专题02 平面向量的应用（5类经典基础题+4类优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（人教A版2019必修第二册）

专题02 平面向量的应用 正余弦定理边角互化 1．（22-23高一下·辽宁丹东·期末）已知中，角的对边分别为，，则角 ． 2．（22-23高一下·河南周口·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求A； (2)若，求a的最小值. 3．（23-24高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 4．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围． 正余弦定理求边求角 1．（23-24高一下·广东·期末）某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（12-13高一上·天津·期末）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 3．（23-24高一下·广东·期末）在中，是的中点，，，，则 ． 4．（23-24高一上·重庆·期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形. (1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求； (2)求矩形面积的最大值. 判断三角形形状和个数 1．（21-22高一下·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， （多选）2．（20-21高一下·浙江·期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（    ） A． B．为锐角三角形 C． D． （多选）3．（22-23高一下·宁夏银川·期末）下面有关三角形的描述正确的是（    ） A．若的面积为，则 B．在中，．则满足这样的三角形只有一个 C．在中，若，则最大内角是最小内角的2倍 D．在中，，则边上的高为 4．（18-19高一下·河南驻马店·期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是 ． 正弦定理求外接圆半径 （多选）1．（22-23高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．面积为 C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则 2．（22-23高一下·安徽阜阳·期末）已知四点共圆，且，则外接圆的面积为 . 3．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，且． (1)求B； (2)求的取值范围． 三角形面积公式及其应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴.第一象限角的终边与单位圆交于，第二象限角的终边与单位圆交于. (1)求的值； (2)求的面积.（梯形的面积公式） 2．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 3．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）在中，A，B，C的对边分别为，若满足，． (1)若，求的大小； (2)若满足，求及的值． 射影公式 （多选）1．（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 2．（2022·山西临汾高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 3．（21-22高一·全国·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 证明三角形中的恒等式或不等式 （多选）1．（20-21高一下·浙江·期末）的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（    ） A． B．若，则 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 2．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 3．（20-21高一下·浙江宁波·期末）某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、、、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米，千米． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道． 4．（21-22高一下·江苏盐城·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 三角形面积的最值及范围 （多选）1．（22-23高一下·吉林长春·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则的外接圆半径为1 B．若，，则的面积最大值为 C．若，，且为直角三角形，则 D．若，，且有两解，则a的取值范围 （多选）2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 3．（23-24高一上·福建福州·期末）如图，已知是之间的一个定点，且点到的距离分别为，分别是上的动点，且，设．    (1)求以为邻边的平行四边形的面积关于的函数解析式； (2)求的最小值． 4．（22-23高一下·江西景德镇·期末）锐角中，内角的边分别对应，已知. (1)求； (2)若，求的取值范围. 几何图形中的计算 1．（20-21高一下·河北沧州·期末）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（    ）    A．() m B．() m C．() m D．() m 2．（21-22高一下·全国·期末）如图，位于A处的甲船获悉：在其南偏西30°方向相距10海里的C处有一艘走私船，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向行驶.甲船立即把消息告知在其正东方向且相距5海里B处的乙船，乙船立刻以海里/时的速度追截走私船，乙船最少航行 海里能追上走私船. 3．（23-24高一上·湖南张家界·期末）17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得 . 4．（18-19高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量的应用 正余弦定理边角互化 1．（22-23高一下·辽宁丹东·期末）已知中，角的对边分别为，，则角 ． 【答案】 【详解】因为，则，即， 可得， 且，所以. 故答案为：. 2．（22-23高一下·河南周口·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 (1)求A； (2)若，求a的最小值. 【答案】(1) (2)1 【详解】（1） ，即， 即； （2）由余弦定理有， 当且仅当时取等号，故a的最小值为1. 3．（23-24高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， ， 得， 又，即， 即， 又因为，所以，且， 所以，即． （2）法一：由正弦定理得：，即，且， ，即． 而由为锐角三角形，，，得， 所以，即． 