考题猜想02一次方程（组）和一次不等式（组）（易错、好题精选16个考点60题专练）-2023-2024学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02一次方程（组）和一次不等式（组）（考题猜想，易错、好题精选16个考点60题专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一元一次方程的定义 一元一次方程的解 解一元一次方程 一元一次方程的应用 二元一次方程的定义 解二元一次方程 解二元一次方程组 二元一次方程组的应用 解三元一次方程组 不等式的性质 一元一次不等式的定义 解一元一次不等式 一元一次不等式的整数解 一元一次不等式的应用 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的整数解 一．一元一次方程的定义（共3小题） 1．（2022春•嘉定区校级期中）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•崇明区期中）若是关于的一元一次方程，那么　　． 3．（2023春•黄浦区期中）已知：是关于的一元一次方程． （1）求、的值； （2）若是方程的解，求的值． 二．一元一次方程的解（共3小题） 4．（2024春•黄浦区期中）若关于的方程的解是，则　　． 5．（2023春•普陀区期中）若方程的解是关于的方程的解，求的值． 6．（2024春•宝山区校级期中）小红解方程时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． （1）求的值； （2）求出方程的正确解； （3）根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 三．解一元一次方程（共6小题） 7．（2024春•浦东新区校级期中）解方程：． 8．（2024春•杨浦区期中）解方程：． 9．（2024春•黄浦区期中）解方程：． 10．（2024春•黄浦区期中）解方程：． 11．（2024春•杨浦区期中）解方程：． 12．（2023春•黄浦区期中）解方程：． 四．一元一次方程的应用（共14小题） 13．（2024春•上海期中）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为 　　． 14．（2024春•杨浦区校级期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 　　尺． 15．（2024春•浦东新区校级期中）某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元． （1）问这批零件共有多少个？ （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 16．（2024春•松江区期中）书架上有文学、科技、艺术三类书，其比例为．若科技书增加60本，则现在这三类书的总量为500本，问艺术书有多少本？ 17．（2024春•松江区期中）某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？ 18．（2024春•上海期中）一家服装店购进100件衣服，加价后作为售价．售出了60件后，剩下的40件按售价打对折售完，结果盈利6000元． （1）这批衣服每件的进价为多少元？ （2）售完全部衣服后，店主将购进这批衣服的货款（不包括盈利部分）存入银行，存期一年，得到的利息为1500元，那么银行一年定期的利率为多少？ 19．（2024春•闵行区期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， （1）如图②，点、都在原点的右边，； （2）如图③，点、都在原点左边，； （3）如图④，点、在原点的两边，； 综上，数轴上、两点之间的距离． （1）回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是　　． （2）若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么　　． （3）若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点追上点？②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？ 20．（2024春•黄浦区期中）五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？ 21．（2023春•普陀区期中）甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求： （1）若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？ （2）若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？ 22．（2023春•普陀区期中）某市的出租车计价规格如下： 路程 计价标准 不超过3千米 起步价13元（加收燃油税1元） 超过3千米，而不超过10千米 每千米2.4元 超过10千米 每千米3.6元 某天王老师去小杰家家访，坐出租车付了38元，王老师共乘坐了多少路程？（不计等候费） 23．（2023春•普陀区期中）一件商品受季节影响准备打折出售，如果按标价的七五折出售，每件将赔30元，如果按标价的九折出售，每件将赚30元，求这件商品的标价是多少元？ 24．（2024春•浦东新区校级期中）如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数． （1）的值为 　　，的值为 　　； （2）动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为． ①若点，在点处相遇，求的值； ②若点的运动速度是点的2倍，当点，之间的距离为2时，求此时的值． 25．（2022春•崇明区校级期中）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到 　　分，那么男生和女生的平均分就一样了．” 26．（2024春•杨浦区期中）超市规定娃哈哈矿泉水的销售方式如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30瓶以上但是不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 2.6元 2元 集团举办运动会时，六（2）班集体购买娃哈哈矿泉水，由于天气炎热，第一次购买的水不够喝，又买了一次（第二次多于第一次），已知两次共购买70瓶，共付192元． （1）如果六（2）班集体第一次直接购买70瓶，可以少付多少钱？ （2）问六（2）班第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 五．二元一次方程的定义（共2小题） 27．（2024春•崇明区期中）下列各式中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 28．（2022春•嘉定区校级期中）若是关于，的二元一次方程，则的值是 　　． 六．解二元一次方程（共2小题） 29．（2022春•徐汇区校级期末）方程的正整数解为　　或　　． 30．（2023春•浦东新区期末）二元一次方程的正整数解是 　　． 七．解二元一次方程组（共2小题） 31．（2024春•崇明区期中）解二元一次方程组：． 32．（2023春•杨浦区期末）解方程组：； 八．二元一次方程组的应用（共5小题） 33．（2024春•闵行区期中）六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 34．（2023春•宝山区期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 35．（2023春•浦东新区期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ （2）若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为16760元，求的值． 36．（2019春•虹口区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 37．（2021春•浦东新区期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 九．解三元一次方程组（共4小题） 38．（2023春•杨浦区期末）解方程组：． 39．（2023春•嘉定区期末）解三元一次方程组：． 40．（2023春•长宁区期末）解方程组：． 41．（2023春•浦东新区期末）解方程组． 一十．不等式的性质（共4小题） 42．（2024春•杨浦区校级期中）某农户买黄金瓜，第一天上午买了45斤，价格为每斤元，下午他又买了35斤，价格为每斤元．第二天他以每斤元的价格卖完了80斤，结果同第一天比发现自己亏了．其原因是　　 A． B． C． D． 43．（2024春•松江区期中）已知，则下列四个不等式不一定成立的是　　 A． B． C． D． 44．（2024春•杨浦区期中）当满足条件 　　时，由关于的不等式可得． 45．（2024春•杨浦区期中）用不等号填空，若，则 　　（填“”或“” ． 一十一．一元一次不等式的定义（共2小题） 46．（2024春•普陀区期中）下列不等式中属于一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 47．（2022春•普陀区校级期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为　　 A． B． C． D． 一十二．解一元一次不等式（共4小题） 48．（2023春•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 49．（2023春•普陀区校级期中）解不等式：． 50．（2024春•杨浦区校级期中）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 51．（2024春•崇明区期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上． 一十三．一元一次不等式的整数解（共3小题） 52．（2023春•长宁区期末）已知不等式的正整数解是1，2，3，4，那么的取值范围是 　　． 53．（2023春•普陀区校级期中）已知不等式，求满足不等式的最大整数解． 54．（2024春•杨浦区期中）已知关于的方程的解也是关于的方程的解． （1）求、的值； （2）求出关于的不等式的最大整数解． 一十四．一元一次不等式的应用（共2小题） 55．（2023春•宝山区校级期中）在一次知识竞赛预赛中共有20道题．规定答对一道得10分，答错或者不答倒扣5分，总得分不少于80分者通过预赛．小李同学通过了预赛，问他至少答对了几道题？ 56．（2021春•青浦区校级期末）上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． （1）他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． （2）若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 一十五．解一元一次不等式组（共2小题） 57．（2024春•浦东新区校级期中）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 58．（2024春•杨浦区校级期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 一十六．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 59．（2024春•杨浦区期中）求不等式组的整数解． 60．（2023春•普陀区期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解． $$ 专题02一次方程（组）和一次不等式（组）（考题猜想，易错、好题精选16个考点60题专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一元一次方程的定义 一元一次方程的解 解一元一次方程 一元一次方程的应用 二元一次方程的定义 解二元一次方程 解二元一次方程组 二元一次方程组的应用 解三元一次方程组 不等式的性质 一元一次不等式的定义 解一元一次不等式 一元一次不等式的整数解 一元一次不等式的应用 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的整数解 一．一元一次方程的定义（共3小题） 1．（2022春•嘉定区校级期中）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程． 