1.2.1 直角三角形的性质与判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(北师大版)

8 2直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 【边学边练】 知识点一直角三角形的性质与判定 1.已知，在Rt△ABC中，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数为 A.50° B.45 C.40° D.30° 2.有下列条件：①∠A+∠B=∠C:②∠A:LB:LC=5:3:2;③∠A=90°-∠B;④∠A =2∠B=3∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点二勾股定理及其逆定理 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm,则AC= cm. 4.(易错题)在△ABC中，AC=2,BC=3,当AB= 时，△ABC是直角三角形 知识点三逆命题和逆定理 5.命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 【随堂小测】 1.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C,则∠C的度数为 A.30° B.45 C.60° D.750 2.下列命题中，其逆命题为真命题的是 A.内错角相等 B.若a=b,则a2=b2 C.对顶角相等 D.等腰三角形的两底角相等 3.如图，在△0AB中，∠AOB=90°，OD⊥AB,∠A=30°，AB=20,则OD的长度为 ( A.53 B.5 C.103 D.10 4.直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小锐角的度数为 11 5.(核心素养·模型观念)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再 沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A,C两港之间的距离为 km. 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC,CD∥AB交BD于点D,已知∠1= 32°，求∠D的度数. 7.(核心素养·应用意识)由于大风，山坡上的一棵树甲从点A处被拦腰折断，其顶点 恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水 平距离为12米，求甲树原来的高度 树 甲树 8.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3,AD=10,CD=8. (1)求证：△ACD是直角三角形： (2)求四边形ABCD的面积. 30° 12∴.∠DCF=∠ACD.∴.∠ACF=2∠ACD. ∠DAM=3∠DAE=30. 又：∠ABC+∠BCF=∠ACF+∠BCF=9O° ∴∠B=45°，AD=2DM.∴.AM=BM ∴.∠ABC=∠ACF.∴.∠ABC=2∠ACD. 4.解：DE=EF,理由如下： 又：AB=22,.AM=BM=2 :AB=AC,AD平分∠BAC, 由勾股定理，得AD=D+AM. ∴.AD⊥BC. DM=2 3 B.:BD=BM-DM=2-23 3 :BG平分∠ABC,EF⊥AB. 7.证明：.AB=AC ∴.DE=EF ∴.△ABC是等腰三角形，∠B=∠C. 5.(1)证明：·△ABC是等边三角形， :D是BC的中点，÷AD⊥BC ,∠A=∠B=∠ACB=60°. :AE=AF,,∠E=∠AFE. DE∥AB, ∠AFE=∠GFC,∴.∠E=∠GFC. .∴，∠B=∠CDE=60°，∠A=∠CED=60°. ∴.∠B+∠E=∠C+∠GFC,即∠EGC=∠EGB. ∴.∠CDE=∠CED=60°. ∴.EG⊥BC.:AD⊥BC,∴.AD∥EG. ,EF⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠F=30°. 8.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点， ,∠F+∠CEF=∠DCE=60°. ∴.AD⊥BC.∴.∠ADB=90 ∴.∠F=∠CEF=30°. ,CE∥AD,.∠BCE=∠ADB=90°. ∴.CE=CF..△CEF是等腰三角形 ∴，EC⊥BC (2)解：由(1)可知∠CDE=∠CED, (2)解：△ACE是等边三角形.理由如下： .CE CD =3. ,∠BAC=120°，∴.∠EAC=60°. 又CE=CF,∴.CF=3. 又：AB=AC, ∴.DF=DC+CF=3+3=6. 6.(1)证明：如图1，过点A作AF⊥BC于点F ∠B=∠ACB=2×(180°-1200)=30 :AB=AC,AD=AE,AF⊥BC, .EC⊥BC, ∴.∠ACE=90°-30°=60°=∠EAC .BF=CF,DF EF. ∴.EA=EC.∴.△ACE是等腰三角形. BF-DF=CF-EF,即BD=CE. :·∠ACE=60°，，△ACE是等边三角形. 2直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 【边学边练】 图1 图2 1.C【解析】·在Rt△ABC中，有一个锐角等 (2)解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M. 于50°，∴.另一个锐角的度数为90°-50°= :AB=AC,AD=AE,AM⊥BC,∠BAC=90°， 40°.故选C. ∠DAE=60°， 2.C【解析】①∠A+∠B=∠C,∴.2∠C= 六∠BMM=7∠BAC=45, 180°.∴∠C=90°，.△ABC是直角三角形； ②∠A:∠B:∠C=5:3:2,∴.设∠A=5x,则 113 ∠B=3x,∠C=2x.∴.5x+2x+3x=180°.解得 在R△BOD中，∠BOD=30°， x=18°..∠A=18°×5=90°.∴.△ABC是直角 BD=20B=5. 三角形：③∠A=90°-∠B,.∠A+∠B= 90°.∴.∠C=180°-90°=90°.∴.△ABC是直 .0D=√0B2-BD=10-5=53. 角三角形：④：∠A=2∠B=3∠C,.设∠A 故选A. =6x,则∠B=3x,∠C=2x.