专题03 实数【六大题型】-【好题汇编】备战2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题03 实数【六大题型】 【题型1 算数平方根的非负性】 1．（2023•东城区校级期末）若|x+2|，则xy的值为（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6 2．（2023•海淀区校级期末）已知实数x，y满足，则x﹣y等于（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 3．（2023•西城区校级期末）若y2﹣4y+4＝0，则yx的值为（　　） A．8 B．6 C．5 D．10 4．（2022•石景山区期末）若|x﹣5|0，则x+y＝　 　． 5．（2023•密云区期末）若实数x，y满足，则xy的值为　 　． 6．（2023•海淀区校级期末）若x，y为实数，且|x+2|0，则（x+y）2023的值为　 　． 【题型2 利用平方根与立方根的性质解方程】 7．（2023•大兴区期末）已知9x2+12＝16，求x的值． 8．（2023•海淀区校级期末）已知3既是a+5的平方根，也是7a﹣2b+1的立方根，解关于x的方程a（x﹣2）2﹣9b＝0． 9．（2023•西城区校级期末）求x的值： （1）7x2＝63； （2）． 10．（2023•顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？ 【题型3 实数与数轴】 11．（2023•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（　　） A．﹣π B． C． D． 12．（2023•昌平区校级期末）如图所示，数轴上表示1、的点分别为A、B，点C到点A的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 13．（2023•东城区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 14．（2023•西城区期末）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 　 　． 15．（2023•海淀区校级期末）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 　 　． 16．（2023•海淀区校级期末）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： （1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为　 　； （2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为　 　； （3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点． ①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是　 　； ②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”． 【题型4 实数大小比较】 17．（2023•东城区校级期末）在实数0，，，|﹣2|中，最小的是（　　） A． B． C．0 D．|﹣2| 18．（2023•丰台区期末）请写出一个大于2且小于3的无理数 　 　． 19．（2022•海淀区期末）比较大小： 　 　4（填“＞”，“＜”或“＝”）． 20．（2023•海淀区期末）实数a与b满足． （1）写出a与b的取值范围； （2）已知是有理数． ①当a是正整数时，求b的值； ②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数． 【题型5 估算无理数的大小】 21．（2023•海淀区校级期末）估计1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 22．（2022•延庆区期末）如果n为整数，且nn+1，那么n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（2022•房山区期末）写出一个比大且比小的整数 　 　． 24．（2023•密云区期末）若ab，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 　 　． 25．（2023•西城区校级期末）我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]＝3，，在此规定下解决下列问题： （1）填空：　 　； （2）求的值． 26．（2022•密云区期末）阅读下列材料： ∵， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分为（）． 请你观察上述规律，尝试解决下列问题： 若的小数部分为a，的整数部分为b，则a+b的值为 　 　． 【题型6 实数的运算】 27．（2023•通州区期末）计算：． 28．（2023•海淀区校级期末）对于实数x、y我们定义一种新运算H（x、y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为H（x、y），其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若H（x、y）＝2x+3y，则H（3、1）＝　 　． （2）已知H（1、3）＝9，H（3、1）＝11，请回答问题：m+n＝　 　，m﹣n＝　 　． 29．（2023•门头沟区校级期末）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：i3＝　 　，i4＝　 　； （2）计算：（2+i）2； （3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 30．（2023•海淀区校级期末）阅读材料： 我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）． 例如：4﹣2＝4÷2；33；（）﹣（﹣1）＝（）÷（﹣1）； 则称数对（4，2），（，3），（，﹣1）是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中，“差商等数对”是　 　（填序号）； ①（﹣8.1，﹣9）；②（，）；③（﹣3，﹣6）． （2）如果（x，4）是“差商等数对”，请求出x的值； （3）如果（m，n）是“差商等数对”，那么m＝　 　（用含n的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 实数【六大题型】 【题型1 算数平方根的非负性】 1．