3.3～3.4 中心对称、简单的图案设计 学案 2023--2024学年北师大版八年级下册数学期末复习

北师大版八年级下册数学期末复习考点专训 第三章《图形的平移与旋转》 3.3 中心对称 3.4 简单的图案设计 考点1：中心对称和中心对称图形的概念 考点2：中心对称的性质 一、知识清单 概念： 如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心. 把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；成中心对称的两个图形中，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等. 2、 考点专训 一、单选题专训 1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 2．在平移、旋转和轴对称这些图形变换下，它们共同具有的特征是（　　） A．图形的形状、大小没有改变，对应线段平行且相等 B．图形的形状、大小没有改变，对应线段垂直，对应角相等 C．图形的形状、大小都发生了改变，对应线段相等，对应角相等 D．图形的形状、大小没有改变，对应线段相等，对应角相等 3．把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 4．图是由8个正方形组成的网格．现嘉嘉想再给一个正方形涂上阴影，使四个阴影正方形所组成的图形是中心对称图形，则嘉嘉应该涂的是（　　） A．只有② B．只有③ C．①或③ D．③或④ 5．已知点P（m+2，2m﹣4）与点P′（n，m+1）关于原点对称，则点P的坐标是（　　） A．（7，6） B．（﹣3，﹣14） C．（1，﹣6） D．（3，﹣2） 6．如图，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN．下列三角形中，与△NCP成中心对称的是（　　） A．△NCB B．△BMN C．△AMN D．△NDA 7．如图，已知等边△ABC和等边△BDE，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且AB＜BD，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（　　） A．△BDE可看作是△ABC沿AB方向平移所得 B．△ABC和△BDE关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称 C．△BCD可看作是由△ABE绕点B顺时针方向旋转60°所得 D．△ABC和△BDE关于点B成中心对称 8．如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 9．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，点B到y轴的距离为4，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″，则点B″的坐标为（　　） A．（﹣8，﹣8） B．（﹣8，﹣9） C．（﹣9，﹣9） D．（﹣9，﹣8） 10．如图，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点M、N，下列结论： （1）点M和点N；点B和点D是关于点O的对称点； （2）直线BD必经过点O； （3）四边形ABCD是中心对称图形； （4）四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等； （5）△AOM和△CON成中心对称． 其中，正确的有（　　） A．2 个 B．3个 C．5个 D．1个 二、填空题专训 11．下列图案中可以用旋转得到的是 　 　（填序号）． 12．若点A（m，1）与B（﹣3，n）关于原点对称，则m+n＝　 　． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点B（3，1）．若△OAB与△OA'B'关于原点成中心对称，则： （1）点A的对应点A'的坐标是 　 　； （2）AB和A'B'的位置关系和数量关系是 　 　． 14．如图，该图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12cm2，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 15．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 　 　秒． 16．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△AOD绕点D旋转180°得到△EFD，若菱形ABCD的面积为 　 　，AC＝2，则BE＝　 　． 17．如图1，一款暗插销由外壳AB，开关CD，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关CD绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段AB上，如D1位置．开关CD绕点O顺时针旋转180°后得到C2D2，锁芯弹回至D2E2位置（点B与点E2重合），此时插销闭合如图4．已知CD＝72mm，AD2﹣AC1＝50mm，则BE1＝　 　mm． 18．如图，△ABC在第一象限，其周长为a，动点P从点A出发，沿△ABC的边从A→B→C→A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边△PQM，点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的周长为 　 　．（用含a的代数式表示） 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　度． 20．如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等边△ABC的顶点B与原点重合，将△ABC绕顶点C顺时针旋转60°得△ACA1．将四边形ABCA1看作一个基本图形，将此基本图形不断复制并平移，则A2020的坐标为 　 　． 三、解答题专训 21．已知点A（﹣3m，﹣3）与点B（9，1﹣2n）关于原点对称，求m+n的值． 22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，DF＝CF，连接AF交BC的延长线于E点，请证明△ADF与△ECF关于点F中心对称． 23．如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE，求证：FD＝BE． 24．