∴6x+3x+2x=4.35 【解析】设较小锐角的度数为x°，则较大 180=9∠4=6s=19 ->90 锐角的度数为(x+20)°. 根据题意，得x+x+20=90.解得x=35 ∴，△ABC是钝角三角形.，.能确定△ABC是直 ∴，较小锐角的度数为35° 角三角形的有①②③，共3个，故选C. 5.50【解析】如图，由题意， 3.2√3【解析小：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm, 得∠DAB=6O°， .BG=AB =2 cm.AC A-BC= ∠FBC=30°，AD∥EF, 23cm. ∴.∠DAB=∠ABE=60 .∠ABC=180°-∠ABE- 4.√13或5【解析】在△ABC中，AC=2,BC= ∠FBC=90°. 3,当BC是直角三角形的直角边时，AB= 在Rt△ABC中，AB=30km,BC=40km, √22+3=√/13：当BC是直角三角形的斜边 AC=√AB2+BC=√30+40=50(km), 时，AB=√32-2=5. ,∴.A,C两港之间的距离为50km. 5.直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边 6.解：.∠BAC=90°，∠1=32°， 的一半，那么这条直角边所对的角等于30 ∴.∠ABC=90°-32°=58°. 【随堂小测】 1.A【解析】在△ABC中，∠A=90°，∠B= BD平分L4BC.∠ABD=7∠ABC=29 2∠C. CD∥AB,.∠D=∠ABD=29 ∴.2∠C+∠C=90°.，∴.∠C=30°.故选A. 7.解：如图，过点C作CD⊥AB, 甲树 2.D【解析】内错角相等的逆命题是相等的角 树 交AB的延长线于点D.由题 是内错角，逆命题是假命题：若a=b,则a2= 意，得CD=12米，AB=4米， D b2的逆命题是若a2=b2,则a=b,逆命题是假 BC=13米 命题：对顶角相等的逆命题是相等的角是对 在Rt△BCD中， 顶角，逆命题是假命题：等腰三角形的两底角 相等的逆命题是有两个角相等的三角形是等 BD=√BC2-CD=√13-12=5（米）， 腰三角形，逆命题是真命题.故选D. ∴，AD=AB+BD=9米 3.A【解析】在△OAB中，∠AOB=90°， 在R△ACD中， ∠A=30,∠B=60°，0B=2AB=10 AC=√CD2+AD2=√122+92=15（米）， .AC+AB=19米 又.0D⊥AB,∴.∠B0D=30. 答：甲树原来的高度为19米。 114 8.(1)证明：在△ABC中，∠B=90°， ∠CDB=90°.在R1△ABD和RI△CDB中， ∠ACB=30°，AB=3,∴.AC=2AB=6. ·AD=CB,BD=DB, 在△ACD中，AC=6,CD=8,AD=10. ∴.Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).故选D. ,82+62=102,即AC2+CD2=AD2, 2.A【解析】条件是AB=DC,理由如下： ∴.∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形 ,AE⊥BC,DF⊥BC,.∠CFD=∠AEB= (2)解：在△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=6, 90°.在Rt△ABE和Rt△DCF中，，AB=DC, .BC=62-32=35. BE=CF,∴.RI△ABE≌R△DCF(HL).故选A. ∴.RL△ABC的面积为 3.B【解析】小.在△ABC中，∠C=90°，AD=AC, 24B,Bc=3x3x3月-9 AE=AE,DE⊥AB,∴.Rt△CAE≌RL△DAE(HL). 2 ÷LCME=∠DMB=3∠CB.∠B+LCMB 又：△AGD的面积为2AC·CD= -×6× 2 =90°，∠B=28°，∴.∠CAB=90°-28°=62 8=24, ∴，∠DAE=3I°..∠AEC=∠B+∠DAE= 四边形CD的面积为 2+24 28°+31°=59°.故选B. 4.AB DE 第2课时直角三角形全等的判定 5.ABE DCF【解析】·在△ABE和△DCF中， 【边学边练】 AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF,AB=DC, 1.D【解析】A.一个锐角对应相等，利用已知 符合直角三角形的全等条件HL, 的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能 所以△ABE≌△DCF 证明两三角形全等：B.两个锐角对应相等，那 6.5或10【解析】AK⊥AC,.∠PAQ=90 么也就是三个角对应相等，但不能证明两三 角形全等；C,一条边对应相等，再加一组直角 ∴.∠C=∠PAQ=90° 相等不能证明两三角形全等：D.当两个直角 分两种情况：①当AP=BC=5时， 三角形的两直角边对应相等时，由SAS可以 在RI△ABC和R1△QPA中， 判定它们全等；当斜边与一条直角边对应相 AB =OP,BC =PA, 等时，由HL可以判定它们全等.故选D ·.Rt△ABC≌Rt△QPA(HL): 2.C【解析】A.:∠ABC=∠ABD,∠C=∠D= ②当AP=CA=10时， 90°，AB=AB,∴.RI△ABC≌R△ABD(AAS).不 在△ABC和△PQA中， 符合题意：B.:∠BAC=∠BAD,∠C=∠D= AB=PQ,AC PA, 90°，AB=AB,∴.R1△ABC≌RI△ABD(AAS). ,Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 不符合题意；C.:∠C=∠D=90°，AB=AB, 综上所述，当点P运动到AP=5或10时， AC=AD,.R1△ABC≌RL△ABD(HL).符合 △ABC与△APQ全等. 题意：D.根据∠C=∠D=90°，AB=AB,AC=7.证明：DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F, BC,不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD.故选C. ∴.∠AED=∠CFD=90 【随堂小测】 D是AC的中点，∴.AD=CD 1.D【解析】AB⊥BD,CD⊥BD,∴.∠ABD= 在Rt△ADE和Rt△CDF中， 115