湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024届高三下学期高考信息预测卷03数学试题

绝密★启用前 回归课本—2024年高考信息预测卷03 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知复数是纯虚数，则在复平面中，复数的共轭复数对应的点坐标是（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．84 C．126 D．210 6.若，则有（    ） A． B． C． D． 7.已知三棱锥满足，．则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（    ） A．事件与是互斥事件 B．事件与是对立事件 C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 10.已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 11.已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 设到直线的距离分别为，则 D. 若直线的斜率分别为，则 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.的展开式中常数项为 (用数字作答) 13．已知，且，则 . 14. 已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为_________ 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15.）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知. (1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列； (2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小. 18.已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值． 19.设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为． (1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由； (2)已知满足，，且是“5坠点数列”，若，求的值； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 回归课本—2024年高考信息预测卷03 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】集合，，则． 故选：A． 2.已知复数是纯虚数，则在复平面中，复数的共轭复数对应的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】， 则，解得，则， 故共轭复数对应的坐标为. 故选：A 3.已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 4.设 ， 则 “ ” 是 “ ” 的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【提示】若,由，取，但是， 而，则,又，则中至少有一个大于1， 若都小于等于1，根据不等式的性质可知，乘积也小于等于1，与乘积大于1矛盾， 则,故， 所以是的必要而不充分条件. 故选：B 5.将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．56 B．84 C．126 D．210 【答案】B 【提示】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法， 等价于将 10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额的分法. 用3个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成4堆， 由于 10个小球中间共有 9个空隙，因此共有 种不同的分法.故选：B. 6.若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 7.已知三棱锥满足，．则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【提示】在中，，， 根据三角形的外接圆半径公式， 可得的外接圆半径， 如图所示． 设点在平面内的投影的为，则， 在中， 因为，解得， 设三棱锥的外接球半径， 即，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 故三棱锥的外接球半径， 根据球体的体积公式. 故选： 8．已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【提示】因为为奇函数，则， 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又因为为奇函数，则， 即，可知关于点对称， 令，可得，即， 由可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知8为的周期， 可知， 所以. 故选：D 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（    ） A．事件与是互斥事件 B．事件与是对立事件 C．事件与是互斥事件 D．事件与相互独立 【答案】AB 【提示】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确； 对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误； 对于D：， 则，即事件与不相互独立，D错误； 故选：AB. 10.已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递减 D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称 【答案】AC 【提示】函数的图象在y轴上的截距为， 所以，因为，所以.故A正确； 又因为是该函数的最小正零点， 所以，所以， 解得，所以，， 所以，故B错误； 当时，，故C正确； 将的图象向右平移个单位，得到， 是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误. 故选：AC. 11.已知抛物线的焦点为为抛物线上的任意三点（异于坐标原点），，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 设到直线的距离分别为，则 D. 若直线的斜率分别为，则 【答案】BD 【解析】对于A，因为为抛物线上任意三点，且， 所以F为的重心，， 所以 又，即，故A错误； 对于B，延长交于点， 因为为的重心，所以，且是的中点， 因为，在中，有，所以，故B正确； 对于C，抛物线方程为，所以抛物线的准线为， 所以到直线的距离之和， 因为三点不一定共线，所以， 即，故C错误； 对于D，因为，， 两式相减,得：, 所以, 同理可得,, 所以，故D正确 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.的展开式中常数项为 (用数字作答) 【答案】 【提示】因为展开式的通项公式为， 令可得，则展开式中的常数项为. 故答案为： 12．已知，且，则 . 【答案】 【提示】利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值，求解即可． ∵第四象限角，，∴， 故答案为. 14. 已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为_________ 【提示】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切. 设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即， 故需使. 由可得，解得. 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15.）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论极值点的个数. 【提示】（1）当时，定义域为， 又， 所以， 由，解得，此时单调递增； 由，解得，此时单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）函数的定义域为， 由题意知，， 当时，，所以在上单调递增， 即极值点的个数为个； 当时，易知， 故解关于的方程得，，， 所以， 又，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 即极值点的个数为个. 综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个 16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【分析】（1）连接，交于，连接，取中点，连接，，先证明是中点，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）依题意建立空间直角坐标系求解． 【提示】解：（1）证明：连接，交于，连接，取中点，连接，， 因为平面，且平面平面，平面， 所以，因为四边形是正方形，所以是中点， 所以是中点，又是中点， 所以，且， 因为是中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为，，，所以，所以， 因为底面是正方形，所以，， 所以平面，平面，所以平面平面， 取中点，取中点，因为，所以， 平面平面，所以平面， 所以在点处有、、两两互相垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则依题意有，0，，，2，，，1，，，2，， 因为，所以，0，，是中点，所以，1，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则 ． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17.踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知. (1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列； (2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小. 【提示】（1）的所有可能取值为0，1， ， ， 所以的分布列为 0 1 （2）当时，. 当时，，，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，所以，所以. 所以是首项为，公比的等比数列， 所以，即， 所以， 故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于. 18.已知椭圆的一个焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆C上，且直线与的斜率之积为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆分别相交于M，N两点，直线（O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【提示】（1）由已知得，且，即， 因此有，得． 因此，得，，所以椭圆的标准方程为． （2）显然直线经过x轴上的定点，设，， 则由椭圆的对称性得， 联立，消去x得． 恒成立，所以，． ． 令，显然有，于是，当，即时取等号． 因此的面积S的最大值为． 19.设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为． (1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由； (2)已知满足，，且是“5坠点数列”，若，求的值； 【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可； （2）首先可得，再依题意中只存在，即可得到当且仅当时，，其余均为，从而求出，再利用数列极限的概念计算可得； 【提示】（1）解：对于，由于，，，，， 则存在，，不满足定义，故不是坠点数列． 对于，容易发现，，，， 即在前4项中只有．而对于起， 由于，即对于是恒成立的． 故是“3坠点数列”． （2）解：由绝对值定义，． 又因为是“5坠点数列”，则中只存在且． 则当且仅当时，，其余均为 故可分类列举： 当时，，，，， 当时，，，， 分组求和知： 当时，，则， 当时，， 则当时，， 则， 学科网（北京）股份有限公司 $$