上海市高一下学期期末真题必刷04（压轴50题15个考点专练）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

上海市高一下学期期末真题必刷04（压轴50题15个考点专练） 一．正弦函数的图象（共2小题） 1．（2023秋•锡山区校级期末）已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2023春•龙川县校级期末）函数，，，的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，求函数在，上的最大值，并确定此时的值． 二．正弦函数的单调性（共1小题） 3．（2022春•满洲里市校级期末）已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和． （Ⅰ）求解析式及的值； （Ⅱ）求的单调增区间； （Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 三．正切函数的图象（共1小题） 4．（2022春•海淀区期末）若点，在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集． （Ⅰ）判断是否是函数的点，并说明理由； （Ⅱ）若函数的集为，求的最大值； （Ⅲ）若定义域为的连续函数的集满足，求证：． 四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 5．（2023春•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，已知函数，的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作． ①若动点在圆上运动，为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的最小值； ②已知常数，，，，且函数在内恰有2023个零点，求常数与的值． 6．（2023秋•和平区校级期末）已知函数，的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图像在区间，，且上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间，上，求的最小值． 7．（2022秋•南山区校级期末）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若存在，，使等式成立，求实数的最大值和最小值． 8．（2022春•蓝田县期末）函数是偶函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位，最后向上平移1个单位得到的图象，若关于的方程在，有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值． 五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 9．（2022春•松江区校级期末）已知函数，的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求的单调递增区间； （2）设的三内角、、的正弦值依次成等比数列，求（B）的值域； （3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在，上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 10．（2021春•徐汇区校级期末）如图是函数，，，图象的一部分，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点， （1）若点的坐标为，求点、点和点的坐标 （2）若点的坐标为，，，试确定函数的解析式． 11．（2022春•大祥区校级期末）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，， （1）求函数的解析式． （2）记，求函数的定义域． （3）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12．（2022春•安化县期末）已知点，，，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 六．两角和与差的三角函数（共1小题） 13．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值． （1）设，求的值； （2）设，且偶函数，，求的最大值； （3）设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围． 七．两向量的和或差的模的最值（共1小题） 14．（2023春•德安县校级期末）已知非零向量，满足，且，则的最小值为　　 A． B．3 C． D．1 八．平面向量数量积的性质及其运算（共21小题） 15．（2022春•浦东新区校级期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若、分别为的最小值、最大值，其中，，，2，3，4，，，，，2，3，4，，则、满足　　 A．， B．， C．， D．， 16．（2021春•宝山区校级期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与，若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 17．（2023春•岳麓区校级期末）已知是内一点，且，，，则的最小值是　　 A．4 B．8 C． D． 18．（2023春•香坊区校级期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是　　 A．若，则为的重心 B．若，则 C．则为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 19．（2023春•浦东新区校级期末）已知正三角形面积为，为边上一点，且．射线沿与夹角为的方向射到边上的点，经反射交边于点．射线经边反射交于点．若点在线段上（不包括端点、，则的取值范围为 　　． 20．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则的最小值为 　　． 21．（2021春•浦东新区校级期末）中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足，且，若存在动点满足，且，则的最大值为 　　． 22．（2023春•大祥区校级期末）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为 　　． 23．（2022春•闵行区校级期末）在中，，，为三角形的外心． （1），求； （2），且，求； （3）在（1）条件下，，求、的值． 24．（2022春•浦东新区校级期末）设是边长为1的正三角形，点，，四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值． 25．（2021春•徐汇区校级期末）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量． （1）已知，求； （2）对于复平面中不共线的三点，，，设，求； （3）设的向量分别为，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）． 26．（2021春•长宁区校级期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围； （2）已知点满足条件：，；若向量的“相伴函数” 在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围． 27．（2023春•徐汇区校级期末）如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求的值（用含，的式子表示）； ②若，，，，，，，分别求集合中最大元素与最小元素的值． 28．