2024年新高考数学【衡水金卷·先享题·信息卷】模拟试题（B）04

2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 5.为响应国家号召,基单位积极开展全民健身运动,为了解本单位别,女职工全民健身 数学[四) 运动的情况,采用分层随机抽样的方法从男,女职工中分别抽取了60人,40人:并统 计了他们每周的健身时长(单位;h).经统计,男职工每周健身时长的平均数为8,方 差为2,女职工每周健身时长的平均数为7,方差为1.2,则在这个样本中,该单位职工 本试卷共1页,10题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 每周健身时长的方差为 A.1.82 B.1.92 C.2.12 注意事项: D.2. 6.已知.gE(0=)co(2-20--10se0-,明2(a+g0一 1.答题前,先将自已的姓名,考号等填写在答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:选也每小题答案后,用2B铅笔批答题卡上对应题目的答案标号 1_ _一 涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 D./ 3.填空题和解答题的作答,用字笔或接写在答题卡上对应的答题区成内,写点 7.轮船在海平面上航行时一般是通过发送电酸波信号来实现定位的,发送电磁波信号 试题卷,草稿故和答题卡上的非答题区城均无效。 后,根据两个基站接收信号的时间差,便可定位轮船在海平面上的大概位置,已知B 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 基站在A基站的正东方向30m处.一潜口M位于A.B基站之间:且与B基站的距 项是符合题目要求的。 离为3km.现有一婆轮船从港口M出发给看东北方向航行一段时间后到达P处,封 在P处发出电磁波信号,B基站接收到该信号后,经过8×10。;A基站才接收转该 1.已知:-2-i.期- 信号,已知电碎波在空气中的传播速度为3×10km/t.则点P与港口M间的距离为 A.1082n B.21m D} C.212k #A-B1+C+ D.30kn 2.已知集合U--1.0.1.2.3A--20.B--1.0.1用图 期影 部分表示的集合为 ) B. C6 A. A-]) D.。 B.一1,p 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 C.10.1.2) 题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 D.-1,0.11 B.已知向量a-(cos.1).b-(2,-sin.期 3.函数f(c)的落分图象如图所示,则1f()的解析式可能为 A.+一4 B._ (_ B.[一、③/③] C.不存在8.使得a/b D.当a1*时,0为锐角 (_ 10.记8为等差数列]的前n项和,若u0.且.一一n,则 A.一0 C-S BS-0 ### D.当.取最大值时,一或7 两点,期 A.△AFB的属长为12 B.当1AF|-[BF:1时:1Aa-11 第 D. 当/的斜率为1时,弦AB中点的坐标为(-) C.1AB[的最大值为8 4.如图,因柱的轴截要为矩形A现CD:点O为CD的中点:点E在下底而翻固上:且F -2AF.AB-2.AD-,则异面育线0A与CE所成角的余落值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 _.(用整字作答) 13.已知点P在C.+y-4上运动,点Q在翻C:(-4+(y-3)-1上运动. 则线段PQ长度的取值范用为 .(用区回表 数学四]第1页(共4页) 水全卷·先享题·健息 数学(四)第:页(共页 14.如图,将一个园形花用分割成10个地块,现往每个地块中播种花弃的 17.(本小题满分15分) 种子,播神规则如下:先从地块1.8中任选1个地块神,之后每次 如图,在多面体ABCDEF中.AD 平面ABEF,四边形ABCD.ABEF均为直角 机达一个未播种且与上次所播种的独块不相邻(那没有公共边)的地 形,AD/BC.AF/BE.AB AF.且AF-AD-AB-2BC-2BE-2.点G在线段 块进行播种,当地块5播种后停止播种:记此时已播种的地块数为X. AF上.且AG-:AF. 别事件“X一3”的概率为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答度写出文字说明,证明过程难演算步。 (1)当-时,求点G到平面ACE的距离; 15.(本小题满分13分 在①(2-c)s A-acnsC.②③(h-aos C)-csin A:③cos 2C+cos 2B-cos2A -1-2sinBsinC,这三个条件中任选一个,补充在下画的同题中并解答. 记△ABC的内角A.B.C的对边分题为a..r.已知 (1求证:B+C-2A; (2)若a-4--2,求△ABC的面程 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分 18.(本小题满分17分) 15.(本小题读分15分) 已知点A.B在抛物线C.y-4上,点P(-4.0)与点Q关于愿点对称:且A- 2023年0月23日至10月8日,第19届亚洲运动会在我国杭州举行,这是我国 .. 北京、广州亚运会后第三次举办死运会,浙江某市一调研机构为了解本市市民对”死运 会”相关知识的认知程度,举办了一次”更运会”陪络知识意赛,满分100分,现从参加了 (2)证明:APQ-APB. (1)当1一2时,求直线AB的斜 竞赛的男,女市民中各随梳抽取了100名市民的意赛成绩作为样本进行数据分析,对这 100名男市民的意赛成结诸行统计后,得到如图所示的超率分布直方图 0.020 00 060%8090100(分) 19.