上海市高一下学期期末真题必刷03（常考60题21个考点专练）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

上海市高一下学期期末真题必刷03（常考60题21个考点专练） 一．任意角的三角函数的定义（共2小题） 1．（2022春•杨浦区校级期末）已知点的坐标为，，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义，求出的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【解答】解：点的坐标为，， 设，则，， 将绕坐标原点逆时针旋转至， 则的倾斜角为，则， 则点的纵坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 2．（2022春•浦东新区校级期末）已知角的终边经过点，则的值为　　． 【分析】由题意可得，，，可得和的值，从而求得 的值． 【解答】解：已知角的终边经过点，则，，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 二．运用诱导公式化简求值（共2小题） 3．（2020春•静安区期末）的值是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用诱导公式，求得结果． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 4．（2023春•浦东新区期末）化简　1　． 【分析】根据诱导公式计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：1． 【点评】本题考查诱导公式，属于基础题． 三．正弦函数的图象（共2小题） 5．（2022秋•闵行区期末）已知函数在区间，上的值域为，，且，则的值为 　　． 【分析】首先的最小正周期，故，然后，要么是的一个单调递增区间，要么是在轴右侧存在一个极大值点，据此列出关于的方程求解． 【解答】解：的最小正周期，故，结合，则： ①当，是的一个单调增区间时， 应有，所以，不符合题意，舍去； ②因为图象是将向左平移，则，时，应该在轴右侧存在一个极大值点， 故，，所以此时，得， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及图象的变换方法，属于中档题． 6．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． （1）求的解析式和周期． （2）当 时，求的值域． 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，从而求得它的周期 （2）当 时，利用正弦函数的定义域和值域，求得当 时，的值域． 【解答】解：（1）由题意可得，． 根据图象上一个最低点为，可得，，， 可得，，故它的周期为． （2）当 时，，，故当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为2，故函数的值域为，． 【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共2小题） 7．（2021春•徐汇区校级期末）函数的图象按向量平移之后得到的函数图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数的图象的一个对称中心也是点，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案． 【解答】解：函数的图象按向量平移之后得到函数，的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象如图： 当时，， 而函数在上出现1.5个周期的图象， 在和，上是减函数； 在，和，上是增函数． 函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、， 相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、， 且：，故所求的横坐标之和为8， 故选：． 【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数的单调性找出区间上的交点个数是本题的难点所在． 8．（2023春•金山区校级期末）已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为3，求边长的值． 【分析】（Ⅰ）利用倍角公式降幂化简，由周期为求得的值，然后利用图象变换求得的解析式； （Ⅱ）把代入的解析式，求出的值，进一步求出的值，代入三角形的面积公式求出的值，最后由余弦定理求得的值． 【解答】解：（Ⅰ） ． 的最小正周期为，且，，． ． 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数的图象，再将所得函数图象向右平移个单位， 得到函数的图象， 故； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ，． 的面积为3，， 又，，得． 由． 得． 【点评】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了型的化积问题，训练了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． 五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题） 9．（2020春•金山区校级期末）若函数，，局部图象如图所示，则函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】由的部分图象可求得，，从而可得，再由，结合的范围可求得，从而可得答案． 【解答】解：， ； 又由图象可得：，可得：， ， ，． ，， 又， 当时，可得：，此时，可得：． 故选：． 【点评】本题考查由的部分图象确定函数解析式，求得的值是难点，属于中档题． 10．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 　2　． 【分析】观察图像，，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知，即最小正整数为2． 【解答】解：由图像可得，即周期为， ，， ， 观察图像可知当， ，， ，且， 时最小，且满足题意， 故答案为：2． 【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题． 11．（2021春•徐汇区期末）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为，，其中振幅为2且经过点． （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）证明：为定值． 【分析】（1）根据图象求出函数的解析式， （2）将解析式代入，利用和与差公式化简即可求解为定值． 