【解答】解：①是分式方程，故①不符合题意； ②，即，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，即，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意； ⑤，即，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 2．（2024春•崇明区期中）若是关于的一元一次方程，那么　1　． 【分析】根据一元一次方程的定义，即可解答． 【解答】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 3．（2023春•黄浦区期中）已知：是关于的一元一次方程． （1）求、的值； （2）若是方程的解，求的值． 【分析】（1）先根据一元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可； （2）把代入方程求出的值，再代入代数式求解即可． 【解答】解：（1）是关于的一元一次方程， ，解得； （2），是方程的解， ，解得， ． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 二．一元一次方程的解（共3小题） 4．（2024春•黄浦区期中）若关于的方程的解是，则　　． 【分析】把代入方程得出，再求出即可． 【解答】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键． 5．（2023春•普陀区期中）若方程的解是关于的方程的解，求的值． 【分析】根据一元一次方程的解法得到，将代入解出，代入代数式求值即可得到答案． 【解答】解：， ， 解得， ， 即， 解得， 将代入得． 【点评】本题考查解一元一次方程、方程解的定义及代数式求值，熟记一元一次方程解法步骤是解决问题的关键． 6．（2024春•宝山区校级期中）小红解方程时，在去分母的过程中，右边的漏乘公分母6，因而求得方程的解为． （1）求的值； （2）求出方程的正确解； （3）根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项． 【分析】（1）把代入方程得到关于的方程，求解得到的值； （2）把的值代入方程，得到关于的方程，求解即可； （3）根据解题经验提一条合理化建议即可． 【解答】解：（1）由题意得是方程的解， 把代入方程得 ， 解得， （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 原方程正确的解为． （3）去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一）． 【点评】本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 三．解一元一次方程（共6小题） 7．（2024春•浦东新区校级期中）解方程：． 【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 8．（2024春•杨浦区期中）解方程：． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 9．（2024春•黄浦区期中）解方程：． 【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 10．（2024春•黄浦区期中）解方程：． 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【解答】解：去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． 11．（2024春•杨浦区期中）解方程：． 【分析】先根据分数的基本性质把方程化简，然后先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解． 【解答】解：方程可化为，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 12．（2023春•黄浦区期中）解方程：． 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解． 【解答】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：得． 【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 四．一元一次方程的应用（共14小题） 13．（2024春•上海期中）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端、分别落在点、．将木棒在数轴上水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为17，当点移动到点时，点所对应的数为5，则点在数轴上表示的数为 　9　． 【分析】设木棒的长为，根据题意5和17之间的长度是12个单位，得到关于的一元一次方程，求出的值，即可求出点在数轴上表示的数． 【解答】解：设木棒的长为， 根据题意，得， 解得， 所以， 即点在数轴上表示的数为9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 14．（2024春•杨浦区校级期中）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 　6.5　尺． 【分析】设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 答：木头长6.5尺． 故答案为：6.5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．（2024春•浦东新区校级期中）某公司生产零件，甲每天可以加工32个零件，乙每天可以加工48个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天，甲的人工费为每天60元，乙的人工费为每天80元． （1）问这批零件共有多少个？ （2）在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他15元补助费，现有三种加工方案：①由甲单独加工这批零件；②由乙单独加工这批零件；③甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 【分析】（1）设这批零件共有个，根据甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用20天列方程求解即可； （2）分别求得三个方案需支付费用，然后比较大小可得结论． 