1.1.2 空间向量的数量积运算课时练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．1.2　空间向量的数量积运算 一、 单项选择题 1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)　　　　　　　　　　　 A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2 已知a，b是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是(　　) A. (a·b)2＝a2·b2 B. (a＋b)2＝a2＋b2 C. (λa)2＝λ2a2 D. ＝a 3 (2023沈阳十五中阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则下列结论中正确的是(　　) A. (＋)·＝1 B. (＋)·＝ C. ·＝－ D. ·＝ 4 (2023石家庄二中期中)如图，二面角α-l-β等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD等于(　　) A. 2 B. 2 C. D. 5 如图，正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为棱AD，BC的中点，则·的值为(　　) A. 4 B. －4 C. －2 D. 2 (第5题) 6 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论中不正确的是(　　) A. 平面D1A1P⊥平面A1AP B. ·不是定值 C. 三棱锥B1-D1PC的体积为定值　　 (第6题) D. DC1⊥D1P 二、 多项选择题 7 若a，b，c是空间任意三个向量，λ∈R，则下列关系中不一定成立的是(　　) A. |a＋b|＝|b－a| B. (a＋b)·c＝a·(b＋c) C. λ(a＋b)＝λa＋λb D. b＝λa 8 (2023沈阳联考)已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝2，＝2，则下列说法中正确的是(　　) A. ·＝1 B. ·(＋)＝－ C. ||＝ D. cos 〈，〉＝ 三、 填空题 9 已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________． 10 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝4，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AB⊥AD，E为CC1的中点，则||＝________． 11 (2023湖南联考)已知向量a，b夹角的余弦值为，且|a|＝2，|b|＝4，则a·(b－a)＝________． 四、 解答题 12 (2023贵州联考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为B1C1和AB的中点，设＝a，＝b，＝c. (1) 用a，b，c表示向量； (2) 若||＝||＝||＝1，∠A1AB＝∠BAC＝60°，∠A1AC＝90°，求·的值． 13 已知向量a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量r＝a＋b＋c的长度和r与a，b，c的夹角的余弦值. 【答案与解析】 1．1.2　空间向量的数量积运算 1. A　与的夹角为45°，与的夹角为135°，与的夹角为90°，与的夹角为180°. 2. C　设向量a，b的夹角为θ，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2·cos 2θ，故A错误；(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，故B错误；(λa)2＝λ2a2，故C正确；＝＝|a|cos θ，故D错误． 3. C　对于A，因为PD⊥底面ABCD，DA⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DA，PD⊥DC，所以(＋)·＝·＋·＝0，故A错误；对于B，因为四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.又AD＝AB＝1，所以△ADB为等边三角形，所以DB＝1，所以·＝－·＝－||·||cos 60°＝－，(＋)·＝·＋·＝·＝－，故B错误；对于C，·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－||·||cos 120°－0＋0－1＝－1＝－，故C正确；对于D，·＝·(－)＝·－·＝0－||·||cos 60°＝－，故D错误． 4. C　由已知，二面角α-l-β等于150°，即〈，〉＝150°.因为＝－＝＋－，所以||2＝(＋－)2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝4＋3＋4＋0－0－2×2××＝17，所以CD＝. 5. C　因为＝＋＋＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·－||2＋·＝×22×cos 60°－22＋×22×cos 60°＝－2. 6. B　对于A，易知D1A1⊥平面A1AP.因为D1A1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；对于B，·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 90°＝1××＝1，故B不正确；对于C，因为A1B∥平面B1D1C，P是线段A1B上的动点，所以点P到平面B1D1C的距离是定值．又因为△B1D1C的面积是定值，所以VB1-D1PC＝VP-B1D1C是定值，故C正确；对于D，因为DC1⊥A1D1，DC1⊥A1B，A1D1∩A1B＝A1，A1D1⊂平面A1D1B，A1B⊂平面A1D1B，所以DC1⊥平面A1D1B.又D1P⊂平面A1D1B，所以DC1⊥D1P，故D正确． 7. ABD　对于A，若|a＋b|2＝|b－a|2，则a·b＝0，所以当a⊥b时，|a＋b|＝|b－a|，故A不一定成立；对于B，利用分配律，得a·c＋b·c＝a·b＋a·c，易知不一定成立；对于C，利用分配律可得λ(a＋b)＝λa＋λb，故一定成立；对于D，两向量不一定共线，故D不一定成立．故选ABD. 8. BC　由单位向量，，两两夹角之间的均为60°，得·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，故A错误；·(＋)＝·(－＋－)＝·(2－－)＝1－－1＝－，故B正确；由＝2，得＝.由＝2，得－＝2－2，即＝，所以＝－＝，则||＝＝＝×＝，故C正确；＝－＝，所以·＝－＝－＝－，故cos 〈，〉<0，故D错误．故选BC. 9. 60°　由题意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减，得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，故〈a，b〉＝60°. 10. 6　设＝a，＝b，＝c.因为a·b＝0，a·c＝8，b·c＝4，所以||2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋a·c＋b·c＝36，解得||＝6. 11. －2　由题意，得a·b＝2×4×＝2，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝2－22＝－2. 12. (1) ＝＋＋＝－(＋)－＋＝－b－c. (2) ·＝·(b－a) ＝－b2－b·c＋b·a＋a·c ＝－－0＋×1×1×＋1×1×＝. 13. |r|2＝|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c. 因为向量a，b，c两两垂直， 所以2a·b＋2a·c＋2b·c＝0， 所以|r|2＝14，即r＝a＋b＋c的长度为. 又r·a＝(a＋b＋c)·a＝|a|2＝1， r·b＝(a＋b＋c)·b＝|b|2＝4， r·c＝(a＋b＋c)·c＝|c|2＝9， 所以cos 〈r，a〉＝＝＝， cos 〈r，b〉＝＝＝， cos 〈r，c〉＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$