【解答】解：（1）由题意，振幅为2，可得，且经过点． 则， ， ； 则解析式为； 由于降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声， 可得； 证明（2）：由（1）可知； 则 ． ，即为定值． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．属于基础题． 六．两角和与差的三角函数（共4小题） 12．（2022春•黄浦区校级期末）若，，且，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据，的范围，求出的范围，再求出，由以及两角和的正切公式求出三角函数值，求出的值即可． 【解答】解：若，， 则，，， ，， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角函数求值问题，考查和差公式以及转化思想，是中档题． 13．（2020春•金山区期末）若，，且，均为锐角，则　　． 【分析】利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数可求得答案． 【解答】解：，，且，均为锐角， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查同角三角函数间的关系式及两角和与差的三角函数的应用，考查运算求解能力，属于中档题． 14．（2020春•崇明区期末）已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于 　　． 【分析】先设出三个角，利用诱导公式求得，再利用余弦的二倍角公式求得答案． 【解答】解：设三角形的定角为，底角为，，则， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了诱导公式和二倍角公式的化简求值．解题过程中注意对三角函数符号的判断． 15．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间，上的最大值和最小值． 【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的最小正周期． （2）根据的范围，确定的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值． 【解答】解：（1）， 函数的最小正周期为． （2）在区间上为增函数，在上为减函数， 又， 函数在区间上的最大值为2，最 小值为． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用． 七．二倍角的三角函数（共2小题） 16．（2021春•松江区期末）若，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知可求为第二或第四象限角，分类讨论即可求解． 【解答】解：若，则为第二或第四象限角， 当为第二象限角时，，，为第三、四象限角，． 当为第四象限角时，，，为第三，四象限角，， 故，选项错误，选项正确．不妨设，， ，故选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数值的符号以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题． 17．（2023春•闵行区校级期末）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点．则　　． 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得的值，进而根据二倍角的余弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式的应用，属于基础题． 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题） 18．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数在，上有两个零点，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D． 【分析】利用辅助角公式化积，由的范围得到，，再由函数在，上有两个零点，可得，由此求得的取值范围． 【解答】解：， ，，，， 要使函数在，上有两个零点， 则， 解得：． 的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 19．（2020春•金山区校级期末）已知，则的值为　　． 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 九．平面向量数量积的性质及其运算（共8小题） 20．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 【分析】利用三角恒等变换化简的解析式，根据正弦函数的性质判断． 【解答】解：， 当时，，不关于直线对称； 当时，，关于点，对称； 得周期， 当时，，，在上是增函数． 故选：． 【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 21．（2023春•嘉定区校级期末）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图， 、分别是边、的中点，且， ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 22．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量、满足，，则　　． 【分析】根据求解即可． 【解答】解：因为， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题． 23．（2023春•浦东新区校级期末）已知正方形的边长为2，点满足，则． 【分析】画出图形，判断的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可． 【解答】解：建立坐标系如图，正方形的边长为2， 则，，，点满足， 所以，，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 24．（2020春•宝山区校级期末）已知平面向量，满足，，，则　　． 【分析】求出，开方即为． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 25．（2020春•宝山区校级期末）如图，已知为矩形内的一点，且，，，则　　． 【分析】建立坐标系，设，，根据条件得出，的坐标之间的关系，再计算的值． 【解答】解：以为原点，以，为坐标轴建立平面直角坐标系， 设，，，则， ，，， ，整理可得：． 又，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题． 26．