第一章 勾股定理 综合素质评价卷 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第一章 综合素质评价卷 时间:90分钟 满分:120分 一、选择题(每题3分,共30分) 1.在 ABC中,∠C=90 ,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a2=5,b2=12,则c2的值为( ) A.13 B.17 C.7 D.169 2. (2024重庆江津区期末) 已知 ABC的三边分别是a,b,c,下列条件中不能判断 ABC为直角三角形的是( ) A.a2+b2=c2 B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C.∠A=∠C-∠B D.a=8,b=15,c=17 3. (教材P7习题T2变式) 历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形,其中两个全等直角三角形的边AE,EB在一条直线上,验证勾股定理用到的面积相等的关系式是( ) A.S EDA=S CEB B.S EDA+S CEB=S CDE C.S四边形CDAE=S四边形CDEB D.S EDA+S CDE+S CEB=S四边形ABCD 4.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则 BFE周长的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 5. (2023日照) 已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定 6.(2023天津) 如图,在 ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( ) A.9 B.8 C.7 D.6 7.(2023泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 8. (新考向 数学文化)《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短.横之不出四尺,纵之不出二尺,斜之适出.问户高、广、斜各几何?译文是:今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺,则可列方程为( ) A.2x2=(x-4)2+(x-2)2 B.x2=(x-4)2+(x-2)2 C.x2=(x-4)2+22 D.x2=42+(x-2)2 9.如图,某超市为了吸引顾客,在超市门口离地高4.5 m的墙上,装有一个由传感器控制的门铃A,人只要移至该门口4 m及4 m以内时,门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.一个身高1.5 m的学生刚走到D处,门铃恰好自动响起,则该学生头顶C到门铃A的距离为( ) (第9题) A.7 m B.6 m C.5 m D.4 m 10.如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4,点D在AB上,AD=AC,AF⊥CD交CD于点E,交CB于点F,则CF的长是( ) A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5 二、填空题(每题3分,共24分) 11.如图,AC⊥CE,AD=BE=13,BC=5,DE=7,那么AC=_. 12.已知a,b,c是 ABC的三边长,且满足关系式(a2-c2-b2)2+=0,则 ABC的形状为_. 13.(2023东营) 一艘船由A港沿北偏东60 方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30 方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为_km. 14.如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离的平方为_. (第14题) 15. 如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 ,AB=4,分别以AC,BC为直径向外作半圆,半圆形的面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值为_. (第15题) (第16题) 16.如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=10,点E为BC上一点,将 ABE沿AE折叠,点B恰好落在线段DE上的点F处,则BE的长为_. 17.(新情境 环境保护) 如图,这是某路口处草坪的一角,当行走路线是A C B时,有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90 ),于是在草坪内走出了一条捷径AB.某学习实践小组通过测量可知,AC的长为6米,BC的长为8米,为了提醒居民爱护草坪,他们想在A,B处设立“踏破青白可惜,多行数步无妨”的提示牌,则提示牌上的“多行数步”是指多行_米. (第17题) 18. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形,重复这一过程所画出来的图形,因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树,按照勾股树的作图原理作图,则第六代勾股树中正方形的个数为_. 三、解答题(每题11分,共66分) 19.(2024合肥蜀山区期末) 如图所示,在每个小正方形的边长为单位1的网格中, ABC是格点图形,求 ABC中AB边上的高. 20.某消防部队进行消防演练.在模拟演练现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12 m,如图,即AD=BC=12 m,此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援.已知消防车的车身高AB是3.8 m,问此消防车的云梯至少应伸长多少米? 21.(新视角 新定义题) 定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=5,MN=13,BN=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由. (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长. 22.