上海市高一下学期期末真题必刷01（易错50题23个考点专练）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

上海市高一下学期期末真题必刷01（易错50题23个考点专练） 一．任意角的三角函数的定义（共1小题） 1．（2020春•静安区期末）设，，那么下列的点在角的终边上的是　　 A． B． C． D． 二．正弦函数的图象（共1小题） 2．（2022秋•闵行区期末）已知函数在区间，上的值域为，，且，则的值为 　　． 三．余弦函数的图象（共1小题） 3．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数，其中，给出下列四个结论： ①函数是最小正周期为的奇函数； ②函数图象的一条对称轴是直线； ③函数图象的一个对称中心为，； ④函数的单调递增区间为，，． 其中正确的结论序号 　　． 四．余弦函数的单调性（共1小题） 4．（2021春•徐汇区校级期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数．其中真命题的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 五．正切函数的单调性和周期性（共1小题） 5．（2023春•徐汇区期末）函数的最小正周期为　　． 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题） 6．（2020春•宝山区校级期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 7．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 　　． 8．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数，，的部分图像如图所示． （1）求的解析式及对称中心； （2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值． 9．（2022春•松江区校级期末）已知函数，的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求的单调递增区间； （2）设的三内角、、的正弦值依次成等比数列，求（B）的值域； （3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在，上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 10．（2021春•徐汇区校级期末）如图是函数，，，图象的一部分，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点， （1）若点的坐标为，求点、点和点的坐标 （2）若点的坐标为，，，试确定函数的解析式． 八．两角和与差的三角函数（共1小题） 11．（2023春•浦东新区期末）已知，，且，，求的值． 九．二倍角的三角函数（共1小题） 12．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，且有，则　　． 一十．向量的概念与向量的模（共1小题） 13．（2022春•黄浦区校级期末）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么　　 A． B． C． D． 一十一．向量相等与共线（共2小题） 14．（2022春•黄浦区校级期末）若四边形满足，，则该四边形一定是　　 A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 15．（2022春•杨浦区校级期末）三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，若，则角的大小为 　　． 一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题） 16．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的　　条件． A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 17．（2022春•浦东新区校级期末）已知点在单位圆上，点，则的取值范围是 　　． 18．（2023春•徐汇区期末）在中，若，，则　　． 19．（2023春•徐汇区校级期末）已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 20．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，与的夹角为． （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的值． 21．（2021春•徐汇区校级期末）已知为直角坐标系原点，与垂直，与平行． （1）求向量在向量上的投影； （2）求的坐标． 22．（2021春•浦东新区校级期末）已知向量，不共线，为实数． （Ⅰ）若，，，当为何值时，，，三点共线； （Ⅱ）若，且与的夹角为，实数，，求的取值范围． 23．（2023春•闵行区校级期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个． A．2 B．3 C．4 D．无数 24．（2023春•杨浦区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 　　． 25．（2021春•宝山区校级期末）设直线、互相垂直于，、是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则　　． 26．（2021春•徐汇区期末）在中，设，，记的面积为． （1）求证：； （2）设，，，，求证：． 27．（2021春•浦东新区校级期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则　　 A． B． C． D． 28．（2022春•浦东新区校级期末）已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为 　　． 