1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课时练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 一、 单项选择题 1 (2024丽水期末)已知向量a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，则|a＋b|的值是(　　) A. 2 B. 2 C. 8 D. 12 2 已知空间向量a＝(0，2，1)，b＝(0，－1，1)，则与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是　(　　) A. (0，1，2) B. (0，－1，－2) C. (0，，) D. (0，－，－) 3 (2024吉林期末)已知向量a＝(9，8，5)，b＝(2，－1，－1)，则向量a在向量b上的投影向量c等于(　　) A. B. C. D. 4 (2023湖北期末)已知点A(2，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，D(1，1，0)，E(0，0，a)，直线DE平行于△ABC所在的平面，则实数a的值为(　　) A. B. C. 2 D. 5 已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底．若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A. (4，0，3) B. (1，2，3) C. (3，1，3) D. (2，1，3) 6 已知O为坐标原点，向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 二、 多项选择题 7 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. ⊥ B. ⊥ C. ·(－)＝0 D. ＝＋＋ 8 (2024泉州期末)已知空间向量＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，则下列说法中正确的是(　　) A. ·＝0 B. 在上的投影向量为(0，2，－1) C. 若向量＝(1，0，6)，则点E在平面ABC内 D. 向量(0，－，)是与平行的一个单位向量 三、 填空题 9 已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________． 10 (2024北京丰台期末)已知向量a＝(1，2，－3)，b＝(－2，λ，6)，若a与b共线，则λ＝________． 11 (2023珠海阶段练习)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，cos 〈a，b〉＝－.若向量a＋kb与2a＋b所成的角为锐角，则实数k的取值范围是________． 四、 解答题 12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，M，N分别是A1A，A1B1的中点． (1) 求BM的长； (2) 求cos〈，〉的值； (3) 求证：A1B⊥C1N. 13 (2023上海期中)已知空间三点A(－2，1，2)，B(－1，2，2)，C(－3，1，4)，设＝a，＝b. (1) 若＝2，求点D的坐标； (2) 若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值； (3) 若向量λa－b与a－λb平行，求实数λ的值． 【答案与解析】 1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1. B　由a＝(2，1，0)，b＝(1，－1，)，得a＋b＝(3，0，)，所以|a＋b|＝＝2. 2. D　因为a＝(0，2，1)，b＝(0，－1，1)，所以a＋b＝(0，1，2)，|a＋b|＝，所以与向量a＋b方向相反的单位向量e的坐标是－(0，1，2)＝(0，－，－). 3. A　因为向量a＝(9，8，5)，b＝(2，－1，－1)，所以向量a在向量b上的投影向量c＝|a|·cos 〈a，b〉·＝·b＝b＝. 4. D　由题意，得＝(－2，2，－1)，＝(－2，0，2)，＝(－1，－1，a).因为直线DE平行于△ABC所在的平面，所以＝x＋y，即(－1，－1，a)＝(－2x，2x，－x)＋(－2y，0，2y)，可得解得 5. C　由题意，得p＝4a＋2b＋3c，设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc，则解得所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3). 6. C　因为点Q在直线OP上运动，所以∥，有＝t＝(t，t，2t)，所以Q(t，t，2t)，所以＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)，所以·＝(1－t)(2－t)＋(2－t)(1－t)＋(3－2t)·(2－2t)＝6t2－16t＋10＝6－，则当t＝时，(·)min＝－，此时，点Q，所以当·取得最小值时，点Q的坐标为. 7. ACD　以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，M(2，0，1)，N(2，2，1)，所以＝(－2，2，0)，＝(2，2，－1)，则·＝0，即⊥，故A正确；＝(－2，2，－1)，则·＝1≠0，故B错误；－＝＝(2，2，0)，则·(－)＝0，故C正确；＝－＝＋－＝＋＋，故D正确．故选ACD. 8. ABD　因为＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，所以·＝0－4＋4＝0，故A正确；因为BA⊥BC，所以在上的投影向量即为＝(0，2，－1)，故B正确；若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得＝x＋y，又＝(1，0，6)，＝(1，2，4)，＝(0，－2，1)，所以方程组无解，则点E不在平面ABC内，故C错误；由＝(0，－2，1)，得(0，－，)＝，且＝1，故D正确．故选ABD. 9. 120°　设c＝(x，y，z)，由题意，得a＋b＝(－1，－2，－3)，所以－x－2y－3z＝7.设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝120°. 10. －4　因为向量a＝(1，2，－3)，b＝(－2，λ，6)，a与b共线，所以＝＝，解得λ＝－4. 11. ∪　因为向量a＝(1，1，0)，b＝(m，0，2)，所以a·b＝m，|a|＝，|b|＝.因为cos 〈a，b〉＝－，所以＝＝－，解得m＝－1，所以b＝(－1，0，2)，所以a＋kb＝(1－k，1，2k)，2a＋b＝(1，2，2).因为向量a＋kb与2a＋b所成的角为锐角，所以(a＋kb)·(2a＋b)＝1－k＋2＋4k>0，解得k>－1.若向量a＋kb与2a＋b共线，则＝＝，解得k＝，所以实数k的范围是(－1，)∪. 12. (1) 建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，1，0)，M(1，0，1)， 所以＝(1，－1，1)，则||＝. (2) 由(1)知，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 则·＝3，||＝，||＝， 所以cos 〈，〉＝＝＝. (3) 由(1)知，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，N， 所以＝(1，－1，2)，＝， 则·＝0，所以A1B⊥C1N. 13. (1) 设D(x，y，z)，则＝(x＋2，y－1，z－2)，＝(－1－x，2－y，2－z). 由＝2，得 解得即点D的坐标为. (2) 由a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)， 得ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 因为向量ka＋b与ka－2b互相垂直， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， 解得k＝－或k＝2. (3) 由(2)知，a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， 所以λa－b＝(λ＋1，λ，－2)，a－λb＝(1＋λ，1，－2λ). 因为向量λa－b与a－λb平行， 所以可设λa－b＝m(a－λb)， 则解得λ＝±1. 学科网（北京）股份有限公司 $$