第二十八章 锐角三角函数 复习试题 2023—2024学年人教版数学九年级下册

人教版数学2023-2024学年度九年级下 第二十八章《锐角三角函数》复习试题 一．选择题（共10小题） 1．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若AB的长度为米，则斜坡CD的长度为（　　） A．6米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 3．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的度数是（　　） A．45度 B．60度 C．75度 D．105度 4．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（　　） A．70° B．60° C．50° D．30° 5．河堤横断面如图所示，堤高BC＝4米，迎水坡AB的坡比是1：，则AC的长是（　　） A．4米 B．8米 C．10米 D．8米 6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　） A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝ 7．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知sina＞，那么锐角a的取值范围是（　　） A．60°＜a＜90° B．0°＜a＜60° C．45°＜a＜90° D．0°＜a＜30° 9．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物CD的高度，如图，建筑物CD前有一段坡度为i＝1：2的斜坡BE，小明同学站在山坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37°，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这是测到建筑物屋顶C的仰角为45°，A、B、C、D、E、F在同一平面内，若测角仪的高度AB＝EF＝1.5米，则建筑物CD的高度约为（　　）米．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米 10．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF＝，则△AEF的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共8小题） 11．“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC＝30，BD＝20，那么AB＝　 　． 12．如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB＝4米），遮阳篷的宽度AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地面上的阴影宽度BD为 　 　米． 13．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝6，求AB的长为　 　． 14．已知α为锐角．若，则α＝　 　°． 15．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是 　 　． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是 　 　． 17．如图，tan∠MON＝，点A1在射线OM上，OA1＝1，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，延长A1B1至点C1，使B1C1＝A1B1，过点C1作C1B2∥OM交射线ON于点B2，过点B2作B2A2⊥OM交射线OM于点A2，得四边形A1C1B2A2；延长A2B2至点C2，使B2C2＝A2B2，过点C2作C2B3∥OM交射线ON于点B3，过点B3作B3A3⊥OM交射线OM于点A3，得四边形A2C2B3A3；延长A3B3至点C3，使B3C3＝A3B3，过点C3作C3B4∥OM交射线ON于点B4，过点B4作B4A4⊥OM交射线OM于点A4，得四边形A3C3B4A4；…，以此类推，得四边形An∁nBn+1An+1；再连接C1A3，C2A4，C3A5，…，Cn﹣1An+1，依次交ON于点D1，D2，D3，…，Dn﹣1，得△B1C1D1，△B2C2D2，△B3C3D3，…，△Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1．则△B2023C2023D2023的面积为 　 　． 18．以AB为直径的⊙O上三点A、B、C，作∠BAC的平分线AD交⊙O于D点，如图，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于E点，交AB的延长线于F点，若AB＝4． （1）若∠ADE＝3∠F，则的弧长为 　 　． （2）若DF＝2，则tan∠ADE＝　 　． 三．解答题（共10小题） 19．计算：2sin60°﹣3tan30°+2sin45°﹣． 20．已知∠A为锐角，且cosA＝，求sinA、tanA． 21．为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比＝1：，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°～90°调节． （1）求C到地面DE距离； （2）该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.8，sin50°＝cos40°≈0.76） 22．太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 23．如图，在斜坡PA的坡顶平台处有一座信号塔BC，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，在坡底的点P处测得塔顶B的仰角为45°，已知斜坡长PA＝26m，坡度为1：2.4，点A与点C在同一水平面上，且AC∥PQ，BC⊥AC．请解答以下问题： （1）求坡顶A到地面PQ的距离； （2）求信号塔BC的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00） 24．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，） 25．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，D是的中点，过点D作BC延长线的垂线，垂足为E，AB为⊙O的直径． （1）求证：AD2＝AB•CE； （2）若BC＝6，tan∠A＝2，DC的长＝　 　． 26．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点F在边BC上且sin∠FAC＝，E为AC上一点，且AE：EC＝2：1，EF⊥AF，求tan∠CFE． 27．解三角形： （1）已知△ABC中，AB＝15cm，AC＝24cm，∠A＝60°．求BC的长． （2）已知△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求BC边上的高AD． （3）△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD•DB，求证：△ABC是直角三角形． 28．