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，． （1）记函数，求函数取最大值时的取值范围； （2）求证：与不平行； （3）设的三边、、满足，且边所对应的角为，关于的方程有且仅有一个实根，求实数的范围． 29．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，的夹角为，且，设， （1）求； （2）试用来表示的值； （3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围． 30．（2022春•金山区校级期末）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 31．（2021春•浦东新区校级期末）已知，，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 32．（2023春•天河区校级期末）已知向量，令． （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，且，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 33．（2022春•东营期末）对于函数，，任意，，且，，，都有（a），（b），（c）是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （2）在满足（1）且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 34．（2022春•武冈市期中）已知向量，，，函数，． （1）求在，上的最值，并求出相应的的值； （2）计算（1）（2）（3）的值； （3）已知，讨论在，上零点的个数． 35．（2022春•遵义期末）已知，，函数． （1）求的周期和单调递减区间； （2）设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围； （3）设定义域为，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值． 九．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题） 36．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 一十．平面向量的基本定理（共1小题） 37．（2022春•浦东新区校级期末）如图，四边形是正方形，延长至，使，若点是以点为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是 　　． 一十一．正弦定理（共2小题） 38．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 39．（2023春•银川校级期末）如图，在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求的面积． 一十二．余弦定理（共1小题） 40．（2023秋•新郑市校级期末）已知函数，在中，，且的面积为， （1）求的值； （2）求的值． 一十三．解三角形（共6小题） 41．（2023春•恩施州期末）在中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的选项是　　 A．若，则 B．若，，则该三角形有两解 C．若，则为锐角三角形 D．在中，若弦的长为1，则的值是确定的 42．（2020春•金山区校级期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边，点在边上，设； （1）若，求三角形铁皮的面积； （2）求剪下的三角形铁皮面积的最大值． 43．（2022春•青浦区校级期末）已知的三内角，，所对的边分别是，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的范围． 44．（2021春•徐汇区校级期末）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？ 45．（2023春•青原区期末）如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 46．（2023春•济南期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）证明：； （2）已知，点为线段的中点，，求． 一十四．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题） 47．（2023春•虹口区校级期末）设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 48．（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数． 49．（2022春•普陀区校级期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 一十五．纯虚数（共1小题） 50．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市高一下学期期末真题必刷04（压轴50题15个考点专练） 一．正弦函数的图象（共2小题） 1．（2023秋•锡山区校级期末）已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值． 【解答】解：对任意，，，2，3，，， 都有， 要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点， 考虑，， 按下图取值即可满足条件， 的最小值为8． 故选：． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想方法，属于难题． 2．（2023春•龙川县校级期末）函数，，，的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设，求函数在，上的最大值，并确定此时的值． 【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式； （2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解． 【解答】解：（1）结合图象，得 ， ， ， ， ， ， 将点，代入，得 ， ， ， （2）结合（1）， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， 时，函数取得最大值， 此时，， 最大值为4． 【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角函数的 图象与性质等知识，属于中档题． 二．正弦函数的单调性（共1小题） 3．（2022春•满洲里市校级期末）已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和． （Ⅰ）求解析式及的值； （Ⅱ）求的单调增区间； （Ⅲ）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出和的值，可得函数的解析式． （Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得的单调增区间， （Ⅲ）由题意可得若时，方程 有2个解，结合正弦函数的图象和性质，求得的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数的图象与轴的交点为， 它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为，和， ，，即，，且，， ． 令，求得． （Ⅱ）令，求得， 可得函数的增区间为，，． （Ⅲ）若时，函数有两个零点， 即有2个实数根， 即方程 有2个解． 若时，，，，， 结合正弦函数的图象可得，应有，解得， 即实数的取值范围，． 【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性，正弦函数的图象和性质，属于难题． 三．