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 法二：由，不妨设， 由为锐角三角形，只需，由余弦定理得：， 即． 又．（*） 所以，得：，． 由（*）式得：， 所以，且， 所以的周长的取值范围为． 4．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）角A，B，C是的内角，故． 在锐角中，， 由正弦定理得，， 即， 所以，即， 故， 又，所以. （2）在中，， 由正弦定理有，则， 在中，由正弦定理有，即， 则， 所以， ， 故 . 因为为锐角三角形，， 所以，解得， ， 所以，所以， 从而． 故的取值范围为． 正余弦定理求边求角 1．（23-24高一下·广东·期末）某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设，， 则，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中， （其中）， 所以当时，所以最小值为． 法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的直径为， 由圆周角的性质可得，所以，． 连接，可得（当为与圆的交点时取等号）． 在中，，，， 根据余弦定理可知， 即，所以的最小值为． 故选：B 2．（12-13高一上·天津·期末）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】由，得， 由余弦定理得，则，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·广东·期末）在中，是的中点，，，，则 ． 【答案】 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理得：，又因为，， 所以，解得， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据得：， ，解得，因为是的中点，所以， 再由余弦定理可得：， 代入已知数据可得：，则． 故答案为：. 4．（23-24高一上·重庆·期末）如图，正方形的边长为2，，分别为AB，BC的中点.以O为圆心，OA为半径的圆弧上有一点P，T、S两点分别在线段AB、BC上，使得四边形SBTP为矩形. (1)将点绕点逆时针旋转后使其与点重合，求； (2)求矩形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接OM,ON,MN，因为分别为的中点，正方形边长为2， 所以， 所以， 所以， . 所以； （2）以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，建立直角坐标系如图所示. 设，则,且， 则 ， 令， ， 当，即时，矩形面积的取得最大值为. 判断三角形形状和个数 1．（21-22高一下·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解； 对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C项，由正弦定理，可得， 可得B有两解，所以三角形有两解； 对于D项，由余弦定理得， 可得c有唯一的解，所以三角形只有一解． 故选：C． （多选）2．（20-21高一下·浙江·期末）已知中，角的对边分别为为边上的高，以下结论：其中正确的选项是（    ） A． B．为锐角三角形 C． D． 【答案】ACD 【详解】解： ，所以，故A正确； 若，则为锐角，无法得到其他角的关系，故无法判断的形状，故B错误； 而，故C正确 由余弦定理有 故有，故D正确 故选：ACD． （多选）3．（22-23高一下·宁夏银川·期末）下面有关三角形的描述正确的是（    ） A．若的面积为，则 B．在中，．则满足这样的三角形只有一个 C．在中，若，则最大内角是最小内角的2倍 D．在中，，则边上的高为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意得，整理得， 所以，所以，得， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，则，得， 因为，所以或，所以满足条件的三角形有2个，所以B错误， 对于C，因为， 所以由正弦定理得， 设，解得， 则最大角为，最小角为，由余弦定理得，， 所以， 因为，所以均为锐角，所以， 所以，所以最大内角是最小内角的2倍，所以C正确， 对于D，由余弦定理得，则，即，解得或（舍去）， 因为，，所以， 所以的面积为， 设边上的高为，则，解得，所以D正确， 故选：ACD 4．（18-19高一下·河南驻马店·期末）在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】法一：由题意，， 如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为， 要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点， 即若使有两解，则有，即， 解得. 法二：由题意，， 由正弦定理得，则， 由，如图，作的图象， 若使有两解，则有，即， 解得. 故答案为：. 正弦定理求外接圆半径 （多选）1．（22-23高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．面积为 C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，，，所以，所以， 因为，所以角为钝角，所以是钝角三角形，所以A正确， 对于B，由选项A可知，角为钝角，所以， 所以面积为，所以B正确， 对于C，由正弦定理得，所以外接圆半径为，所以外接圆面积为，所以C错误， 对于D，因为D为AB中点，所以，在中，由余弦定理得， ， 所以，所以D正确， 故选：ABD 2．（22-23高一下·安徽阜阳·期末）已知四点共圆，且，则外接圆的面积为 . 【答案】 【详解】由题意，四边形的外接圆与外接圆相同，设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，所以， 设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以， 所以外接圆的面积. 故答案为： 3．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，且． (1)求B； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理知，， 即, 由，可得 因为，所以，即为锐角， 所以. （2）因为， 所以， 即， 又， 所以， 因为，所以， 即， 所以，故， 所以， 故的取值范围为. 三角形面积公式及其应用 1．（23-24高一上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴.第一象限角的终边与单位圆交于，第二象限角的终边与单位圆交于. (1)求的值； (2)求的面积.（梯形的面积公式） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意知，第一象限角的终边与单位圆交于, 第二象限角的终边与单位圆交于， 所以，，则解得或，且或， 因为在第一象限，在第二象限，所以，， 所以，，所以； （2）在单位圆中，因为，，所以， ，又，由两角差的正弦公式得， ， 又，，. 2．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 3．