考题猜想01三角（易错、好题精选10个考点60题专练）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题01三角（考题猜想，易错、好题精选10个考点60题专练） 任意角的三角函数的定义 三角函数值的符号 运用诱导公式化简求值 同角三角函数间的基本关系 两角和与差的三角函数  二倍角的三角函数 三角函数的恒等变换及化简求值 正弦定理 余弦定理 解三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．任意角的三角函数的定义（共6小题） 1．（2024春•金山区校级月考）“，”是“”成立的 　　条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” 2．（2023春•普陀区校级期中）已知点在角的终边上，则　　． 3．（2024春•浦东新区期中）已知角的终边上一点，则　　． 4．（2024春•杨浦区校级期中）已知，则点必在第　　象限． 5．（2024春•闵行区校级月考）在角、、、、的终边上分别有一点、、、、，如果点的坐标为，，，，则　　． 6．（2023春•宝山区校级月考）已知点的坐标为，，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 二．三角函数值的符号（共2小题） 7．（2023春•黄浦区校级期中）已知是第二象限角，且满足，则是　　 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 8．（2024春•黄浦区期中）若，则点在第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 三．运用诱导公式化简求值（共4小题） 9．（2024春•金山区校级月考）已知，则的值为 　　． 10．（2024春•宝山区校级期中）化简：　　． 11．（2024春•普陀区校级期中）若，则的值为 　　． 12．（2024春•浦东新区校级期中）化简：　　． 四．同角三角函数间的基本关系（共5小题） 13．（2023春•闵行区校级期中）在中，“”是“”的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 14．（2024春•长宁区校级期中）已知，，则　　． 15．（2024•徐汇区校级开学）已知，求　　． 16．（2023春•宝山区校级期中）已知，则　　． 17．（2024春•嘉定区校级期中）已知，则　　． 五．两角和与差的三角函数（共18小题） 18．（2024春•闵行区校级月考）对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是　　 A． B． C． D． 19．（2024春•长宁区校级期中）若，，，，则的值等于　　 A． B． C． D． 20．（2024•闵行区校级开学）已知．有下列两个结论： ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则　　 A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 21．（2024春•黄浦区期中）把化成的形式：　　． 22．（2023春•奉贤区校级期中）函数的最小正周期是　　． 23．（2024春•嘉定区校级期中）已知锐角，满足，，则　　． 24．（2023秋•宝山区校级期末）已知、为锐角，，，则　　． 25．（2024春•浦东新区校级月考）已知，为锐角，，则　 　． 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是　　． 27．（2024春•闵行区校级月考）已知，，则　　． 28．（2023春•浦东新区期末）已知，，且，，求的值． 29．（2023春•金山区校级月考）已知，都是锐角，，，求的值． 30．（2024•闵行区校级开学）已知，，且， （1）求的值； （2）求． 31．（2024春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 32．（2024•徐汇区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，．若点的横坐标是，点的纵坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 33．（2024春•闵行区校级期中）已知，，，，函数． （1）我们知道，向量数量积对加法的分配律，等价于向量往同一方向投影与求和可以交换次序．请借助以上后者的观点，写出的值域（本小题只按结果给分）． （2）若的最大值为，求的最小值． （3）若的最大值为1，求的最大值． 34．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值． （1）设，求的值； （2）设，且偶函数，，求的最大值； （3）设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围． 35．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，． （1）求的值； （2）求的值． 六．二倍角的三角函数（共5小题） 36．（2024•宝山区校级开学）若，则． 37．（2024春•杨浦区期中）已知，则　　． 38．（2024春•黄浦区校级月考）方程的解集为 　　． 39．（2023春•青浦区校级期中）已知，且有，则　　． 40．（2022春•杨浦区校级期中）若，，，则　　． 七．三角函数的恒等变换及化简求值（共3小题） 41．（2024春•闵行区期中）“，”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2024春•闵行区校级月考）化简：　　． 43．（2023春•奉贤区校级期中）已知，，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求． 八．正弦定理（共2小题） 44．（2023春•奉贤区校级期中）中，，，，则　　． 45．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 九．余弦定理（共4小题） 46．（2023春•杨浦区校级期末）在中，角，，所对的边为，，，若，，，则角　　． 