正切函数的图象（共1小题） 4．（2022春•海淀区期末）若点，在函数的图象上，且满足，则称是的点．函数的所有点构成的集合称为的集． （Ⅰ）判断是否是函数的点，并说明理由； （Ⅱ）若函数的集为，求的最大值； （Ⅲ）若定义域为的连续函数的集满足，求证：． 【分析】直接求出，再判断出，即可得到，即可得到结论； 先说明，若，则，由题设得到，推出矛盾，再说明的值可以等于，令，利用三角函数的值域加以证明即可； 由题设知，必存在，使得，结合零点存在定理说明函数必存在零点，即可证明． 【解答】解：不是函数的点， 理由如下：设，则， 因为，所以，所以， 所以不是函数的点； 先证明，若，则函数的最小正周期， 因为函数的集为， 所以对，是的零点， 令，则， 因为函数的值域为，， 所以当，时，必有， 即对于，恒成立， 所以，即的最小正周期，与矛盾； 再证明的值可以等于，令，对， 当，时，，，； 当，时，，，， 所以是的点，即函数的集为， 综上所述，的最大值是； 因为函数的集满足， 所以存在，使得且，即， 因为若，则，所以， 因为函数的图象是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在，使得， 所以存在零点， 即． 【点评】本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于难题． 四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 5．（2023春•浦东新区校级期末）在平面直角坐标系中，已知函数，的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作． ①若动点在圆上运动，为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的最小值； ②已知常数，，，，且函数在内恰有2023个零点，求常数与的值． 【分析】（1）根据函数的最小正周期、对称轴求出参数，即可得解析式； （2）由图象平移得，①由已知得并确定其轨迹，利用圆的切线性质可得，应用基本不等式求最值，注意取值条件； ②由题设知在内恰有2023个根，换元法有，得关于的二次方程必有两不等实根，，进而讨论根的分布情况判断、解的个数，即可确定参数值． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知函数，的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴， 由三角函数的周期公式可得，， 令，得， 由于直线为函数的一条对称轴， 所以，得， 由于，，则， 因此，； （2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作， 将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后， 所得到的图象对应的函数为； ①若动点在圆上运动，为圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，， 由已知，则圆的半径为1，故， 设，， ，当且仅当时，取等号， 故的最小值为； ②已知常数，，，，且函数在内恰有2023个零点， ， 令，可得， 当时，不符合题意，所以，， 令，，得，△， 则关于的二次方程必有两不等实根、， 则有韦达定理，，，所以、异号； （ⅰ）当且时， 则方程和在区间，均有偶数个根， 从而方程在，也有偶数个根，不合题意； （ⅱ）当，则，此时， 当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根， 方程在区间上只有一个根， 方程在区间上无实数解，在区间上有两个根， 因此，关于的方程在区间上有2023个根； （ⅲ）当时，则，此时， 当时．只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于， 则方程在上有个根， 由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根， 方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解， 因此，关于的方程在区间上有2024个根，不满足题意； （ⅳ）当，则有， 因此方程在，有偶数个根，不合题意； 综上所述，，． 【点评】本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题． 6．（2023秋•和平区校级期末）已知函数，的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图像在区间，，且上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间，上，求的最小值． 【分析】（1）由已知，再根据为偶函数可得；（2）参数分离，利用对勾函数求范围；（3）令，根据零点的分布情况确定的最小值． 【解答】解：（1）由，得，则 则为偶函数，所以， 又，所以，故； （2）因为，，所以，，，， 故，， 而恒成立， 即， 整理可得，令，，， 设，，， 设，，且， 则， 由于，，则，所以， 即在区间，上单调递增，故， 故，即实数的取值范围是，； （3）由题意知， 由得， 故或，， 解得或，， 故的零点为或，， 所以相邻两个零点之间的距离为或， 若最小，则和都是零点， 此时在区间，，，，，，，， 分别恰有3，5，，个零点， 所以在区间，上恰有29个零点， 从而在区间，上至少有一个零点， 所以，另一方面，在区间，上恰有30个零点， 所以的最小值为． 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，属于难题． 7．（2022秋•南山区校级期末）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若存在，，使等式成立，求实数的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换化简的解析式，再利用三角函数图象的对称性求得函数的解析式． （Ⅱ）利用余弦函数的定义域和值域，求得，．由题意可得，即能成立，即，，．再利用对勾函数的单调性，求得实数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ） ， 函数的图象与函数的图象关于直线对称， ． （Ⅱ）由，，可得，，，，，． 若存在，，使等式成立，即能成立， 即，，． 由对勾函数的单调性可得，函数在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，；时，，时，， 故实数的最大值为3，最小值为． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数图象的对称性，余弦函数的定义域和值域，函数的能成立问题，对勾函数的单调性，属于中档题． 8．（2022春•蓝田县期末）函数是偶函数． （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位，最后向上平移1个单位得到的图象，若关于的方程在，有两个不同的根，，求实数的取值范围及的值． 【分析】（Ⅰ）根据是偶函数，且，求出的值； （Ⅱ）由图象平移求出函数的解析式，再根据余弦函数的图象求出的取值范围，利用反三角函数求出、的值，即可求． 【解答】解：（Ⅰ）是偶函数，且， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得的图象； 再向左平移个单位，得的图象； 最后向上平移1个单位得的图象； ； 又， 即， ； 在，时， ，， 有两个不同的根，， ， 解得； 实数的取值范围是，； 又， ，或； 即，； ． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了由三角函数的值求角的问题，是中档题． 五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 9．