(2024开封龙亭区期末) 如图,一工厂位于点C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因从工厂C到取水点A的路受阻,为了取水更方便,工厂新建一个取水点H(点A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=2.5 km,CH=2 km,BH=1.5 km. (1)CH是否为从工厂C到河边最近的一条路(即CH与AB是否垂直)?请说明理由. (2)求AC的长. 23.(教材P15习题T4变式) 如图,长方体的底面(正方形)边长为3 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧面爬行一圈到达点B,求蚂蚁爬行的最短路径有多长. 24.如图,在长方形ABCD中,DC=5 cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把 AED折叠,使点D恰好落在BC边上,设落点为F.若 ABF的面积为30 cm2,求 ADE的面积. 答案 一、1.B 2.B 3.D 4.B 点拨:如图,连接ED交AC于点F. 因为四边形ABCD是正方形, 所以点B与点D关于AC对称. 所以BF=DF.所以 BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时 BFE的周长最小. 根据勾股定理易求得DE=5,所以 BFE的周长最小为DE+BE=5+1=6. 5.C 点拨:因为直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b, 所以该直角三角形的斜边为c,所以c2=a2+b2,即c2-a2-b2=0. 所以S1=c2-a2-b2+b(a+b-c)=ab+b2-bc, 因为S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,所以S1=S2. 6.D 点拨:由题意得MN是AC的垂直平分线,所以AC=2AE=8,DA=DC,所以∠DAC=∠C. 因为BD=CD,所以BD=AD,所以∠B=∠BAD,因为∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180 ,所以2∠BAD+2∠DAC=180 . 所以∠BAD+∠DAC=90 ,即∠BAC=90 . 在Rt ABC中,BC=BD+CD=2AD=10, 所以AB2=BC2-AC2=102-82=62,所以AB=6. 7.C 点拨:因为当m=3,n=1时,a=(m2-n2)= (32-12)=4,b=mn=3 1=3,c=(m2+n2)= (32+12)=5, 所以选项A不符合题意; 因为当m=5,n=1时,a=(m2-n2)= (52-12)=12,b=mn=5 1=5,c=(m2+n2)= (52+12)=13, 所以选项B不符合题意; 因为当m=7,n=1时,a=(m2-n2)= (72-12)=24,b=mn=7 1=7,c=(m2+n2)= (72+12)=25, 所以选项D不符合题意; 因为没有符合条件的m,n使a,b,c各为6,8,10,所以选项C符合题意,故选C. 8.B 9.C 10.A 点拨:如图,连接DF, 在Rt ABC 中,∠ACB=90 ,AC=3,BC=4. 所以AB2=AC2+BC2=32+42=52, 所以AB=5. 因为AD=AC=3,AF⊥CD,所以CE=DE,BD=AB-AD=2,所以CF=DF. 在 ADF 和 ACF 中, 所以 ADF≌ ACF(SSS),所以∠ADF=∠ACF=90 ,所以∠BDF=90 . 设 CF=DF=x,则 BF=4-x. 在Rt BDF 中,由勾股定理得DF2+BD2=BF2, 即 x2+22=(4-x)2,解得x=1.5,所以CF=1.5. 二、11.12 12.等腰直角三角形 13.50 14.2 15.2 16.4 17.4 18.127 点拨:因为第一代勾股树中正方形有1+2=3(个), 第二代勾股树中正方形有1+2+22=7(个), 第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15(个), …… 所以第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127(个). 三、19.解:设AB边上的高为h, 因为AB2=32+42=52, 所以AB=5, 所以 5h= 3 3, 解得h=, 即AB边上的高是. 20.解:由题意知PC=12.8 m,CD=AB=3.8 m, 所以PD=PC-CD=12.8-3.8=9(m). 在Rt ADP中,AP2=AD2+PD2, 所以AP2=122+92. 所以AP=15 m. 故此消防车的云梯至少应伸长15 m. 21.解:(1)是.理由如下:因为AM2+BN2=52+122=169,MN2=132=169, 所以AM2+BN2=MN2. 所以以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形. 故点M,N是线段AB的勾股分割点. (2)设BN=x,则MN=AB-AM-BN=7-x, ①当MN为最长线段时,MN2=AM2+BN2, 即(7-x)2=x2+25,解得x=; ②当BN为最长线段时,BN2=AM2+MN2,即x2=25+(7-x)2,解得x=. 综上所述,BN的长为或. 22.解:(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路. 理由如下:在 CHB中, 因为CH2+BH2=22+1.52=6.25,BC2=2.52=6.25, 所以CH2+BH2=BC2, 所以 CHB是直角三角形,且∠CHB=90 ,所以CH与AB垂直,即CH是从工厂C到河边最近的一条路; (2)设AC=x km,则AB=AC=x km. 因为∠CHB=90 ,所以∠CHA=90 . 在Rt ACH中,AH=(x-1.5)km,CH=2 km, 由勾股定理得AC2=AH2+CH2, 所以x2=(x-1.5)2+22,解这个方程,得x=. 所以AC的长为 km. 23.解:将长方体的侧面展开如图所示,连接AB′. 因为在Rt AA′B′中,AA′=12 cm,A′B′=5 cm, 所以AB′2=AA′2+A′B′2=169. 所以AB′=13 cm. 所以蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm. 24.解:由折叠可知AD=AF,DE=EF. 由S ABF=BF AB=30 cm2,AB=DC=5 cm, 得BF=12 cm. 在Rt ABF中,由勾股定理得AF2=AB2+BF2=52+122=169, 所以AF=13 cm. 所以BC=AD=AF=13 cm. 设DE=x cm,则EC=(5-x)cm,EF=x cm. 在Rt ECF中,FC=13-12=1(cm), 由勾股定理得EC2+FC2=EF2,即(5-x)2+12=x2, 解得x=.所以DE= cm. 所以 ADE的面积为AD DE= 13 =16.9 (cm2). 学科网(北京)股份有限公司 $$