47．（2024春•浦东新区校级期中）已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 　　． 48．（2024春•虹口区校级期中）已知函数． （1）当的最小正周期为时，求的值； （2）当时，设的内角、、对应的边分别为、、，已知，且，求的面积． 49．（2023•嘉定区校级开学）在中，角、、所对边分别为、、，已知． （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 一十．解三角形（共11小题） 50．（2024春•杨浦区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为　　 A． B． C． D． 51．（2023秋•徐汇区校级期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为 　　． 52．（2024春•嘉定区校级期中）如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米．为上的一点，则当角达到最大时，的长度为 　　米． 53．（2023春•奉贤区校级期中）的内角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的序号是 　　． ①若，则； ②若，则是锐角三角形； ③若，则是直角三角形； ④若，则为等腰三角形； ⑤若锐角中，则恒成立． 54．（2024春•虹口区校级期中）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为 　　． 55．（2024春•浦东新区校级期中）如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和，其中是宽长廊，造价是800元米；是窄长廊，造价是400元米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元米． （1）若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ （2）在（1）的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 56．（2024春•静安区校级月考）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米． （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点、、，并且，，（如图，游客要在内喂鱼，希望面积越大越好．设（米，用表示面积，并求出的最大值； （2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在、、上取点、、，建造正走廊（不考虑宽度）（如图，游客希望周长越小越好．设，用表示的周长，并求出的最小值． 57．（2023秋•闵行区校级期中）如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为21海里． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？ 58．（2023春•浦东新区校级月考）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面 处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？侵袭的时间有多少小时？ 59．（2022秋•浦东新区校级期中）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？ 60．（2023春•徐汇区校级期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且． （1）求的大小； （2）现给出三个条件：（1）；（2）；（3）．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角（考题猜想，易错、好题精选10个考点60题专练） 任意角的三角函数的定义 三角函数值的符号 运用诱导公式化简求值 同角三角函数间的基本关系 两角和与差的三角函数  二倍角的三角函数 三角函数的恒等变换及化简求值 正弦定理 余弦定理 解三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．任意角的三角函数的定义（共6小题） 1．（2024春•金山区校级月考）“，”是“”成立的 　充分不必要　条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” 【分析】，，反之不成立，例如．即可判断出关系． 【解答】解：，，反之不成立，例如． 因此，”是“”成立的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（2023春•普陀区校级期中）已知点在角的终边上，则　　． 【分析】根据三角函数的坐标法定义，直接计算即可． 【解答】解：设为坐标原点，因为． 由已知得， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的坐标法定义，以及学生的运算能力，属于基础题． 3．（2024春•浦东新区期中）已知角的终边上一点，则　　． 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出的值． 【解答】解：角的终边上一点，则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4．（2024春•杨浦区校级期中）已知，则点必在第　二　象限． 【分析】时为第四象限角，判断和值的符号即可． 【解答】解：当时，为第四象限角， 所以，； 所以点必在第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题考查了任意角的三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5．（2024春•闵行区校级月考）在角、、、、的终边上分别有一点、、、、，如果点的坐标为，，，，则　　． 【分析】由点的坐标为，，，，可得：，．．即可得出． 