 cm 2. 一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大 3,另一直角边长为 9,则斜边长为 (　 　 ) A. 15 B. 12 C. 10 D. 9 知识点二　 勾股定理的证明 3. 如图是一种验证勾股定理的办法,你能利用它证明勾股定理吗? 请写出你的证明过 程。 (提示:如图三个三角形均是直角三角形) 知识点三　 勾股定理的应用 4. (传统文化)《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国 传统数学的基本框架。 如图是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高 一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”题意是一根竹子原高 1 丈 (1 丈= 10 尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根 3 尺,试问折断处 离地面多高? 答:折断处离地面　 　 　 　 尺高。 【随堂小测】 1. (必考题)如图,字母 A 所代表的正方形的面积为 (　 　 ) A. 4 B. 16 C. 36 D. 64 2. (易错题)一直角三角形的两条边长分别为 5 和 12,则第三边的长的平方为 (　 　 ) A. 169 B. 49 C. 169 或 49 D. 169 或 119 52 3. (教材改编题)一架长 25 m 的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距墙底端 7 m, 如果梯子的顶端沿墙下滑了 4 m,那么梯足将滑动 (　 　 ) A. 5 m B. 8 m C. 13 m D. 15 m 4. (核心素养·模型观念)如图,有一个水池,水面是边长为 8 尺的正方形,在水池中 央有一根芦苇,它高出水面 1 尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰 好到达池边的水面,这根芦苇的长度为 (　 　 ) A. 7. 5 尺 B. 8 尺 C. 8. 5 尺 D. 9 尺 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 5. (易错题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,AD = 4,P 是 AD 上不与点 A 和点 D 重合的 一个动点,过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足分别为 E,F,则 PE+PF= 　 　 　 　 。 6. (数学文化)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人 称之为“赵爽弦图”,它是由 4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成。 如图,直 角三角形的直角边长为 a,b,斜边长为 c,若 b-a = 4,c = 20,则每个直角三角形的面 积为 。 7. (核心素养·运算能力)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 6,BC = 8,将此图 形折叠得图 2,折痕为 AF,且点 C 恰好落在边 AB 上的点 C′处,求 C′F 的长。 图 1 　 图 2 8. (核心素养·推理能力)如图,公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇,且∠QPN = 30°, 在 A 处有一所中学,AP= 120 m,此时有一辆消防车在公路 MN 上沿 PN 方向以每秒 5 m 的速度行驶,假设消防车行驶时周围 100 m 以内有噪音影响。 (1)学校是否会受到影响? 请说明理由; (2)若受到影响,则影响时间是多长? 62 7. 3　 2是有理数吗 第 1 课时　 2是有理数吗 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 无理数 1. 下列说法中正确的是 (　 　 ) A. 无理数就是开方开不尽的数 B. 无理数是无限小数 C. 无理数包括正无理数、零、负无理数 D. π 2 是分数,不是无理数 2. 在-1. 414, 5 ,π,3. 6 · ,2+ 3 ,3. 212 212 221…(相邻两个 1 之间依次增加一个 2), 3. 141 592 6 这些数中,无理数有 (　 　 ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 知识点二　 算术平方根的估算 3. 下列各数最接近 5的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 阅读下面的文字,解答问题。 大家知道 2 是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此 2 的小数部分我们不可能 全部地写出来,于是小明用 2 -1 来表示 2 的小数部分,你同意小明的表示方法吗? 事实上,小明的表示方法是有道理的,因为 2 的整数部分是 1,将这个数减去其整数 部分,差就是小数部分。 请解答:已知 9+ 5 = x+y,其中 x 是整数,且 0<y<1,求 x-y 的相反数。 【随堂小测】 1. 一块正方形瓷砖的面积为 60 cm2,它的边长大约在 (　 　 ) A. 4~ 5 cm 之间 B. 5~ 6 cm 之间 C. 6~ 7 cm 之间 D. 7~ 8 cm 之间 72 2. 下列说法中,不正确的有 (　 　 ) ① 2的整数部分是 2;② a一定是正数;③绝对值等于它本身的数是正数;④带根号 的数一定是无理数;⑤在 1 和 3 之间的无理数有且只有 2 , 3 , 5 , 7这 4 个; ⑥2- 7的相反数是 7 -2。 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 3. (必考题)设 n 为正整数,且 n< 199 <n+1,则 n 的值为 (　 　 ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 4. (易错题)估计 5 -1 2 的值在 (　 　 ) A. 0 和 0. 5 之间 B. 0. 5 和 1 之间 C. 1 和 1. 5 之间 D. 1. 