宁波市2023-2024学年七年级第二学期期末数学模拟试卷二（浙教版）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 宁波市2024学年第二学期期末检测 七年级数学模拟卷二 考生须知： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分； 2. 答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3. 不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4. 所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。 1．下列选项中，不是二元一次方程：的解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 4．4月日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（   ） A．名师生的国家安全知识掌握情况 B． C．从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的名师生 5．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（　　） A． B． C． D． 8．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数 9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。 11．研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为 ． 12．已知二元一次方程，用含y的代数式表示x的形式是 ． 13．已知，，则 ． 14．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ． 15．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ． 第15题 第16题 16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ． 三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分6分）计算： (1)； (2)． 18．（本小题满分6分） （1）解方程组                  （2）解分式方程： 19．（本小题满分6分）分解因式： (1) (2) 20．（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中． 21．（本小题满分9分）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点H.已知，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，求的度数． 22．（本小题满分10分）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： (1)抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图； (2)如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数； (3)根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议． 23．（本小题满分10分）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 24．（12分）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2023-2024学年七年级第二学期期末检测 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 二 、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 ) ( 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三 、解答题：本题共 7 小题，共 6 6 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 . （ 本小题满分 6 分） 计算： (1) ； (2) ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 本小题满分 6 分） （ 1 ） 解方程组                   （ 2 ）解分式方程： 19 ．（ 本小题满分 6 分） 分解因式： (1) (2) ． 20. （本小题满分7分） 先化简，再求值： ，其中 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 . （ 本小题满分 9 分） （1） （2） 2 2 ．（ 本小题满分 10 分） （ 1 ） 、 ； （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 本小题满分 1 0 分） （ 1 ） （ 2 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 . （ 本小题满分 12 分） （1） ① ② ； （ 2 ） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请 勿 在 本 区 域 内 答 题 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第 1 页 第 2 页 第 3 页 2023-2024 学年七年级第二学期期末检测 数学答题卡 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共 7 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步棸。 17.（本小题满分 6 分）计算： (1) ( ) 2 0 2 12 2 2 π −  − − +     ； (2) ( ) ( ) ( )2 22 33 4 6x y xy⋅ − ÷ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（本小题满分 6 分） （1）解方程组 2 7 2 2 x y x y + =  + = （2）解分式方程： 2 1x − = 1 x x− 1− 19．（本小题满分 6分） 分解因式： (1) 34 4a a− (2) 22 8 8x y xy y− + ． 20. （本小题满分 7分） 先化简，再求值： 2 2 1 161 3 6 9 x x x x − − ÷ − − +  ，其中 6x = ． 21. （本小题满分 9 分） （1） （2） 22．（本小题满分 10 分） （1） 、 ； （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4 页 第 5 页 第 6 页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（本小题满分 10 分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （本小题满分 12 分） （1） ① ② ； （2） （3） 请 勿 在 本 区 域 内 答 题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … 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与纸片的一边重合．已知 90B ADC∠ =∠ = °， 60ACB∠ = °， 45CAD∠ = °，则 1∠ 的度数为（ ） A．150° B．105° C．120° D．135° 6．