【解答】解：由点的坐标为，，，， 可得：，． ． 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（2023春•宝山区校级月考）已知点的坐标为，，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义，求出的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【解答】解：点的坐标为，， 设，则，， 将绕坐标原点逆时针旋转至， 则的倾斜角为，则， 则点的纵坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 二．三角函数值的符号（共2小题） 7．（2023春•黄浦区校级期中）已知是第二象限角，且满足，则是　　 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【分析】根据所给的角是一个第二象限的角，写出用集合形式表示的角的范围，求出角的一半的表示形式，根据的取值看出角的象限，再根据绝对值的意义看出具体位置． 【解答】解：是第二象限角， 在第一和第三象限， 满足， 在第三象限， 故选：． 【点评】本题考查象限角和三角函数的符号，本题解题的关键是求出角的表示形式，进而写出半角的表示形式，注意要对于角的表示形式中出现的的值分成奇偶两种情况． 8．（2024春•黄浦区期中）若，则点在第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据判断和的符号，求解即可． 【解答】解：因为，所以，， 所以点在第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题． 三．运用诱导公式化简求值（共4小题） 9．（2024春•金山区校级月考）已知，则的值为 　　． 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 10．（2024春•宝山区校级期中）化简：　　． 【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 11．（2024春•普陀区校级期中）若，则的值为 　　． 【分析】把已知等式利用诱导公式变形，两边平方后再由倍角公式求解． 【解答】解：由， 得， 两边平方得：， 则，可得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题． 12．（2024春•浦东新区校级期中）化简：　1　． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 四．同角三角函数间的基本关系（共5小题） 13．（2023春•闵行区校级期中）在中，“”是“”的　　 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据中，，判断为充要条件． 【解答】解：中，因为、，所以时，，所以，即，所以，充分性成立； 当时，，即，所以，即，必要性成立； 所以“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题． 14．（2024春•长宁区校级期中）已知，，则　　． 【分析】由已知可得，再由商的关系与平方关系联立求解即可得答案． 【解答】解：，且，，，则， 由，解得，． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 15．（2024•徐汇区校级开学）已知，求　　． 【分析】先两边平方，利用同角三角函数关系求得，再将化简，代入即可． 【解答】解：，， 故答案为 【点评】本题的考点同角三角函数的基本关系．考查了同角三角函数的基本关系，关键是利用好平方关系及切化弦关系． 16．（2023春•宝山区校级期中）已知，则　　． 【分析】先求，再用诱导公式求的值． 【解答】解：，所以 故答案为： 【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，诱导公式，是基础题．注意角的范围． 17．（2024春•嘉定区校级期中）已知，则　　． 【分析】将所求关系式中的“弦”化“切”，代入计算即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”，是关键，属于中档题． 五．两角和与差的三角函数（共18小题） 18．（2024春•闵行区校级月考）对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】对于，中的，可以分别令为，验证即可，对于中的，可以令他们都等于，验证即可，对于我们可以用放缩法给出证明 【解答】解：对于中的，可以分别令为，则知道，均不成立 对于中的，可以令他们都等于，则知道不成立 故选：． 【点评】本题考查了两角和与差的正余弦公式，同时也考查了放缩法对命题的证明，属于基础题． 19．（2024春•长宁区校级期中）若，，，，则的值等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据，的范围，求得和的范围，进而利用平方关系求得和的值，进而根据余弦的两角和公式求得的值，最后根据二倍角公式求得答案． 【解答】解：，， ，，，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和公式和二倍角公式的化简求值．要求学生对三角函数基础公式能熟练记忆． 20．（2024•闵行区校级开学）已知．有下列两个结论： ①存在在第一象限，在第三象限； ②存在在第二象限，在第四象限； 则　　 A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②． 【解答】解：由， 即为， 设，，可得， 若，由韦达定理可得， 可得上式关于的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得， 即有，考虑△，， 当时，递减，可得（1），则方程无解， 在第三象限不可能，故①错； 可令， 由， 即为， 可得， 解得，存在在第四象限，故②对． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题． 21．（2024春•黄浦区期中）把化成的形式：　　． 【分析】先将原式提取2，再利用和角的正弦函数公式即可． 