5 和 2 之间 5. (教材改编题)在实数27 5 ,- 4 ,0, 8 ,π 2 ,1. 121 121 112 111 12…(相邻的两个 2 之间 依次多 1 个 1)中,无理数有 个。 6. (原创题)若 a< 21<b,且 a,b 为两个连续的正整数,则 a+b 的算术平方根是 。 7. (核心素养·运算能力)已知 a 为 17 的整数部分,b- 1 是 121 的算术平方根,求 a+b的值。 8. (核心素养·抽象能力)仔细阅读材料,回答问题。 观察:∵ 4 < 7 < 9 ,即 2< 7 <3。 ∴ 7 的整数部分为 2,小数部分为 7 -2。 请你观察上述式子规律后解决下面问题。 (1)规定用符号[m]表示 m 的整数部分,例如:[ 4 5 ] = 0,[π] = 3。 填空:[ 10 ÷2] = 　 　 　 　 ;[5- 10 ] = 　 　 　 　 ; (2)如果 10 ÷2 的小数部分为 a,5- 10的小数部分为 b,求 a2 -b2 的值。 82 【随堂小测】 1. A　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AB = CD,AD∥BC,AD = BC,OA = OC,OB = OD。 ∵ AF=CE,∴ AE=CF,OE=OF。 ∴ 四边形 BEDF 是平 行四 边 形。 故 B 选 项 不 符 合 题 意; ∵ AB ∥CD, ∴ ∠BAE = ∠DCF。 ∵ AB = CD, ∠ABE = ∠CDF, ∴ △ABE ≌ △CDF ( ASA )。 ∴ BE = DF, ∠AEB = ∠CFD。 ∴ ∠BEF = ∠DFE。 ∴ DF∥BE。 ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 故 C 选项不符合题意;∵ DF∥ BE,∴ ∠BEF = ∠DFE。 ∴ ∠AEB = ∠CFD。 ∵ ∠BAE = ∠DCF,AB=CD,∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ BE =DF。 ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 故 D 选项不符合题 意;当 DE = BF 时,已知 AD = BC,OD = OB。 ∵ AD∥ BC,∴ ∠DAE= ∠BCF。 而∠DOE = ∠BOF,此时不能 得到△ADE≌△CBF 或△DOE≌△BOF,∴ 条件 DE = BF 不能判定四边形 BEDF 是平行四边形。 故 A 选项 符合题意。 故选 A。 2. 2　 【解析】由题意,得 OE = OB-BE = OB- t,OF = 2t。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,BD = 12 cm,∴ OB = OD= 6 cm。 ∴ OE= 6-t。 ∵ 四边形 AECF 是平行四边 形,∴ OE=OF。 ∴ 6-t = 2t。 ∴ t = 2。 ∴ 当 t = 2 时,四 边形 AECF 是平行四边形。 3. 8　 【解析】如图,连接 BC。 ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAC = ∠DCA。 ∵ AC 平 分 ∠BAD, ∴ ∠BAC = ∠DAC。 ∴ ∠DCA = ∠DAC。 ∴ AD = CD。 同理 AD=AB,∴ CD=AB。 ∵ AB∥CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ BE =DE,AE =CE。 ∴ S△ADE = S△ABE = 4。 ∴ S△ACD = 2S△ADE = 8。 4.证明:如图,连接 BE,DF。 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC。 又∵ AE=CF, ∴ DE=BF。 ∴ 四边形 EBFD 为平行四 边形。 ∴ BD,EF 互相平分。 5.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB=CD。 ∴ ∠DAE= ∠AEB。 ∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAE= ∠DAE。 ∴ ∠BAE= ∠AEB。 ∴ BE=AB。 ∴ BE=CD。 (2)∵ BE=AB,BF 平分∠ABE,∴ AF=EF。 在△ADF 和△ECF 中, ∠DAF= ∠CEF, AF=EF, ∠AFD= ∠EFC, { ∴ △ADF≌△ECF(ASA)。 ∴ DF=CF。 又∵ AF=EF, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形。 6.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA= 1 2 AC= 3,OD= 1 2 BD= 4。 ∴ 1<AD<7。 (2)∵ AC=AD,∠CAD= 50°, ∴ ∠ADC= ∠ACD= 1 2 ×(180°-50°)= 65°。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠ABC= ∠ADC= 65°。 (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC,OB=OD。 ∵ AE=CF,BG=DH, ∴ OE=OF,OG=OH。 ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形。 6. 3　 特殊的平行四边形 第 1 课时　 矩形的定义与性质 【边学边练】 1. B 2. C　 【解析】如图,∵ ∠1 + ∠4 = 90°,∠3 + ∠4 = 90°, ∴ ∠3 = ∠1 =α。 ∵ ∠2+∠3 = 90°,∴ ∠2 = 90° -α。 故 选 C。 3.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,∠D= ∠C= 90°。 ∵ E 为 CD 边上的中点, ∴ DE=CE。 ∴ △ADE≌△BCE(SAS)。 ∴ AE=BE。 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA =OC,OB= OD,AC = BD。 ∴ OA = OB。 ∵ ∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边三角形。 ∴ AB=OA= 4。 故选 A。 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相 交于点 O,∴ AC = BD,且 OA =OB =OC =OD。 ∴ S△AOD =S△BOC = S△COD = S△AOB = 2。 ∴ 矩形 ABCD 的面积为 4S△AOB = 8。 故选 C。 6. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线, 则 AB= 2CD= 8,∴ CD= 4。 故选 C。 【随堂小测】 1. D 2. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 611 OA=OD。 ∵ ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,∴ ∠DAE = 1 2 ∠BAD= 1 2 ×90° = 45°。 ∵ ∠AOB = α,∴ ∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - α。 ∴ ∠OAD = 180° -∠AOD 2 = 1 2 α。 ∴ ∠OAE= ∠DAE-∠OAD= 45°- 1 2 α。 故选 B。 3. 3　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A = ∠D = 90°。 ∵ EF⊥CE,∴ ∠AFE+∠AEF = ∠AEF+∠DEC, 即∠AFE = ∠DEC。 ∵ EF = CE, ∴ △AEF ≌ △DCE (AAS)。 ∴ AE = DC。 ∵ 矩形的周长为 16,∴ 2(AD+ CD)= 16。 ∴ AD+CD = 8。 ∴ AE+DE+AE = 8,即 AE+ 2+AE= 8。 ∴ AE= 3。 4. 72　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A= ∠ADC= ∠C= 90°,AD∥BC。 ∵ ∠CDG = 54°,∴ ∠CGD = 90° - ∠CDG= 90° - 54° = 36°。 ∴ ∠ADG = ∠CGD = 36°。 ∵ 将矩形 ABCD 沿 DE 折叠,点 A 落在边 BC 上的点 G 处,∴ ∠DGE= ∠A= 90°,∠GDE= ∠ADE= 1 2 ∠ADG= 1 2 × 36° = 18°。 ∴ ∠DEG = 90° - ∠GDE = 90° - 18° = 72°。 5.解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠ADC= ∠BCD= 90°,OC=OA= 1 2 AC, OD=OB= 1 2 BD,AC=BD。 ∴ OA=OC=OB=OD。 ∴ ∠OAD= ∠ODA。 ∵ DF 平分∠ADC, ∴ ∠ADF= ∠CDF= 45°,CD=CF。 ∴ ∠ODC= ∠BDF+∠CDF= 15°+45° = 60°。 ∴ △OCD 是等边三角形。 ∴ OC=CD=CF。 ∴ ∠DOC= ∠OCD= ∠ODC= 60°。 ∴ ∠OCF= 90°-60° = 30°。 ∴ ∠COF= 1 2 ×(180°-30°)= 75°。 6. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠GAC= ∠BCA。 ∵ △ABC 和△AEC 关于直线 AC 对称, ∴ ∠GCA= ∠BCA。 ∴ ∠GAC= ∠GCA。 ∴ AG=CG。 (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=CB。 ∵ △ABC 和△AEC 关于直线 AC 对称, ∴ CE=CB,AC⊥BE。 ∴ AD=CE。 ∵ AG=CG, ∴ AD-AG=CE-CG,即 DG=EG。 ∴ ∠GED= ∠GDE。 ∴ ∠AGE= ∠GED+∠GDE= 2∠GDE。 ∵ ∠GAC= ∠GCA。 ∴ ∠AGE= ∠GAC+∠GCA= 2∠GAC。 ∴ 2∠GDE= 2∠GAC。 ∴ ∠GDE= ∠GAC。 ∴ DE∥AC。 ∴ DE⊥BE。 ∴ ∠BED= 90°。 第 2 课时　 矩形的判定 【边学边练】 1.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD。 ∵ AE⊥CD,CF⊥AB, ∴ ∠AFC= ∠AEC= 90°。 ∴ ∠FCE= ∠AFC= 90°。 ∴ 四边形 AFCE 是矩形。 2. B　 【解析】可添加 AC =BD。 ∵ 四边形 ABCD 的对角 线互相平分,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ AC = BD,根据矩形的判定定理 2,∴ 平行四边形 ABCD 是 矩形。 故选 B。 3. 矩形　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AO = CO= 1 2 AC,BO=DO= 1 2 BD。 ∵ ∠1 = ∠2,∴ BO=CO。 ∴ AC=BD。 ∴ ▱ABCD 是矩形。 【随堂小测】 1. D　 【解析】A. 测量对角线是否相互平分,能判定平行 四边形,故选项不符合题意;B. 测量两组对边是否相 等,能判定平行四边形,故选项不符合题意;C. 测量对 角线是否相等,不能判定形状,故选项不符合题意; D. 测量其中三个内角是否都为直角,能判定矩形,故 选项符合题意。 故选 D。 2. C　 【解析】题图①中有一组对边相等与一个直角,对边可 能不平行,故不一定是矩形,故①错误;如图 1,连接 BD。 在 Rt △ABD 和 Rt △CDB 中, AB=CD, BD=DB,{ ∴ Rt△ABD ≌ Rt△CDB(HL)。 ∴ ∠ABD= ∠CDB。 ∴ AB∥CD。 ∵ AB =CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ ∠A = 90°, ∴ 四边形 ABCD 是矩形。 故②正确; 图 1 　 　 图 2 如图 2,∵ ∠A + ∠D = 90° + 90° = 180°,∴ AB∥CD。 ∵ AB=CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∵ ∠A = 90°,∴ 四边形 ABCD 是矩形。 故③正确。 故选 C。 3. ①④　 【解析】①∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 711