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）若a＝﹣1时． ①求A、B、C三点的坐标； ②如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过P点作PF∥y轴交BC于F点，若，请求出P点坐标； （2）如图2，将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE，且使得点D落在线段AC上．当OE⊥BC时，请求出a的值和CE的长． 参考答案 一．选择题（共10小题） 1．B． 2．B． 3．D． 4．A． 5．A． 6．C． 7．C． 8．A． 9．D． 10．C． 二．填空题（共8小题） 11．． 12．（2.4﹣）． 13．9+4． 14．60． 15．． 16．． 17．×24042． 18．（1）； （2）． 三．解答题（共10小题） 19．解：原式＝2×﹣3×+2×﹣ ＝ ＝0． 20．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1， ∴sin2A＝， ∴sinA＝或﹣（舍去）， ∴sinA＝， ∵tanA＝， ∴tanA＝＝． 21．解：（1）过C作CG⊥DE于G， ∵踏板CD与地面DE的坡比＝1：，CD＝1.6m， ∴tan∠CDG＝＝， ∴∠CDG＝30°， ∴CG＝CD＝0.8（m）， 即C到地面DE距离为0.8m； （2）①延长GC交AB于F， 则CF⊥AB， ∵该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服， ∴h＝FG＝1.8×0.8＝1.44（m）， 由（1）得：CG＝0.8m， ∴CF＝FG﹣CG＝1.44﹣0.8＝0.64（m）， 即此时点C到手柄AB的距离为0.64m； ②在Rt△ACF中，AC＝0.8m，cos∠ACF＝＝＝0.8， ∴∠ACF≈37°， 由（1）得：∠DCG＝90°﹣∠CDG＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACF﹣∠DCG≈180°﹣37°﹣60°＝83°． 22．解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形， ∴CM＝AG，HF＝EG，HG＝EF， ∵∠BCD＝60°， ∴∠DCM＝30°， 又∵∠CMD＝90°， ∴CM＝CD•cos∠DCM＝米， ∴米， ∴米， ∴DH＝HF•tan∠DFH≈8.2米， ∴DG＝DH+GH＝9.4米， ∴路灯D距地面AE的高度为9.4米． 23．解：（1）如图，过点A作AH⊥PQ，垂足为H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ∴． 设AH＝5k，则PH＝12k， 在Rt△AHP中，由勾股定理，得 ． ∴13k＝26， 解得k＝2． ∴AH＝10（m）． 答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．； （2）如图，延长BC交PQ于点D， 由题意可知四边形AHDC是矩形， ∴CD＝AH＝10m，AC＝DH． ∵∠BPD＝45°，∠BDP＝90°， ∴PD＝BD． ∵PH＝12×2＝24（m）， 设BC＝x，则x+10＝24+DH． ∴AC＝DH＝（x﹣14）m． 在Rt△ABC中，， 即． 解得x≈19（m）． 答：信号塔BC的高度约为19m． 24．解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F， 设EF＝x米， ∵∠CDE＝127°， ∴∠DEF＝127°﹣90°＝37°， 在Rt△EDF中，tan∠DEF＝， 则DF＝EF•tan∠DEF≈x， 由题意得：∠ACB＝∠ECF， ∵∠ABC＝∠EFC＝90°， ∴△ABC∽△EFC， ∴＝，即＝， 解得：x＝22.4， ∴DF＝x＝16.8， ∴DE＝≈＝28（米）， 答：DE的长度约为28米． 25．（1）证明：连接BD． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， ∵DE⊥BE， ∴∠DEC＝90°， ∴∠ADB＝∠DEC， ∴△ABD∽△CDE， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴AD＝CD， ∴， ∴AD2＝AB•CE． （2）解：∵∠ECD＝∠A，tan∠A＝2， ∴tan∠ECD＝＝2， ∴DE＝2CE， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠EDC＝∠ABD＝∠DBC， ∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBD， ∴， ∴ED2＝EC•EB， ∵BC＝6， ∴4CE2＝EC•（EC+6）， 解得CE＝2或CE＝0（舍去）， ∴DE＝4， ∴DC＝＝＝2． 26．解：过点C作CH⊥AF交AF的延长线于H，如图： ∵EF⊥AF，sin∠FAC＝， 在Rt△AEF中，sin∠FAC＝＝， 设EF＝k，AE＝3k， 由勾股定理得：AF＝， ∵EF⊥AF，CH⊥EF， ∴EF∥CH， ∴AF：FH＝AE：EC＝2：1，∠CFE＝∠HCF， ∴k：FH＝2：1， ∴FH＝k， ∴AH＝AF+FH＝3k， ∵EF∥CH， ∴△AEF∽△ACH， ∴AF：AH＝EF：CH， ∴2k：3k＝k：CH， ∴CH＝1.5k， 在Rt△CFH中，tan∠HCF＝＝＝， ∴tan∠CFE＝tan∠HCF＝． 27．解：（1）如图：∵∠A＝60°，AC＝24cm， ∴BC＝AC•sin60°＝24×＝12； （2）∵AB＝13，BC＝14，AC＝15， ∴AB+BC+CA＝13+14+15＝42， ∴S＝ ＝84， ∴BC•AD＝84， 即×14•AD＝84， AD＝＝12． （3）如图：∵CD2＝AD•DB， ∴， 又∵CD⊥AB于D， ∴△ADC∽△CDB， ∴∠A＝∠DCB，∠ACD＝∠CBD， ∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 28．解：（1）①当a＝﹣1时， ∴y＝﹣x2+3x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点C（0，4）， 当y＝﹣x2+3x+4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A（﹣1，0），点B（4，0）； ②∵＝，且OC＝4， ∴PF＝3， ∵点B（4，0），点C（0，4）， ∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4， 设点P（m，﹣m2+3m+4），点F（m，﹣m+4）， ∴PF＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝3， ∴m1＝1，m2＝3， ∴点P1（1，6），P2（3，4）； （2）如图2，过点O作HO⊥AD于H， 当y＝ax2﹣3ax﹣4a＝0时， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A（﹣1，0），点B（4，0）； ∵将△AOC绕原点O顺时针旋转得△DOE， ∴OA＝OD，∠DOE＝∠AOC＝90°， ∵OE⊥BC， ∴OD∥BC， ∴∠DAO＝∠ADO＝∠ACB， ∴BA＝BC＝5， ∴OC＝＝＝3，AC＝＝＝， ∴OC＝﹣4a＝3， ∴a＝﹣， ∵cos∠OAC＝， ∴， ∴AH＝DH＝， ∴AD＝， ∵，∠AOD＝∠COE， ∴△AOD∽△COE， ∴＝， ∴CE＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 22:03:08；用户：李红；邮箱：13704675964；学号：20705407 学科网（北京）股份有限公司 $$