【解答】解：由题意，， 故答案为 【点评】本题的考点是两角和与差的正弦函数，主要考查运用和与差的正弦余弦函数公式的能力，以及三角函数恒等变换的能力． 22．（2023春•奉贤区校级期中）函数的最小正周期是　　． 【分析】利用两角和的正弦公式，把函数化为，可得它的最小正周期等于． 【解答】解：函数， 故它的最小正周期等于， 故答案为． 【点评】本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，把函数化为，是解题的关键． 23．（2024春•嘉定区校级期中）已知锐角，满足，，则　　． 【分析】由同角的平方关系，结合，由两角差的正弦公式计算可得所求值． 【解答】解：锐角，满足，可得， 由锐角，，可得， 又，可得， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查两角差的正弦公式、同角的平方关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 24．（2023秋•宝山区校级期末）已知、为锐角，，，则　　． 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出和的值，然后由以及两角和与差公式求出的值，最后由特殊角的三角函数值得出答案． 【解答】解：、为锐角 为锐角 故答案为： 【点评】此题考查了两角和与差公式以及同角三角函数的基本关系，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题． 25．（2024春•浦东新区校级月考）已知，为锐角，，则　　． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得、的值，再利用两角差的三角公式求得的值． 【解答】解：，为锐角，，，． 又， 为钝角，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题． 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是　，　． 【分析】化简变形，求出的零点，根据条件得出区间，内不存在整数，再根据可得，为或的子集，从而得出的范围． 【解答】解： ． 令，可得，． 令，解得， 函数在区间，内没有零点， 区间，内不存在整数． 又，， 又， ，，或，，． 或， 解得：或． 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题． 27．（2024春•闵行区校级月考）已知，，则　　． 【分析】把已知等式两边平方化简可得，再利用两角和差的正弦公式化简为，可得结果． 【解答】解：， 两边平方可得：，①， ， 两边平方可得：，②， 由①②得：，即， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 28．（2023春•浦东新区期末）已知，，且，，求的值． 【分析】根据角的范围和平方关系分别求出、，再由两角差的正弦公式求出的值． 【解答】解：且，． 且，． 则 ． 【点评】本题考查了平方关系和两角差的正弦公式应用，注意角的范围和三角函数值的符号，这是易错点，考查了学生的计算能力． 29．（2023春•金山区校级月考）已知，都是锐角，，，求的值． 【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即即可求出值． 【解答】解：，， ，，， ． 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围． 30．（2024•闵行区校级开学）已知，，且， （1）求的值； （2）求． 【分析】（1）由已知求得，进一步得到，再由二倍角的正切求解； （2）由已知求得，利用，展开两角差的余弦得答案． 【解答】解：（1）由，，可得， ，则； （2）由，，且， 得， 可得， ． 【点评】本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题． 31．（2024春•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【分析】（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义，求得和 的值，可得的值． （Ⅱ）利用两角和的正切公式求得的值，结合的范围，求得的值． 【解答】解：（Ⅰ）已知，的横坐标分别为，，可得，的纵坐标分别为，， ，，． （Ⅱ）， 结合，可得． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 32．（2024•徐汇区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，．若点的横坐标是，点的纵坐标是． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】利用任意角的三角函数的定义求得、的正弦值和余弦值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 【解答】解：因为锐角的终边与单位圆交于，且点的横坐标是， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，，从而． 因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是， 所以，从而． （1）． （2）． 因为为锐角，为钝角，故，，所以． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式的应用，属于中档题． 33．（2024春•闵行区校级期中）已知，，，，函数． （1）我们知道，向量数量积对加法的分配律，等价于向量往同一方向投影与求和可以交换次序．请借助以上后者的观点，写出的值域（本小题只按结果给分）． （2）若的最大值为，求的最小值． （3）若的最大值为1，求的最大值． 【分析】（1）根据函数的表达式结合两角和的正弦公式以及辅助角公式，即可得到结果； （2）通过换元法化简得到最大值，结合已知即可得解； （3）建立直角坐标系，利用向量知识以及换元法可以得出答案． 