湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024届高三下学期高考信息预测卷01数学试题

绝密★启用前 回归课本—2024年高考信息预测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合 的子集个数为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2.已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3.已知向量 与 的夹角为 ,则 在 上的投影向量为 A. B. C. D. 4.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知点，点Q在圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7.已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ）    A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 10.已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C． D．函数与函数的图象有8个不同的公共点 11.已知正方体 的棱长为 1,点 分别是 的中点, 在正方体内部且满足 ,则下列说法正确的是 A. 异面直线 到直线 的距离是 B. 点 到平面 的距离为 C. 平面 与平面 间的距离为 D. 点 到直线 的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆与圆相切，则　1或3　． 13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为 ． 14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论： ①是上的增函数； ②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”； ④，输入会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是______. 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15．如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 16.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 17.如图1，在等边三角形中，，点分别是的中点.如图2，以为折痕将折起，使点A到达点的位置（平面），连接. (1)证明：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 18.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆. (1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值． (2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 回归课本—2024年高考信息预测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题单位：华科附中教育教研中心 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 集合 的子集个数为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【提示】由题意,得 ,故集合 子集个数为 16 个. 故选 . 2.已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【提示】由得，故，故选A 3.已知向量 与 的夹角为 ,则 在 上的投影向量为 A. B. C. D. 【答案】A 【提示】 在 上的投影向量为 . 4.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 3.【答案】B 【提示】若五位同学最终选择为，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组， 剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有种选择，若五位同学最终选择为，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有种选择，综上，共有种选择. 故选：B 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的增函数，又， 所以，故； 所以，故选B. 6.已知点，点Q在圆上运动，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】如图，过P作圆O的切线，连接， 在中，， 所以. 当点Q运动到点A时，最大，即， 所以. 故选：B． 7.已知正项数列的前项和为，若，且恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【提示】因为，所以，即， 即，则，与上式作差后可得， 因为正项数列，所以，所以， 因为，， 所以 ， 所以实数的最小值为， 故选：B. 8．设是双曲线的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若的内切圆M的半径为a（M为圆心），且，使得，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【提示】设，由对称性不妨设A在第一象限，此时M也在第一象限， 因为，所以， 所以，又， 解得， 所以， 所以，解得，所以，代入双曲线方程得：， 解得，所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（    ）    A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差 B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数 C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差 D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数 【答案】BCD 【提示】对于选项A： 甲的数据介于[1.5,7.5]之间，极差小于或等于6；乙的数据分布于[2.5,8.5]，极差小于或等于6；从而甲和乙的极差可能相等，故A错误； 对于选项B： 根据频率分布直方图可知，甲的众数介于[2.5,5.5)之间，乙的众数介于(5.5,6.5]，故乙的众数大于甲的众数，B正确； 对于选项C： 甲的数据平均分布，乙的数据分布在中间集中，故甲的方差大于乙的方差，故C正确； 对于选项D： 对于甲，各组频率依次为：，因为前两组频率之和，前三组频率之和，故中位数位于[3.5,4.5)之间； 同理，对于乙，各组频率依次为：，前三组频率之和，前四组频率之和，故中位数位于[5.5,6.5)之间，所以乙的中位数大于甲的中位数.故D正确. 故选：BCD. 10.已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C． D．函数与函数的图象有8个不同的公共点 【答案】ABD 【提示】根据条件先得到函数的对称性及周期性，进而判断ABC，画出函数与函数的图象，根据图象观察交点个数即可判断D. 【详解】由得函数关于对称，A正确； 由得函数关于对称， 所以，， 所以，即， 所以，故函数的周期为， 由知，， 又时，，所以，解得， 所以时，， 所以，B正确； ，C错误； 画出函数和函数的图象，如图： ，观察图象可得函数与函数的图像有8个不同的公共点，D正确. 故选：ABD. 11.已知正方体 的棱长为 1,点 分别是 的中点, 在正方体内部且满足 ,则下列说法正确的是 A. 