（2023春•金山区校级期末）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点．若面积为面积的一半，则的最小值为 　2　． 【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可． 【解答】解：设，由向量共线的充要条件不妨设， 则， 即， 又面积为面积的一半可得：， 所以． ， 易知 当时，即，重合时取得最小值． 故答案为：2． 【点评】本题考查向量的线性运算，向量数量积的最值的求解，化归转化思想，函数思想，属中档题． 27．（2022春•虹口区校级期末）如图，已知正方形边长为2，过中心的直线与两边、分别交于点、． （1）求的值； （2）若是的中点，求的取值范围； （3）若是平面上一点，且满足，求的最小值． 【分析】（1）将转化为，再结合即可求解；（2）将化简变换为有关的表达式，结合它们的取值范围即可求解 （3）将转化为有关的表达式，结合三点共线定理，确定它们的取值范围，即可求解． 【解答】解：（1）， ， ， （2）， 为的中点， ， ， ， ， 的取值范围，， （3）， 设， 则， 、、三点共线， ，， 又， ， 的最小值为． 【点评】本题考查向量的数量积应用，向量的计算，以及掌握三点共线时，向量的表达式形式是解本题的关键，属于中档题． 一十．平面向量的基本定理（共4小题） 28．（2022春•上海期末）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　 A．3 B． C． D． 【分析】由图可知：，，再利用向量的线性运算性质即可得出． 【解答】解：由图可知：，， ， 则，，所以． 故选：． 【点评】本题考查了向量的坐标运算及其线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 29．（2023春•徐汇区校级期末）已知的外接圆圆心为，，，，若为实数）有最小值，则参数的取值范围是　　． 【分析】由已知结合外心的性质可得，，解出，后代入，结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：取中点，则且平分， ， 同理可得，， 由已知得：， ， ， 令，则， 有最小值， 根据二次函数的性质可知，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，还考查了二次函数最值取得条件的应用，属于中档试题． 30．（2023春•嘉定区校级期末）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为　　． 【分析】利用向量基底的定义及向量的坐标运算求出，设出在另一组基底下的坐标，利用坐标运算求出的坐标，列出方程求出． 【解答】解：由条件可得，，，． 设，，，，则由，，解得、． 则在另一组基底下的坐标为， 故答案为． 【点评】本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的坐标运算，注意理解题中所给的定义并解决新问题，属于中档题． 31．（2022春•普陀区校级期末）如图，在中，为边上一点，； （1）设，求实数、的值； （2）若夹角为，求的值； （3）设点满足，求证：． 【分析】（1）根据即可求出，从而可求出，的值； （2），然后进行数量积的运算即可； （3）可得出，，然后进行数量积的运算即可得出，从而得出结论． 【解答】解：（1）因为，则， 所以， 则，； （2）； （3）证明：因为，所以， 因为，，， 所以，， 所以， 所以． 【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题． 一十一．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题） 32．（2021春•徐汇区校级期末）已知向量，，若向量，则实数　　． 【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值． 【解答】解：向量，， 则， 又， 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题． 33．（2022春•青浦区校级期末）已知向量，，，，则　　． 【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，求得的值． 【解答】解：向量，，，， ，求得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 一十二．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 34．（2023春•金山区校级期末）已知，，．求： （1）与的夹角； （2）． 【分析】（1）利用向量的数量积运算即可得出； （2）利用向量数量积的性质即可得出． 【解答】解：（1）， ， 即． 化为． ． （2）． 【点评】本题考查了向量数量积的运算及其性质，属于基础题． 35．（2022春•黄浦区校级期末）已知向量． （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意求出，利用，，三点共线，即可求实数的值； （2）求出，设出，利用为锐角，通过向量的数量积的范围，求实数的取值范围 【解答】解：（1）已知向量， 实数时，满足的条件（6分） （2）由题设知 为锐角，（12分） 又由（1）可知，当 故（13分） 【点评】本题是中档题，考查向量的表示方法，向量的数量积的应用，考查计算能力． 一十三．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题） 36．（2021春•徐汇区校级期末）已知：、、是同一平面上的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 【分析】（1）设出的坐标，利用它与平行以及它的模等于，待定系数法求出的坐标． （2）由与垂直，数量积等于0，求出夹角的余弦值，再利用夹角的范围，求出此角的大小． 【解答】解：（1）设（1分） 且 ，（3分） （5分） 或（6分） （2） （8分） （10分） ， （12分） 【点评】本题考查平面上2个向量平行、垂直的条件，以及利用2个向量的数量积求2个向量的夹角． 37．（2023春•浦东新区期末）已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，？ 【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到； （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果． 【解答】解：（1）， ， ． （2）， 则，解得． 【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题． 一十四．正弦定理（共4小题） 38．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数，在一个周期上的一系列对应值如下表： 0 0 1 0 0 （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在中，，，为锐角，且（A），求的面积． 