期末测试卷02-2023-2024学年高一数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷02 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 2．已知，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（    ） A．48 B．51 C．50 D．49 4．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5． 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 8．在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中错误的是（    ） A．若，且，则有两解 B．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C．若，且，则的外接圆半径为 D．若，则的最大值为 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分） 9．若复数满足：为的共轭复数，则（    ） A． B． C．在复平面对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 10．志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 11．如图，四棱柱底面是边长为1的正方形，，点是直线上一动点，下列说法正确的是（    ） A．若棱柱是直棱柱，其外接球半径为2，则； B．若棱柱是正方体，分别为棱，中点，则四棱锥的体积为； C．不论取何值，一定存在点使得直线平面； D．若直线，，与平面所成角分别是，，，则. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 12．假设，，且与相互独立，则 ． 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．    14．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在中，角所对的边分别是，且满足 (1)求角； (2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面. (1)求证：侧面； (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值. 17．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 18．如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末测试卷02 一、单选题 1．下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及向量的运算法则，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，平行向量又叫共线向量，所以A错误； 对于B中，单位向量长度相等，但方向不一定相同，所以B错误； 对于C中，当两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，所以C错误； 对于D中，，所以 D正确． 故选：D． 2．已知，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先计算出，再由共轭复数及复数的模计算. 【解析】由，得， 所以， 所以. 故选：D. 3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为（    ） A．48 B．51 C．50 D．49 【答案】B 【分析】利用分层抽样的比例关系列式求解即可得到答案。 【解析】高一年级共有人，所以男生抽取的人数为人. 故选：B. 4．已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，利用投影向量求解公式得到答案. 【解析】平面向量， ， 所以向量在上的投影向量为． 故选：C． 5． 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可. 【解析】若，则与平行，相交或者异面，故A错误； 若，则或者，故B错误； 若，则或者，故C错误； 若，则，故D正确； 故选：D. 6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解. 【解析】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，，    设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：D. 7．一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解， 【解析】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 8．在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中错误的是（    ） A．若，且，则有两解 B．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C．若，且，则的外接圆半径为 D．若，则的最大值为 【答案】D 【分析】首先证明题干中的条件等价于，然后逐个选项判断：对于A，直接解出两种可能的情况即可判断A选项正确；对于B，用正弦定理证明，然后求的范围即可判断B选项正确；对于C，求出的三边，然后说明是直角，从而得到，即可判断C选项正确；对于D，直接给出使得的一个满足条件的例子，即可说明D选项错误. 【解析】若，由，可知，即，从而. 若，则. 从而条件等价于. 对于A，若，且，由余弦定理得，即，解得或. 由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定，故只有两种可能. 经验证，的以下两种情况都是可能的： ①，，，，，； ②，，，， ，. 故有两种可能，选项A正确； 对于B，若，且为锐角三角形，由于，而为锐角三角形即，，解得，从而的范围是，故的范围是，选项B正确； 对于C，若，且，则，且，故，从而. 而，故，从而，. 这意味着，，，所以，从而，故，选项C正确； 对于D，若，由于，，故存在使得，，的，此时，，满足条件. 在此情况下，有，故，从而，从而此时，这表明不可能以为最大值，选项D错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于灵活运用正弦定理和余弦定理，对条件进行适当转化，以研究需要研究的参数. 二、多选题 9．若复数满足：为的共轭复数，则（    ） A． B． C．在复平面对应的点位于第二象限 D．是纯虚数 【答案】ABD 【分析】先由复数的运算化简求出，由复数的模长即可判断A选项；求出，由复数的乘法运算即可判断B选项；由复数的几何意义即可判断C选项；由复数的除法运算及纯虚数的含义即可判断D选项. 【解析】，则，则，A正确； ，，B正确； 在复平面对应的点为，位于第三象限，C错误； ，D正确. 故选：ABD. 10．志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者.城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄（单位:岁）进行分组:第1组[15，25），第2组[25，35），第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（    ） A．a=0.035 B．估计众数为:40 C．估计平均数为:38 D．估计第80百分位数为: 【答案】ABD 【分析】由，计算可判断A；易得众数的估计值判断B；利用平均数的估计值的计算公式计算可判断C；求得百分位数判断D. 【解析】对于A：，解得，故A正确； 对于B：频率分布直方图的第三组的频率最大，故数据的众数的估计值为，故B正确； 对于C：平均数的估计值为，故C错误； 第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为， 前三个组的频率和为，所以第百分位数在第四个组， 所以百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，四棱柱底面是边长为1的正方形，，点是直线上一动点，下列说法正确的是（    ） A．