异面直线 到直线 的距离是 B. 点 到平面 的距离为 C. 平面 与平面 间的距离为 D. 点 到直线 的距离为 【答案】 【提示】对于选项 ,只要找到公垂线段 (其值为 )即可,也可以用向量法求解. 对于选项 ,可以用等积法,也可以用向量法. 如图 5 所示,建立空间直角坐标系,易得 . 设平面 的一个法向量为 ,则 即 ,取 ,则 , ,故 到平面 的距离为 ,故选项 正确. 对于选项 ,易证 . 因为 平面 平面 ,所以 平面 ,同理 平 面 ,且 平面 ,所以平面 平面 . (直接用结论距离占体对角线 的 . 也可以用向量,平面 与平面 的距离即为 到平面 的距离. ) 又 ,设平面 的一个法向量为 ,则 即 ,取 ,则 , 故 到平面 的距离为 ,故选项 错误. 图 5 对于选项 ,因为 ,所以 . 于是 , ,故点 到直线 的距离为 ,故选项 正确. 故选 . 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆与圆相切，则　1或3　． 【提示】解：圆与圆相切， 可得，解得或， 故答案为：1或3． 13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为 ． 【提示】设的外接圆的半径为，则根据正弦定理可知， ，又， 所以， 故答案为：2 14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论： ①是上的增函数； ②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”； ④，输入会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是______. 14.【答案】①③④ 【提示】对于①：因为的定义域为， 且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确； 对于②：因为对任意恒成立， 则， 令，整理得， 且是上的增函数，则，即无解， 所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误； 对于③④：因为是上的增函数，则，即， 则， 令， 则， 令，则在上单调递增，且， 当时，，即，可知在上单调递减； 当时，，即，可知在上单调递增； 则， 且当x趋近于或时，趋近于0， 所以的值域为， 所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确； 因为在上单调递减，则， 且，即对任意恒成立， 所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确； 故答案为：①③④. ． 四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸 15．如图，在平面四边形ABCD中，，．    (1)若，，求的值； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)(2) 【提示】（1）在中，，，则， ， 在中，由正弦定理得， . （2）在和中，由余弦定理得 ， ， 得，又，得， 则，， 四边形ABCD的面积 . 16.已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据函数单调性的定义可知在区间上单调递增，假设存在正数，通过判断方程正根的个数即可证明. 【提示】（1）由题意可得， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以，整理得， 又因为，所以...........................5分 （2）由（1）得， 令，设， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 又由对数函数的单调性，可知函数在区间上单调递增， 假设存在正数，使得当时，函数的值域为， 则， 可得方程有两个不相等的正根，整理为， 可得， 又由，可得， 故方程没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数 17.如图1，在等边三角形中，，点分别是的中点.如图2，以为折痕将折起，使点A到达点的位置（平面），连接. (1)证明：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【提示】（1）如图所示，取的中点，连接， 由题意易知，，， 不妨设，则， 由余弦定理可知， ， 由勾股定理知， 所以，又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 分别取中点，连接， 由余弦定理可知，而， 显然，则， 易知，， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以，则两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则有， 取，即， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 【解析】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以， 又点是圆上一动点，所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得，所以的轨迹的方程为． （2）设，所以， 因为直线的斜率为，所以，即， 与联立解得（舍去）或3． 所以点的坐标为． 19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程．古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实．其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实，这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符．地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直角坐标系下，椭球面，这说明椭球完全包含在由平面所围成的长方体内，其中按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴．某椭球面与坐标面的截痕是椭圆. (1)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点，求面积的最小值． (2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．当时，椭球面围成的椭球是一个旋转体，类比计算球的体积的方法，运用祖暅原理求该椭球的体积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）椭圆的标准方程为，则． 当直线的倾斜角为时，分别为椭圆的左、右顶点，此时两切线平行无交点，不符合题意， 所以直线的倾斜角不为, 设直线, 由,得， 则， 所以 , 又椭圆在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 由，得， 代入，得，所以， 则点到直线的距离， 所以， 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 所以当，即时，的面积最小，最小值是； （2）椭圆的焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为1， 椭球由椭圆及其内部绕轴旋转而成旋转体， 构造一个底面半径为1，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点， 圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体， 当平行于底面的截面与圆锥顶点距离为时，设小圆锥底面半径为， 则，即，所以新几何体的截面面积为， 把代入，得，解得， 所以半椭球的截面面积为， 由祖暅原理，得椭球的体积 学科网（北京）股份有限公司 $$