期末测试卷03-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷03 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知i是虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 2．已知平面内的三点，若，则（    ） A．6 B． C．3 D． 3．已知中，，，，则边上的中线长为（    ） A． B．8 C．7 D．6 4．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 5．下列说法正确的是（    ） A．两两相交的三条直线确定一个平面 B．如果直线，和平面满足，，那么 C．过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直 D．若平面平面，平面平面，那么平面平面 6．某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．过圆锥两条母线的截面面积最大值为 C．圆锥的侧面积为 D．圆锥的侧面展开图的圆心角为 7．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 8．已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分） 9．下列命题不正确的是（    ） A．若，则当时，为纯虚数 B．若，，，则 C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D．若，则的最大值为 10．已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的平均数是 D．新数据的标准差是 11．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的是（    ） A．线段的长为定值 B．异面直线与所成角为 C．直线与平面所成角为定值 D．二面角可以为直二面角 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12．抽样统计得到某班8名女生的身高分别为，则这8名女生身高的第75百分位数是 . 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．    14．如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ． 四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．已知复数，． (1)若，，,对应的点在第四象限求的范围． (2)若， 求的最大值． 16．在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动． (1)若 D为BC边的中点， 求AD． (2)若 AD为的角平分线， 求AD． 17．2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.    (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值； (2)设平面与平面的交线为，证明面； (3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 19．在中，角A，，对应的边分别为，，，． (1)求角A； (2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷03 一、单选题 1．已知i是虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】C 【分析】利用除法运算进行化简，然后利用虚部的定义进行求解即可 【解析】因为， 所以的虚部为， 故选：C 2．已知平面内的三点，若，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用点的坐标表示出向量，再利用向量共线的坐标表示求解即可. 【解析】由题意得，，因为， 所以 故选:A 3．已知中，，，，则边上的中线长为（    ） A． B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【解析】如图，边的中点为， ，，， 中，根据余弦定理， ， 则    故选：C 4．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层随机抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层随机抽样 D．分层随机抽样，分层随机抽样 【答案】A 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点进行解答. 【解析】①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A 5．下列说法正确的是（    ） A．两两相交的三条直线确定一个平面 B．如果直线，和平面满足，，那么 C．过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直 D．若平面平面，平面平面，那么平面平面 【答案】C 【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，结合判定定理与性质定理，对每个选项逐一分析，即可判断. 【解析】对A，若两两相交的三条直线过同一个点，则它们可以确定一个或三个平面，故A错误； 对B，若，，则直线，可能平行、相交或者成异面直线，故B错误； 对C，过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直，该结论正确，故C正确； 对D，若平面平面，平面平面，则平面和平面可能相交、垂直或平行，故D错误. 故选：C 6．某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（    ） A．圆锥的体积为 B．过圆锥两条母线的截面面积最大值为 C．圆锥的侧面积为 D．圆锥的侧面展开图的圆心角为 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积、侧面积公式判断AC，由扇形的圆心角公式判断D，由圆锥的轴截面顶角为钝角判断B. 【解析】圆锥底面半径，母线长为，如图，      设圆锥高为，则， 所以圆锥的体积为，故A错误； 因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 顶角的余弦值， 所以顶角为钝角， 所以过圆锥两条母线的截面面积最大值，故B正确； 圆锥的侧面积为，故C错误； 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的圆心角为，故D错误. 故选：B 7．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【解析】对于A：若，是对立事件，则，故A错误； 对于B：若，是互斥事件，且，， 则，故B错误； 对于C：因为，，则，， 又，所以，是独立事件，故C正确； 对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，， 所以，故D错误； 故选：C 8．已知中角，，所对的边分别为，，，满足，且．则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正弦定理及两角和差得出,再由正弦定理边角互化结合辅助角公式计算即可. 【解析】中由正弦定理 , , , ,, ,时，的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．下列命题不正确的是（    ） A．若，则当时，为纯虚数 B．若，，，则 C．若实数与对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D．若，则的最大值为 【答案】ABC 【分析】根据纯虚数的定义可判断A；举反例可判断B；当时可判断C；由复数模的几何意义可判断D，进而可得正确答案. 【解析】对于A：对于，当且时，为纯虚数，故A说法不正确； 对于B：取，，满足，但不满足，故B说法不正确； 对于C：当时，实数没有纯虚数与之对应，故C说法不正确； 对于D：表示复数对应的点到点的距离等于，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，点到坐标原点的距离为，所以的最大值为，故D说法正确， 故选：ABC. 10．