若棱柱是直棱柱，其外接球半径为2，则； B．若棱柱是正方体，分别为棱，中点，则四棱锥的体积为； C．不论取何值，一定存在点使得直线平面； D．若直线，，与平面所成角分别是，，，则. 【答案】BCD 【分析】根据直棱柱其体对角线为外接球的直径，可求得的值，即可判断A的正误；根据正方体的性质，可得四边形为菱形，则，根据体积公式，即可判断B的正误；根据线面平行的判定定理，分析即可判断C的正误；作底面ABCD于H，连接PA、PB、PC，则，即可表示出，根据余弦定理，分析推理，可判断D的正误，即可得答案. 【解析】对于A：若棱柱是直棱柱，则其体对角线为外接球的直径， 所以，即，解得，故A错误； 对于B：若棱柱是正方体，则棱长均为1， 因为分别为棱，中点， 所以，即四边形为菱形， 所以，故B正确； 对于C：连接AC、BD交于点O，连接、PC，如图所示 当P为中点时，有，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 所以当P为中点时，不论取何值，一定存在点使得直线平面，故C正确； 对于D：作底面ABCD于H，连接PA、PB、PC，如图所示 因为，则H一定在AC所在直线上， 则， 所以， 当H位于线段AC内时，设，则时，此时， 由余弦定理得， 所以恒成立， 当H位于AC延长线， 则时，此时， 由余弦定理得， 所以恒成立， 当H位于CA延长线时，设，则， 由余弦定理得， 所以恒成立， 综上恒成立 所以，则 所以，故D正确， 故选：ACD 【点睛】解题的关键是熟练掌握柱体、锥体的性质、体积公式等知识，并灵活应用，难点在于要求间的关系，需作垂线，根据三角函数定义，表示出，再根据函数的性质，比较大小，属中档题. 三、填空题 12．假设，，且与相互独立，则 ． 【答案】0.92/ 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【解析】事件与相互独立，则， 由并事件的概率公式. 故答案为：0.92. 13．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．    【答案】 【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可. 【解析】    过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面，又，平面， 根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故，于是二面角的平面角为， 根据题目数据，在中，，， 则，则. 故答案为： 14．已知向量，满足，若以向量为基底，将向量表示成 为实数），都有，则的最小值为 【答案】 【分析】向量的模长已知，根据数量积公式可知所求为向量夹角余弦值的最小值，结合函数在区间上单调递减可得的最小值为. 【解析】由题可知， 不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动， 又 为实数），都有， 所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小. 此时，在中，由余弦定理可得，, 故答案为：. 四、解答题 15．在中，角所对的边分别是，且满足 (1)求角； (2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简已知等式求得，由此可得； （2）利用正弦定理可求得，由余弦定理可得； 方法一：根据，利用余弦定理可得，根据可求得，进而得到三角形周长； 方法二：根据，由向量数量积定义和运算律可左右平方求得，根据可求得，进而得到三角形周长. 【解析】（1）由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，. （2）由正弦定理得：，解得：，即， 为边上的中点，， 由余弦定理得：，即…①； 方法一：在中，， 在中，； ，， 即，整理得：…②，由①②得：， ，解得：， 的周长为. 方法二：由向量加法得：， ，即…②，由①②得：， ，解得：， 的周长为. 16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面. (1)求证：侧面； (2)当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而证得，即可证得侧面； （2）连接AC，过O作，先证得，，则，再求出，即可求解. 【解析】（1）因为是等腰三角形且，M为PD的中点，所以，因为侧面，且底面， 所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面，所以， 因为DC，侧面，且，所以侧面. （2） 连接AC，过O作，交于点N，因为是正方形，所以，所以， 又因为底面，底面，所以，又平面，， 所以平面，又平面，所以，所以，不妨设等边三角形的边长为2， 则，，所以在直角三角形中，. 17．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场（鸟巢）举行，某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者． (2)若有甲（年龄，乙（年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解； （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为，得到第四组应抽取4人，第五组抽取2人，利用古典概型的概率求解； （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，由平均数公式和方差公式求解； 【解析】（1）解：设这人的平均年龄为， 则（岁； （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 第四组应抽取人，记为，，，甲，第五组抽取人，记为，乙， 对应的样本空间为，，，甲），，乙），，，，甲），，乙），，，甲），乙），，（甲，乙），（甲，，（乙，，共15个样本点． 分设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”， 则，甲），，乙），，甲），，乙），，甲），，乙），（甲，乙），（甲，，（乙，，共有9个样本点， 所以； （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为； 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此可估计这人中年龄在岁的所有人的年龄方差约为10 18．如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的性质可证得，结合可证得结论； （2）延长交于一点，根据可求得，利用体积桥可构造方程求得结果； （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【解析】（1）连接，    在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. （2）由棱台性质知：延长交于一点，   ，，， ； 平面，即平面， 即为三棱锥中，点到平面的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. （3）平面，平面，平面平面， 平面平面 取中点，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接，则即在平面上的射影，   平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作，   ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 【答案】(1)， (2)①1；② 【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解； （ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解. 【解析】（1）， . （2）（ⅰ）解法一：设，， 所表示的复数为，所表示的复数为 有， ， 故， 得 ， 其中，故线段长度的最小值为1. 解法二：连接，设，， 由可得，则， 当时， 化简得，令，. 则 . 同理可得：当时， （ⅱ）设，则，即点坐标为， 此时，，. 由（，）得： ， 即，解得， 故， ，其中， 可得. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$