（2023•东城区校级期末）若|x+2|，则xy的值为（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．5 D．6 解：∵|x+2|≥0，0， 而|x+2|0， ∴x+2＝0且y﹣3＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6． 答案：B． 2．（2023•海淀区校级期末）已知实数x，y满足，则x﹣y等于（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 解：根据题意得，x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 所以，x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3． 答案：A． 3．（2023•西城区校级期末）若y2﹣4y+4＝0，则yx的值为（　　） A．8 B．6 C．5 D．10 解：根据题意可得： x﹣3＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝3，y＝2， 把x＝3，y＝2代入yx＝8， 答案：A． 4．（2022•石景山区期末）若|x﹣5|0，则x+y＝　2　． 解：∵|x﹣5|0， ∴x﹣5＝0，y+3＝0， 解得：x＝5，y＝﹣3， x+y＝5﹣3＝2． 答案：2． 5．（2023•密云区期末）若实数x，y满足，则xy的值为　2　． 解：根据题意得：， 解得：， 则xy＝2． 答案：2． 6．（2023•海淀区校级期末）若x，y为实数，且|x+2|0，则（x+y）2023的值为　1　． 解：∵|x+2|0， ∴x+2＝0且y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2、y＝3， 则（x+y）2023＝（﹣2+3）2023＝12023＝1， 答案：1． 【题型2 利用平方根与立方根的性质解方程】 7．（2023•大兴区期末）已知9x2+12＝16，求x的值． 解：9x2+12＝16， 9x2＝4， ， ， ． 8．（2023•海淀区校级期末）已知3既是a+5的平方根，也是7a﹣2b+1的立方根，解关于x的方程a（x﹣2）2﹣9b＝0． 解：∵3既是a+5的平方根，也是7a﹣2b+1的立方根， ∴a+5＝32＝9，7a﹣2b+1＝33＝27， ∴a＝4，b＝1， ∴方程为4（x﹣2）2﹣9＝0， ∴4（x﹣2）2＝9， ∴（x﹣2）2， ∴x﹣2＝±， ∴x或． 9．（2023•西城区校级期末）求x的值： （1）7x2＝63； （2）． 解：（1）7x2＝63． x2＝9， x＝±3； （2）， x3＝﹣8， x＝﹣2． 10．（2023•顺义区期末）公园里有一个边长为8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？ 解：设边长应该延长x米，根据题意，得 （x+8）2＝64+80， （x+8）2＝144， ∴x+812（负值舍去）， ∴x＝4， 答：边长应该延长4米． 【题型3 实数与数轴】 11．（2023•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（　　） A．﹣π B． C． D． 解：根据图示，可得：被覆盖的数比3大且比4小， ∵﹣π＜0，23，34，45， ∴被覆盖的数可能为． 答案：C． 12．（2023•昌平区校级期末）如图所示，数轴上表示1、的点分别为A、B，点C到点A的距离与点B到点A的距离相等，则点C所表示的数是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 解：设C所表示的数是x， ∵CA＝BA， ∴1﹣x1， ∴x＝2， 答案：C． 13．（2023•东城区期末）如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 解：∵正方形ABCD的面积是5， ∴AE＝AB， ∵点A表示的数为﹣1， ∴点E表示的数为1， 答案：B． 14．（2023•西城区期末）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 　点P　． 解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， 则表示实数1的点是点P， 答案：点P． 15．（2023•海淀区校级期末）如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，若弧与数轴交点D表示的数为a，则a的平方为 　17﹣4　． 解：∵A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1， ∴AB＝1﹣（﹣2）＝3， ∵BC⊥AB，且BC＝2， ∴AC， ∴AD＝AC， ∴a＝﹣2， ∴a2＝（2）2 ＝13﹣44 ＝17﹣4， 答案：17﹣4． 16．（2023•海淀区校级期末）阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”． 解答下列问题： （1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为　﹣1　； （2）若点A表示的数为﹣3，点A与点B的“平衡点M”表示的数为1，则点B表示的数为　5　； （3）点A表示的数为﹣5，点C，D表示的数分别是﹣3，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CD上一点． ①设点M表示的数为m，若点M可以为点A与点B的“平衡点”，则m的取值范围是　﹣4≤m≤﹣3　； ②当点A以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点C同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．设移动的时间为t（t＞0）秒，求t的取值范围，使得点O可以为点A与点B的“平衡点”． 解：（1）点M表示的数1； 答案：﹣1； （2）点B表示的数＝1×2﹣（﹣3）＝5； 答案：5； （3）①点B表示的数范围﹣3≤B≤﹣1， m的取值范围﹣4≤m≤﹣3； 答案：﹣4≤m≤﹣3； ②点A表示的数为t﹣5；点C表示的数为3t﹣3， 根据题意可知，点O为点A与点B的平衡点， ∴点B表示的数为5﹣t， ∵点B在线段CD上， 当点B与点C相遇时，t＝2， 当点B与点D相遇时，t＝6， ∴2≤t≤6，且t≠5， 综上所述，当2≤t≤6且t≠5时，点O可以为点A与点B的“平衡点”． 