29．（2023春•闵行区校级期末）已知，，是平面上一点，，且． （1）若，求； （2）若，求实数的值； （3）求的最小值． 30．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，的夹角为，且，设， （1）求； （2）试用来表示的值； （3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围． 31．（2022春•金山区校级期末）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 一十三．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题） 32．（2021春•长宁区校级期末）已知向量，，则在方向上的投影的坐标为 　　． 一十四．向量的投影（共2小题） 33．（2023春•静安区期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 34．（2023春•嘉定区校级期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 　　． 一十五．平面向量的基本定理（共1小题） 35．（2022春•徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，，则　　 A． B．2 C． D． 一十六．平面向量的坐标运算（共1小题） 36．（2022春•浦东新区校级期末）已知的三边长分别为，，，则的值为　　． 一十七．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 37．（2022春•黄浦区校级期末）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与的夹角为，则实数的值是　 　． 38．（2023春•浦东新区期末）已知，且与夹角为锐角，则的取值范围为　　． 39．（2022春•黄浦区校级期末）已知向量． （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围． 一十八．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题） 40．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，如果向量与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 41．（2023春•嘉定区校级期末）已知，则实数　　． 一十九．正弦定理（共2小题） 42．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 43．（2020春•浦东新区校级期末）在中，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求边上的高． 二十．余弦定理（共2小题） 44．（2023春•杨浦区校级期末）在中，角，，所对的边为，，，若，，，则角　　． 45．（2020春•浦东新区校级期末）在锐角中，内角，，对的边分别为，，．若，，则的取值范围为　　． 二十一．虚数单位i、复数（共1小题） 46．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二十二．纯虚数（共1小题） 47．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 二十三．复数的运算（共3小题） 48．（2021春•浦东新区校级期末）设复数满足，则　　 A．0 B．1 C． D．2 49．（2022春•杨浦区校级期末）若是实系数方程的一个虚根，且，则　　． 50．（2021春•长宁区校级期末）若在复数范围内，关于的方程至少有一个模为2的根，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市高一下学期期末真题必刷01（易错50题23个考点专练） 一．任意角的三角函数的定义（共1小题） 1．（2020春•静安区期末）设，，那么下列的点在角的终边上的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角函数的定义有，从而可知选． 【解答】解：由于，，根据，可知，， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握． 二．正弦函数的图象（共1小题） 2．（2022秋•闵行区期末）已知函数在区间，上的值域为，，且，则的值为 　　． 【分析】首先的最小正周期，故，然后，要么是的一个单调递增区间，要么是在轴右侧存在一个极大值点，据此列出关于的方程求解． 【解答】解：的最小正周期，故，结合，则： ①当，是的一个单调增区间时， 应有，所以，不符合题意，舍去； ②因为图象是将向左平移，则，时，应该在轴右侧存在一个极大值点， 故，，所以此时，得， 故，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，以及图象的变换方法，属于中档题． 三．余弦函数的图象（共1小题） 3．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数，其中，给出下列四个结论： ①函数是最小正周期为的奇函数； ②函数图象的一条对称轴是直线； ③函数图象的一个对称中心为，； ④函数的单调递增区间为，，． 其中正确的结论序号 　②③④　． 【分析】化简函数，由定义判断函数不是奇函数，判断①错误； 由取得最大值，得出直线是的一条对称轴，判断②正确； 由，得出点，是的一个对称中心，判断③正确； 由正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间，判断④正确． 【解答】解：函数，其中 对于①，， 函数不是奇函数，①错误； 对于②，当时，为最大值， 函数图象的一条对称轴是直线，②正确； 对于③，当时，， 函数图象的一个对称中心为，，③正确； 对于④，令，， 解得，； 函数的单调递增区间为，，，④正确． 综上，正确的结论序号是②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目． 