1.1.4 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(北师大版)

8 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 【边学边练】 知识点一等边三角形的判定 1.在△ABC中，若AB=AC= ,则△ABC是等边三角形 2.在△ABC中，若AB=AC,∠B= °，则△ABC是等边三角形 知识点二含30°角的直角三角形的性质 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm,则BC= cm. 【随堂小测】 1.下列条件不能得到等边三角形的是 A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,最短边BC=4cm,则最长边AB的长为() A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 3.(核心素养·应用意识)由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便 操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图1，衣 架杆OA=OB=18cm.若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A,B两点之间的 距离为 图1 图2 A.9 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 4.如果△ABC的三条边长分别是a,b,c,且(a-b)2+1b-cI=0,那么这个三角形是 5.△ABC中，AB=AC,∠A=∠C,则∠B= 6.如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=AC=4,则△ABC的面积为 个东 30 第6题图 第7题图 7.（核心素养·模型观念)有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°方向上有一 灯塔P.继续航行20海里后到达B处，又测得灯塔P在西偏北30°方向.若轮船航向 不变，则灯塔与船之间的最近距离是 海里 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,DB平分∠ADC,∠A=60°. 求证：△ABD是等边三角形 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,AD=4, 求AE的长 8∴.△BED≌△CFD(AAS). 6.解：已知：△ABC ∴.DE=DF 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是钝角： 第3课时等腰三角形的判定与反证法 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角， 【边学边练】 不妨设∠A,∠B为钝角，∴∠A+∠B>180° 1.B【解析】A.直角三角形：B.等腰三角形： 这与三角形内角和定理相矛盾.故假设不成 C.锐角三角形：D.钝角三角形.故选B 立.∴，原命题正确， 2.证明：AB∥DE,∴.∠DEC=∠B. 7.证明：AB=AC,.∠B=∠C=30 ∠B=∠C,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC. ,∠C+∠BAC+∠B=180°， ,∴.△DEC是等腰三角形. ∴.∠BAC=180°-30°-30°=120°. 3.A4.③①② .:∠DAB=45° 【随堂小测】 ∴.∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75 1.B :∠DAB=45°，∠B=30°， 2.D【解析】A.∠C=180°-30°-60°=90°， ∴.∠ADC=∠B+∠DAB=75 没有相等的角，不能构成等腰三角形：B.AC ∴，∠DAC=∠ADC..DC=AC. 13-3-7=3,不能构成三角形：C.AB+AC=BC, ∴.△ADC是等腰三角形. 不能构成三角形：D.∠C=180°-∠A-∠B= 8.证明：：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O, 50°=∠A,能构成等腰三角形.故选D. ∴.∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB. 3.B【解析】根据三角形的内角和定理，得 :MN∥BC, ∠AB0=∠DC0=36°，根据三角形的外角的 ∴.∠OBC=∠MOB,∠NOC=∠OCB. 性质，得∠AOB=∠COD=72°.再根据等角对 ∴.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO. 等边，得等腰三角形有△AOB,△COD, ∴.BM=OM,ON=CN. △ABC,△CBD和△BOC.故选B. ∴.MN=OM+ON,即MN=BM+CN 4.110°或72.5°或35°【解析】若△AMP是等腰 第4课时等边三角形的判定与含 三角形，则有AM=AP,AM=MP或MP=AP三 30°角的直角三角形 种情况：①当AM=AP时，则∠AMN=∠APM= 【边学边练】 35°，∴.∠A=180°-35°-35°=110°：②当AM= 1.BC2.603.4 MP时，则∠A=∠APM=（180°-35°)÷2= 【随堂小测】 72.5°；③当MP=AP时，则∠A=∠AMN=1.A【解析】：有一个内角是60°的等腰三角 35°.综上可知∠A为110°或72.5°或35 形是等边三角形，∴，选项A不符合题意， 5.200【解析】小B地在A地的正东方向，C地 故选A 在A地的北偏东60°方向，∴.∠BAC=90°- 2.D【解析】：∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴.设∠A 60°=30°.，C地在B地的北偏东30°方向， =x°，∠B=2x°，∠C=3x°.∴.x+2x+3x= .∠ABC=90°+30°=120°，.∠C=180° 180.解得x=30.∴.∠A=30°，∠C=3×30°= ∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30° 90°.：30°的角所对的直角边是斜边的一半， ,∴.∠BAC=∠C.∴.BC=AB=200m ∴AB=2BC=2×4=8(cm).故选D. 111 3.C【解析】OA=OB,∠AOB=60°， DE⊥AB,∴.∠AED=90°. .△AOB是等边三角形.∴.AB=OA=OB= ∴.∠ADE=180°-90°-60°=30°. 18cm.故选C. 4.等边三角形【解析】：(a-b)2+1b-cl= :AE=2AD=2. 0,∴.a-b=0且b-c=0.∴.a=b=c 小专题1等腰三角形的性质与判定、 ,△ABC是等边三角形. 三线合一的灵活应用 5.60【解析】△ABC中，AB=AC, 1.解：AC=BC,∴.∠A=∠B. .∠B=∠C. 设∠A=∠B=x°，则∠C=2∠B=2x ∠A=∠C,∴.∠A=∠C=∠B=60° 根据三角形内角和定理，得x+x+2x=180. 6.4【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D. .x=45..∠B=45 LA=30,AC=4,CD=24C=2. 2.解：AB=AC,∠B=∠C .'AC=DC,∴.∠CAD=∠CDA. ,AD=BD,∴.∠B=∠BAD. ∴.∠BAD=∠C=∠B. ·∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B, 六△1BC的面积=B,CD= ×4×2=4 .∠CAD=2∠B. 7.10【解析】如图，过点P作PD⊥AB于点D, ·,∠C+∠CAD+∠CDA=∠B+2∠B+2∠B= 则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，且 5∠B=180°， ∠PDB=90°.∠PBD=30°，∠PAB=15°， ∴.∠B=36°..∠C=36 .∠APB=∠PBD-∠PAB=15°=∠PAB. 3.解：方法1：∴∠ACB=90° .PB=AB=20海里.在RL△PBD中，，PB= ∴.∠BCD=90°-∠ACD. 又BD=BC,∴，∠BCD=∠BDC 20海里，∠PBD=30°，PD=7PB ∴.△BCD中，∠ABC=180°-2∠BCD= 10海里. 180°-2(90°-∠ACD)=2∠ACD: 方法2：，∠ACB=90°，BE⊥CD. ∴，∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=9O. 30 ∴.∠ACD=∠CBE. 8.证明：，AB∥DC,∠A=60°，∴.∠ADC=120°. 又，BD=BC,BE⊥CD,∴.∠ABC=2∠CBE. ,DB平分∠ADC, ∴.∠ABC=2∠ACD: LADB=2∠ADC=60°=LA 方法3：，∠ACB=90°，CF⊥AB, ∴.∠A+∠ABC=∠BCF+∠ABC=90. ∴.BA=BD..△ABD是等腰三角形 ∴.∠A=∠BCF. :∠A=60°，∴.△ABD是等边三角形 BD BC, 9.解：'.AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC .∠BCD=∠BDC, ∠BAD=∠BAC=60 即∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD. 112