精品解析：陕西省渭南市华州区2024年中考三模考试数学试题

华州区2024年初中学业水平考试模拟卷（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果把进货件记作件，那么出货件应记作（ ） A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 2. 榫卯是古代中国建筑、家具等的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点、，直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．，经测量，，则该圆形螺母外圆的直径是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：______． 10. 某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案，如图，第个图案由个组成，第个图案由个组成，第个图案由个组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为______个． 11. 已知在同一平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象与某正比例函数的图象相交于，两点，若，，则的值为______． 12. 如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 13. 计算：． 14. 解不等式，并求出该不等式的最大整数解． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在四边形中，，请用尺规作图法在边上求作一点，边上求作一点，边上求作一点，连接，使得四边形为正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 如图，点、分别在的边，上，连接并延长到点，使得，连接，若，求证：． 18. 年月日上午，国际博物馆日中国主会场活动开幕式在陕西历史博物馆秦汉馆举行，当日，陕西历史博物馆秦汉馆正式开馆．某校计划组织学生去该博物馆参观学习，已知租用辆型车和辆型车共需元，租用辆型车和辆型车共需元，请问每辆型车和每辆型车的租金分别为多少元？ 19. 近年来，西安以沉浸体验历史文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服游西安的热潮，汉服逐渐成为了西安的一张文化名片．明月汉服馆某种汉服的盈利为元件时，每天可售出件．经市场调研发现，这种汉服每件的盈利每减少元，每天可多售出件，设这种汉服每件的盈利减少元时，该汉服馆每天可售出这种汉服件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果这种汉服每件的盈利减少元，那么该汉服馆每天可售出这种汉服多少件？ 20. 书法是汉字的书写艺术，它不仅是中华民族的文化瑰宝，而且在世界文化艺术宝库中独放异采．爱好书法的李杰分别用楷体和行体写出了他的座右铭，如图，准备从中挑选一幅送给赵旭，一时间不知道挑选哪—幅，于是他将分别标有数字的四个小球（小球除数字外都相同）装在一个不透明的袋子里，搅匀后从中随机摸出一个小球，记录下小球上的数字并放回搅匀，再从中随机摸出一个小球，若两次摸出的小球上数字之和为偶数，则将楷体这一幅送给赵旭；否则，将行体这一幅送给赵旭． （1）“李杰第—次摸出的小球上数字为偶数”是______事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） （2）请用画树状图或列表的方法，判断李杰将楷体这一幅作品和行体这一幅作品送给赵旭的可能性是否相同？ 21. 如图，丽丽、娜娜利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量公园里路灯的点光源O到地面的高度．如图，丽丽站在路灯下D处，娜娜测得丽丽投在地面上的影子当丽丽在点D处半蹲时，娜娜测得丽丽的影子已知丽丽的身高半蹲时的高度．图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直，点C在上，A，D，F，B在同一水平线上，请你根据以上信息帮助她们计算路灯的点光源O到地面的高度． 22. 科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 征集到的作品数量件 班级数个 （1）表中的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件； （2）请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数； （3）若该校共有个班级，请你估计该校征集到的作品总数量． 23. 如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数，且）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线沿轴向下平移个单位长度后得到抛物线，设抛物线的顶点为，请问在平移过程中是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形面积等于面积的―半？若存在，求出所有符合题意的抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由． 25. 【问题提出】 （）如图，的弦与相交于点，连接，若，，则的度数为______； 【问题探究】 （）如图，已知正方形的边长为，点为边上一点，连接，过的中点作于点，若，求的长； 【问题解决】 （）如图，正方形是某森林景区示意图，为安全起见，工作人员计划在边上找一点，对角线上找一点（点均不与端点重合），将的中点处设为救援中心，沿修建两条紧急救援通道，并在这两条小路上安排安保人员巡逻．根据规划要求，，为了合理安排巡逻人数，需要知道与之间的数量关系，请你求出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华州区2024年初中学业水平考试模拟卷（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名级和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如果把进货件记作件，那么出货件应记作（ ） A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：进货件记作件， 出货件应记作件， 故选：A． 2. 榫卯是古代中国建筑、家具等的主要结构方式，如图是某个部件“卯”的实物图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左边看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：从左边看到的平面图形是， 故选：． 3. 如图，直线与相交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，根据邻补角的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再由邻补角的性质即可得到的度数，掌握邻补角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据整式的运算法则计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故选：． 5. 已知在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据交点的横坐标可得当时，，即可得到不等式的解集，掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：由不等式得，， ∵直线与直线（为常数）交于点，点的横坐标为， ∴当时，有， ∴不等式的解集为， 故选：． 6. 如图，在矩形中，，延长到点，连结交于点，点为的中点，连结，以点为圆心，长为半径的圆弧经过点．连结，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，由为的中点可知，进一步得出，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 为的中点， 点为圆心，长为半径的圆弧经过点 在中， 故选：C． 