（22-23高一下·新疆伊犁·期末）在中，A，B，C的对边分别为，若满足，． (1)若，求的大小； (2)若满足，求及的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）若，由余弦定理， 可得，即. （2）因为，可知角为锐角，则， 又因为，即，解得， 由余弦定理，即， 由正弦定理，可得. 射影公式 （多选）1．（21-22高一下·江苏苏州·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，锐角中，，即，而正弦函数在上单调递增， 则有，整理得，A正确； 对于B，的最大角为C，由余弦定理得，则C是锐角，B不正确； 对于C，由正弦定理得：，无解，即符合条件的三角形不存在，C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 故选：ACD 2．（2022·山西临汾高一期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为 . 【答案】/0.75 【详解】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 故答案为： 3．（21-22高一·全国·期末）在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【答案】 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. 证明三角形中的恒等式或不等式 （多选）1．（20-21高一下·浙江·期末）的内角的对边分别为，下列结论一定成立的有（    ） A． B．若，则 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】BC 【详解】对于A：因为中， 所以，故A错误； 对于B：因为，所以，由正弦定理得， 所以，即，故B正确； 对于C：因为，由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以或（舍），所以是等腰三角形，故C正确； 对于D：因为，且， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故D错误. 故选：BC 2．（22-23高一下·浙江宁波·期末）在中，内角，都是锐角. (1)若，，求周长的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 因为 所以， 因为内角，都是锐角，， 所以，即，所以， 所以，所以周长的取值范围为， （2）若，则，所以为锐角， 所以，所以， 因为内角，都是锐角，所以， 所以， 所以. 3．（20-21高一下·浙江宁波·期末）某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、、、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米，千米． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）. 【详解】解：（Ⅰ）由余弦定理： ， ， ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为，所以， 所以为正三角形，，． 在中，，因为为三角形内角， 故，所以． 在中，． 所以. 4．（21-22高一下·江苏盐城·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，，故， 又，可得，则，， 则. （2）由知：， 所以，即， 又，则，即， 所以，而，则， 综上，. 三角形面积的最值及范围 （多选）1．（22-23高一下·吉林长春·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则的外接圆半径为1 B．若，，则的面积最大值为 C．若，，且为直角三角形，则 D．若，，且有两解，则a的取值范围 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，， 所以的外接圆半径为，故A正确； 对于B，若，， 由余弦定理可得， 所以，当且仅当时，取等号， 则， 即的面积最大值为，故B正确； 对于C，当时，则， 当时，则， 综上，或，故C错误； 对于D，，， 因为，所以， 因为，所以， 要使有两解，则且，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD. （多选）2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 【答案】ACD 【详解】依题意，即， 所以，所以，故A正确； ，所以，当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 则，当且仅当时取等号，故D正确； 又，， 即，， 所以， 又，即， 所以， 所以， 即，所以，故C正确； 由余弦定理， 即 ， 所以，由于由已知条件无法得知的值， 故无法确定的值，故B错误. 故选：ACD 3．（23-24高一上·福建福州·期末）如图，已知是之间的一个定点，且点到的距离分别为，分别是上的动点，且，设．    (1)求以为邻边的平行四边形的面积关于的函数解析式； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， （2） 由得， 所以，即时，取得最大值， 所以时，最小值为． 4．（22-23高一下·江西景德镇·期末）锐角中，内角的边分别对应，已知. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 整理得，所以， 因为，所以. （2）解：设的外接圆的半径为， 因为，且，可得， 由正弦定理可得，， 又因为，可得， 所以 , 因为为锐角三角形，可得，解得， 所以，可得， 所以，所以. 几何图形中的计算 1．（20-21高一下·河北沧州·期末）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为（    ）    A．() m B．() m C．() m D．() m 【答案】B 【详解】设，则. 在中，， ∴＝，即＝， 解得. 故选：B. 2．（21-22高一下·全国·期末）如图，位于A处的甲船获悉：在其南偏西30°方向相距10海里的C处有一艘走私船，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向行驶.甲船立即把消息告知在其正东方向且相距5海里B处的乙船，乙船立刻以海里/时的速度追截走私船，乙船最少航行 海里能追上走私船. 【答案】/ 【详解】如图， 设t小时乙船在D处追上走私船，过点C作于点E， 则，，， ∴，，∴，. 在中，， 即，解得（负值舍去）， ∴. 故答案为： 3．（23-24高一上·湖南张家界·期末）17世纪德国著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（JohannesKepler）曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得 . 【答案】 【详解】在等腰中，， 则 ， 由正弦定理得， 故， 所以. 故答案为：. 4．（18-19高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米． (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)3千米 (2)6千米． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． （2）设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$