6.2.1 平行四边形的判定定理1.2-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(青岛版)

6. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定定理 1,2 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　【边学边练】 知识点一　 平行四边形的判定定理 1 1. (必考题)如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB=CD,若要判定四边形 ABCD 为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件, 则这个条件可以为 。 2. 如图,在▱ABCD 中,E,F 分别在 DC,AB 上,且 DE=BF。 求证:四边形 AFCE 是平行 四边形。 知识点二　 平行四边形的判定定理 2 3. 如图,D 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 A,B,连接 AD,分别以 点 B,D 为圆心,AD,AB 的长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 CD, BC, 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, 理 由 是 。 4. 如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AB,CD 的中点,若△ADE≌△CBF。 求证: 四边形 ABCD 是平行四边形。 【随堂小测】 1. 依据所标数据,下列图形中一定为平行四边形的是 (　 　 ) A. B. C. D. 5 2. (易混题)在下列给出的条件中,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 (　 　 ) A. AB=CD,AD=BC B. AB∥CD,AD=BC C. AB∥CD,AD∥BC D. ∠A= ∠C,∠B= ∠D 3. (易错题)在如图所示的网格中,以格点 A,B,C,D,E,F 中的 4 个点为顶点,你能画 出平行四边形的个数为　 　 　 　 。 4. (易错题)在平面直角坐标系中,有四个点 O(0,0),A(3,0),B(1,2),C(x,2),若以 O,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,则 x= 。 5. 如图,在▱ABCD 中,点 M,N 分别在边 AB,CD 上,且 AM=CN。 求证:DM=BN。 6. 如图,E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE。 求证:(1)△AFD≌△CEB; (2)四边形 ABCD 是平行四边形。 7. (核心素养·推理能力)如图,已知点 A,C 在线段 EF 上,且 AE = CF,作 AD∥BC, DE∥BF。 (1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形; (2)直接写出图中所有相等的线段(AE=CF 除外)。 6 在△BOE 和△DOF 中, OE=OF, ∠BOE= ∠DOF, OB=OD, { ∴ △BOE≌△DOF(SAS)。 (2)由(1)知△BOE≌△DOF, ∴ ∠BEO= ∠DFO。 ∴ BE∥DF。 3. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD, OA = OC, OB = OD。 在 △AOB 和 △COD 中, AB=CD, OA=OC, OB=OD, { ∴ △AOB ≌ △COD ( SSS )。 ∴ S△AOB = S△COD。 同理可证△AFO≌△CEO,△BOE≌△DOF。 ∴ S△AFO = S△CEO,S△BOE = S△DOF。 ∴ S阴影 = S四边形ABEF = 1 2 S▱ABCD = 1。 故选 B。 【随堂小测】 1. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AC= 6,BD = 10,∴ OC = OA = 1 2 AC = 3,OD = OB = 1 2 BD = 5。 ∵ OD-OC<CD<OD+OC,∴ 5-3<CD<5+3。 ∴ 2<CD<8。 ∴ CD 的长不可能是 8。 故选 D。 2. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,AB = 7, ∴ AB=CD= 7,BD= 2OD,AC = 2OC。 ∵ △OCD 的周长 为 19,∴ OD+OC= 19-7 = 12。 ∴ ▱ABCD 的两条对角 线的和为 BD+AC= 2(OD+OC)= 24。 故选 D。 3. D　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD,AD=BC,OA =OC。 ∵ ▱ABCD 的周长为 28,∴ AD+ DC= 14。 ∵ OE⊥AC,∴ OE 是线段 AC 的垂直平分线。 ∴ AE= EC。 ∴ △ADE 的周长为 AD +DE +AE = AD + DE+EC=AD+DC= 14。 故选 D。 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ OB = OD,AD∥BC, AB = CD = 4。 ∴ ∠OBF = ∠ODE。 在 △BOF 和 △DOE 中, ∠OBF= ∠ODE, OB=OD, ∠BOF= ∠DOE, { ∴ △BOF ≌ △DOE(ASA)。 ∴ BF=DE,OF = OE = 3。 ∴ CF+DE= CF+BF= BC = 6。 ∴ DE+EF+CF+CD = BC+OE+OF+ CD= 6+3+3+4 = 16。 故选 A。 5. B　 【解析】如图,过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,作 OH⊥ CD 于点 H。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA =OC,OB = OD, AB∥CD。 ∴ ∠GAO = ∠HCO。 在△AOG 和△COH 中, ∠AOG= ∠COH, AO=CO, ∠GAO= ∠HCO, { ∴ △AOG≌△COH(ASA)。 ∴ OG = OH。 ∵ AE=DF,∴ S△AOE = S△DOF。 ∴ S阴影部分 = S△AOB = 1 4 S四边形ABCD = 5。 故选 B。 6. 8　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ OA = OC。 ∵ △BOC 的周长比△BOA 的周长大 2,∴ (OB+ OC+BC)-(OB+OA+AB)= 2。 ∵ BC = 10,∴ OB+OC+ BC-OB-OA-AB=BC-AB= 10-AB= 2。 ∴ AB= 8。 7. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC。 ∵ AE⊥BD,CF⊥BD, ∴ ∠AEO= ∠CFO= 90°。 ∵ ∠AOE= ∠COF, ∴ △AEO≌△CFO(AAS)。 ∴ AE=CF。 (2)解:∵ ∠AEO= 90°,∠AOE= 74°, ∴ ∠EAO= 90°-∠AOE= 16°。 ∵ ∠EAD= 3∠CAE, ∴ ∠EAD= 3×16° = 48°。 ∴ ∠DAC=∠EAD-∠EAO= 48°-16° = 32°。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠BCA= ∠DAC= 32°。 8. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ OA=OC= 1 2 AC= 2,OB=OD。 ∴ AB=OA。 又∵ ∠AOB= 60°,∴ △AOB 是正三角形。 (2)解:AB⊥BC。 理由如下, ∵ △AOB 是正三角形, ∴ OB=OA=AB=OC= 2,∠ABO= ∠AOB= 60°。 ∴ ∠BOC= 120°。 ∴ ∠CBO= ∠BCO= 180° -120° 2 = 30°。 ∴ ∠ABC= ∠ABO+∠CBO= 60°+30° = 90°。 ∴ AB⊥BC。 6. 2　 平行四边形的判定 第 1 课时　 平行四边形的判定定理 1,2 【边学边练】 1. AB∥CD 2.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD。 ∴ AF∥CE。 ∵ DE=BF, ∴ CE=AF。 ∵ AF∥CE, ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形。 3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4.证明:∵ △ADE≌△CBF, ∴ AD=CB,AE=CF。 ∵ E,F 分别为边 AB,CD 的中点, ∴ AB= 2AE,CD= 2CF。 ∴ AB=CD。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 411 ∵ AD=CB, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 【随堂小测】 1. C　 【解析】A. 图中的左右的对边不平行,因此图中的 四边形不可能是平行四边形,故选项不符合题意; B. 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形,故 选项不符合题意;C. 两组对边分别相等能判断四边 形是平行四边形,故选项符合题意;D. 一组对边平行 但不相等的四边形不是平行四边形,故选项不符合题 意。 故选 C。 2. B　 【解析】A. 根据 AB=CD,AD=BC,两组对边分别相 等,可以推出四边形 ABCD 是平行四边形,故 A 选项 不符合题意;B. 根据 AB∥CD,AD = BC 不能推出四边 形 ABCD 是平行四边形,故 B 选项符合题意;C. 根据 AB∥CD,AD∥BC,两组对边分别平行,可以推出四边 形 ABCD 是平行四边形,故 C 选项不符合题意;D. 如 图,∵ ∠A= ∠C,∠B= ∠D,又∵ ∠A+∠B+∠C+∠D= 360°,∴ ∠C + ∠B = 180°,∠B + ∠A = 180°。 ∴ AB∥ CD,AD∥BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 故 D 选项不符合题意。 故选 B。 3. 3 　 【解析】 如 图, 图 中 平 行 四 边 形 有 ▱ABEC, ▱BDEC,▱BEFC,共 3 个。 4. -2 或 4　 【解析】∵ 点 B(1,2),C(x,2),∴ BC∥x 轴。 ∵ 以 O,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形,点 O (0,0),A(3,0),∴ BC=OA= 3。 如图 1,若点 C 在点 B 的左侧,则 x = 1-3 = -2;如图 2,若点 C 在点 B 的右 侧,则 x= 1+3 = 4。 图 1 　 　 图 2 5.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD。 ∵ AM=CN,∴ AB-AM=CD-CN,即 BM=DN。 又∵ BM∥DN,∴ 四边形 MBND 是平行四边形。 ∴ DM=BN。 6.证明:(1)∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF。 在△AFD 和△CEB 中, DF=BE, ∠DFA= ∠BEC, AF=CE, { ∴ △AFD≌△CEB(SAS)。 (2)由(1)知△AFD≌△CEB, ∴ ∠DAF= ∠BCE,AD=CB。 ∴ AD∥BC。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 7. (1)证明:∵ AD∥BC,DE∥BF, ∴ ∠DAC= ∠BCA,∠E= ∠F。 ∴ ∠DAE= ∠BCF。 在△ADE 和△CBF 中, ∠E= ∠F, AE=CF, ∠DAE= ∠BCF, { ∴ △ADE≌△CBF(ASA)。 ∴ AD=CB。 ∵ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 (2)解:AD=CB,CE=AF,DE=BF,AB=CD。 理由:∵ △ADE≌△CBF,∴ AD=CB,DE=BF。 ∵ AE=CF,∴ CE=AF。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD。 第 2 课时　 平行四边形的判定定理 3 【边学边练】 1. A　 【解析】∵ O 是 AC,BD 的中点,∴ OA = OC,OB = OD。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(对角线互相平 分的四边形是平行四边形)。 故选 A。 2. 3 3. B　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AB= CD。 ∴ ∠ABE = ∠CDF。 在△ABE 和△CDF 中, AB=CD, ∠ABE= ∠CDF, BE=DF, { ∴ △ABE≌△CDF(SAS)。 ∴ AE =CF,∠AEB = ∠CFD。 ∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ AE∥ CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故甲正确;由 AE=CF,不能证明△ABE≌△CDF,不能判定四边形 AECF 是 平 行 四 边 形, 故 乙 不 正 确; ∵ AE ∥CF, ∴ ∠AEF = ∠CFE。 ∴ ∠AEB = ∠CFD。 在 △ABE 和 △CDF 中, ∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, { ∴ △ABE≌△CDF(AAS)。 ∴ AE=CF。 ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 故丙正确。 故选 B。 4.证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC。 ∴ ∠OAF= ∠OCE。 在△AOF 和△COE 中, ∠OAF= ∠OCE, AO=CO, ∠AOF= ∠COE, { ∴ △AOF≌△COE(ASA)。 ∴ FO=EO。 又∵ AO=CO, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 511