【分析】（Ⅰ）由图表可得，，求得值，再根据函数的周期求得，可得的解析式． （Ⅱ）由（A）求得．中，由正弦定理求得，可得的值，利用两角和的正弦公式求得的值，可得的面积的值． 【解答】解：（Ⅰ）由图表可得，，再结合，可得． 再根据函数的周期为，求得，， 即． （Ⅱ），． 中，由正弦定理可得，，， ，，． 【点评】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦定理的应用，属于基础题． 39．（2021春•普陀区校级期末）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设． （1）若，求的边长； （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值． 【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求； （2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解． 【解答】解：（1）设的边长为千米，由得，， 中，，， 为等边三角形，， 故， 即的边长为； （2）设的边长为千米， 所以，， 中，，，， 由正弦定理得，， 故， 当时取得最小值，即的边长最小值． 【点评】本题主要考查了正弦定理，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题． 40．（2022春•浦东新区校级期末）在中，设内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上的中线长为，求边． 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出结果． （Ⅱ）利用余弦定理及二元二次方程组即可求出的值． 【解答】解：（Ⅰ）．由正弦定理可得， ， ， ， ， ， 即， ． （Ⅱ）在中，， 即， 整理可得，① 在中，， 即， 整理可得，②， 由①②，可得， 在中，， 即， ， 整理可得，解得（舍去）或， 故． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换及相关的运算问题． 41．（2023春•嘉定区校级期末）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在中，内角，，的对边分别是，，，且______． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若点满足，且，求面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）若选①：由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可求，结合范围，可求的值； 若选②：由余弦定理化简已知等式可得，进而可求，结合范围，可求的值； 若选③：由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求的值． （Ⅱ）由题意可得，在中，由余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）若选①：由正弦定理得， 所以，整理得， 所以， 又， 所以， 若选②：由余弦定理得， 化简得， 所以， 又， 所以， 若选③：由余弦定理得，． 化简得， 又， 所以． （Ⅱ）， 所以， 在中，由余弦定理知，，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 从而，可得， 所以面积的最大值为． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 一十五．余弦定理（共2小题） 42．（2022春•浦东新区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则等于　　． 【分析】已知条件变形后直接代入余弦定理即可 【解答】解：因为在中，角，，所对的边分别为，，， 所以由， 可得； 可得； 因为是三角形内角； 故； 故答案为：． 【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 43．（2023春•浦东新区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且边上的高为，则的最大值是　　． 【分析】由已知可得：，化为：，由余弦定理可得：，可得：，整理化简代入，进而得出结论． 【解答】解：由已知可得：， 可得：， 由余弦定理可得：， 可得：，其中：，，为锐角．， 则．时取等号． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 一十六．解三角形（共5小题） 44．（2022春•浦东新区校级期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量、两地之间的距离，甲同学选定了与、不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量，，；②测量，，；③测量，，；④测量，，．其中要求能唯一确定、两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定，两地之间的距离． 【解答】解：①测量，，，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点，两地之间的距离； ②测量，，，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点，两地之间的距离； ③测量，，，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点，两地之间的距离； ④测量，，，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点，两地之间的距离． 综上可得，一定能唯一确定，两地之间的距离的所有方案的序号是②④． 故选：． 【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，属中档题． 45．（2021春•徐汇区校级期末）某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距6.0海里．船由向正北方向航行8.1海里达到处，这时灯塔与船相距　4.2　海里（精确到0.1海里） 【分析】直接由余弦定理可得结论． 【解答】解：由余弦定理可得海里． 故答案为：4.2． 【点评】本题考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 46．（2022春•普陀区校级期末）在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的周长． 