四．余弦函数的单调性（共1小题） 4．（2021春•徐汇区校级期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数．其中真命题的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】借助正弦函数的周期性，单调性，对称性，奇偶性分别求函数的周期，单调增区间，对称轴，奇偶性，再与4个命题逐一对比，即可得到真命题个数． 【解答】解：函数，的最小正周期，（1）正确． 当，时，即，，函数为增函数， 函数在区间上是增函数，（2）正确． 当，，即为函数的对称轴，函数的图象关于直线对称．（3）正确． 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位，图象关于轴对称，为偶函数．（4）错误． 真命题的个数是3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的周期性，单调性，对称性，奇偶性的判断，属于三角函数的常规题． 五．正切函数的单调性和周期性（共1小题） 5．（2023春•徐汇区期末）函数的最小正周期为　　． 【分析】直接利用正切函数的周期公式，求出函数的最小正周期． 【解答】解：因为函数，所以． 所以函数的最小正周期为． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题． 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题） 6．（2020春•宝山区校级期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【分析】由于函数，故只要将函数的图象相左平移个单位即可实现目标． 【解答】解：由于函数， 故只要将函数的图象相左平移个单位， 即可得到函数的图象． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的图象变换，属于中档题． 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 7．（2022春•黄浦区校级期末）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 　2　． 【分析】观察图像，，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换，变换到附近，观察图像可知，即最小正整数为2． 【解答】解：由图像可得，即周期为， ，， ， 观察图像可知当， ，， ，且， 时最小，且满足题意， 故答案为：2． 【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题． 8．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数，，的部分图像如图所示． （1）求的解析式及对称中心； （2）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值． 【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出、最小正周期、的值，再令求出对称中心的坐标； （2）根据图像变换的规律，即可求出的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值． 【解答】解：（1）易知，，解得，所以， 故，，即，， 又，故时，即为所求， 故， 的对称中心为，，． （2）易知， 要求的单调递减区间，只需，， 解得，，令可得函数的一个单调递减区间为，显然在单调递增， 故在上的单调减区间为， 而，，， 故在上的最小值为，最大值为1． 【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题． 9．（2022春•松江区校级期末）已知函数，的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求的单调递增区间； （2）设的三内角、、的正弦值依次成等比数列，求（B）的值域； （3）将图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到的图像，记，是否同时存在实数和正整数，使得函数在，上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据函数的部分图像求出、和的值，写出函数解析式，求出的单调递增区间； （2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得的取值范围，从而求出（B）的值域； （3）根据平移变换求出的解析式，再利用三角恒等变换求出的解析式，从而求出满足条件的和的值． 【解答】解：（1）由函数的部分图像知，，解得，所以， 由五点法画图知，，，解得，； 因为，所以，所以； 令，，解得，；所以函数的单调递增区间为，，； （2）中，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得：，当且仅当时取“”， 所以， 所以， 所以 所以（B），即（B）的值域为，； （3）将图像上所有点向右平移个单位，得的图像， 再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得的图像， 因为， 假设同时存在实数和正整数满足条件， 函数在，上恰有2022个零点， 即函数与直线在，上恰有2022个交点． 当，时，，，作出函数在区间，上的图象如下图所示： ①当或，即或时，函数与直线在，上无交点， ②当或，即或时，函数与直线在，上有一个交点， 此时要使函数与直线在，上恰有2022个交点，则； ③当或，即或时，函数与直线在，上有两个交点， 此时函数与直线在，上有2022个交点，； ④当即，时，函数与直线在，上有三个交点， 此时要使函数与直线在，上恰有2022个交点，不符合题意； 综上所述，存在实数和满足题设条件：或时，；，，时，． 【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，是难题． 10．