【解答】解：（1）设这批零件共有个， 根据题意，得， 解得， 答：这批零件共有1920个； （2）方案③最省钱，理由： 由题意， ①由甲单独加工这批零件需支付费用为（元； ②由乙单独加工这批零件需支付费用为（元； ③甲、乙合作同时加工这批零件需支付费用为（元， 因为， 所以方案③最省钱． 【点评】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和算式是解答的关键． 16．（2024春•松江区期中）书架上有文学、科技、艺术三类书，其比例为．若科技书增加60本，则现在这三类书的总量为500本，问艺术书有多少本？ 【分析】依据题意，设文学书有本，科技书有本，艺术书有本，从而可以列方程解得后即可得解． 【解答】解：由题意，设文学书有本，科技书有本，艺术书有本， ． ． ． 答：艺术书有160本． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 17．（2024春•松江区期中）某电商决定在五一期间开展促销活动，对网上销售的某种服装按成本价提高后标价，又以9折优惠卖出，结果每件服装仍可获利105元．求这种服装每件的成本是多少元？ 【分析】标价成本相应的百分数），售价标价，然后根据售价成本利润解答即可． 【解答】解：设这种服装每件的成本是元，根据题意，得： ． ， ， ， ． 答：这种服装每件的成本是300元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用里的销售问题．销售问题常常用到相等关系：售价成本利润．利用方程解决问题，关键就是找到符合题意的相等关系． 18．（2024春•上海期中）一家服装店购进100件衣服，加价后作为售价．售出了60件后，剩下的40件按售价打对折售完，结果盈利6000元． （1）这批衣服每件的进价为多少元？ （2）售完全部衣服后，店主将购进这批衣服的货款（不包括盈利部分）存入银行，存期一年，得到的利息为1500元，那么银行一年定期的利率为多少？ 【分析】（1）设这批衣服每件的进价为元，则原售价是元，根据售出了60件后，剩下的40件按售价打对折售完，结果盈利6000元列方程，即可求得答案； （2）设银行一年定期的利率为，根据得到的利息为1500元，可列方程求得答案． 【解答】解：（1）设这批衣服每件的进价为元，则原售价是元，根据题意得： ， 解得． 答：这批衣服每件的进价为500元； （2）这项储蓄的年利率是，根据题意得： ， 解得， 答：这项储蓄的年利率是． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列一元一次方程． 19．（2024春•闵行区期中）阅读下面材料并回答问题：点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，；当、两点都不在原点时， （1）如图②，点、都在原点的右边，； （2）如图③，点、都在原点左边，； （3）如图④，点、在原点的两边，； 综上，数轴上、两点之间的距离． （1）回答问题：数轴上表示和的两点之间的距离是　5　． （2）若数轴上表示和的两点分别是点、，，那么　　． （3）若数轴上点表示数，点表示数7，动点、分别同时从点、点出发沿着数轴正方向移动，点的移动速度是每秒3个单位长度，点的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点追上点？②运动几秒后，、两点相距3个单位长度？ 【分析】（1）由点，表示的数结合，即可求出，两点间的距离； （2）根据解方程，即可得到的值； （3）①设运动秒时，点追上点，由点，重合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设运动秒时，，两点相距3个单位长度，分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况考虑，由，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）点表示的数为，点表示的数为， ． 故答案为：5； （2）当时，， 解得或； 故答案为：3或； （3）①设运动秒时，点追上点， 根据题意得：， 解得：． 答：运动8秒后，点追上点． ②设运动秒时，，两点相距3个单位长度． 当点在点左侧时，， 解得：； 当点在点右侧时，， 解得：． 答：运动5或11秒后，，两点相距3个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出的值；（2）根据点表示的数速度时间出发点表示的数，找出结论；（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②分点在点的左侧及点在点的右侧两种情况，找出关于的一元一次方程． 20．（2024春•黄浦区期中）五一小长假，小明、小杰等同学随家长一同到公园游玩，下面是购买门票时小明与他爸爸的对话（如图所示），试根据图中的信息，解答下列问题： （1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小明算一算，怎样购买门票最省钱，最多能省多少元？ 【分析】（1）设小明他们一共去了个成人，则个学生，根据共需525元列方程求解； （2）只需计算购买16人的团体票和2张学生票的钱数，再与525进行比较即可求解． 【解答】解：（1）设小明他们一共去了个成人，则个学生，依题意有 ， 解得：， 则． 故小明他们一共去了12个成人，6个学生； （2）购买16人的团体票和2张学生票，共需费用： （元， ， （元． 答：购买16人的团体票和2张学生票最省钱，最多能省154元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总价单价数量结合成人票及学生票的价格，列出关于的一元一次方程；（2）求出购买16人的团体票和2张学生票的钱数． 21．（2023春•普陀区期中）甲，乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求： （1）若两车同时相向而行，货车在路上耽误了半小时，多长时间可以相遇？ （2）若两车相向而行，同时出发，多长时间两车相距54千米？ 