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为， 所以． （2）， 所以， 由余弦定理得， 所以的周长为． 【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题． 47．（2020春•金山区期末）如图，位于处的救援中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援． （1）求、两点间的距离； （2）求的值． 【分析】（1）利用余弦定理，即可求出两点间的距离； （2）利用正弦定理推出的正弦值，利用，即可求出结果． 【解答】解：（1）在中，， 由余弦定理得， 所以． （2）由正弦定理得． 由知为锐角， 故． 故． 【点评】本题主要考查余弦定理，解三角形的实际应用等知识，属于中等题． 48．（2020春•金山区校级期末）在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）由正弦定理化简可得的大小； （2）由余弦定理求出，即可求的面积． 【解答】解：（1）， 由正弦定理：可得 ，， 由于， 为锐角， ． （2）由，， 余弦定理：， 可得： 即， 解得：或， 由于， 故得的面积． 【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力．属于基础题， 一十七．虚数单位i、复数（共2小题） 49．（2022春•浦东新区校级期末）设，“”是“复数为纯虚数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断． 【解答】解：当时，为纯虚数，故充分性成立； 当复数为纯虚数时，，解得或，故必要性不成立． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，属于基础题． 50．（2023春•杨浦区校级期末）设是虚数单位，则复数的虚部为　　． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：， 复数的虚部为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 一十八．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题） 51．（2022春•长宁区校级期末）在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　． 【分析】把复数直接乘以旋转复数得答案． 【解答】解：复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转， 所得复数为． 故答案为：． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 52．（2022春•闵行区校级期末）在复平面内，设点、所对应的复数分别为、为虚数单位），则当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是　　． 【分析】当时，求得点的坐标为，，当 时，点的坐标为，，当直线和单位圆相切时，设切点为，向量所扫过的图形区域的面积是△的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积． 【解答】解：由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：时，点的坐标为，； 当时，点的坐标为，． 向量所扫过的图形区域的面积是△的面积与弓形 的面积之和， 而△的面积等于△的面积（因为这两个三角形 同底且等高）， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积． 由于， 扇形的面积为 等于， 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用， 属于中档题． 一十九．纯虚数（共2小题） 53．（2022春•黄浦区校级期末）复数为纯虚数为虚数单位），其中，则　3　． 【分析】由复数为纯虚数求得的值，然后代入模的计算公式得答案． 【解答】解：由为纯虚数，，得，即， ，则． 故答案为：3． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题． 54．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数（其中是虚数单位，． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简． （1）由实部为0且虚部不为0列式求得值； （2）求出，利用配方法求范围． 【解答】解：． （1）复数是纯虚数，，即； （2）， ， 的取值范围是． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 二十．复数的运算（共4小题） 55．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数满足为虚数单位），则　1　． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后由复数模的计算公式计算． 【解答】解：由，得， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 56．（2023春•虹口区校级期末）在复平面内，复数对应的点位于第　二　象限． 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则求解． 【解答】解： ， 复数对应的点位于第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题考查复数对应的点在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运用． 57．（2022春•宝山区校级期末）已知关于的方程在复数范围内的两根为、． （1）若，求、； （2）若，求的值． 【分析】（1）利用求根公式即可求解． （2）将代入方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意得，△， ， ，． （2）已知关于的方程的一根为， 所以， 所以，解得． 【点评】本题考查了实系数一元二次方程的复数根的求解与应用，复数相等的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题． 58．（2022春•宝山区校级期末）已知是关于的实系数一元二次方程． （1）若是方程的一个根，且，求实数的值； （2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值． 【分析】（1）分类讨论是题设方程的实根或虚根两种情况，实根时直接将代入即可求得值，虚根时利用韦达定理及判别式即可求得值，由此得解； （2）利用韦达定理求得，从而列出的所有可能取值，再利用一元二次方程的判别式即可确定所有取值． 