【解答】解：（1） ， 所以的值域为，； （2）不妨设，令，，则， 由于，则有最大值， 又， 令，， 则 ， 则有， 由于或， 若， 所以，与矛盾， 故，所以， 故的最小值为； （3）在直角坐标系中，设，，，，， 则有，， ， 因为可看作是单位圆上一动点，因此的最大值为， 又为的外心，设，则又为的垂心， 所以的垂心在外接圆上，即为直角三角形， 所以存在，，，，使得，即， 设为在，，中除，外剩余的一个， 则， ，， 另一方面，，，时，， 又当，，时，， 最后证明，否则有， 又，， 所以，， 故，又， 所以，矛盾， 综上所述：的最大值为． 【点评】本题考查三角函数、平面向量的应用，考查换元法的应用，属于难题． 34．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间，用表示函数在上的最小值． （1）设，求的值； （2）设，且偶函数，，求的最大值； （3）设，若有且仅有一个正数使得成立，求正实数的取值范围． 【分析】（1）先化简，再结合所给区间求解的值； （2）先利用偶函数求出，再利用，求出的最大值； （3）根据题意分段讨论，求出，的关系式，结合简图可得答案． 【解答】解：（1）， 因为，所以， 所以，所以． （2）因为为偶函数，所以， ，整理得， 所以，此时， 因为，所以，即， 解得，所以的最大值为． （3）， 当时，，， 由，得， 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以， 作出简图， 由图可知，的取值范围是． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于难题． 35．（2022春•浦东新区校级期中）在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）先求出、的纵坐标，利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和的正切公式求得的值． （2）先求出，．由（1）可得，、，，可得，从而求得的值． 【解答】解：（1）平面直角坐标系中，以轴为始边作两个钝角，， 它们的终边分别与单位圆相交于，两点， 已知，的横坐标分别为，， 则，的纵坐标分别为，． ，，． （2）由于，． 由（1）可得，、，， 故，． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 六．二倍角的三角函数（共5小题） 36．（2024•宝山区校级开学）若，则． 【分析】首先利用二倍角公式化简，然后分子分母同除以，即可得出结果． 【解答】解：原式， 解得：或， 若，则，不成立，舍去． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角的平方关系的应用，解题的关键是分子分母同时添上1并且对1进行的变化 37．（2024春•杨浦区期中）已知，则　　． 【分析】利用，即可得出结论． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 38．（2024春•黄浦区校级月考）方程的解集为 　，　． 【分析】根据余弦函数的性质求解即可． 【解答】解：由，得， 因为，所以或， 所以或， 所以方程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦函数的性质与应用问题，是基础题． 39．（2023春•青浦区校级期中）已知，且有，则　　． 【分析】由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可． 【解答】解：由，得， 即； 又，所以， 所以； 由， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题． 40．（2022春•杨浦区校级期中）若，，，则　　． 【分析】由的范围求出的范围，再由平方关系求出，根据倍角的余弦公式变形求出的值． 【解答】解：由得，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题． 七．三角函数的恒等变换及化简求值（共3小题） 41．（2024春•闵行区期中）“，”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由充分必要性条件的判断依次对三角函数值判断即可． 【解答】解：当，时， ； 当时，，而不满足，； 故“，”是“”的充分非必要条件； 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的值及充分必要性条件判断，属于基础题． 42．（2024春•闵行区校级月考）化简：　　． 【分析】根据所给的函数式，要对函数进行整理求值，根据诱导公式把四项都变化成同一个角的三角函数形式，合并整理出最简结果． 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题看出三角函数的化简求值即诱导公式的应用，本题解题的关键是正确利用诱导公式，不要在符号上出错，本题是一个基础题． 43．（2023春•奉贤区校级期中）已知，，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求． 【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系和二倍角根据，求出和的值； （Ⅱ）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【解答】解：（Ⅰ）由，， 得；（2分） ， 于是；（6分） （Ⅱ）由，得，（8分） 又， ；（10分） 由得： ． （13分） 【点评】本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是基础题． 八．正弦定理（共2小题） 44．（2023春•奉贤区校级期中）中，，，，则　或　． 【分析】利用正弦定理求得的值，从而得出的值． 【解答】解：中，，，， 由正弦定理得，， 即， 解得， 又，且， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，是基础题． 45．（2023春•浦东新区期末）已知的周长为，且． （1）求边长的值； （2）若，求角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【分析】（1）利用正弦定理，将角转化为边之间的关系，利用周长即可求出的值． （2）利用三角形的面积公式，求出，的关系，利用余弦定理即可求出的大小． 