【分析】（1）设经过小时可以相遇，根据相遇时，两车路程和等于总路程，即可列出方程求解； （2）设经过小时两车相距54千米，根据相距54千米时，两车路程和为千米，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设经过小时可以相遇， ， 解得：， 答：经过小时可以相遇． （2）设经过小时两车相距54千米， ， 解得：， 答：经过1小时两车相距54千米． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解即可． 22．（2023春•普陀区期中）某市的出租车计价规格如下： 路程 计价标准 不超过3千米 起步价13元（加收燃油税1元） 超过3千米，而不超过10千米 每千米2.4元 超过10千米 每千米3.6元 某天王老师去小杰家家访，坐出租车付了38元，王老师共乘坐了多少路程？（不计等候费） 【分析】根据出租车计价规格可知，王老师去小杰家家访，坐出租车付了38元，由于，则王老师乘坐的路程一定超过10千米，从而由问题设出王老师乘坐的路程为千米，列一元一次方程求解即可得到答案． 【解答】解：（千米）， 根据题意分析可知王老师的此次行程超过10千米， 设王老师共乘坐的路程为千米，则， 解得， 答：王老师去小杰家家访，坐出租车付了38元，王老师共乘坐的路程为12千米． 【点评】本题考查一元一次方程解决实际应用题，读懂题意，准确得到王老师路费对应的路程段，列出方程是解决问题的关键． 23．（2023春•普陀区期中）一件商品受季节影响准备打折出售，如果按标价的七五折出售，每件将赔30元，如果按标价的九折出售，每件将赚30元，求这件商品的标价是多少元？ 【分析】设这种商品的标价是元，根据成本售价利润，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．设这种商品的标价是元，根据成本售价利润，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设这种商品的标价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：这种商品的标价是400元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 24．（2024春•浦东新区校级期中）如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数． （1）的值为 　　，的值为 　　； （2）动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为． ①若点，在点处相遇，求的值； ②若点的运动速度是点的2倍，当点，之间的距离为2时，求此时的值． 【分析】（1）根据、两点间的距离为12且、两点表示的数互为相反数即可求，；再根据绝对值为非负数求出，从而得出结论； （2）①根据相遇时走的路程是4，根据速度时间路程列方程求出的值； ②根据点，的路程之差的绝对值等于2列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）， ， ，，互为相反数， ，， ， 故答案为：，； （2）①点的速度是每秒1个单位长度，点，在点处相遇，， 点从点运动到点所用时间为12秒， ， ， 解得； ②设运动时间为秒， 根据题意：， 解得或， 或， 或． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，进行分类讨论是解题的关键． 25．（2022春•崇明区校级期中）“无体育，不巴蜀”，在即将开始的中考体育测试中，初三学生正在全力以赴做最后的冲刺训练．若年级所有班级中人数最少的有61人，最多的有77人，在一次体育测试中，某班男生的平均分比女生多了0.25分，小莹抱怨道：“我们女生就是15分的小佳拖了后腿，要是没有她，我们女生的平均分会比男生还多1分．”小峰反驳说：“我们男生要是不算得了9分的小友，平均分也会再多1分．”班长小伟听到他们的对话后说：“让我们一起帮助他们，如果小佳和小友的体育成绩都能提高到 　50　分，那么男生和女生的平均分就一样了．” 【分析】设该班女生有人，男生有人，女生的平均分为分，则男生的平均分为分，根据小莹、小峰及小伟的言论，即可得出关于，，的方程组，由①②变形后代入③可得⑥，分别将⑥代入①②可得出，，结合为正整数且，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再由为正整数且为5的倍数，即可求出的值． 【解答】解：设小佳和小友的体育成绩都能提高到分，那么男生和女生的平均分就一样了，该班女生有人，男生有人，女生的平均分为分，则男生的平均分为分， 依题意，得：， 由①，得：④； 由②，得：⑤． 将④⑤代入③，得：， ， ， ⑥． 将⑥代入①，得：， ； 将⑥代入②，得：， ． 为正整数， ，为5的倍数， ， ， 解得， 为正整数，且为5的倍数， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据班级人数的要求，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 26．（2024春•杨浦区期中）超市规定娃哈哈矿泉水的销售方式如下： 购买矿泉水的数量 不超过30瓶 30瓶以上但是不超过50瓶 50瓶以上 每瓶价格 3元 2.6元 2元 集团举办运动会时，六（2）班集体购买娃哈哈矿泉水，由于天气炎热，第一次购买的水不够喝，又买了一次（第二次多于第一次），已知两次共购买70瓶，共付192元． （1）如果六（2）班集体第一次直接购买70瓶，可以少付多少钱？ （2）问六（2）班第一次和第二次分别购买多少瓶水？ 【分析】（1）先计算出第一次直接购买70瓶需要的钱数，再用192减去计算出的结果，即可得出答案； （2）根据题意，可以计算出第一次肯定没超过30瓶，第二次购买的瓶数没超过50瓶，设第一次购买瓶水，可列：，求解即可． 【解答】解：（1）第一次直接购买70瓶，70瓶瓶， （元，（元， 答：第一次直接购买70瓶，可以少付52元． （2）（元，194元元， 说明第一次肯定没超过30瓶， 又（元，190元元， 说明第二次购买的瓶数没超过50瓶， 设第一次购买瓶水， 可列：， 解得：， 第二次购买：（瓶， 答：第一次购买25瓶水，第二次购买45瓶水． 【点评】本题考查的是一元一次方程的应用，根据题意正确列方程并求解是解题的关键． 五．二元一次方程的定义（共2小题） 27．（2024春•崇明区期中）下列各式中，是二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即得答案． 【解答】解：．是二元一次方程，符合题意； ．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； ．，含未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意； ．，是一元一次方程，不是二元一次方程，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程的定义．含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程． 28．（2022春•嘉定区校级期中）若是关于，的二元一次方程，则的值是 　15　． 【分析】利用二元一次方程的定义解答即可． 【解答】解：是关于，的二元一次方程， ，， 解得，， 则． 故答案为：15． 【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 六．解二元一次方程（共2小题） 29．（2022春•徐汇区校级期末）方程的正整数解为　，　或　　． 【分析】由题意求方程的解且要使，都是正整数，将方程移项，再把和互相表示出来，在由题意要求，，根据以上两个条件可夹出合适的值从而代入方程得到相应的值． 【解答】解：由已知方程，移项得， ，都是正整数，则有，又， ，又为正整数，根据以上条件可知，合适的值只能是、2， 代入方程得相应、1， 方程的正整数解为，；，． 【点评】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 30．（2023春•浦东新区期末）二元一次方程的正整数解是 　　． 【分析】把看作已知数求出，即可确定出方程的正整数解． 【解答】解：方程， 解得：， 当时，， 二元一次方程的正整数解是， 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 七．解二元一次方程组（共2小题） 31．（2024春•崇明区期中）解二元一次方程组：． 【分析】应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【解答】解：， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． 32．（2023春•杨浦区期末）解方程组：； 【分析】利用代入法，将方程①化为代入方程②可求出的值，再代入可求出的值即可． 【解答】解：由①得，③， 把③代入②得，， 解得， 把代入③得，， 所以方程组的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法是正确解答的关键． 八．二元一次方程组的应用（共5小题） 33．（2024春•闵行区期中）六年级学生若干人报名参加课外活动小组，男女生人数之比为，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时男生与女生各有多少人？ 【分析】设最初报名时女生有人，男生有人，由题意：男女生人数之比为，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【解答】解：设最初报名时女生有人，男生有人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 34．（2023春•宝山区期末）某兴趣小组进行活动，每个男生都头戴蓝色帽子，每个女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色帽子的人数比戴蓝色帽子的人数的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝色帽子的人数是戴红色帽子的人数的，问该兴趣小组男生、女生各有多少人？ 【分析】设该兴趣小组有男生人、女生人，根据题意的两个等量关系得出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设该兴趣小组有男生人、女生人， 由题意可得：， 解得：， 经检验符合实际， 答：该兴趣小组有男生7人、女生11人． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，解答本题的关键是仔细审题，列出相应的方程组． 35．（2023春•浦东新区期末）宁波杨梅季，某杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售，打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若这批杨梅全部售完，销售总收入为16760元，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮？ （2）若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，销售总收入为16760元，求的值． 【分析】（1）设圆篮篮，方篮篮，由题意得到关于、的二元一次方程组，解之即可； （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的大致范围以及为9的倍数，从而得到的值． 【解答】解：（1）设圆篮篮，方篮篮，由题意可得： ， 解之可得： ， 经检验，是原方程组的解． 答：圆篮共包装了44篮，方篮共包装了36篮； （2）设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，则 ， 解之可得 ， 为正整数， ，且应为9的倍数， 解得：， 又， 的值为9或18． 答：的值为9或18． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． 36．（2019春•虹口区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　64　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组． 37．（2021春•浦东新区期末）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房间，房客人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性订客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房间，房客人； 根据题意得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费钱； 若一次性订客房18间，则需付费钱钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 九．