1.1.2 等腰三角形的特珠性质和等边三角形的性质-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(北师大版)

._. 可撕可裁 第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 【边学边练】 知识点一 等腰三角形的特殊性质 () 1.(易错题)在下列四个命题中,正确的命题有 ①等腰三角形两腰上的中线相等 ②等腰三角形两腰上的高相等: ③等腰三角形两底角的平分线相等; ④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图,在△ABC中,AB=AC,且 BD1AC于点D.CE1AB于点E.若CE=3.则BD= 知识点二 等边三角形的性质 3.若乙a是等边三角形的一个内角,则乙a= 4.如图,在等边三角形ABC中,BD1AC于点D.若AB=8,则AD= 【随堂小测】 1.(教材改编题)等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是 C.60 A.30。 B.50d D.90。 2. 如图,在△ABC中,AB=AC,给出的下列条件中,不能使BD=CE的是 A.BD.CE分别为边AC,AB上的高 B.BD.CE分别为边AC.AB上的中线 3ACB D. /ABD=/BCE 3.(易错题)在等腰三角形中,有一个角是50{},它的一条腰上的高与底边的夹角是 ( ) A.25· B.25*或40。 C.25*或35* D.40o 4.如果等边三角形ABC的边长为4cm,那么边AB上的高为 em. 5. 如图,BD是等边三角形ABC的边AC上的高,以点D为圆心.BD的长为半径作孤交 BC的延长线于点E,则乙DEC三 2 , 第5题图 第6题图 6. 如图,八ABC是等腰三角形,AB三AC.分别以两腰为边向外作等边三角形ADB和等 边三角形ACE,若DAE=乙DBC,则BAC的度数为 7.(教材改编题)如图,在等腰三角形ABC中,两底角的平分线BE,CD相交于点0,求 证:BD=CE. 8.(核心素养·几何直观)求证:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 已知:如图,△ABC中,AB=AC.BD=CD.DE1AB于点E.DF1AC于点F 求证:DE-DF. 4参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第一章 三角形的证明 △ACD的周长为12，.AC+CD+AD=12. 1等腰三角形 ∴.AD=12-9=3. 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 5.9【解析】小：AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, 【边学边练】 ∴.∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°， 1.∠A=∠D ∠C+∠D=90°.∴.∠A=∠C. 2.113【解析】.△OAD≌△OBC, AB CD, ∴.∠D=∠C=20° ∴.△ABF≌△CDE(AAS). ∴.∠CAE=∠D+∠0=20°+73°=93. ∴.AF=CE=8,BF=DE=5. ∴.∠AEB=∠C+∠CAE=20°+93°=113 EF=4,∴.DF=DE-EF=1. 3.70【解析】，AB=AC,∴，∠B=∠C .AD=AF+DF=8+1=9. ,∠A=40°，.∠B=(180°-40°)÷2=70° 6.解：在△ABC中，∠A=40°，AB=AC, 4.B【解析】，在△ABC中，AB=AC,D是BC ∠ABC=∠C=2(180°-∠M)=70° 中点，.∠B=∠C,∠1=∠2，AD⊥BC.无法 △BCD是以BC为腰的等腰三角形时，分两 得到AB=2BD.故选B. 种情况： 【随堂小测】 ①当BC=BD时，∠BDC=∠C=70°： 1.A【解析】①当这个角是顶角时，底角=(180° -70)÷2=55°：②当这个角是底角时，另一 ②当BC=CD时，LBDC=LDBC=2(180°- 个底角也为70°，顶角为40°.故选A. ∠C)=55 2.B【解析】：∠ABC=∠ACB,∠A=36°， 综上所述，∠BDC的度数为70°或55° ∴，∠ABC=∠C=72 7.证明：如图.过点A作AE⊥BC于点E. ,将△BCE沿BE折叠，使点C落在AB边上 ,AB=AC,∴.AE平分∠BAC 的点D处， ∴，∠BAC=2∠CAE. ∴.∠BDE=∠C=72° BD⊥AC, ,∴.∠AED=∠BDE-∠A=72°-36°=36 ∴，∠BDC=∠AEC=90° 故选B. ∴.∠CBD=90°-∠C,∠CAE=90°-∠C. 3.60【解析】：AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴，∠CBD=∠CAE. ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD .∴∠BAC=2∠CBD. ∴∠B+∠BAD=90°，∠B=30°， 第2课时等腰三角形的特殊性质 ∴.∠BAD=60°..∠CAD=60 和等边三角形的性质 4.3【解析】，AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=CD :△ABC的周长为18，.AB+AC+BC=18, 【边学边练】 即AB+BD+CD+AC=18..AC+CD=9.又 1.D2.33.60°4.4 109 【随堂小测】 √AC2-AD=√42-2=23(cm). L.C【解析】如图，：△ABC是 等边三角形，.∠ABC= ∠ACB=60°.：B0,C0是两B 个内角的平分线，∴.∠OBC=∠OCB=30°. 5.30【解析】在等边三角形ABC中，∠ABC=60° ∴.