（2022春•松江区校级期末）已知函数，的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求的单调递增区间； （2）设的三内角、、的正弦值依次成等比数列，求（B）的值域； （3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在，上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据函数的部分图像求出、和的值，写出函数解析式，求出的单调递增区间； （2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得的取值范围，从而求出（B）的值域； （3）根据平移变换求出的解析式，再利用三角恒等变换求出的解析式，从而求出满足条件的和的值． 【解答】解：（1）由函数的部分图像知，，解得，所以， 由五点法画图知，，，解得，； 因为，所以，所以； 令，，解得，；所以函数的单调递增区间为，，； （2）中，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得：，当且仅当时取“”， 所以， 所以， 所以 所以（B），即（B）的值域为，； （3）将图像上所有点向右平移个单位，得的图像， 再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得的图像， 因为， 假设同时存在实数和正整数满足条件， 函数在，上恰有2022个零点， 即函数与直线在，上恰有2022个交点． 当，时，，，作出函数在区间，上的图象如下图所示： ①当或，即或时，函数与直线在，上无交点， ②当或，即或时，函数与直线在，上有一个交点， 此时要使函数与直线在，上恰有2022个交点，则； ③当或，即或时，函数与直线在，上有两个交点， 此时函数与直线在，上有2022个交点，； ④当即，时，函数与直线在，上有三个交点， 此时要使函数与直线在，上恰有2022个交点，不符合题意； 综上所述，存在实数和满足题设条件：或时，；，，时，． 【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，是难题． 10．（2021春•徐汇区校级期末）如图是函数，，，图象的一部分，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点， （1）若点的坐标为，求点、点和点的坐标 （2）若点的坐标为，，，试确定函数的解析式． 【分析】（1）设出点的坐标，由中点坐标公式求得点的坐标，再根据对称性求得、的坐标； （2）同样由是线段的中点，求得的值，由的坐标写出、的坐标，利用求得的值，再求出、的值即可写出的解析式． 【解答】解：（1）设点，由中点坐标公式得 ，解得，， 点， 点，点； （2）同样由是线段的中点，得， 由，得，； ， 又， ，解得； 由，解得， ； 函数的解析式为． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 11．（2022春•大祥区校级期末）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，， （1）求函数的解析式． （2）记，求函数的定义域． （3）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）直接由函数图象得到和，利用走起公式求，再由三角函数的对称性得到的等式，借助于的范围求； （2）直接由的真数大于0解三角不等式求得函数的定义域； （3）由的范围求得的范围，结合对数函数的单调性得到关于的不等式，求解不等式得答案． 【解答】解：（1）由图象可知，，， ， ， ，， ， ； （2）由（1）知，要使函数有意义， 有，故，即， ， 解得． 函数的定义域为； （3）对，有， ， ． 则，即． 若对恒成立， 即的最小值大于． 故，即． 【点评】本题考查了由的部分图象求函数解析式，考查了与三角函数有关的复合函数的定义域的求法，考查了三角函数的值域，体现了数学转化思想方法，是中档题． 12．（2022春•安化县期末）已知点，，，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，由时，的最小值为，可得函数的周期，从而可求，进而可求函数的解析式； （2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数的单调递增区间； （3）当时，不等式恒成立，等价于，由此可求实数的取值范围． 【解答】解：（1）角的终边经过点， ，（2分） ，．（3分） 由时，的最小值为，得， 即，（5分） （6分） （2）由， 可得，（8分） 函数的单调递增区间为，（9分） （3）当时，，（11分） 于是，， 等价于（12分） 由，得的最大值为（13分） 实数的取值范围是．（14分） 【点评】本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 六．两角和与差的三角函数（共1小题） 13．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值． （1）设，求的值； （2）设，且偶函数，，求的最大值； （3）设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围． 【分析】（1）先化简，再结合所给区间求解的值； （2）先利用偶函数求出，再利用，求出的最大值； （3）根据题意分段讨论，求出，的关系式，结合简图可得答案． 【解答】解：（1）， 因为，所以， 所以，所以． （2）因为为偶函数，所以， ，整理得， 所以，此时， 因为，所以，即， 解得，所以的最大值为． （3）， 当时，，， 由，得， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以， 作出简图， 由图可知，的取值范围是． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于难题． 七．两向量的和或差的模的最值（共1小题） 14．（2023春•德安县校级期末）已知非零向量，满足，且，则的最小值为　　 A． B．3 C． D．1 【分析】根据条件及向量数量积的运算，向量减法和加法的几何意义可得出，然后设，则，取的中点，从而得出，然后得出当，，三点共线时，取最小值，设此时，得出，，然后在和中，根据余弦定理得出，根据关于的一元二次方程有解即可求出的范围，进而得出的最小值． 【解答】解：， ， ， ， ， ，， ， 如图，设，则，取的中点，因为， 所以， 所以取最小值时，也取最小值， ，此时，，三点共线， 设此时，则，， 因为， 所以由余弦定理得， 即，得， 由△，得， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了向量加法、减法的几何意义，向量数量积的运算，余弦定理，一元二次方程有解时判别式的取值，考查了计算能力，属于难题． 八．平面向量数量积的性质及其运算（共21小题） 15．（2022春•浦东新区校级期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若、分别为的最小值、最大值，其中，，，2，3，4，，，，，2，3，4，，则、满足　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论． 【解答】解：由题意，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、， 利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0， 、分别为的最小值、最大值， ， 故选：． 【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键． 16．（2021春•宝山区校级期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与，若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据已知条件，结合复数的开方，表示出集合，再将选项中的值分别代入计算得到集合，再结合向量的坐标数量积公式，即可求解． 