【解答】解：（1）， 由正弦定理得，， ， 解得； （2）由，得， 两边平方式，求得， 由余弦定理，， 故． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理． 九．余弦定理（共4小题） 46．（2023春•杨浦区校级期末）在中，角，，所对的边为，，，若，，，则角　　． 【分析】利用余弦定理求出，再根据反余弦函数求出的值． 【解答】解：中，，，， 由余弦定理得， 有， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理和反余弦函数的应用问题，是基础题． 47．（2024春•浦东新区校级期中）已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 　　． 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式算出，从而设，，，，可得为三角形最大角，然后利用余弦定理算出最大角的余弦值． 【解答】解：因为三边上的高分别为、、，且， 所以由，得，可得， 设，，，，可知为三角形最大角， 因为，所以最大角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式以、余弦定理在解三角形中的应用等知识，属于基础题． 48．（2024春•虹口区校级期中）已知函数． （1）当的最小正周期为时，求的值； （2）当时，设的内角、、对应的边分别为、、，已知，且，求的面积． 【分析】（1）利用倍角公式、和差公式可得，根据的最小正周期为，可得． （2）当时，，代入可得，解得．利用余弦定理可得：，解得，即可得出的面积． 【解答】解：（1）函数． ， 当的最小正周期为时， ，解得． （2）当时，， ， 解得． 且， 由余弦定理可得：， ， 解得或4． 的面积或． 【点评】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 49．（2023•嘉定区校级开学）在中，角、、所对边分别为、、，已知． （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：，从而解得，由，即可求得的值． （Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出的范围，再利用三角形三边的关系即可求出的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得：， 从而，， ， ． （Ⅱ）由已知：，，． 由余弦定理得：， （当且仅当时等号成立） ，又， ， 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于基本知识的考查． 一十．解三角形（共11小题） 50．（2024春•杨浦区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据余弦定理，代入数据化简得，因为关于的方程有两个不相等的正根，所以，由此求出的范围，进而求出角的除式． 【解答】解：由余弦定理，得， 整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 所以，解得，结合，解得． 综上所述，角的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式等知识，属于基础题． 51．（2023秋•徐汇区校级期中）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为 　　． 【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出，中利用等角对等边求出，在中由余弦定理求出． 【解答】解：如图所示： 中，，，， 所以，由正弦定理得，解得， 中，，， ， 所以，所以， 中，由余弦定理得 ， 所以，即、两点间的距离为． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了推理与运算求解能力，是中档题． 52．（2024春•嘉定区校级期中）如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米．为上的一点，则当角达到最大时，的长度为 　4　米． 【分析】要使最大（应该是钝角），只需最小，由题意可知，然后设，，借助于正切即可用将表示出来，利用导数可求解． 【解答】解：令，则，再令，． 所以． ， 令，，则， 令得或（舍． 易知时，；时，． 所以当时，在区间上取得唯一极小值，也是最小值1． 此时最小，所以取得最小值，所以最大为． 此时（米． 故答案为：4 【点评】本题考查解三角形的实际应用问题，同时也考查了导数在实际问题中的应用，属于中档题． 53．（2023春•奉贤区校级期中）的内角，，所对的边分别是，，，则下列命题正确的序号是 　①③　． ①若，则； ②若，则是锐角三角形； ③若，则是直角三角形； ④若，则为等腰三角形； ⑤若锐角中，则恒成立． 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用判断各个命题是否正确即可． 【解答】解：对于①，若，则， 所以， 又因为在递减，所以，命题①正确； 对于②，中，因为，所以为锐角， 但不能判断、是否均为锐角，所以不一定是锐角三角形，命题②错误； 对于③，若，即， 由余弦定理可得，即， 所以是直角三角形，命题③正确； 对于④，由正弦定理及，得， 所以或，是等腰三角形或直角三角形，命题④错误． 对于⑤，角，，分别取，，，代入计算可得，，命题⑤错误． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题． 54．（2024春•虹口区校级期中）在中，，，分别是角，，的对边，若，则的值为 　2023　． 【分析】由三角函数的切化弦、两角和的正弦公式和三角形的正弦定理、余弦定理，可得所求值． 【解答】解： ． 故答案为：2023． 【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 55．