7. 形螺母（图）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图所示的位置放置于桌面上．直尺的上边缘，直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点、，直角三角尺的较短直角边与直尺的上边缘重合．，经测量，，则该圆形螺母外圆的直径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，由切线的性质得，由切线长定理得平分，得到，解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ∵， ∴， ∵分别与、相切于点、， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该圆形螺母外圆的直径是． 8. 已知在平面直角坐标系中．抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2，将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，若点、均在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线与y轴交点的坐标为，进而得到，再求出抛物线的对称轴为直线，再由开口向上，离对称轴越远函数值越大即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标为， ∵抛物线（a，k为常数，且）与y轴交点的纵坐标大于2， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，则抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线中，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， ∴ 根据现有条件无法判断， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则直接计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 某民族服饰的花边均是由若干个的基础图形组成的有规律的图案，如图，第个图案由个组成，第个图案由个组成，第个图案由个组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的个数为______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．根据前三个图形中基础图形的个数得出第个图案中基础图形的个数即可解答． 【详解】解：第个图案由个组成， 第个图案由个组成， 第个图案由个组成， …， 第个图案由个组成， 第个图案中有：（个）， 故答案为：． 11. 已知在同一平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象与某正比例函数的图象相交于，两点，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，关于原点对称的点的坐标特征，两点间坐标公式，待定系数法求反比例函数解析式，由反比例函数的图象与某正比例函数的图象相交于，两点，可知点和点关于原点对称，进而可得，再利用两点间距离公式可得，解方程即可求出，得到点的坐标，最后把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象与某正比例函数的图象相交于，两点， ∴点和点关于原点对称， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，过点作于点M，过点G作于点H，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，证明，由为的中点，，可得，可得，在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则，当共线时，，，此时最小，再进一步求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点M，过点G作于点H， ∴， ，，， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴在与直线相距的直线上运动，为与轨迹的交点，则， 当共线时，，，此时最小， 此时，， 过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，四边形为矩形， ∴， ∴， 的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，三角形的中位线的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是作出合适的辅助线． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．根据平方差公式，立方根的概念，绝对值的定义将式子化简，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 14. 解不等式，并求出该不等式的最大整数解． 【答案】，最大整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的最大整数解，按照解一元一次不等式的步骤即可求出不等式的解集，再根据解集即可得到不等式的最大整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴该不等式的最大整数解为． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，值为． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，在四边形中，，请用尺规作图法在边上求作一点，边上求作一点，边上求作一点，连接，使得四边形为正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线的画法，垂线的画法，先作的角平分线，与相交于点，经过点作的垂线，交于点，再在上截取，连接，则四边形为正方形，掌握正方形的性质和判定和解题的关键． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 17. 如图，点、分别在的边，上，连接并延长到点，使得，连接，若，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由，可得，结合，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可证明． 【详解】略． 18. 年月日上午，国际博物馆日中国主会场活动开幕式在陕西历史博物馆秦汉馆举行，当日，陕西历史博物馆秦汉馆正式开馆．某校计划组织学生去该博物馆参观学习，已知租用辆型车和辆型车共需元，租用辆型车和辆型车共需元，请问每辆型车和每辆型车的租金分别为多少元？ 【答案】每辆型车的租金为元，每辆型车的租金为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆型车的租金为元，每辆型车的租金为元，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设每辆型车的租金为元，每辆型车的租金为元， 由题意可得，， 解得， 答：设每辆型车的租金为元，每辆型车的租金为元． 19. 近年来，西安以沉浸体验历史文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服游西安的热潮，汉服逐渐成为了西安的一张文化名片．明月汉服馆某种汉服的盈利为元件时，每天可售出件．经市场调研发现，这种汉服每件的盈利每减少元，每天可多售出件，设这种汉服每件的盈利减少元时，该汉服馆每天可售出这种汉服件． （1）求与之间的函数关系式； （2）如果这种汉服每件的盈利减少元，那么该汉服馆每天可售出这种汉服多少件？ 