已知 1 2 x y = −  = 是二元一次方程组 3 2 1 x y m nx y + =  − = 的解，则m n− 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使 AB 边与CD边互相平行，则图中 1∠ 的大小为（ ） A． 45° B．60° C．75° D．90° 8．对于分式 2 9 3 x x − + ，下列说法错误的是（ ） A．当 3x = ± 时，分式的值为 0 B．当 3x = − 时，分式无意义 C． 4x = − 时，分式的值为 7− D．当 3x > 时，分式的值为正数 9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参 详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其 大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲 6 只羊，那么甲牧羊的数量为乙的 2 倍； 如果甲给乙 6 只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊 x 只，乙有羊 y 只， 根据题意列方程组正确的为（ ） A． 2 6 6 6 2 6 x y y x y + = −  − = − B． 6 2 6 2 6 6 x y x y + = −  − = + C． ( )2 6 6 6 6 x y x y  + = −  − = + D． ( )6 2 6 6 6 x y x y  + = −  − = + 10．如图，长方形纸片 ABCD，点 M，N 分别在 AD， BC 边上，将纸片沿 MN 折叠，点 C，D 分别落在点 1C ， 1D 处， 1MD 与 BC 交于点 P，再沿 PN 折叠纸片，点 1C ， 1D 分别落在点 2C ， 2D 处，设 2 α∠ =BPD ，则 2∠MNC 的度数为（ ） A． 1 3 α B． 190 2 α°− C． 1 2 α D． 390 2 α°− 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … 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= （2）解分式方程： 2 1x − = 1 x x− 1− 19．（本小题满分 6分）分解因式： (1) 34 4a a− (2) 22 8 8x y xy y− + 20．（本小题满分 7分）先化简，再求值： 2 2 1 161 3 6 9 x x x x − − ÷ − − +  ，其中 6x = ． 21．（本小题满分 9分）如图，点 E、F、G 分别在直线CD、 AB 、 AD上， BE 交 AD于点 H.已知 A D∠ = ∠ ， CEB BFG∠ = ∠ ． (1) FG 与 BE 平行吗？说明理由； (2)若 105DHE∠ = °，求 FGD∠ 的度数． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 22．（本小题满分 10分）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一 1200 名学生中随机抽取部分学生进 行 1000 米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： (1)抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图； (2)如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得 9 分及以上的人 数； (3)根据测试结果，请对该学校初一学生“1000 米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议． 23．（本小题满分 10分）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新 冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产 厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费 9900 元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共15辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你 能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 24．（12 分）如图 1， 90ACB∠ = ， MA BN∥ ． (1)①如果 30MAC∠ = ，求 CBN∠ 的度数； ②设 MAC α∠ = ， CBN∠ β= ，直接写出α 、 β 之间的数量关系：________； (2)如图 2， MAC∠ 、 CBN∠ 的角平分线交于点 P ，当 MAC∠ 的度数发生变化时， APB∠ 的度数是否发生 变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 APB∠ 的度数； (3)在（2）的条件下，若 40MAC∠ = ，点 E 为射线 BN 上的一个动点，过点 E 作 EF BC∥ 交直线．．AP 于点 F ，连接 EP．已知 10FEP∠ = ，求 BPE∠ 的度数． 宁波市2024学年第二学期期末检测 七年级数学模拟卷二 考生须知： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分； 2. 答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3. 不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4. 所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。 1．下列选项中，不是二元一次方程：的解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 4．4月日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（   ） A．名师生的国家安全知识掌握情况 B． C．从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的名师生 5．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（　　） A． B． C． D． 8．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数 9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。 11．研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为 ． 12．已知二元一次方程，用含y的代数式表示x的形式是 ． 13．已知，，则 ． 14．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ． 15．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ． 第15题 第16题 16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ． 三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分6分）计算： (1)； (2)． 18．（本小题满分6分） （1）解方程组                  （2）解分式方程： 19．（本小题满分6分）分解因式： (1) (2) 20．（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中． 21．（本小题满分9分）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点H.已知，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，求的度数． 22．（本小题满分10分）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： (1)抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图； (2)如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数； (3)根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议． 23．（本小题满分10分）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 24．（12分）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$第1页，共6页 宁波市 2024 学年第二学期期末检测 七年级数学模拟卷二 考生须知： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间 100分钟，满分 120 分； 2. 答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3. 不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4. 所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项最符合题目要求的。 1．下列选项中，不是二元一次方程： 5x y+ = 的解的是（ ） A． 3, 2x y= = B． 2, 3x y= = C． 4, 2x y= = D． 5, 0x y= = 2．下列计算正确的是（ ） A． 2 4 8m m m⋅ = B． 3 2m m m− = C． ( )3 33 9m m− = − D． 6 3 3÷ =m m m 3．多项式 2 3 2 5 2 3 23 4 6a b c a b a bc+ + 的各项公因式是（ ） A． 2a bc B． 5 3 212a b c C． 212a bc D． 2a b 4．4 月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校 2500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机 抽取了250名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ） A．2500名师生的国家安全知识掌握情况 B．250 C．从中抽取的250名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的250名师生 5．如图，有一张对边平行的纸片，三角板 ABC 和三角板 ADC按如图方式放置，三角板 ADC 的一条直角 边与纸片的一边重合．已知 90B ADC∠ =∠ = °， 60ACB∠ = °， 45CAD∠ = °，则 1∠ 的度数为（ ） A．150° B．105° C．120° D．135° 第2页，共6页 6．已知 1 2 x y = −  = 是二元一次方程组 3 2 1 x y m nx y + =  − = 的解，则m n− 的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使 AB 边与CD边互相平行，则图中 1∠ 的大小为（ ） A．45° B．60° C．75° D．90° 8．对于分式 2 9 3 x x − + ，下列说法错误的是（ ） A．当 3x = ± 时，分式的值为 0 B．当 3x = − 时，分式无意义 C． 4x = − 时，分式的值为 7− D．当 3x > 时，分式的值为正数 9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参 详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌” 其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲 6 只羊，那么甲牧羊的数量为乙的 2 倍；如果甲给乙 6 只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊 x 只，乙有羊 y 只，根据题意列方程组正确的为（ ） A． 2 6 6 6 2 6 x y y x y + = −  − = − B． 6 2 6 2 6 6 x y x y + = −  − = + C． ( )2 6 6 6 6 x y x y  + = −  − = + D． ( )6 2 6 6 6 x y x y  + = −  − = + 10．如图，长方形纸片 ABCD，点 M，N 分别在 AD ， BC 边上，将纸片沿MN 折叠，点 C，D 分别落在 点 1C ， 1D 处， 1MD 与 BC 交于点 P，再沿 PN 折叠纸片，点 1C ， 1D 分别落在点 2C ， 2D 处，设 2 α∠ =BPD ，则 2∠MNC 的度数为（ ） A． 1 3 α B． 190 2 α°− C． 1 2 α D． 390 2 α°− 第3页，共6页 二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分。 11．研究发现新冠肺炎病毒大小约为 0.000000125 米，数 0.000000125 用科学记数法表示为 ． 12．已知二元一次方程 2 1x y− = ，用含 y 的代数式表示 x 的形式是 ． 13．已知 2m n+ = ， 3= −mn ，则 ( )( )3 3m n− − = ． 14．对于实数 x，y 定义一种新运算“*”： 2* yx y x y = − ，例如： 2 21*2 2 1 2 = = − − ，则分式方程 1* 1 1 mxx x − = − − 无解时，m 的值是 ． 15．有两个正方形 A，B，现将 B 放在 A 的内部得图甲，将 A，B 并列放置后构造新的正方形得图乙．若 图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 4 和 30，则正方形 A，B 的面积之和为 ． 第 15 题 第 16 题 16．如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，∠ACB 是锐角，将△ABC 沿着射线 BC 方向平移得到△DEF（平 移后点 A，B，C 的对应点分别是点 D，E，F），连接 CD，若在整个平移过程中，∠ACD 和∠CDE 的度 数之间存在 2 倍关系，则∠ACD= ． 三、解答题：本题有 7 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 6分）计算： (1) ( ) 2 0 2 12 2 2 π −  − − +     ； (2) ( ) ( ) ( )2 22 33 4 6x y xy⋅ − ÷ ． 18．（本小题满分 6分） （1）解方程组 2 7 2 2 x y x y + =  + = （2）解分式方程： 2 1x − = 1 x x− 1− 第4页，共6页 19．（本小题满分 6分）分解因式： (1) 34 4a a− (2) 22 8 8x y xy y− + 20．（本小题满分 7分）先化简，再求值： 2 2 1 161 3 6 9 x x x x − − ÷ − − +  ，其中 6x = ． 21．（本小题满分 9分）如图，点 E、F、G 分别在直线CD、 AB 、 AD 上， BE 交 AD 于点 H.已知 A D∠ = ∠ ， CEB BFG∠ = ∠ ． (1) FG 与 BE 平行吗？说明理由； (2)若 105DHE∠ = °，求 FGD∠ 的度数． 第5页，共6页 22．