【解答】解：， ，即，，1，2，4，5， ， 当时，，，1，2，， 不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个， 同理可得，时，也不满足题意，故选项错误， 当时，，， 当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个． 故选：． 【点评】本题考查了复数的开方，以及向量乘积的坐标公式，综合性较强，需要学生有一定的分析能力，属于难题． 17．（2023春•岳麓区校级期末）已知是内一点，且，，，则的最小值是　　 A．4 B．8 C． D． 【分析】根据已知条件，结合平面向量的夹角公式，以及三角形面积公式，可得，再根据三角形之间的面积关系和柯西不等式，即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ， 设，， 则， 由柯西不等式可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值是8． 故选：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于难题． 18．（2023春•香坊区校级期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是　　 A．若，则为的重心 B．若，则 C．则为（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【分析】对于，设的中点为，易知，，三点共线，且，由此容易判断；对于，直接由题意得出结论；对于，由为的垂心可得，，再结合三角形的面积公式以及平面向量的数量积运算化简，对照奔驰定理即可得出结论；对于，求出的面积，再根据奔驰定理求得及的面积，即可得到的面积． 【解答】解：对于，设的中点为，则， ，，三点共线，且， 设，分别为，中点，同理可得， ，， 为的重心，选项正确； 对于，由奔驰定理可知，若， 则，选项正确； 对于，， ， ， 又， ， 又， ， 即， 同理可得：， ， 结合奔驰定理可知，选项正确； 对于，在中，由，可得： ， 又，则， 则，， ，选项错误． 故选：． 【点评】本题以新定义在载体，考查平面向量的综合运用，涉及了平面向量的线性运算，三角形的面积公式，同角三角函数的基本关系等知识点，考查化简变形能力，运算求解能力，逻辑推理能力等，属于难题． 19．（2023春•浦东新区校级期末）已知正三角形面积为，为边上一点，且．射线沿与夹角为的方向射到边上的点，经反射交边于点．射线经边反射交于点．若点在线段上（不包括端点、，则的取值范围为 　，　． 【分析】在正三角形中，光线经过几次反射，可以在几个小三角形中，找到角度的关系，最后利用点落在线段上得到限制条件，进而解出角的正切值范围，因为不是特殊角，故用反三角函数表示角的范围． 【解答】解：由可得，即正三角形边长为3， 又，，故． 由题设知：在中，设，， 由正弦定理有，即， 则， 在中，有，即， ， 在中，有，即， ， 由题意，点在线段上 不包括端点，， 所以，即，解得， 即， 由可得，即， 由可得，即， 综上，， 即． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属难题． 20．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，，总有，则的最小值为 　　． 【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可； 【解答】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题： 由，， 同时由余弦定理，， 而实际上表示的是的延长线． 故，而，则与的夹角． 可知，随着的增大，也在增大，则在减小， 由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可． 第一种极限情况，当与重合时，， 第二种极限情况，当位于的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，， 由于恒成立，则，则的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平行向量的综合运用，同时也涉及了余弦定理以及极限思想的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于难题． 21．（2021春•浦东新区校级期末）中，三边，，满足成等差数列，三角，，满足，且，若存在动点满足，且，则的最大值为 　　． 【分析】由中，三边，，满足成等差数列得，由正弦定理得，由 得得，结合前面条件可得，，由，得， 得，可令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设， 根据与得到与的等量关系，可求得的最大值为． 【解答】解：由中，三边，，满足成等差数列得，由正弦定理得， 由得得，由得， 代入可得，，由，得，得， 可令，，，以为原点、、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，，设， 根据得，，， 由得，，，，， ，得，的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题． 22．（2023春•大祥区校级期末）已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为 　　． 【分析】作，，以为轴建立平面直角坐标系，由题意写出点、点的坐标，设点，，可得出点在以为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点，得出点在直线上；由此求出的最小值． 【解答】解：作，，以为轴建立平面直角坐标系，如图所示； 因为，，，所以点的坐标为，点的坐标为，， 作，设点，因为，所以， 所以，所以点在以为圆心，以1为半径的圆上； 因为对任意的实数，均有，所以，又， 所以恒成立，所以， 所以，即，作，设点，则，即，所以点在直线上； 因为，且点在圆上，点在直线上， 所以点到点的最小距离是圆心到最新的距离减去圆的半径， 即，当且仅当点为线段与圆的交点时“”成立； 因为点到直线的距离为， 所以点到点的距离大于或等于，即， 所以，当且仅当垂直于直线，且点为线段与圆的交点时“”成立； 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题． 23．（2022春•闵行区校级期末）在中，，，为三角形的外心． （1），求； （2），且，求； （3）在（1）条件下，，求、的值． 【分析】（1）在中，由余弦定理求得的值，再由平面向量的数量积，得解； （2）设的中点为，由，整理运算可得，进而推出，由三角函数知识，求得的值； （3）根据平面向量的数量积运算法则及其几何意义，用含，的式子表示和，再解方程组，即可． 【解答】解：（1）在中，由余弦定理知，， 所以． （2）设的中点为，则， 因为，且，所以， 所以， 所以，即，，三点共线， 又点为的外心，所以， 所以， 综上所述，． （3）由（1）知，， 因为， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，， 解得，． 【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 24．（2022春•浦东新区校级期末）设是边长为1的正三角形，点，，四等分线段（如图所示）． （1）求的值； （2）为线段上一点，若，求实数的值． 【分析】分别向量的几何意义和向量的数量积的运算计算即可． 【解答】解：（1）， （2）设， ， ，， 解得． 【点评】本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于中档题． 25．（2021春•徐汇区校级期末）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量． （1）已知，求； （2）对于复平面中不共线的三点，，，设，求； （3）设的向量分别为，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）． 【分析】（1）根据复数的运算，求得，，利用向量的运算，即可求得； （2）利用三角形的面积公式的复数形式，分别表示出，，根据行列式的运算，即可求得； （3）根据三角形的面积公式，其中，，，，表示出和，即可求得和，即可求得的坐标． 