【答案】（1） （2）件 【解析】 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确列出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 即； 【小问2详解】 解：把代入得， ， 答：该汉服馆每天可售出这种汉服件． 20. 书法是汉字的书写艺术，它不仅是中华民族的文化瑰宝，而且在世界文化艺术宝库中独放异采．爱好书法的李杰分别用楷体和行体写出了他的座右铭，如图，准备从中挑选一幅送给赵旭，一时间不知道挑选哪—幅，于是他将分别标有数字的四个小球（小球除数字外都相同）装在一个不透明的袋子里，搅匀后从中随机摸出一个小球，记录下小球上的数字并放回搅匀，再从中随机摸出一个小球，若两次摸出的小球上数字之和为偶数，则将楷体这一幅送给赵旭；否则，将行体这一幅送给赵旭． （1）“李杰第—次摸出的小球上数字为偶数”是______事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） （2）请用画树状图或列表的方法，判断李杰将楷体这一幅作品和行体这一幅作品送给赵旭的可能性是否相同？ 【答案】（1）随机； （2）相同． 【解析】 【分析】（）根据随机事件的定义即可判断求解； （）画出树状图，根据树状图求出赵旭获得楷作品和体行体作品的概率，即可判断求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，游戏的公平性，正确画出树状图是解题的关键． 【小问1详解】 解：李杰第一次摸出的小球上数字可能是或或或， ∴“李杰第—次摸出的小球上数字为偶数”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两球数字之和为偶数的有种， ∴赵旭获得楷体作品的概率为，获得行体作品的概率为， ∴李杰将楷体作品和行体作品送给赵旭的可能性相同． 21. 如图，丽丽、娜娜利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量公园里路灯的点光源O到地面的高度．如图，丽丽站在路灯下D处，娜娜测得丽丽投在地面上的影子当丽丽在点D处半蹲时，娜娜测得丽丽的影子已知丽丽的身高半蹲时的高度．图中所有点均在同一平面内，、均与地面垂直，点C在上，A，D，F，B在同一水平线上，请你根据以上信息帮助她们计算路灯的点光源O到地面的高度． 【答案】路灯的点光源O到地面的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意证明，得出，证明，得出，代入数据得出，，求出结果即可；解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解∶由题意得，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 即，， 解得． ∴路灯的点光源O到地面的高度为． 22. 科学是当今社会发展的核心动力．为了响应国家对科普科幻的创作和发展的号召，某校组织了大科幻作品征集活动，并随机抽取该校部分班级，对每班征集到的作品数量进行统计后，将统计数绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题： 征集到的作品数量件 班级数个 （1）表中的值为______，所抽取班级征集到的作品数量的众数为______件，中位数为______件； （2）请计算所抽取班级征集到的作品数量的平均数； （3）若该校共有个班级，请你估计该校征集到的作品总数量． 【答案】（1），，； （2）件； （3）件． 【解析】 【分析】（）用件的作品数量除以它的占比即可得到抽取的班级数量，进而得到的值，再根据众数和中位数的定义即可求出众数和中位数； （）根据平均数的定义计算即可求解； （）用平均数乘以即可求解； 本题考查了频数分布表，扇形统计图，众数、中位数和平均数，由平均数估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，抽取的班级数量为个， ∴， ∵征集到的作品数量为件的班级数量最多， ∴众数为为件， ∵共有个数据， ∴数据按照从小到大的顺序排列，中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数为件， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：征集到的作品数量的平均数件； 【小问3详解】 解：， 答：估计该校征集到的作品总数量为件． 23. 如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若⊙O的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆综合，其中涉及到了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理解三角形，圆周角定理及推论等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）利于等边对等角的性质得到，，利用三角形的内角和得到，即可得到，再由圆周角的性质等量代换即可； （2）连接，由垂径定理推出，，利用勾股定理建立式子运算出的长，再利用中位线定理即可推出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则，如图所示： ∵， ∴， ∴，， 在中，，在中，， ∴， 解得， ∵，， ∴为的中位线， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数，且）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、． （1）求抛物线的函数表达式； （2）将抛物线沿轴向下平移个单位长度后得到抛物线，设抛物线的顶点为，请问在平移过程中是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形面积等于面积的―半？若存在，求出所有符合题意的抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，抛物线的函数表达式为或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，二次函数的平移性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的函数表达式求出点的坐标，然后求出的面积，由，将抛物线沿轴向下平移个单位长度后得到抛物线，可得抛物线，得到，进而得到，最后根据求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入中得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 存在，理由如下： 令，则， 解得：或， ， ， ，， ， ， ，将抛物线沿轴向下平移个单位长度后得到抛物线， 抛物线， ， ， ， ， 解得：或， 或， 存在，抛物线的函数表达式为或． 25. 【问题提出】 （）如图，的弦与相交于点，连接，若，，则的度数为______； 【问题探究】 （）如图，已知正方形的边长为，点为边上一点，连接，过的中点作于点，若，求的长； 【问题解决】 （）如图，正方形是某森林景区示意图，为安全起见，工作人员计划在边上找一点，对角线上找一点（点均不与端点重合），将的中点处设为救援中心，沿修建两条紧急救援通道，并在这两条小路上安排安保人员巡逻．根据规划要求，，为了合理安排巡逻人数，需要知道与之间的数量关系，请你求出与之间的数量关系． 【答案】（）；（）；（）． 【解析】 【分析】（）求出，再根据圆周角定理即可得到的度数； （）过点作于，交于点，证明，得到，设，则，可得，， ，在中，由勾股定理得，根据可得方程，解方程即可求解； （）连接，过点作于，于，证明为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，即得，根据三线合一得，由等腰直角得，进而可得． 【详解】解：（）∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，交于点，则四边形和四边形都为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴； （）如图，连接，过点作于，于，则四边形为矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $