1.2.2 空间向量基本定理(2) 课时练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．2.2　空间向量基本定理(2) 一、 单项选择题 1 (2023菏泽鄄城一中阶段练习)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c).若m∥n，则x＋y等于(　　) A. 0 B. －6 C. 6 D. 5 2 (2023天津河东统考)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 有以下命题：①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面；③已知{a，b，c}是空间的一个基底，则{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底. 其中正确的命题是(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4 在棱长均为3的三棱锥S-ABC中，若空间一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为(　　) A. B. C. D. 1 5 在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足 ＝x＋y－(x＋y－1)，点N满足＝λ＋(1－λ)，当AM，BN最短时，·的值为(　　) A. － B. C. － D. 6 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果＝＋7＋6－4，那么点M必(　　) A. 在平面BAD1内 B. 在平面BA1D内 C. 在平面BA1D1内 D. 在平面AB1C1内 二、 多项选择题 7 下列关于空间向量的命题中，正确的是(　　) A. 三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B. 不相等的两个空间向量的模可能相等 C. 模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D. 若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 8 已知空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论中正确的是(　　) A. 向量i＋j＋k的模是3 B. {i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底 C. 向量i＋j＋k和k夹角的余弦值是 D. 向量i＋j与k－j共线 三、 填空题 9 如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝60°，M为BC′与B′C的交点，则AM的长为________． 10 如图，已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线BD1和AC所成角的余弦值为________． 11 在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量 ＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________． 四、 解答题 12 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设＝a，＝b，＝c. (1) 求证：EG⊥AB； (2) 求异面直线AG和CE所成角的余弦值． 13 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1，求证：CA1⊥平面C1BD. 【答案与解析】 1．2.2　空间向量基本定理(2) 1. C　因为向量n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)＝(x＋4)a＋(y－x)b＋(－y＋4)c，m＝2a＋3b－c，且m∥n，所以n＝λm，则解得λ＝2，x＝0，y＝6，所以x＋y＝6. 2. A　由EC＝2PE，得＝，所以＝＋＝－＋＝－＋＝－(－)＋(－)＝－＋.又＝x＋y＋z，且，，不共面，所以x＝1，y＝－，z＝，所以x＋y＋z＝1. 3. C　对于①，如果a，b中有一个向量为零向量，a，b共线但与任何向量不能构成空间的一个基底，故①不正确；对于②，O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点O，A，B，C一定共面，故②正确；对于③，因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以{a＋b，a－b，－c}也是空间的一个基底，因为三个向量为非零向量且不共面，故③正确．故正确的命题是②③. 4. A　由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，得P，A，B，C四点共面，则||的最小值为三棱锥的高．设点O为点S在平面ABC上的射影．由题意，得三棱锥S-ABC为正四面体．如图，连接CO并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，CO＝，所以||min＝SO＝＝. 5. A　由题意，得M∈平面BCD，N∈直线AC.当AM，BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，所以M为△BCD的中心，N为AC的中点．连接MC，则MC＝.在Rt△AMC中，AM＝＝.又＝(＋)，所以·＝(·＋·)＝－||2＝－. 6. C　由题意，得＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4.因为11－6－4＝1，所以M，B，A1，D1四点共面，所以点M必在平面BA1D1内． 7. AB　因为三个非零向量能构成空间的一个基底，故三个向量不共面，故A正确；向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；由a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ·μ≠0)可知，c与a，b共面，所以{a，b，c}不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB. 8. BC　对于A，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，且i·j＝0，i·k＝0，j·k＝0，则|i＋j＋k|＝＝＝，所以向量i＋j＋k的模是，故A错误；对于B，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以i，j，k不共面，且向量i＋j，i－j均与i，j共面，所以i＋j，i－j与k不共面，则{i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设i＋j＋k与k的夹角为α，则cos α＝＝＝＝，所以向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为|i＋j|＝＝＝，同理可得|k－j|＝，则cos 〈i＋j，k－j〉＝＝－，所以向量i＋j与k－j不共线，故D错误．故选BC. 9. 　设{，，}为空间的一个基底，则＝＋(＋)，所以||2＝[＋(＋)]2＝||2＋·＋·＋(＋)2＝11，故AM＝. 10. 　因为，，两两不共线，所以{，，}可以作为空间的一个基底．由题意，得||＝a，||＝a，||＝b，〈，〉＝90°，〈，〉＝120°，〈，〉＝120°.又＝＋－，＝＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝a2＋b2＋a2＋2ab cos 120°－0－2ab cos 120°＝2a2＋b2，||2＝||2＋||2＋2·＝2a2，所以||＝，||＝a.又·＝(＋－)·(＋)＝·＋||2＋·＋·－||2－·＝0＋a2＋ab cos 120°＋ab cos 120°－a2－0＝－ab，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BD1和AC所成角的余弦值为. 11. a＋b－c　　由题意，得＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c.＝－＝a－b.设正四面体的棱长为1，则a·b＝a·c＝b·c＝.设异面直线DM与CN所成的角为θ，则cos θ＝＝＝＝＝. 12. (1) 连接FG. 由题意，得EF＝FG＝，＝＋＝＋＝(－)＋＝－a＋b＋c， 则·＝·a＝－a2＋a·b＋a·c＝－＋×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝0， 故⊥，即EG⊥AB. (2) 由题意，得△ABC，△ACD，△ABD均为边长为1的等边三角形， 所以AG＝EC＝，＝(b＋c)，＝(＋)＝(－＋)＝b－a， 所以·＝(b＋c)· ＝b2－a·b＋c·b－a·c ＝－cos 60°＋cos 60°－cos 60° ＝－＋－＝. 设异面直线AG和CE所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝＝＝. 13. 设CD＝a. 因为＝＋＋，＝－，＝－， 所以·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0， 所以⊥，即BD⊥CA1. 又·＝(－)·(＋＋)＝||2＋·＋·－·－·－·＝a2＋a2＋a2－a2－a2－a2＝0， 所以⊥，即C1D⊥CA1. 因为BD∩C1D＝D，BD⊂平面C1BD，C1D⊂平面C1BD， 所以CA1⊥平面C1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$