【解答】解：（1）指复数的虚部，与指代的实部共同组成一个复数． 由，，所以，， 所以； （2）设，，对应的复数分别为，，，其共轭复数分别为，，， 由，，所以， 同理可得，，，由， 所以， 【面积表达式可能是负的，这是因为它们表示的是有向面积，因此可以利用】． 所以， （3），，， 由，，，所以，， 所以． 【点评】本题考查复数的运算及性质，考查向量的坐标运算，三角形的面积公式的复数形式，考查转化思想，计算能力，属于难题． 26．（2021春•长宁区校级期末）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为． （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围； （2）已知点满足条件：，；若向量的“相伴函数” 在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围． 【分析】（1）只要将 化为 即可，再利用向量的模的计算以及三角函数最值的求法解答； （2）利用三角函数求 取最大值时的值，结合倍角公式以及直线的斜率求 的范围． 【解答】解：（1）证明：， 函数 的相伴向量，． ， 时，；时，． 的取值范围为，． （2）的相伴函数 ， 其中． 当，即时，取得最大值， ， ， 为直线的斜率，由几何意义知， 令，则， 当 时，， ． 【点评】本题考查了向量与三角函数相结合的新定义的问题；向量模的计算以及三角函数最值的求法，属于中档题． 27．（2023春•徐汇区校级期末）如图，已知是边长为1的正的外心，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点，，，，为边上的等分点． （1）当时，求的值； （2）当时． ①求的值（用含，的式子表示）； ②若，，，，，，，分别求集合中最大元素与最小元素的值． 【分析】（1）根据，，共线，将用，表示，求和后再求模长； （2）①根据数量积定义计算； ②将用，，表示，依次视为，，的函数讨论单调性求最值． 【解答】解：（1）当时，， ，，， 所以 ， 所以， 又为等边三角形，且边长为1，为外接圆的圆心， 则，且， 所以 ， 则， 所以； （2）①为等边三角形，为外接圆的圆心， ，则， 又，，分别为，的5等分点， 又，，， ； ② ， 同理可得：，， ， 令， ①当时，时，， ，时取最大值，则， 时，， ，时取最小值，则， 则当时，， ②当时，时，， ，时取最大值，则， 时，， ，时取最小值，则， 则当时，， 综上所述：的最大值为，最小值为． 【点评】本题考查平面向量数量积的应用，属难题． 28．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，． （1）记函数，求函数取最大值时的取值范围； （2）求证：与不平行； （3）设的三边、、满足，且边所对应的角为，关于的方程有且仅有一个实根，求实数的范围． 【分析】（1）把向量、的坐标代入进行化简，结合正弦函数图象性质可解决此问题； （2）通过无解可证明此题； （3）结合余弦定理，再结合基本不等式可求得的取值范围，令 求其值域可解决此题． 【解答】（1）解：． 当时取得最大值，此时得，函数取最大值时的取值范围是 ，． （2）证明：，， 假设，则， 得， ， ， 得，显然无解． 与不平行； （3）解：的三边、、满足， 由余弦定理得，， ，，，，． 令，则． 由，得，，令，， 函数即为，，， 若关于的方程有且仅有一个实根， 则函数，，与有且仅有一个交点， 函数，在，上单调递增，值域为，， 实数的范围是，． 【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算、函数与方程，考查数学运算能力及抽象能力，属于难题． 29．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，的夹角为，且，设， （1）求； （2）试用来表示的值； （3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围． 【分析】（1）由已知中向量，的夹角为，且，代入向量数量积公式，易求出； （2）根据已知中，，结合向量，的夹角为，且，代入向量数量积公式，即可表示出的值； （3）若与的夹角为钝角，于是且与不平行，根据（2）中结论，构造关于的不等式组，解不等式组，即可得到实数的取值范围． 【解答】解：（1）向量，的夹角为，且， ；（3分） （2）， （3分） （3）夹角为钝角，于是且与不平行． 其中，而， 于是实数的取值范围是，，．（3分），其中没排除平行情况扣（2分） 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键，（3）中易忽略时，向量与反向的情况，而错解为 30．（2022春•金山区校级期末）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1），，， 当时，， 则； （2），， ， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， ②当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得， ③当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， 综上若的最小值为，则实数． （3）令，得或， 方程或在，上有四个不同的实根， 则，得，则， 即实数的取值范围是． 【点评】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 31．（2021春•浦东新区校级期末）已知，，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算即可求得结论； （2）由题意可设，利用向量的线性运算及数量积运算可求得，，当，由模的运算以及三角函数的有界性即可求得最值； （3）求得，的坐标，进而可求得，，由△为等边三角形，可得，，，利用三角恒等变换化简可求得，分类讨论结合即可求得的所有取值． 【解答】解：（1）若，则，，， 则，，，，，，，， 所以，，，，，； （2）因为，不妨设， 由向量， 得 ，， ， 所以 ，， ，， 若，则，， 则， 所以，当时，取最大值12； （3） ，， ，， ，， ，， 所以，， ，， 因为△为等边三角形， 所以， ，， 所以， ， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即，且，， 所以或， 当时，由可得或， 当时，由可得或， 所以的所有可能值为、、． 【点评】本题考查向量的线性运算和数量积运算，三角恒等变换以及三角函数的性质，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算求解能力，属于难题． 32．（2023春•天河区校级期末）已知向量，令． （1）求函数的对称轴方程； （2）设，当时，求函数的最小值； （3）在（2）的条件下，若对任意的实数，且，不等式对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据．求解出解析式，化简，结合三角函数的性质可得函数的对称轴方程； （2）根据时，求解出的范围，换元法转化为二次函数问题求最小值； （3）根据任意的，，求出的范围．利用基本不等式即可求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）向量， 由 ． 由，． 可得 函数对称轴方程为． （2）函数， 令， ， ， 则． 对称轴． 当时，可得，函数取得小值为． 当时，可得，函数取得小值为 当时，可得，函数取得小值为． （7分） （3）当，时，由（2）解析式可得：，． 而 解得：． 故得实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．转化思想和基本不等式的运用．二次函数最值的讨论．属于难题． 33．