∠EOB=∠DOC=∠OBC+∠OCB=30°+ ,BD是边AC上的高，∴，BD平分∠ABC 30°=60°.故选C. 2.D【解析】若BD,CE分别为边AC,AB上的高， &LCBD=3∠ABC=30 则根据面积可求出BD=CE;若BD,CE分别为 ·BD=ED,∴.∠DEC=∠CBD=30°. 边AC,AB上的中线，则△BCD≌△CBE(SAS),6.20°【解析】：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 进而得BD=CE:若LABD=了LABC,LACE= 故2∠ABC+∠BAC=180. :等边三角形各内角为60°，∠DAE=∠DBC, ;∠ACB,则△ABD≌△ACE(ASA),造而释 ∴，120°+∠BAC=60°+∠ABC ∴.∠ABC=60°+∠BAC BD=CE:若∠ABD=∠BCE,不能得出BD= 又：2∠ABC+∠BAC=180°， CE.故选D. .120°+2∠BAC+∠BAC=180°， 3.B【解析】①如图1，当50°为底角时， 即3∠BAC=60°..∠BAC=20 7.证明：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. BE,CD是角平分线，它们相交于点O, 图1 LEBC-LABC.LDCB-LACB. :∠B=∠ACB=50°， .∠EBC=∠DCB. .∠BCD=90°-50°=40°： 在△BDC和△CEB中， ②如图2，当50°为顶角时， T∠DBC=∠ECB, BC=CB, I∠DCB=∠EBC. .△BDC≌△CEB(ASA). .BD =CE. 图2 8.证明：AB=AC,∴.∠B=∠C ∠A=50°，∴.∠B=∠ACB=65 DE⊥AB,DF⊥AC, ,∠BCD=90°-65°=25°.故选B. ∴.∠BED=∠CFD=90. 4.23【解析】如图，等边三角形ABC的边 在△BED和△CFD中， 长为4cm,CD是边AB上的高，∴，AD=BD= ∠BED=∠CFD, B=号×4=2cm,根据勾股定理，得D ∠B=∠C, BD=CD, 110 ∴.△BED≌△CFD(AAS). 6.解：已知：△ABC ∴.DE=DF 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是钝角： 第3课时等腰三角形的判定与反证法 证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角， 【边学边练】 不妨设∠A,∠B为钝角，∴∠A+∠B>180° 1.B【解析】A.直角三角形：B.等腰三角形： 这与三角形内角和定理相矛盾.故假设不成 C.锐角三角形：D.钝角三角形.故选B 立.∴，原命题正确， 2.证明：AB∥DE,∴.∠DEC=∠B. 7.证明：AB=AC,.∠B=∠C=30 ∠B=∠C,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC. ,∠C+∠BAC+∠B=180°， ,∴.△DEC是等腰三角形. ∴.∠BAC=180°-30°-30°=120°. 3.A4.③①② .:∠DAB=45° 【随堂小测】 ∴.∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75 1.B :∠DAB=45°，∠B=30°， 2.D【解析】A.∠C=180°-30°-60°=90°， ∴.∠ADC=∠B+∠DAB=75 没有相等的角，不能构成等腰三角形：B.AC ∴，∠DAC=∠ADC..DC=AC. 13-3-7=3,不能构成三角形：C.AB+AC=BC, ∴.△ADC是等腰三角形. 不能构成三角形：D.∠C=180°-∠A-∠B= 8.证明：：∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O, 50°=∠A,能构成等腰三角形.故选D. ∴.∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB. 3.B【解析】根据三角形的内角和定理，得 :MN∥BC, ∠AB0=∠DC0=36°，根据三角形的外角的 ∴.∠OBC=∠MOB,∠NOC=∠OCB. 性质，得∠AOB=∠COD=72°.再根据等角对 ∴.∠MBO=∠MOB,∠NOC=∠NCO. 等边，得等腰三角形有△AOB,△COD, ∴.BM=OM,ON=CN. △ABC,△CBD和△BOC.故选B. ∴.MN=OM+ON,即MN=BM+CN 4.110°或72.5°或35°【解析】若△AMP是等腰 第4课时等边三角形的判定与含 三角形，则有AM=AP,AM=MP或MP=AP三 30°角的直角三角形 种情况：①当AM=AP时，则∠AMN=∠APM= 【边学边练】 35°，∴.∠A=180°-35°-35°=110°：②当AM= 1.BC2.603.4 MP时，则∠A=∠APM=（180°-35°)÷2= 【随堂小测】 72.5°；③当MP=AP时，则∠A=∠AMN=1.A【解析】：有一个内角是60°的等腰三角 35°.综上可知∠A为110°或72.5°或35 形是等边三角形，∴，选项A不符合题意， 5.200【解析】小B地在A地的正东方向，C地 故选A 在A地的北偏东60°方向，∴.∠BAC=90°- 2.D【解析】：∠A:∠B:∠C=1:2:3,∴.设∠A 60°=30°.，C地在B地的北偏东30°方向， =x°，∠B=2x°，∠C=3x°.∴.x+2x+3x= .∠ABC=90°+30°=120°，.∠C=180° 180.解得x=30.∴.∠A=30°，∠C=3×30°= ∠BAC-∠ABC=180°-30°-120°=30° 90°.：30°的角所对的直角边是斜边的一半， ,∴.∠BAC=∠C.∴.BC=AB=200m ∴AB=2BC=2×4=8(cm).故选D. 111