期末考点：因数与倍数 (讲义)-2023-2024学年五年级下册数学 人教版

因数与倍数 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．因数和倍数的意义 【知识点归纳】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2、3、5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 （3）3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 （4）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （5）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 每相邻的2个自然数中，就会有一个是2的倍数；每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数；每相邻的5个自然数中，就会有一个是5的倍数。 2、5的倍数末尾只能是0和5，而3的倍数末尾没有限制。 第二部分 典型例题 例题一：三（1）班同学做操，正好排成5排。这个班男生有24人，女生有14人。 　　 【分析】男生人数加上女生人数，不是5的倍数。 【解答】解：（人 38不是5的倍数。 故原题说法错误。 故答案为：。 【点评】本题考查的主要内容是5的倍数的应用问题。 例题二：要使三位数72□同时是2、3的倍数，则□里可以填6。 【分析】同时是2、3的倍数的数的特征：各个数位上的数加起来能被3整除，个位上是0、2、4、6、8的数，据此解答。 【解答】解： 9能被3整除。 15能被3整除。 所以□里可以填6，原题说法正确。 故答案为：。 【点评】本题考查了同时是2、3的倍数的数的特征，要熟练掌握。 第三部分 高频真题 一．选择题（共5小题） 1．下列几组数中，相邻的两个自然数都是合数的是　　 A．5和6 B．14和15 C．12和13 2．要使8755加上一个数后能同时是2，3，5的倍数，至少要加　　 A．4 B．5 C．10 D．15 3．已知，，都是大于1的自然数），那么下面各种说法中正确的是　　 A．是因数 B．和都是的因数 C．是的因数 D．是倍数 4．下列数中，同时是2、5、3的倍数是　　 A．102 B．201 C．210 D．211 5．如果数是29的因数，那么　　 A．一定是1 B．一定是29 C．是1或29 D．无法确定 二．填空题（共5小题） 6．2024至少减去 　　就是5的倍数，至少加上 　　就是3的倍数。 7．，　　和 　　是 　　的因数，　　是5和3的倍数。 8．猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　 　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 9．在1、2、3、4、8、9、11、13、15这几个数中，　　是质数，　　是合数，　　既是奇数又是合数，　　既是偶数又是质数，　　既不是质数又不是合数。 10．36的因数有 　　，最大的因数是 　　。36的倍数有 　　个。 三．判断题（共3小题） 11．因为，所以4是因数，8是倍数。 　　 12．31□2是3的倍数，□里只有3种填法。 　 　 13．合数与合数的积还是合数，质数与质数的积还是质数。 　　 因数与倍数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．下列几组数中，相邻的两个自然数都是合数的是　　 A．5和6 B．14和15 C．12和13 【分析】合数是在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他数除外）整除的数；质数是一个自然数，只有1和它本身两个因数。 【解答】解：和6，其中5是质数，6是合数。 和15，都是合数。 和13，其中12是合数，13是质数。 故选：。 【点评】此题主要考查了合数与质数的初步认识及灵活运用。 2．要使8755加上一个数后能同时是2，3，5的倍数，至少要加　　 A．4 B．5 C．10 D．15 【分析】同时能被2、3、5整除的特征：个位是0且每一位上数字之和能被3整除。由此解答即可。 【解答】解：要满足8755这个数是2、3、5的倍数，那么要加的数必须末尾是5，例如必须加5，15，，，这个数是2和5的倍数，，21还是3的倍数，由此可以推断，至少加上5就能满足2、3、5的倍数。 故选：。 【点评】此题主要根据能同时被2、3、5整除的数的特征解决问题。 3．已知，，都是大于1的自然数），那么下面各种说法中正确的是　　 A．是因数 B．和都是的因数 C．是的因数 D．是倍数 【分析】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：已知，，都是大于1的自然数），那么下面各种说法中正确的是和都是的因数。 故选：。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 4．下列数中，同时是2、5、3的倍数是　　 A．102 B．201 C．210 D．211 【分析】个位上是0、2、4、6或8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；各个数位上的数字之和能被3整除的数是3的倍数。 【解答】解：个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数。 ，3是3的倍数。 故选：。 【点评】熟练掌握2、3、5的倍数的特征，是解答本题的关键。 5．如果数是29的因数，那么　　 A．一定是1 B．一定是29 C．是1或29 D．无法确定 【分析】根据找一个数因数的方法，列举出29的所有因数，然后选择即可。 【解答】解：29的因数有1、29，所以如果数是29的因数，那么是1或29。 故选：。 【点评】此题考查了找一个数因数的方法，应注意灵活掌握。 二．填空题（共5小题） 6．2024至少减去 　4　就是5的倍数，至少加上 　　就是3的倍数。 【分析】5 的倍数的特征为：个位上是0或5的数，都是5的倍数；3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。 【解答】解：5的倍数的个位数是0或5，，因此2024至少减去4才能变成5的倍数； ，，因此2024至少加上1才能变成3的倍数。 故答案为：4，1。 【点评】本题主要考查3和5的倍数特征。 7．，　3　和 　　是 　　的因数，　　是5和3的倍数。 【分析】若整数能够被整除，叫作的倍数，就叫作的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：，3和5是15的因数，15是5和3的倍数。 故答案为：3，5，15，15。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 8．猜猜我是谁． （1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数．　12　 （2）我们两个的和是6，积是8，质数是　 　，合数是　 　． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是　 　和　 　． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是　 　和　 　． 【分析】（1）因为既是6的倍数，又是4的倍数，还是12的因数的数只有12； （2）因为，2是质数，4是合数，符合题意； （3）因为，，所以这两个质数分别是7和11； （4）因为，，所以这两个质数分别是13和7；由此解答即可． 【解答】解：（1）我是6的倍数，又是4的倍数，别忘了我还是12的因数，所以这个数是12； （2）我们两个的和是6，积是8，质数是2，合数是4． （3）我们两个的和是18，积是77，这两个质数分别是7和11． （4）我们两个的和是20，差是6，这两个质数分别是13和7； 故答案为：12，2，4，7，11，13，7． 【点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累． 9．在1、2、3、4、8、9、11、13、15这几个数中，　2、3、11、13　是质数，　　是合数，　　既是奇数又是合数，　　既是偶数又是质数，　　既不是质数又不是合数。 【分析】根据偶数与奇数，质数与合数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；由此解答。 【解答】解：在1、2、3、4、8、9、11、13、15这几个数中，2、3、11、13是质数，4、8、9、15是合数，9、15既是奇数又是合数，2既是偶数又是质数，1既不是质数又不是合数。 故答案为：2、3、11、13；4、8、9、15；9、15；2；1。 【点评】此题主要考查偶数与奇数，质数与合数的概念及意义。 10．36的因数有 　1，2，3，4，6，9，12，18，36　，最大的因数是 　　。36的倍数有 　　个。 【分析】利用找配对的方法可以迅速找出36的因数，一个数最大的因数就是这个数本身，最小倍数也是这个数本身；一个数的倍数的个数是无穷的，据此解答。 【解答】解：、、、、，故36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36； 36最大的因数是它本身，即36； 一个数的倍数有无穷多个，因此36的倍数也有无穷多个。 故答案为：1，2，3，4，6，9，12，18，36；36；无穷多。 【点评】本题主要考查找一个数的因数的方法，以及一个数的因数与倍数的相关性质。 三．判断题（共3小题） 11．因为，所以4是因数，8是倍数。 　　 【分析】因为，所以说4和2都是8的因数，8是4和2的倍数；不能说成2和4都是因数，8是倍数；约数和倍数是相互依存的，是两个数之间的关系。 【解答】解：因为只能说4和2都是8的因数，8是4和2的倍数；即说法错误。 故答案为：。 【点评】此题考查因数和倍数的意义，因数和倍数是两个数之间的关系。 12．31□2是3的倍数，□里只有3种填法。 　×　 【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】解：31□2是3的倍数，□里可以填：0、3、6、9； 有4种填法。原题说法错误。故答案为：×。 【点评】本题考查的主要内容是3的倍数的应用问题。 13．合数与合数的积还是合数，质数与质数的积还是质数。 　　 【分析】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。 【解答】解：质数质数合数 合数合数合数 合数与合数的积还是合数，质数与质数的积还是质数。原题说法错误。 故答案为：。 【点评】本题考查的主要内容是质数、合数的认识问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$