（2022春•东营期末）对于函数，，任意，，且，，，都有（a），（b），（c）是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”． （1）设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （2）在满足（1）且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）用数量积公式求出的解析式，由辅助角公式化简，分类讨论求出范围． （2）将展开并换元，由已知条件转化为求最值． 【解答】解：（1）根据题干可知：． 则可以得到的解析式为：． 由题意可知，为完美三角形函数，所以，则． 故得到如下三种情况： ①当时，所以，，则由题意可得：，解得； ②当时，所以，，则由题意可得，解得； ③当时，所以，满足要求． 综上所述：． （2）． 则可以设，故，其中． 可以得到：． 由题意可知：对于所有的，都要有，使成立． 则只需满足：，即． 所以． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量的坐标运算，不等式的存在性问题，属于较难题． 34．（2022春•武冈市期中）已知向量，，，函数，． （1）求在，上的最值，并求出相应的的值； （2）计算（1）（2）（3）的值； （3）已知，讨论在，上零点的个数． 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，再利用三角函数公式化为含一个角的一种三角函数形式，利用三角函数的性质求最值 （2）由（1）得，．注意到，利用分组方法求和． （3）在，上零点的个数等价于与两图象交点个数．利用数形结合的方法进行讨论． 【解答】解：（1） ， ，，， ，最小值为，最大值为． （2）由（1）得，．．， （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）． （1）（2）（3）（4），（1）（2）（3）（1）（2） ． （3）在，上零点的个数等价于与两图象交点个数． 在同一直角坐标系内作出这两个数的图象． 当，时，由图象可知，与两图象无交点，无零点 当或时，与两图象1个交点，个零点 当时，与两图象2个交点，个零点 【点评】本题考查向量与三角，函数与方程的结合，融合了重要的知识点，公式和思想方法，难度不大． 35．（2022春•遵义期末）已知，，函数． （1）求的周期和单调递减区间； （2）设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围； （3）设定义域为，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值． 【分析】（1）化简函数解析式，球队赢区间即可． （2）根据为函数的单调增区间，列式求解即可． （3）先根据定义域为你求解的取值范围，再根据恒成立转化成求得最小值，进而求得取值范围即可． 【解答】解：（1）有题意可知：． 可以得到周期，并且求得函数的单调递减区间为：． （2）由题意可得：． 又因为函数的单调增区间为，且在区间上是增函数． 可以得到不等式，． 进而解得：，． （3）由题意知的定义域为． 则可以得到：，且． 并且开口向上，且与轴无交点． 故得到方程判别式△，即． 解得：，，． 又因为对任意，，都有． 易知需满足：． 因为在上，所以得到． ①当时，函数在上单调递增，在单调递减， 故在处取得最大值，当时，，当时，． 所以此时不满足条件． ②当时，函数在上单调递减，在单调递增． 最小值为． 又因为，，，所以不成立． 综上，不存在实数的使得上述条件成立． 【点评】本题主要考查向量的数量积公式以及利用函数的最值解决不等式恒成立问题，属于难题． 九．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题） 36．（2023春•嘉定区校级期末）已知，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）利用即可得出． （2），可得，解得． 【解答】解：（1），，． ． （2），， 又，， 解得． 【点评】本题考查了向量数量积运算法则、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 一十．平面向量的基本定理（共1小题） 37．（2022春•浦东新区校级期末）如图，四边形是正方形，延长至，使，若点是以点为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的取值范围是 　，　． 【分析】假设，由已知可得，，，对两边同时平方，再结合判别式法，即可求解． 【解答】解：假设， 由已知可得，，， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有△，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于难题． 一十一．正弦定理（共2小题） 38．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【分析】（1）利用正弦定理，将角转化为边之间的关系，利用周长即可求出的值． （2）利用三角形的面积公式，求出，的关系，利用余弦定理即可求出的大小． 【解答】解：（1）， 由正弦定理得，， ， 解得； （2）由，得， 两边平方式，求得， 由余弦定理，， 故． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理． 39．（2023春•银川校级期末）如图，在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求的长； （Ⅱ）求的面积． 【分析】（Ⅰ）由已知可求的值，根据正弦定理即可解得的值． （Ⅱ）根据已知及余弦定理可求，结合范围可求，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）在中，因为，， 所以．（3分） 根据正弦定理，有，（6分） 代入，． 解得．（7分） （Ⅱ）在中，根据余弦定理．（10分） 代入，，得，所以，（12分） 所以．（13分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题． 一十二．余弦定理（共1小题） 40．（2023秋•新郑市校级期末）已知函数，在中，，且的面积为， （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）利用两角和的余弦函数好聚好散的表达式，通过已知条件即可求的值； （2）通过三角形的面积以及余弦定理和正弦定理直接求的值． 【解答】解：（1） 由，得，得， ， （2）由（1）知，又 由余弦定理得 由正弦定理得（12分） 【点评】本题考查三角函数的化简求值正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力． 一十三．解三角形（共6小题） 41．（2023春•恩施州期末）在中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的选项是　　 A．若，则 B．若，，则该三角形有两解 C．若，则为锐角三角形 D．在中，若弦的长为1，则的值是确定的 【分析】：根据正弦定理即可得到答案；：根据余弦定理求出未知量即可判断三角形有两解；：由余弦定理判断角范围，即可明确不一定为锐角三角形；：根据向量数量积公式即可求得答案． 【解答】解：因为， 若，则， ，则， 故选项正确． ， 化简得，解得，则该三角形有两解． 故选项正确． 若，则可知，即角为锐角，角与角未知， 则为锐角三角形说法错误． 故选项错误． 设， ， 因为半径长，所以， 则的值是确定的，故选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题． 42．（2020春•金山区校级期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边，点在边上，设； （1）若，求三角形铁皮的面积； （2）求剪下的三角形铁皮面积的最大值． 【分析】（1）求出和到的距离，代入面积公式得出答案； （2）用表示出和到的距离，得出三角形的面积关于的函数，利用三角变换求出的最大值． 【解答】解：（1）当时，， 到的距离为． 的面积为． （2），到直线的距离为， 的面积， 设，则， ， ，， ， 当时，取得最大值． 【点评】本题考查了三角形的面积计算，三角恒等变换，属于中档题． 