【题型4 实数大小比较】 17．（2023•东城区校级期末）在实数0，，，|﹣2|中，最小的是（　　） A． B． C．0 D．|﹣2| 解：|﹣2|＝2， ∵四个数中只有，为负数， ∴应从，中选； ∵||＞||， ∴． 答案：B． 18．（2023•丰台区期末）请写出一个大于2且小于3的无理数 　（答案不唯一）　． 解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴写出一个大于2且小于3的无理数是， 答案：（答案不唯一）． 19．（2022•海淀区期末）比较大小： 　＜　4（填“＞”，“＜”或“＝”）． 解：∵12， ∴2＜24， ∴24． 答案：＜． 20．（2023•海淀区期末）实数a与b满足． （1）写出a与b的取值范围； （2）已知是有理数． ①当a是正整数时，求b的值； ②当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，请直接写出排在第3个位置和11个位置的数． 解：（1）要使在实数范围有意义，须有4﹣a≥0， ∴a≤4， ∴b≥0． （2）①∵a是正整数， ∴a只能是4、3、2、1． 又∵是有理数， ∴a只能是4或1． 当a＝4时，b＝0，0； 当a＝1时，b，． ∴b＝0或b． ②∵a是整数，且b是有理数， ∴b是的整数倍． ∵符合条件的a的第一值为a＝4，b＝0， ∴设b（m﹣1）（m＝1，2，3…）， ∴（m﹣1），两边同时平方并整理得，a＝﹣3（m﹣1）2+4． ∴当m＝3时，a＝﹣8，b＝2，b26是有理数； 当m＝11时，a＝﹣296，b＝10，b1030是有理数． ∴当a是整数时，将符合条件的a的值从大到小排列，排在第3个位置和11个位置的数分别是﹣8和﹣296． 【题型5 估算无理数的大小】 21．（2023•海淀区校级期末）估计1的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 解：∵34， ∴41＜5， ∴1的值在4和5之间； 答案：D． 22．（2022•延庆区期末）如果n为整数，且nn+1，那么n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵9＜13＜16， ∴34， ∵n为整数，且nn+1， ∴n＝3， 答案：B． 23．（2022•房山区期末）写出一个比大且比小的整数 　2（答案不唯一）　． 解：∵12，34， ∴写出一个比大且比小的整数可以是2或3． 答案：2（答案不唯一）． 24．（2023•密云区期末）若ab，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为 　11　． 解：∵a，b是两个连续的整数，56， ∴a＝5，b＝6， ∴a+b＝11． 答案：11． 25．（2023•西城区校级期末）我们规定：用[x]表示实数x的整数部分，如[3.14]＝3，，在此规定下解决下列问题： （1）填空：　9　； （2）求的值． 解：（1）∵1；； ∴当[]≤[]＜[]时，[]＝1；当[]≤[[]时，[]＝2 ∴1+1+1+2+2+2＝9． （2） ＝1+1+1+2+2+2+2+…7 ＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7 ＝210． 26．（2022•密云区期末）阅读下列材料： ∵， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分为（）． 请你观察上述规律，尝试解决下列问题： 若的小数部分为a，的整数部分为b，则a+b的值为 　　． 解：∵， ∴4， ∴的整数部分为4， 则小数部分a， ∵， ∴3， ∴b＝3， ∴a+b． 答案：． 【题型6 实数的运算】 27．（2023•通州区期末）计算：． 解：原式3+3﹣2． 28．（2023•海淀区校级期末）对于实数x、y我们定义一种新运算H（x、y）＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为H（x、y），其中x、y叫做线性数的一个数对．若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对． （1）若H（x、y）＝2x+3y，则H（3、1）＝　9　． （2）已知H（1、3）＝9，H（3、1）＝11，请回答问题：m+n＝　5　，m﹣n＝　1　． 解：（1）因为H（x、y）＝2x+3y， 所以H（3、1）＝2×3+3×1＝9， 答案：9； （2）因为H（x、y）＝mx+ny，H（1、3）＝9，H（3、1）＝11， 所以m+3n＝9，3m+n＝11， 解得m＝3，n＝2， 所以m+n＝5，m﹣n＝1， 答案：5，1． 29．（2023•门头沟区校级期末）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：i3＝　﹣i　，i4＝　1　； （2）计算：（2+i）2； （3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 解：（1）∵i2＝﹣1， ∴i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1， 答案：﹣i，1； （2）（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i； （3）i． 30．（2023•海淀区校级期末）阅读材料： 我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）． 例如：4﹣2＝4÷2；33；（）﹣（﹣1）＝（）÷（﹣1）； 则称数对（4，2），（，3），（，﹣1）是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题： （1）下列数对中，“差商等数对”是　①　（填序号）； ①（﹣8.1，﹣9）；②（，）；③（﹣3，﹣6）． （2）如果（x，4）是“差商等数对”，请求出x的值； （3）如果（m，n）是“差商等数对”，那么m＝　　（用含n的代数式表示）． 解：（1）①∵﹣8.1﹣（﹣9）＝﹣8.1+9＝0.9，﹣8.1÷（﹣9）＝0.9， ∴﹣8.1﹣（﹣9）＝﹣8.1÷（﹣9）， ∴（﹣8.1，﹣9）是“差商等数对”； ②∵，， ∴， ∴不是“差商等数对”； ③∵﹣3﹣（﹣6）＝﹣3+6＝3，， ∴﹣3﹣（﹣6）≠﹣3÷（﹣6）， ∴（﹣3，﹣6）不是“差商等数对”； 答案：①； （2）由题意得：， 解得； （3）由题意得：， 解得， 答案：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$