解三元一次方程组（共4小题） 38．（2023春•杨浦区期末）解方程组：． 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ②③得： ④， ④得： ⑤， ⑤①得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：， 把，代入②得： ， 解得：， 原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 39．（2023春•嘉定区期末）解三元一次方程组：． 【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ③①得： ④， ②④得： ， 把代入②中， ， 解得：， 把，代入①中， ， 解得：， 原方程组的解为：． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 40．（2023春•长宁区期末）解方程组：． 【分析】由①②和①③可消去，再组成二元一次方程，求解即可． 【解答】解： 在方程组中， ①②可得④， ①③可得，解得， 把代入④可得， 把、代入①可得， 原方程组的解为． 【点评】本题主要考查三元一次方程组的解法，解方程组即“转化”，化高次为低次，注意消元的方法． 41．（2023春•浦东新区期末）解方程组． 【分析】②③求出④，④①能求出，把代入①能求出，把，代入②求出即可． 【解答】解：②③得：， 即④， ④①得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 【点评】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 一十．不等式的性质（共4小题） 42．（2024春•杨浦区校级期中）某农户买黄金瓜，第一天上午买了45斤，价格为每斤元，下午他又买了35斤，价格为每斤元．第二天他以每斤元的价格卖完了80斤，结果同第一天比发现自己亏了．其原因是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，可得买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价，然后根据单价总价数量，用第一天买黄金瓜花的钱除以购买的斤数，求出买黄瓜每斤的平均价是多少，再根据买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价，应用不等式的性质，判断出、的关系即可． 【解答】解：根据题意，可得 买黄瓜每斤的平均价卖黄瓜每斤的平均价， ， ， ， ， 整理，可得 ． 故选：． 【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 43．（2024春•松江区期中）已知，则下列四个不等式不一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质逐一分析判断即可． 【解答】解：．当时，，故此选项符合题意； ．不等式的两边同时除以一个正数，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意； ．不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，即，故此选项不符合题意； ．不等式的两边同时加上5，不等号的方向不变，即，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 44．（2024春•杨浦区期中）当满足条件 　　时，由关于的不等式可得． 【分析】先将不等式整理得，再根据该不等式的解集为得，由此可得出答案． 【解答】解：， ， 又该不等式的解集为， ， ， 即当时，由关于的不等式可得． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式，理解不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解决问题的关键． 45．（2024春•杨浦区期中）用不等号填空，若，则 　　（填“”或“” ． 【分析】根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 一十一．一元一次不等式的定义（共2小题） 46．（2024春•普陀区期中）下列不等式中属于一元一次不等式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【解答】解：、含有一个未知数，次数为1，不等式两边是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意； 、，含有一个未知数，但未知数的最高次数是5，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、，含有两个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 、，没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，理解一元一次不等式的定义是解题的关键． 47．（2022春•普陀区校级期中）下列不等式中，是一元一次不等式的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【解答】解：、该不等式符合一元一次不等式的定义，故此选项不符合题意； 、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 、未知数的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项符合题意； 、该不等式中含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义．一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 一十二．解一元一次不等式（共4小题） 48．（2023春•普陀区校级期中）不等式的解集是 　　． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 49．