43．（2022春•青浦区校级期末）已知的三内角，，所对的边分别是，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，求的范围． 【分析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得 ，结合正弦定理可得 ，变形可得的值，即可得答案； （2）由余弦定理可得，分析可得，解可得，由三角形的角边关系分析可得的最小值，综合即可得答案． 【解答】解　（1）根据题意， ， ，，且， 则有 ， 即 ， ． 即 ． ， ，． ，． （2）由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号． ，故． 又，，． 即的取值范围是，． 【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量数量积的计算，（2）的关键是利用基本不等式进行分析． 44．（2021春•徐汇区校级期末）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？ 【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果． （2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】解：（1）已知： （公里），在中， 由， 得（公里）． 于是，由于：， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到处． （2）在中，， 得（公里）， 在中，， 由：， 得（公里）， 由：（分钟） 知，汽车能先到达 处． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用． 45．（2023春•青原区期末）如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米． （1）求线段的长度； （2）若，求两条观光线路与之和的最大值． 【分析】（1）在中，利用余弦定理得到； （2）设，得到，利用正弦定理将用表示，结合三角函数的有界性求最值． 【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，（2分） ， 所以千米． （4分） （2）设，因为，所以 在中，由正弦定理得，．（6分） 因为， 所以，（8分） 因此（10分） （13分） 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值．（15分） 答：两条观光线路距离之和的最大值为千米．（16分） 【点评】本题考查了解三角形的实际应用；关键是正确建模，然后利用正弦定理、余弦定理解三角形． 46．（2023春•济南期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）证明：； （2）已知，点为线段的中点，，求． 【分析】（1）利用面积公式表示出即可得到，同理得到，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，设，，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，，再由余弦定理计算可得． 【解答】解：（1）证明：在、、、中， ， ， 所以， 又在、、、中， ， ， 所以， 又，，，， 所以， 所以． （2）由题意可得，所以， 即，所以， 又点为线段的中点，即， 所以， 又，则，， 设，且， 由， 所以， 即， 解得，① 在中，由正弦定理可得，② 在中，由正弦定理可得，③ 且， 得，， 即，④ 由①④解得（负值舍去）， 即 所以． 【点评】本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算．属于较难题目． 一十四．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题） 47．（2023春•虹口区校级期末）设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 　　． 【分析】根据题意可得，集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分． 【解答】解：设． 由，，可知，即，即． 因为，，，所以， 则可化为，解得． 即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部， 集合在复平面内表示的图形为直线的左侧， 集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线， 如图所示： 所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分， 弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径， 则扇形的面积，， 所以弓形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数几何几何意义，属于难题． 48．（2023春•徐汇区校级期末）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对，（其中，视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量． ①已知对于任意两个平面向量，，（其中，，，，成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当 时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，，求复数． 【分析】（1）利用题中定义进行计算； （2）①设，，代入化简计算而后作差进行证明； ②设，按照定义建立等式并且展开进而求出和． 【解答】解：（1）由题意，，； （2）①设，， ， 则 由于 ， 所以； ②设，结合①得， ， 令，化简得， 即，，． 【点评】本题主要考查复数相关性质，属难题． 49．（2022春•普陀区校级期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明，，，所对应的点，，，在单位圆上，再取值，说明，为单位圆的两直径，即可证明结论． 【解答】解：（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则△，，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故． （2）由可知，故， 设，则由得，，，即， 解得，故，故的重心为， 故． （3）证明：由于，，，则， 则，，，所对应的点，，，都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，，，，2，则，为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于难题． 一十五．纯虚数（共1小题） 50．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据所给的复数的条件，写出复数的实部和虚部满足的条件，根据要求是整数，列举出所有的情况，得到要求的集合，用列举法表示出集合． （2）表示出，根据它是一个纯虚数，得到实部和虚部与0的关系，得到关于三角函数的关系式，得到，之间的关系，表示出复数的模长，根据二次函数求出最值． （3）写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数． 【解答】解：（1） 由于，，得 ，，， ，． （2）若，则 若为纯虚数，则，， ， 当或时，． （3）对应点坐标为， 由题意，得 ，， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 【点评】本题考查复数的概念和模长的运算，本题解题的关键是根据所给的条件，表示出复数的意义，本题与其他的知识点结合，是一个综合题目． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$