已知数据的平均数为，方差为.由这组数据得到新数据，其中，则（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的平均数是 D．新数据的标准差是 【答案】AD 【分析】由平均数与方差的计算公式判断 【解析】由题意得， 由平均数与方差公式得的平均数是， 方差是，标准差是，故AD正确，BC错误 故选：AD 11．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的是（    ） A．线段的长为定值 B．异面直线与所成角为 C．直线与平面所成角为定值 D．二面角可以为直二面角 【答案】ACD 【分析】对于A，取的中点，连接，然后证明四边形为平行四边形即可；对于B，假设异面直线与所成角为，然后进行推理得出矛盾；对于C，由A可知直线与平面平行，所以所成角为定值；对于D，当时，计算为钝角，从而可得答案 【解析】解：对于A，取的中点，连接，因为为是的中点，所以∥,，因为为边的中点，所以,因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平行四边形中，，，所以为等边三角形，所以为定值，所以线段的长为定值，所以A正确， 对于B，若异面直线与所成角为，则，因为行四边形中，，，所以为等边三角形，是顶角为的等腰三角形，所以，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，这与相矛盾，所以B错误， 对于C，由A可知，四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以直线与平面所成角为定值， 对于D，设，则，因为，所以，取的中点，连接，当向上折时，时，，所以此时，所以是二面角的平面角，因为，，所以，所以为钝角，而当沿直线开始折时，为锐角，所以二面角可以为直二面角，所以D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．抽样统计得到某班8名女生的身高分别为，则这8名女生身高的第75百分位数是 . 【答案】159 【分析】利用百分位数的估计公式计算可得. 【解析】将数据由小到大排列为：， 由，得第75百分位数是. 故答案为：159 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．    【答案】 【分析】根据已知，利用正弦定理以及直角三角形的性质计算求解. 【解析】   如图，在中，，，所以， 又，由正弦定理有：，即， 解得， 又是直角三角形，且，所以， 所以此山的高度m. 故答案为：. 14．如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】分别取的中点，连接，易得，，再根据，，分别求出，，从而可求出，再利用基本不等式即可得解. 【解析】如图，分别取的中点，连接， 则， 故， ， 又， ， 所以，解得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：先根据数量积的定义分别求出，，再根据，，分别求出，，求出，是解决本题的关键. 四、解答题 15．已知复数，． (1)若，，,对应的点在第四象限求的范围． (2)若， 求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的几何意义，列不等式，即可求解； （2）有复数模的公式，得到，再结合基本不等式，即可求解的最大值. 【解析】（1）由题意知， 解得， 故实数的范围为 ． （2）， 所以， 所以， 故． 当且仅当， 所求最大值为． 16．在 中， 角 的对边分别为 ， ， =， ， 点D在BC边上运动． (1)若 D为BC边的中点， 求AD． (2)若 AD为的角平分线， 求AD． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）首先根据余弦定理求边，再利用中点，表示向量，最后根据数量积公式求模； （2）根据三角形的面积公式，表示，即可求解. 【解析】（1）由余弦定理推论可得，即． ． ∵D为BC边的中点， 所以， 即，所以． （2）不妨设， ∵AD为的角平分线， 由面积公式有， ， 得， ． 17．2023年高考查分系统上线后，某中学为了解该校高三年级学生的数学成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学今年高考数学成绩的中位数； (2)该校高三数学组准备用分层抽样的方法从样本中数学成绩不低于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生在新高三开学动员会上发言，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率. 【答案】(1)0.01； (2) 【分析】（1）先由频率和为，计算得到参数的值，再由中位数两侧小矩形面积和各为，计算得到中位数即可； （2）抽样比确定样本中数学成绩不低于130分的学生数和数学成绩不低于120分的学生数，设定事件和列举基本事件的样本空间，经统计数据后，利用古典概型概率的计算公式求值即可. 【解析】（1）由题意， 得：， 设今年该中学高考数学成绩的中位数为， 则，解得. 故该中学今年高考数学成绩的中位数约为. （2）由题意可知分数在的频率为， 同理分数在的频率为， 所以分数在的抽取人数为：，记为， 分数在的抽取人数为：，记为， 从这5名学生中随机抽取2人，该试验的样本空间为： ， 所以基本事件的总数为：. 设事件“抽取的2名学生中恰有1名成绩不低于130分”， 则， 事件包含的基本事件数为：. 由古典概型概率的计算公式得：. 故这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率为. 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.    (1)为上一点，且，当平面时，求实数的值； (2)设平面与平面的交线为，证明面； (3)当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质可得出，由可得出，再由可求得的值； （2）证明出面，利用线面平行的性质可证得结论成立； （3）取的中点，连接、，过点作，分析可知，为平面与平面所成的锐二面角，即有，证明出平面，则为与平面所成的角，计算出、的长，即可计算出的正切值. 【解析】（1）如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面，∴， 在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）∵，平面，平面，∴面， 又面，面面，∴， 又面，面，∴面. （3）取的中点，连接、，    ∵为的中点，且，， ∴且，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又，∴为等边三角形， 又，∴为等边三角形，∴， ∵，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴， 过点作，由，则，∴平面，平面， 即平面平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角，∴. 又由，∴，∴， ∵，， ∵，平面，平面，∴平面， ∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 19．在中，角A，，对应的边分别为，，，． (1)求角A； (2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②答案见详解；③ 【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出A. （2）①设，根据数量积的性质和坐标运算分析证明；②令，根据题意结合①中不等式分析求解；③将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. （2）①设， 因为， 当且仅当，即共线时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立； ②令， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 且，可得， 所以的最大值为3，当且仅当时，等号成立； ③. 又， 所以. 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以即，则. 令，则 因为，解得，当且仅当时等号成立. 所以.则. 令，则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$