【解答】解：（1）因为是关于的实系数一元二次方程，所以， 因为是方程的一个根，且， 当时，则或， 若，代入方程得，解得； 若，代入方程得，解得； 当为虚数时，不妨设，则也是方程的一个根， 故，又因为，即，故， 所以，解得， 又△，得， 所以； 综上：或或． （2）由韦达定理可知，，，， 所以， 因为为整数，， 所以必为的因式，则的值可能为，，，1，2，4， 则实数的值可能为，，，0，1，3， 又因为，是该方程的两个实根，所以△，则， 所以的所有取值为，，． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题． 二十一．复数的模（共2小题） 59．（2021春•浦东新区校级期末）设、为复数，下列命题一定成立的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，是正实数，那么 D．如果，是正实数，那么 【分析】利用反例判断的正误； 通过反例判断的正误； 利用复数的几何意义判断的正误； 设出复数即可化简结果，判断正误即可． 【解答】解：对于，如果，，，所以不正确． 对于，如果，，，那么不正确． 对于，，是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于，所以不正确． 对于，，是正实数，那么，正确． 故选：． 【点评】本题考查复数的基本运算，复数的有关定义，考查计算能力． 60．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【解答】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市高一下学期期末真题必刷03（常考60题21个考点专练） 一．任意角的三角函数的定义（共2小题） 1．（2022春•杨浦区校级期末）已知点的坐标为，，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 2．（2022春•浦东新区校级期末）已知角的终边经过点，则的值为　　． 二．运用诱导公式化简求值（共2小题） 3．（2020春•静安区期末）的值是　　 A． B． C． D． 4．（2023春•浦东新区期末）化简　　． 三．正弦函数的图象（共2小题） 5．（2022秋•闵行区期末）已知函数在区间，上的值域为，，且，则的值为 　　． 6．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． （1）求的解析式和周期． （2）当 时，求的值域． 四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共2小题） 7．（2021春•徐汇区校级期末）函数的图象按向量平移之后得到的函数图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于　　 A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2023春•金山区校级期末）已知函数的最小正周期是，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在中，角，，的对边分别为，，，若，，的面积为3，求边长的值． 五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题） 9．（2020春•金山区校级期末）若函数，，局部图象如图所示，则函数的解析式为　　 A． B． C． D． 10．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 　　． 11．（2021春•徐汇区期末）主动降噪耳机工作的主要原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声声波曲线的解析式为，，其中振幅为2且经过点． （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）证明：为定值． 六．两角和与差的三角函数（共4小题） 12．（2022春•黄浦区校级期末）若，，且，，则的值为　　 A． B． C． D． 13．（2020春•金山区期末）若，，且，均为锐角，则　　． 14．（2020春•崇明区期末）已知等腰三角形底角的正弦值等于，则顶角的余弦值等于 　　． 15．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间，上的最大值和最小值． 七．二倍角的三角函数（共2小题） 16．（2021春•松江区期末）若，则　　 A． B． C． D． 17．（2023春•闵行区校级期末）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点．则　　． 八．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题） 18．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数在，上有两个零点，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D． 19．（2020春•金山区校级期末）已知，则的值为　　． 九．平面向量数量积的性质及其运算（共8小题） 20．（2023春•浦东新区校级期末）已知向量，，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 21．（2023春•嘉定区校级期末）已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　 A． B． C． D． 22．（2023春•杨浦区校级期末）已知向量、满足，，则　　． 23．（2023春•浦东新区校级期末）已知正方形的边长为2，点满足，则． 24．（2020春•宝山区校级期末）已知平面向量，满足，，，则　　． 25．（2020春•宝山区校级期末）如图，已知为矩形内的一点，且，，，则　　． 26．（2023春•金山区校级期末）中，，，，是边上的中线，，分别为线段，上的动点，交于点．若面积为面积的一半，则的最小值为 　　． 27．（2022春•虹口区校级期末）如图，已知正方形边长为2，过中心的直线与两边、分别交于点、． （1）求的值； （2）若是的中点，求的取值范围； （3）若是平面上一点，且满足，求的最小值． 一十．平面向量的基本定理（共4小题） 28．（2022春•上海期末）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　 A．3 B． C． D． 29．（2023春•徐汇区校级期末）已知的外接圆圆心为，，，，若为实数）有最小值，则参数的取值范围是　　． 30．（2023春•嘉定区校级期末）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为　　． 31．（2022春•普陀区校级期末）如图，在中，为边上一点，； （1）设，求实数、的值； （2）若夹角为，求的值； （3）设点满足，求证：． 