6.2.2 平形四边形的判定定理3-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

第 2 课时　 平行四边形的判定定理 3 【边学边练】 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　知识点一　 平行四边形的判定定理 3 1. 小玲的爸爸在制作平行四边形框架时,采用了一种方法:如图,将两根木条 AC,BD 的中点重叠,并用钉子固定,则四边形 ABCD 就是平行四边形,这种方法的依据是 (　 　 ) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2. 如图,当 AO=OC,BD= 6 cm,OB= 　 　 　 　 cm 时,四边形 ABCD 是平行四边形。 知识点二　 平行四边形的判定和性质的综合 3. (易混题)如图,在▱ABCD 中,要在对角线 BD 上找点 E,F,使四边形 AECF 为平行 四边形,现有甲、乙、丙三种方案,则正确的方案是 (　 　 ) 甲:只需要满足 BE=DF;乙:只需要满足 AE=CF;丙:只需要满足 AE∥CF。 A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、丙才是 C. 只有甲、乙才是 D. 只有乙、丙才是 4. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,AD 上,AC 与 EF 相交于点 O,且 AO = CO。 求证:四边形 AECF 是平行四边形。 【随堂小测】 1. (必考题)如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E,F 是对角线 AC 上的 点。 下列条件中,不能判定四边形 BEDF 是平行四边形的是 (　 　 ) A. DE=BF B. AF=CE C. ∠ABE= ∠CDF D. DF∥BE 7 2. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,BD= 12 cm,AC= 6 cm,点 E 在线段 BO 上从点 B 以 1 cm / s 的速度运动,点 F 在线段 OD 上从点 O 以 2 cm / s 的速度运动。 若点 E,F 同时运动,设运动时间为 t s,当 t = 时,四边形 AECF 是平行 四边形。 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. (易错题)如图,AB∥CD,AC 平分∠BAD,DB 平分∠ADC,AC 和 BD 交于点 E,若 S△ABE = 4,则 S△ACD = 。 4. 如图,在▱ABCD 中,点 E,F 分别在 AD,BC 上,EF 与 BD 相交于点 O,AE = CF。 求 证:BD,EF 互相平分。 5. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,∠BAD 的平分线 AE 交 CD 于点 F,交 BC 的延长 线于点 E。 (1)求证:BE=CD; (2)若 BF 恰好平分∠ABE,连接 AC,DE。 求证:四边形 ACED 是平行四边形。 6. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,点 G,H 在 BD 上, 且 AE=CF,BG=DH。 (1)若 AC= 6,BD= 8,试求 AD 的取值范围; (2)若 AC=AD,∠CAD= 50°,试求∠ABC 的度数; (3)求证:四边形 EHFG 是平行四边形。 8 ∵ AD=CB, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 【随堂小测】 1. C　 【解析】A. 图中的左右的对边不平行,因此图中的 四边形不可能是平行四边形,故选项不符合题意; B. 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形,故 选项不符合题意;C. 两组对边分别相等能判断四边 形是平行四边形,故选项符合题意;D. 一组对边平行 但不相等的四边形不是平行四边形,故选项不符合题 意。 故选 C。 2. B　 【解析】A. 根据 AB=CD,AD=BC,两组对边分别相 等,可以推出四边形 ABCD 是平行四边形,故 A 选项 不符合题意;B. 根据 AB∥CD,AD = BC 不能推出四边 形 ABCD 是平行四边形,故 B 选项符合题意;C. 根据 AB∥CD,AD∥BC,两组对边分别平行,可以推出四边 形 ABCD 是平行四边形,故 C 选项不符合题意;D. 如 图,∵ ∠A= ∠C,∠B= ∠D,又∵ ∠A+∠B+∠C+∠D= 360°,∴ ∠C + ∠B = 180°,∠B + ∠A = 180°。 ∴ AB∥ CD,AD∥BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 故 D 选项不符合题意。 故选 B。 3. 3 　 【解析】 如 图, 图 中 平 行 四 边 形 有 ▱ABEC, ▱BDEC,▱BEFC,共 3 个。 4. -2 或 4　 【解析】∵ 点 B(1,2),C(x,2),∴ BC∥x 轴。 ∵ 以 O,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,点 O (0,0),A(3,0),∴ BC=OA= 3。 如图 1,若点 C 在点 B 的左侧,则 x = 1-3 = -2;如图 2,若点 C 在点 B 的右 侧,则 x= 1+3 = 4。 图 1 　 　 图 2 5.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD。 ∵ AM=CN,∴ AB-AM=CD-CN,即 BM=DN。 又∵ BM∥DN,∴ 四边形 MBND 是平行四边形。 ∴ DM=BN。 6.证明:(1)∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF。 在△AFD 和△CEB 中, DF=BE, ∠DFA= ∠BEC, AF=CE, { ∴ △AFD≌△CEB(SAS)。 (2)由(1)知△AFD≌△CEB, ∴ ∠DAF= ∠BCE,AD=CB。 ∴ AD∥BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 7. (1)证明:∵ AD∥BC,DE∥BF, ∴ ∠DAC= ∠BCA,∠E= ∠F。 ∴ ∠DAE= ∠BCF。 在△ADE 和△CBF 中, ∠E= ∠F, AE=CF, ∠DAE= ∠BCF, { ∴ △ADE≌△CBF(ASA)。 ∴ AD=CB。 ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 (2)解:AD=CB,CE=AF,DE=BF,AB=CD。 理由:∵ △ADE≌△CBF,∴ AD=CB,DE=BF。 ∵ AE=CF,∴ CE=AF。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD。 第 2 课时　 平行四边形的判定定理 3 【边学边练】 1. A　 【解析】∵ O 是 AC,BD 的中点,∴ OA = OC,OB = OD。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(对角线互相平 分的四边形是平行四边形)。 故选 A。 2. 3 3. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AB= CD。 ∴ ∠ABE = ∠CDF。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, BE=DF, { ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 ∴ AE =CF,∠AEB = ∠CFD。 ∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ AE∥ CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故甲正确;由 AE=CF,不能证明△ABE≌△CDF,不能判定四边形 AECF 是 平 行 四 边 形, 故 乙 不 正 确; ∵ AE ∥CF, ∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ ∠AEB = ∠CFD。 在 △ABE 和 △CDF 中, ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, { ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE=CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故丙正确。 故选 B。 4.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠OAF= ∠OCE。 在△AOF 和△COE 中, ∠OAF= ∠OCE, AO=CO, ∠AOF= ∠COE, { ∴ △AOF≌△COE(ASA)。 ∴ FO=EO。 又∵ AO=CO, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511 【随堂小测】 1. A　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AB = CD,AD∥BC,AD = BC,OA = OC,OB = OD。 ∵ AF=CE,∴ AE=CF,OE=OF。 ∴ 四边形 BEDF 是平 行四 边 形。 故 B 选 项 不 符 合 题 意; ∵ AB ∥CD, ∴ ∠BAE = ∠DCF。 ∵ AB = CD, ∠ABE = ∠CDF, ∴ △ABE ≌ △CDF ( ASA )。 ∴ BE = DF, ∠AEB = ∠CFD。 ∴ ∠BEF = ∠DFE。 ∴ DF∥BE。 ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 故 C 选项不符合题意;∵ DF∥ BE,∴ ∠BEF = ∠DFE。 ∴ ∠AEB = ∠CFD。 ∵ ∠BAE = ∠DCF,AB=CD,∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ BE =DF。 ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 故 D 选项不符合题 意;当 DE = BF 时,已知 AD = BC,OD = OB。 ∵ AD∥ BC,∴ ∠DAE= ∠BCF。 而∠DOE = ∠BOF,此时不能 得到△ADE≌△CBF 或△DOE≌△BOF,∴ 条件 DE = BF 不能判定四边形 BEDF 是平行四边形。 故 A 选项 符合题意。 故选 A。 2. 2　 【解析】由题意,得 OE = OB-BE = OB- t,OF = 2t。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,BD = 12 cm,∴ OB = OD= 6 cm。 ∴ OE= 6-t。 ∵ 四边形 AECF 是平行四边 形,∴ OE=OF。 ∴ 6-t = 2t。 ∴ t = 2。 ∴ 当 t = 2 时,四 边形 AECF 是平行四边形。 3. 8　 【解析】如图,连接 BC。 ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAC = ∠DCA。 ∵ AC 平 分 ∠BAD, ∴ ∠BAC = ∠DAC。 ∴ ∠DCA = ∠DAC。 ∴ AD = CD。 同理 AD=AB,∴ CD=AB。 ∵ AB∥CD,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ BE =DE,AE =CE。 ∴ S△ADE = S△ABE = 4。 ∴ S△ACD = 2S△ADE = 8。 4.证明:如图,连接 BE,DF。 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD=BC,AD∥BC。 又∵ AE=CF, ∴ DE=BF。 ∴ 四边形 EBFD 为平行四 边形。 ∴ BD,EF 互相平分。 5.证明:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB=CD。 ∴ ∠DAE= ∠AEB。 ∵ AE 平分∠BAD, ∴ ∠BAE= ∠DAE。 ∴ ∠BAE= ∠AEB。 ∴ BE=AB。 ∴ BE=CD。 (2)∵ BE=AB,BF 平分∠ABE,∴ AF=EF。 在△ADF 和△ECF 中, ∠DAF= ∠CEF, AF=EF, ∠AFD= ∠EFC, { ∴ △ADF≌△ECF(ASA)。 ∴ DF=CF。 又∵ AF=EF, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形。 6.解:(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA= 1 2 AC= 3,OD= 1 2 BD= 4。 ∴ 1<AD<7。 (2)∵ AC=AD,∠CAD= 50°, ∴ ∠ADC= ∠ACD= 1 2 ×(180°-50°)= 65°。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ ∠ABC= ∠ADC= 65°。 (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC,OB=OD。 ∵ AE=CF,BG=DH, ∴ OE=OF,OG=OH。 ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形。 6. 3　 特殊的平行四边形 第 1 课时　 矩形的定义与性质 【边学边练】 1. B 2. C　 【解析】如图,∵ ∠1 + ∠4 = 90°,∠3 + ∠4 = 90°, ∴ ∠3 = ∠1 =α。 ∵ ∠2+∠3 = 90°,∴ ∠2 = 90° -α。 故 选 C。 3.证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD=BC,∠D= ∠C= 90°。 ∵ E 为 CD 边上的中点, ∴ DE=CE。 ∴ △ADE≌△BCE(SAS)。 ∴ AE=BE。 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ OA =OC,OB= OD,AC = BD。 ∴ OA = OB。 ∵ ∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边三角形。 ∴ AB=OA= 4。 故选 A。 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相 交于点 O,∴ AC = BD,且 OA =OB =OC =OD。 ∴ S△AOD =S△BOC = S△COD = S△AOB = 2。 ∴ 矩形 ABCD 的面积为 4S△AOB = 8。 故选 C。 6. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线, 则 AB= 2CD= 8,∴ CD= 4。 故选 C。 【随堂小测】 1. D 2. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD = 90°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 611