（2021春•徐汇区校级期末）如图是函数，，，图象的一部分，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点， （1）若点的坐标为，求点、点和点的坐标 （2）若点的坐标为，，，试确定函数的解析式． 【分析】（1）设出点的坐标，由中点坐标公式求得点的坐标，再根据对称性求得、的坐标； （2）同样由是线段的中点，求得的值，由的坐标写出、的坐标，利用求得的值，再求出、的值即可写出的解析式． 【解答】解：（1）设点，由中点坐标公式得 ，解得，， 点， 点，点； （2）同样由是线段的中点，得， 由，得，； ， 又， ，解得； 由，解得， ； 函数的解析式为． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 八．两角和与差的三角函数（共1小题） 11．（2023春•浦东新区期末）已知，，且，，求的值． 【分析】根据角的范围和平方关系分别求出、，再由两角差的正弦公式求出的值． 【解答】解：且，． 且，． 则 ． 【点评】本题考查了平方关系和两角差的正弦公式应用，注意角的范围和三角函数值的符号，这是易错点，考查了学生的计算能力． 九．二倍角的三角函数（共1小题） 12．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，且有，则　　． 【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可． 【解答】解：由，得， 即； 又，所以， 所以； 由， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题． 一十．向量的概念与向量的模（共1小题） 13．（2022春•黄浦区校级期末）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么　　 A． B． C． D． 【分析】先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到，即有成立． 【解答】解：，， 为边中点， ，则， 故选：． 【点评】本题考查了向量的加法的四边形法则的应用，即三角形一边上中点的利用，再根据题意建立等量关系，再判断其它向量之间的关系． 一十一．向量相等与共线（共2小题） 14．（2022春•黄浦区校级期末）若四边形满足，，则该四边形一定是　　 A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【分析】首先根据判断出四边形为平行四边形，然后根据证明四边形对角线互相垂直，最后综合以上结论得出四边形为菱形． 【解答】解： 四边形为平行四边形， 对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 故选：． 【点评】本题考查平面向量与共线向量，以及数量积判断两个向量的垂直关系，需要通过对向量间的关系转化为线段间的关系，然后即可判断四边形的形状．属于基础题． 15．（2022春•杨浦区校级期末）三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，若，则角的大小为 　　． 【分析】利用推出向量中，，的关系，利用余弦定理求出的大小即可． 【解答】解：因为，得 得： 即 由余弦定理 所以 故答案为： 【点评】本题考查平行向量与共线向量，余弦定理的应用，考查计算能力是基础题． 一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共16小题） 16．（2022春•徐汇区期末）已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的　　条件． A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【分析】先求出非零向量数量积大于零的充要条件，然后利用直接法判断充分性和必要性． 【解答】解：易知，若，则， 故，结合， 故，或， 反之，，必有， 故“”是“为锐角”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查数量积的定义与条件的充分性、必要性的判断，属于基础题． 17．（2022春•浦东新区校级期末）已知点在单位圆上，点，则的取值范围是 　，　． 【分析】可设，然后将结论表示为的三角函数，求其值域即可． 【解答】解：由已知设，，，且，， 所以，， ，因为， 故，． 故答案为：，． 【点评】本题考查数量积的运算和三角函数的性质，属于基础题． 18．（2023春•徐汇区期末）在中，若，，则　16　． 【分析】利用向量垂直的充要条件得到；利用向量的运算法则将表示，利用向量的运算律求出的值． 【解答】解： 故答案为：16 【点评】本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律． 19．（2023春•徐汇区校级期末）已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【分析】（1）套用夹角公式，直接计算即可； （2）利用模长公式，结合数量积的运算性质求解． 【解答】解：（1）因为，，， 展开后整理得：， 化简得， 所以． 设，则， 由于，，所以； （2）由（1）知，，， 则 ． 【点评】本题考查平面向量的夹角、模长公式，以及数量积的运算性质，属于基础题． 20．（2022春•浦东新区校级期末）已知，，与的夹角为． （1）若，且，求的值； （2）若，且，求的值． 【分析】根据利用平面向量平行、垂直的充要条件列出的方程求解． 【解答】解：由已知得， （1）因为，故存在实数，使得， 即，又因为不共线， 故，解得， 故的值为，或2． （2）因为，所以 ， 解得，或． 【点评】本题考查平面向量平行、垂直的充要条件以及数量积的运算性质，属于基础题． 21．（2021春•徐汇区校级期末）已知为直角坐标系原点，与垂直，与平行． （1）求向量在向量上的投影； （2）求的坐标． 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算与向量投影的定义，计算即可； （2）设，根据平面向量垂直与平行的坐标表示，列方程组求出、的值即可． 