图（1），图（2）都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影． （1）在图（1）中画图，使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．（画出一个即可） （2）在图（2）中画图，使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 25．如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）填写完整：点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； A（2，3）与D 　 　；B 　 　与E（﹣1，﹣2），C（3，1）与F 　 　． 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均 　 　． （2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED，AE交BC于点F．若AD＝3，求： （1）AF的长； （2）△ABF的面积． 27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　 　； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），点M为线段BC上一点（不与B，C重合），连接AM，将线段AM绕点M顺时针旋转α得线段MN，连接AN，CN． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠NAC＝∠NMC； （3）求证：CN∥AB． 29．如图，已知△ABC为等边三角形．P为△ABC内一点，PA＝8，PB＝6，PC＝10，若将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA． （1）求点P与点P′之间的距离； （2）求∠APB的度数． 30．如图①，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E． （1）求证：△ADE是等边三角形； （2）如图②，将△ADE绕着点A逆时针旋转适当的角度，使点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 一、单选题专训 1．B． 2．D． 3．C． 4．D． 5．D． 6．D． 7．C． 8．D． 9．D． 10．C． 二、填空题专训 11．①②③④． 12．2． 13．（1）； （2）平行且相等． 14．4． 15．2或8或10． 16．，（答案不唯一）． 17．22． 18．a． 19．2，y轴，120． 20．（8082，2）． 三、解答题专训 21．解：∵点A与点B关于原点对称， ∴﹣3m＝﹣9，﹣（﹣3）＝1﹣2n， 解得m＝3，n＝﹣1， ∴m+n＝3+（﹣1）＝2． 故m+n的值为2． 22．证明：∵AD∥BC ∴∠DAF＝∠CEF， 又∵∠AFD＝∠EFC，DF＝CF， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF＝EF， ∴△ADF与△ECF关于点F中心对称． 23．证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AF＝CE， ∴AO﹣AF＝CO﹣CE， ∴FO＝EO， 在△FOD和△EOB中 ， ∴△FOD≌△EOB（SAS）， ∴DF＝BE． 24．解：（1）如图1所示，（答案不唯一） （2）如图2所示． 25．解：（1）由图可知，D（﹣2，﹣3），B（1，2），F（﹣3，﹣1），对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数； （2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， ∵点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点， ∴a+3＝﹣2a，4﹣b＝3﹣2b， ∴a＝﹣1，b＝﹣1． 26．解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AED， ∴AC＝AD＝3，∠BAF＝30°， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵∠BAF＝∠B＝30°， ∴， ∴． 27．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝50°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA（180°﹣50°）＝65°， 故答案为：65°； （2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， ∴AF4． 28．（1）解：图形如图所示， （2）证明：令AN与BC的交点为N， 由旋转可知，AM＝MN， 又∵∠AMN＝α， ∴∠ANM． ∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB， ∴∠ANM＝∠ACB． 又∵∠AHC＝∠NHM， ∴∠NAC＝∠NMC． （3）证明：由（2）知， ∠NAC＝∠NMC，∠ACB＝∠ANM， ∴△AHC∽△MHN， ∴， 又∵∠AHM＝∠CHN， ∴△AHM∽△CHN， ∴∠MAH＝∠NCH． 又∵∠MAH＝∠B， ∴∠B＝∠NCH， ∴CN∥AB． 29．解：（1）连接PP′ 由题意可知AP′＝PC＝10，BP′＝BP， ∠PBC＝∠P′BA，而∠PBC+∠ABP＝60°， 所以∠PBP′＝60度．故△BPP′为等边三角形， 所以PP′＝BP＝BP′＝6； （2）利用勾股定理的逆定理可知： PP′2+AP2＝AP′2，所以△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°， 可求∠APB＝90°+60°＝150°． 30．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠A＝∠ADE＝∠AED， ∴△ADE是等边三角形． （2）解：AE+CE＝BE；理由如下： ∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝60°﹣∠DAC＝∠CAE， 由旋转的性质得：△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE， ∵∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE， ∴AE+CE＝DE+BD＝BE． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$