（2023春•普陀区校级期中）解不等式：． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 50．（2024春•杨浦区校级期中）已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及的符号，从而解不等式． 【解答】解：移项，得：， 根据题意得：且， 即， 则，即，， 又，即， 则且， 则不等式的解集是：，即． 【点评】本题考查了不等式的解法，正确确定的符号是关键． 51．（2024春•崇明区期中）解不等式：，并将解集表示在数轴上． 【分析】去括号，再移项、合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化1，得， 将不等式的解集在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 一十三．一元一次不等式的整数解（共3小题） 52．（2023春•长宁区期末）已知不等式的正整数解是1，2，3，4，那么的取值范围是 　　． 【分析】先解一元一次不等式，可得，然后根据题意可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， 不等式的正整数解是1，2，3，4， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 53．（2023春•普陀区校级期中）已知不等式，求满足不等式的最大整数解． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 该不等式的最大整数解为：10． 【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 54．（2024春•杨浦区期中）已知关于的方程的解也是关于的方程的解． （1）求、的值； （2）求出关于的不等式的最大整数解． 【分析】（1）根据同解方程，可得两个方程的解相同，根据第一个方程的解，可求出第二个方程中的； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解；（1）， ， ， 把代入方程， ， ； （2）由（1）可知不等式为， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 不等式的最大整数解为4． 【点评】本题考查了同解方程，一元一次不等式的整数解，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 一十四．一元一次不等式的应用（共2小题） 55．（2023春•宝山区校级期中）在一次知识竞赛预赛中共有20道题．规定答对一道得10分，答错或者不答倒扣5分，总得分不少于80分者通过预赛．小李同学通过了预赛，问他至少答对了几道题？ 【分析】设答对道，根据总得分不少于80分，列出不等式，解之即可． 【解答】解：设答对道，则答错或不答的题目就有道， 由题意可得：， 解得：， 他至少答对了12道题． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的运用，解答本题的关键是根据题意列出不等式． 56．（2021春•青浦区校级期末）上海东平国家森林公园和明珠湖公园的联票的普通成人票是每张120元，30人以上（含30人）的团体票可享受八折优惠．现有28名大学生相约去这些景点旅游，景点售票点同意他们享受团体优惠，但必须按30人购买团体票． （1）他们购买团体票比购买普通票便宜吗？请说明理由． （2）若买团体票的人数不足30人时，则至少有多少人才可买30人的团体票比买普通票便宜？ 【分析】（1）依题意算出不购买团体票的花费及购买团体票的花费，比较一下即可； （2）先由题意找出不等关系列出方程为：，解出即可解决问题． 【解答】解：（1）他们购买团体票比购买普通票便宜．理由如下： 因为不购买团体票需花费：（元， 购买团体票需花费：（元， 2880元元， 故他们购买团体票比购买普通票便宜． （2）设去这些景点旅游的人数为人， 则有， 解得， 则结合题意可知最小值为25， 故若买团体票的人数不足30人时，则至少有25人才可买30人的团体票比买普通票便宜． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是弄清题意找出题中的等量关系从而解决问题． 一十五．解一元一次不等式组（共2小题） 57．（2024春•浦东新区校级期中）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【解答】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 58．（2024春•杨浦区校级期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，原不等式组组的解为， 在数轴上表述如图所示： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 一十六．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 59．（2024春•杨浦区期中）求不等式组的整数解． 【分析】首先求出不等式的解集，再求出不等式的解集，进而得原不等式组的解集为：，由此可得原不等式组的整数解． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集为：， 整数，，，，，0，1，2，3． 原不等式组的整数解为：，，，，，0，1，2，3． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法与机器哦啊是解决问题的关键． 60．（2023春•普陀区期末）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的整数解． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后再在数轴上表示出其解集，最后再写出该不等式组的整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下所示， ， 该不等式组的整数解是，，0，1，2． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解不等式的方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$