（2024春•浦东新区校级期中）如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委员会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和，其中是宽长廊，造价是800元米；是窄长廊，造价是400元米；两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元米． （1）若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ （2）在（1）的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 【分析】（1）设，，则，即，表示面积，利用基本不等式，可得结论； （2）利用向量方法，求出，即可得出结论． 【解答】解：（1）设，，则，即， ， 当且仅当，即，时等号成立， 的面积最大，那么和的长度分别为750米和1500米； （2）在（1）的条件下，， ， ， 元，即建直线通道还需要50万元． 【点评】本题考查三角形中面积的求法，考查向量知识的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 56．（2024春•静安区校级月考）某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米． （1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在、、上取点、、，并且，，（如图，游客要在内喂鱼，希望面积越大越好．设（米，用表示面积，并求出的最大值； （2）现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在、、上取点、、，建造正走廊（不考虑宽度）（如图，游客希望周长越小越好．设，用表示的周长，并求出的最小值． 【分析】（1）通过三角形，求出，设，，求出，，表示出三角形的面积，利用二次函数求出最值． （2）设边长为，，，利用正弦定理求出的表达式，求出的最小值，的最小值． 【解答】解：（1）直角三角形，，米，米 ． ， ，， 设，，，， ，，， ， 当时，； （2）设边长为，，， ，，， 在三角形中，， ． 的最小值为， 的最小值是． 【点评】本题考查三角形的面积的求法，三角函数的最值的应用，考查转化思想以及计算能力． 57．（2023秋•闵行区校级期中）如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西方向，以40海里小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得，间的距离为21海里． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？ 【分析】（Ⅰ）由已知可得，中，根据余弦定理求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得 的值． （Ⅱ）由已知可得，由此可得的值，再由正弦定理求得的值，由此求得海警船到达的时间． 【解答】解：（Ⅰ）由已知可得， 中，根据余弦定理求得， ． （Ⅱ）由已知可得， ． 中，由正弦定理可得， 分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题． 58．（2023春•浦东新区校级月考）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向的海面 处，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？侵袭的时间有多少小时？ 【分析】建立坐标系，设在时刻：台风中心的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中，若在时，该城市受到台风的侵袭，则有，进而可得关于的一元二次不等式，求得的范围，答案可得． 【解答】解：如图建立坐标系：以为原点，正东方向为轴正向． 在时刻：台风中心的坐标为 ， 令是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是， 其中， 若在时，该城市受到台风的侵袭， 则有， 即，即，解得． 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时． 【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题． 59．（2022秋•浦东新区校级期中）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，，是等腰三角形，． （1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？ 【分析】（1）首先利用正弦定理求出结果． （2）直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】解：（1）已知： （公里），在中， 由， 得（公里）． 于是，由于：， 快递小哥不能在50分钟内将快件送到处． （2）在中，， 得（公里）， 在中，， 由：， 得（公里）， 由：（分钟） 知，汽车能先到达 处． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用． 60．（2023春•徐汇区校级期中）在中，，，分别为内角，，所对的边，且． （1）求的大小； （2）现给出三个条件：（1）；（2）；（3）．试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择，并以此为依据求的面积（写出一种可行的方案即可） 【分析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出的值． （2）选①③通过余弦定理，求出，，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在． 【解答】解：（1）由代入正弦定理得： ， 即， ，又， ； （2）选①③， 由余弦定理：， ，， ， 选①②， 由正弦定理得：， 又， ， 选②③这样的三角形不存在． 【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$