【解答】解：（1）因为，， 所以， 计算，， 所以向量在向量上的投影为： ； （2）设，因为与垂直， 所以， 又，且与平行， 所以，即， 由，解得， 所以； 所以的坐标为． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与投影的定义以及运算问题，也考查了解方程组的应用问题，是基础题． 22．（2021春•浦东新区校级期末）已知向量，不共线，为实数． （Ⅰ）若，，，当为何值时，，，三点共线； （Ⅱ）若，且与的夹角为，实数，，求的取值范围． 【分析】（Ⅰ）因为，，三点共线，则存在实数，使得，由此得到关于，的方程解之； （Ⅱ）求出与的数量积，然后将所求平方，转化为与的模和数量积的运算，集合二次函数求最值． 【解答】解：（Ⅰ），，三点共线，则存在实数，使得， 即，则（4分） （Ⅱ）由，则， 因为，当时，的最小值为（5分） 当时，的最大值为（6分） 所以的取值范围是（8分） 【点评】本题考查了平面向量共线以及数量积公式的运用． 23．（2023春•闵行区校级期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量、、、满足：，、2、、．若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是　　个． A．2 B．3 C．4 D．无数 【分析】根据题意计算，由数量积为定值求出，由此求出满足要求的个数是多少． 【解答】解：因为，，、2、、， 当时，为定值， 所以，解得或（不合题意，舍去），所以， 满足要求的，，，或，，， 所以的个数最多是2个． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 24．（2023春•杨浦区校级期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为 　，　． 【分析】根据数量积的几何意义可知，表示的是与在上的投影的乘积，显然，所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上，则由此易求得结论． 【解答】解：如图：由正六边形的性质可知，，故， 所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上， 又表示的是与在上的投影的乘积，故当落在线段上时，在上的投影最小为0，当落在线段上时，在上的投影最大为， 故， 故答案为：，． 【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义和运算，属于中档题． 25．（2021春•宝山区校级期末）设直线、互相垂直于，、是直线上的两个定点，满足，、是直线上的两个动点，满足，若的最小值是，则　2　． 【分析】以直线、分别为轴、轴，为原点建立平面直角坐标系，设，，，，求出表示为、的表达式，根据其最小值为，可得点坐标，然后可得． 【解答】解：如图，以直线、分别为轴、轴，为原点建立平面直角坐标系， 设，，，， ，，， 当时，取最小值，， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查运算能力，属于中档题． 26．（2021春•徐汇区期末）在中，设，，记的面积为． （1）求证：； （2）设，，，，求证：． 【分析】（1）利用数量积的定义结合面积公式，容易推证结论； （2）利用坐标条件下数量积的运算公式、求模公式结合（1）的结论可求解． 【解答】证明：（1） ． 故原式成立． （2）因为，，，， 所以 ，原式成立． 【点评】本题考查数量积的定义和三角形的面积公式，属于中档题． 27．（2021春•浦东新区校级期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，由数量积的几何意义，化恒成立，为△， 从而求得是等腰三角形，． 【解答】解：设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点，设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ，， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需△即可，于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 28．（2022春•浦东新区校级期末）已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为 　　． 【分析】据图分析，可设中点为，中点为，当落在线段，，上时，，再研究在线段上移动时，的模长、夹角的变化，进而求出的最大值． 【解答】解：如图：在等边三角形中，设中点为，中点为，当落在线段，，上时，易知，故 ； 当点在上由向移动时，是锐角，且越来越小，与重合时取得最小角为， 且同时也随着点由向移动时，同时变大，到时都达到最大， 故当与重合时，取得最大值，（当由向移动时，的变化规律与由向移动的变化规律相同）． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积的定义和性质，属于中档题． 29．（2023春•闵行区校级期末）已知，，是平面上一点，，且． （1）若，求； （2）若，求实数的值； （3）求的最小值． 【分析】（1）根据题意利用平面向量的数量积求模长、即可． （2）根据平面向量的数量积，列方程求出的值． （3）根据平面向量投影的定义，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出的最小值． 【解答】解：（1）因为，，且，，， 所以，解得； 又因为，，， 所以，解得． （2）因为，所以， 即 ， 解得或（不合题意，舍去）， 所以实数的值为； （3）由题意知，，， 所以在上的投影是，在上的投影是1； 以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 设，，，， ，，解得； 所以，， ，当且仅当时取“”， 所以的最小值． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 30．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，的夹角为，且，设， （1）求； （2）试用来表示的值； （3）若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围． 