一十一．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题） 32．（2021春•徐汇区校级期末）已知向量，，若向量，则实数　　． 33．（2022春•青浦区校级期末）已知向量，，，，则　　． 一十二．数量积表示两个向量的夹角（共2小题） 34．（2023春•金山区校级期末）已知，，．求： （1）与的夹角； （2）． 35．（2022春•黄浦区校级期末）已知向量． （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围． 一十三．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题） 36．（2021春•徐汇区校级期末）已知：、、是同一平面上的三个向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角． 37．（2023春•浦东新区期末）已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，？ 一十四．正弦定理（共4小题） 38．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数，在一个周期上的一系列对应值如下表： 0 0 1 0 0 （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）在中，，，为锐角，且（A），求的面积． 39．（2021春•普陀区校级期末）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、上．设． （1）若，求的边长； （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值． 40．（2022春•浦东新区校级期末）在中，设内角，，所对的边分别为，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，边上的中线长为，求边． 41．（2023春•嘉定区校级期末）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在中，内角，，的对边分别是，，，且______． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若点满足，且，求面积的最大值． 一十五．余弦定理（共2小题） 42．（2022春•浦东新区校级期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则等于　　． 43．（2023春•浦东新区校级期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，且边上的高为，则的最大值是　　． 一十六．解三角形（共5小题） 44．（2022春•浦东新区校级期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量、两地之间的距离，甲同学选定了与、不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量，，；②测量，，；③测量，，；④测量，，．其中要求能唯一确定、两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 45．（2021春•徐汇区校级期末）某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距6.0海里．船由向正北方向航行8.1海里达到处，这时灯塔与船相距　 　海里（精确到0.1海里） 46．（2022春•普陀区校级期末）在中，角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的周长． 47．（2020春•金山区期末）如图，位于处的救援中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．救援中心立即把消息告知在其南偏西、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援． （1）求、两点间的距离； （2）求的值． 48．（2020春•金山区校级期末）在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足，． （1）求的大小； （2）若，，求的面积． 一十七．虚数单位i、复数（共2小题） 49．（2022春•浦东新区校级期末）设，“”是“复数为纯虚数”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 50．（2023春•杨浦区校级期末）设是虚数单位，则复数的虚部为　 　． 一十八．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题） 51．（2022春•长宁区校级期末）在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　． 52．（2022春•闵行区校级期末）在复平面内，设点、所对应的复数分别为、为虚数单位），则当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是　　． 一十九．纯虚数（共2小题） 53．（2022春•黄浦区校级期末）复数为纯虚数为虚数单位），其中，则　　． 54．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数（其中是虚数单位，． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 二十．复数的运算（共4小题） 55．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数满足为虚数单位），则　　． 56．（2023春•虹口区校级期末）在复平面内，复数对应的点位于第　 　象限． 57．（2022春•宝山区校级期末）已知关于的方程在复数范围内的两根为、． （1）若，求、； （2）若，求的值． 58．（2022春•宝山区校级期末）已知是关于的实系数一元二次方程． （1）若是方程的一个根，且，求实数的值； （2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有的值． 二十一．复数的模（共2小题） 59．（2021春•浦东新区校级期末）设、为复数，下列命题一定成立的是　　 A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，是正实数，那么 D．如果，是正实数，那么 60．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数满足（其中为虚数单位），则　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$