（本小题满分 10分）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一 1200 名学生中随机抽取部分学生 进行 1000 米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： (1)抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图； (2)如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得 9 分及以上的人 数； (3)根据测试结果，请对该学校初一学生“1000 米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议． 23．（本小题满分 10分）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击 新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生 产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所 示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费9900 元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共15辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材， 你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 第6页，共6页 24．（12 分）如图 1， 90ACB∠ = ， MA BN∥ ． (1)①如果 30MAC∠ = ，求 CBN∠ 的度数； ②设 MAC α∠ = ， CBN∠ β= ，直接写出α 、β 之间的数量关系：________； (2)如图 2， MAC∠ 、 CBN∠ 的角平分线交于点 P ，当 MAC∠ 的度数发生变化时， APB∠ 的度数是否发 生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 APB∠ 的度数； (3)在（2）的条件下，若 40MAC∠ = ，点 E 为射线BN 上的一个动点，过点E 作 EF BC∥ 交直线．．AP 于点 F ，连接EP．已知 10FEP∠ = ，求 BPE∠ 的度数． 宁波市2024学年第二学期期末检测 七年级数学模拟卷二·解析版 考生须知： 1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分； 2. 答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3. 不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4. 所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的。 1．下列选项中，不是二元一次方程：的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程解的概念，能够使得二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值即为二元一次方程的解，分别把选项中x、y的值代入二元一次方程的左边，能与右边相等的即为方程的解，与右边不相等的不是方程的解． 【详解】解：A、时，左边右边，故是二元一次方程的解； B、时，左边右边，故是二元一次方程的解； C、时，左边右边，故不是二元一次方程的解； D、时，左边右边，故是二元一次方程的解； 故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，分别根据幂的乘方、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法、除法法则计算，逐一判断即可． 【详解】A、，原计算错误，不符合题意； B、，不能计算合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3．多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解． 【详解】解：多项式的各项公因式是 故选：D． 4．4月日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（   ） A．名师生的国家安全知识掌握情况 B． C．从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的名师生 【答案】C 【分析】本题考查了样本的定义．熟练掌握样本的定义是解题的关键． 根据样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：由题意知，样本是从中抽取的名师生的国家安全知识掌握情况． 故选：C． 5．如图，有一张对边平行的纸片，三角板和三角板按如图方式放置，三角板的一条直角边与纸片的一边重合．已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，由邻补角的性质得到由平行线的性质推出．本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 【详解】解：如图： ，， ， 纸片对边平行， ， 故选：B． 6．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意求出的值是解题的关键．将代入二元一次方程组可得：，计算出的值即可得到答案． 【详解】解：将代入二元一次方程组可得：， 解得：， ， 故选：D． 7．将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据三角板的特点得到，，再由平行线的性质得到，然后由平角的定义可得答案． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为0的条件，根据分式有意义的条件：分母不为0，分式职位0的条件：分子等于0，分母不等于0，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，当时，分式无意义，故A不正确，符合题意； B、当时，分式无意义，故B正确，不符合题意； C、时，，故C正确，不符合题意； D、当时，，∴分式的值为正数，故D正确，不符合题意； 故选：A． 9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同”，列出二元一次方程组，即可求解，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系． 【详解】解：由“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍，”可列式：， 由“如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同，”可列式：， 根据题意可列二元一次方程组：， 故选：． 10．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。 11．研究发现新冠肺炎病毒大小约为0.000000125米，数0.000000125用科学记数法表示为 ． 【答案】1.25× 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值﹤1时，n是负数 【详解】解：因为0.000000125=1.25× 故答案为：1.25× 12．已知二元一次方程，用含y的代数式表示x的形式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 把二元一次方程移项求解即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 13．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的变形求值，掌握乘法法则是关键． 根据多项式与多项式相乘的法则对所求代数式进行变形，再把和的值代入，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故答案为∶． 14．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题考查解分式方程，理解题意新定义，熟练掌握分式方程无解的等价条件是解答的关键．根据题中运算法则列出分式方程，然后化为整式方程，根据分式方程解的情况分类求解即可． 【详解】解：根据题意，可化为， 化为整式方程为：， 当时，整式方程无解，即原分式方程无解； 当时，整式方程的解为， ∵当时，分式方程无解， ∴，则， 综上，当或时，原分式方程无解， 故答案为：0或． 15．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】34 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，根据题意正确列出代数式、掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可． 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为a，b． 由题意， ∴， ∴， ∴ 故答案为：34． 16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD= ． 【答案】15°或30°或90° 【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作， ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴， ∵，， ∴， ①当∠ACD=2∠CDE时， ∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG+∠DCG， ∴2x+x=45°，解得：x=15°， ∴∠ACD=2x=30°， ②当∠CDE=2∠ACD时， ∴设∠CDE=x，则∠ACD=x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG-∠DCG， ∴2x+x=45°，解得：x=30°， ∴∠ACD=x=15°， 第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作 ∵△DEF由△ABC平移得到， ∴， ∵，， ∴， ①当∠ACD=2∠CDE时， 设∠CDE=x，则∠ACD=2x， ∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x， ∵∠ACD=∠ACG+∠DCG， ∴2x=x+45°，解得：x=45°， ∴∠ACD=2x=90°， ②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况， 综上：∠ACD=15°或30°或90°． 三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算以及幂的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂，乘方，负整数指数幂，再合并同类项，即可作答． （2）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后运算单项式除以单项式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．（本小题满分6分） （1）解方程组                  （2）解分式方程： 【答案】（1）（2） 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为； （2）解分式方程： 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 19．（本小题满分6分）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是正确进行分式的化简．根据分式的混合运算顺序进行化简求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．（本小题满分9分）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点H.已知，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质： （1）利用平行线的判定及性质即可求解； （2）由（1）得：，进而可得，进而可求解； 熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）某校为了了解初一学生长跑能力，从初一1200名学生中随机抽取部分学生进行1000米跑步测试，并将得分情况绘制成如下统计图（如图，部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题： (1)抽取学生的总人数为______，并补全频数分布直方图； (2)如果该校全体初一学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初一学生获得9分及以上的人数； (3)根据测试结果，请对该学校初一学生“1000米跑步”情况作出评价，并向学校提出一条合理的建议． 【答案】(1)50，图见解析 (2)432人 (3)见解析 【分析】本题考查条形图与扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用8分的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出7分的人数，补全条形图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据统计图，提出建议即可． 【详解】（1）解：抽取学生的总人数为； ∴7分的人数为：，补全条形图如图： （2）（人）； （3）由统计图可知，8分段的人数最多，建议学校加强初一学生“1000米跑步”的练习，提升学生的成绩．（合理即可） 23．（本小题满分10分）中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某中药材种植基地欲将一批吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 6 10 12 运费（元/辆） 540 700 720 (1)若全部中药材仅用乙、丙两种车型一次性运完，需支付运费元，问乙、丙两种车型各需多少辆？ (2)若该基地打算用甲、乙、丙三种车型共辆同时参与运送，每辆车均满载且一次性运完所有中药材，你能分别求出参与运送的三种车型的辆数吗？（甲、乙、丙三种车型均要参与运送） 【答案】(1)乙种车型需辆．丙种车型需辆 (2)参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆 【分析】（1）设乙种车型需辆，丙种车型需辆，根据共150吨及运费元，列出二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆，根据一共吨列出方程，根据均为正整数，分别求出符合题意的，，的值即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙种车型需辆，丙种车型需辆， 根据题意得 解得 答：乙种车型需辆，丙种车型需辆． （2）解：设甲车有辆，乙车有辆．则丙车有辆， 由题意得， 即 ， 因为均为正整数， 所以时； 时，； 时，； 时，； 答：参与运送的有甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆或甲种车型辆，乙种车型辆，丙种车型辆． 24．（12分）如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化， (3)当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题；②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：不发生变化，，理由为： 由②可得，， ∵、的角平分线交于点， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$