【分析】（1）由已知中向量，的夹角为，且，代入向量数量积公式，易求出； （2）根据已知中，，结合向量，的夹角为，且，代入向量数量积公式，即可表示出的值； （3）若与的夹角为钝角，于是且与不平行，根据（2）中结论，构造关于的不等式组，解不等式组，即可得到实数的取值范围． 【解答】解：（1）向量，的夹角为，且， ；（3分） （2）， （3分） （3）夹角为钝角，于是且与不平行． 其中，而， 于是实数的取值范围是，，．（3分），其中没排除平行情况扣（2分） 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，熟练掌握平面向量的数量积公式，是解答本题的关键，（3）中易忽略时，向量与反向的情况，而错解为 31．（2022春•金山区校级期末）已知向量，，，，函数，，，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为，求实数的值； （3）是否存在实数，使函数，，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【解答】解：（1），，， 当时，， 则； （2），， ， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， ②当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得， ③当，即时， 当时，函数取得最小值此时最小值，得（舍， 综上若的最小值为，则实数． （3）令，得或， 方程或在，上有四个不同的实根， 则，得，则， 即实数的取值范围是． 【点评】本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 一十三．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共1小题） 32．（2021春•长宁区校级期末）已知向量，，则在方向上的投影的坐标为 　，　． 【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可． 【解答】解：向量，， 所以， 则在方向上的投影的坐标为，，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题． 一十四．向量的投影（共2小题） 33．（2023春•静安区期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平面向量投影的定义计算即可． 【解答】解：平面向量，， 所以在方向上的投影为，，． 故选：． 【点评】本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题． 34．（2023春•嘉定区校级期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 　，　． 【分析】由向量，，，得出，再求在方向上的投影． 【解答】解：将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，且 所以，，，， 所以在方向上的投影为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了投影向量的计算问题，是基础题． 一十五．平面向量的基本定理（共1小题） 35．（2022春•徐汇区校级期末）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形中，，则　　 A． B．2 C． D． 【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的线性运算解答即可． 【解答】解：如图： 连接，，，与相交于， 在上取一点，使得， 则， 设，则， 由图可知，， ． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算，涉及到正八边形的性质，属于中档题． 一十六．平面向量的坐标运算（共1小题） 36．（2022春•浦东新区校级期末）已知的三边长分别为，，，则的值为　　． 【分析】利用三角形的余弦定理求出，利用向量的数量积公式求出． 【解答】解：由余弦定理得，， 故答案为： 【点评】本题考查三角形的余弦定理、向量的数量积公式．注意向量的夹角是将两向量的起点移到同一点所成的角． 一十七．数量积表示两个向量的夹角（共3小题） 37．（2022春•黄浦区校级期末）已知， 是互相垂直的单位向量，若 与的夹角为，则实数的值是　　． 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出的值． 【解答】解：【方法一】由题意，设，， 则，， ； 又夹角为， ， 即， 解得． 【方法二】， 是互相垂直的单位向量， ，且； 又 与的夹角为， ， 即， 化简得， 即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 38．（2023春•浦东新区期末）已知，且与夹角为锐角，则的取值范围为　且　． 【分析】若与的夹角为锐角，则，进而构造一个关于的不等式，解不等式并讨论与同向时，的取值，即可得到答案． 【解答】解：由题意可得，，且与不共线， 即， ，且 解得 故答案为． 【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中根据，则，进而构造一个关于的不等式，是解答本题的关键，但本题易忽略时，与同向的情况，而错解为． 39．（2022春•黄浦区校级期末）已知向量． （1）若，，三点共线，求实数的值； （2）若为锐角，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意求出，利用，，三点共线，即可求实数的值； （2）求出，设出，利用为锐角，通过向量的数量积的范围，求实数的取值范围 【解答】解：（1）已知向量， 实数时，满足的条件（6分） （2）由题设知 为锐角，（12分） 又由（1）可知，当 故（13分） 【点评】本题是中档题，考查向量的表示方法，向量的数量积的应用，考查计算能力． 一十八．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共2小题） 40．（2022春•浦东新区校级期末）已知向量，如果向量与垂直，则　　 A． B． C．2 D． 【分析】先求出的坐标，再由两个向量垂直的坐标等价条件，列出方程求出的值． 【解答】解：，， ，， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查了两个向量垂直的性质应用，两个向量坐标形式的运算，主要利用数量积为零进行运算． 41．（2023春•嘉定区校级期末）已知，则实数　　． 【分析】由题设知，，再由，知，由此能求出的值． 【解答】解：， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查数量积的应用，解题时要认真审题，注意向量垂直的条件的灵活运用． 一十九．正弦定理（共2小题） 42．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【分析】（1）利用正弦定理，将角转化为边之间的关系，利用周长即可求出的值． （2）利用三角形的面积公式，求出，的关系，利用余弦定理即可求出的大小． 【解答】解：（1）， 由正弦定理得，， ， 解得； （2）由，得， 两边平方式，求得， 由余弦定理，， 故． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理． 43．（2020春•浦东新区校级期末）在中，，，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求边上的高． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求出的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ），，即是锐角， ，， 由正弦定理得得， 则． （Ⅱ）由余弦定理得， 即， 即， 得， 得或（舍， 则边上的高． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 二十．余弦定理（共2小题） 44．（2023春•杨浦区校级期末）在中，角，，所对的边为，，，若，，，则角　　． 【分析】利用余弦定理求出，再根据反余弦函数求出的值． 【解答】解：中，，，， 由余弦定理得， 有， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题． 45．（2020春•浦东新区校级期末）在锐角中，内角，，对的边分别为，，．若，，则的取值范围为　　． 【分析】先根据余弦定理求得角，结合正弦定理把转化为，再结合之间的关系求出角的范围，与正弦函数相结合即可求得结论． 【解答】解：因为在锐角中，内角，，对的边分别为，，． ，， ； ，； ； ，，； ； ，； 故； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用． 二十一．虚数单位i、复数（共1小题） 46．（2022春•黄浦区校级期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】求出复数的共轭复数，代入化简为的形式，可以确定所在象限． 【解答】解：． 实部，虚部， 对应点为，． 在第二象限， 故选：． 【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，是基础题． 二十二．纯虚数（共1小题） 47．（2022春•闵行区校级期末）对于任意的复数，定义运算． （1）集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； （2）若，为纯虚数，求的最小值； （3）直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据所给的复数的条件，写出复数的实部和虚部满足的条件，根据要求是整数，列举出所有的情况，得到要求的集合，用列举法表示出集合． （2）表示出，根据它是一个纯虚数，得到实部和虚部与0的关系，得到关于三角函数的关系式，得到，之间的关系，表示出复数的模长，根据二次函数求出最值． （3）写出对应点坐标为，，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数． 【解答】解：（1） 由于，，得 ，，， ，． （2）若，则 若为纯虚数，则，， ， 当或时，． （3）对应点坐标为， 由题意，得 ，， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 【点评】本题考查复数的概念和模长的运算，本题解题的关键是根据所给的条件，表示出复数的意义，本题与其他的知识点结合，是一个综合题目． 二十三．复数的运算（共3小题） 48．（2021春•浦东新区校级期末）设复数满足，则　　 A．0 B．1 C． D．2 【分析】化简复数方程，求出复数为、的形式，然后再求复数的模． 【解答】解：由于，所以 所以 则 故选：． 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数求模，是基础题． 49．（2022春•杨浦区校级期末）若是实系数方程的一个虚根，且，则　4　． 【分析】设出复数，利用已知条件，结合韦达定理，及，求得． 【解答】解：设，，为实数，则方程的另一个根为，且， 由韦达定理直线，，， 所以． 故答案为：4 【点评】本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，复数的模，是中档题． 50．（2021春•长宁区校级期末）若在复数范围内，关于的方程至少有一个模为2的根，求实数的值． 【分析】①若两根为实根时，由条件求得的值；②若两根为虚根时，由条件求得的值，综合可得结论． 【解答】解：①若两根为实根时，不妨设，则， 当时，则，解得或； 当时，则，由于△，可得无解． ②若两根为虚根时，则，，即，求得． 再根据此时△，得， 所以． 综上可得，，或，或． 【点评】本题主要考查实系数一元二次方程求解的方法，体现了分类讨论的数学思想，是中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$