(本小题满分17分 (1)现规定成绩不低于80分的市民获优秀奖,若女市民样本中获得优秀奖的人数 设P是平面直角坐标系xO内的一点,曲线C是函数y一((c)的图象,若过点P 占比为5%,则依据小概率值。一0.001的独立性检验,能否认为该市市民在这次知识竞 恰能作曲线P的条切线(一).则称P是函数y一f)的“度点”. 赛中获得优奖与性别有关? (1)判断原点0与点A(2,1)是否为函数f(1)一的“1度点”,并说明理由; (2)为调动工作人员的积极性,该祸研机构针对机构内的甲,乙、丙三位工作人员也 (2)若g(z)-sin2r(-<r<),证明,点B{0.)是函数g(r)的“0度点”; 设置了一道难度较大的与亚运会有关的问题,回答正确划奖励平板电默一台,已知甲。 乙、丙三人中,甲、乙答对的数事分别为甲,丙两人都答对的概率为,且每个人 (3)求函数(r)一r”一2-的所有“?度点”构成的集合 答题是否正确耳不影响.若现定甲,乙、丙三人举手抢答这道题,其中甲,乙、丙抢到答题 南:)_一 (+6+)十c)(+其中-++e十. n-r): 8 0.1 0.05 0.01 0.000 0.001 1. 2.705 3.841 6. 635 7.879 10.828 数学(四)第3页(共4页] 数学(四)第1页1共4页 水金卷·先享题·信息卷 回信息卷B 数学(四) 2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 信息卷B·数学(四) {命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 V.应用意识和创新意识 2.核心素养: ②逻辑推理 ①数学抽象 ③数学建模 ④直观想象 数学运算 数据分析 能力要求 核心素养 知识点 预估难度 题号 题型 (主题内容) 档次 ② ④ ③ 系数 复数的混合运算,涉 5 选择题 易 1 及共复数 0.82 数集间的混合运算. 1 易 选择题 , __ 心 0.75 涉及Venn图 由函数的图象选择 5 中 选择题 / 。 3 / 。 0.68 解析式 求异面直线所成角 5 中 选择题 / 。/ / / 0.65 的余弦值 分层随机抽样的均 5 ) 中 选择题 , / 。/ / 0.60 值与方差 / 选择题 中 倍角公式的应用 6 5 0.50 x 7 选择题 双曲线的实际应用 / 5 0.40 中 8 5 选择题 利用导数比较大小 0.35 6 向量的坐标运算,涉 中 选择题 0.70 及三角函数 等差数列的性质,涉 过 _ 10 6 / 中 选择题 。 及前n项和 0.58 直线与概圆的位置 选择题 6 中 / 。_ 关系 0.35 。 由二项式定理求特 12 易 填空题 0.72 定项的系数 圆与圆的位置关系 , 13 中 填空题 5 # 0.65 的应用 14 填空题 相互独立事件的概 中 5 / 0.40 率的实际应用 利用正、余弦定理解 15 13 解答题 易 三角形(结构不良 。 0.72 题) .1. 信息卷B 数学(四) 以频率分布直方图 为载体,独立性检 _ _ _ __ 16 15 中 解答题 0.60 验,全概率公式的 计算 以组合体为载体,求 15 17 中 解答题 点到面的距离,由线 0.40 面角求参 抛物线与向量的综 18 17 难 合,第2问为角度 / 解答题 0.25 问题 19 解答题 17 新定义题 难 0.15 .2. 信息卷B 数学(四) ## 参考答案及解析 数学(四) 一、选择题 5.B【解析】在这个样本中,该单位职工每周健身时长 60. 0×8+100 40×7-7.6,故方差为 的平均数为:一 -(2-)(1-)_-2-31i+i 60 ×[2+(8-7.6)]+ 0 100 ×[1.2+(7- (1+i)(1-) 2 选B. 7.6)]-192.故选B. 2.A【解析】由题可知图中阴影部分表示的集合为 6.A【解析】'cos(2a-2$)-2cos②(a-)-1-25 (A)nB,且A-(0,1,2),所以CoA--1,3). 又B=(-1.0.1),所以(lA)OB=-1).故 选A. 3.A【解析】由图象可知该函数为奇函数,对于C. cos acos+sin asin)=+sin asing=4.:. /(一x)=f(x),为偶函数,排除C:对于B,当→ 十时,f(x)<0,排除B;对于D,当x0时,f(x) sin asin}- D.故选A. 4.C 【解析】取AB的中点F,连接CF,EF,AE,BE 7.C 【解析】以线段AB的中点O为原点,AB所在直 则OC/AF,OC=AF,所以四边形OAFC为平行四 线为:轴建立如图所示的平面直角坐标系, 边形,所以OA//CF,所以ECF(或其补角)即为异 *P 面直线OA与CE所成的角,易知AE1BE,因为E -$ AE,所以乙BAE-,_EBA-吾,又AB=2,$$ 则$CE=BE+BC=3.CF=BF+BC=$7$$ 则A(-15,0).B(15,0),M(12,0).由题可知直线 所以在△CEF中,由余弦定理得cosECF PM的方程为y=x-12,设P(x,y),则 |PA CE*+CF-FF*9+7-15V7 2×3X77,即异面直线0A 2CE.CF |$PB-8$10-$3$10-24{<AB=30,所以点$$ P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,其中a=12, 7故选C. (#一# -x-12 P(30.218),所以 × 0012- 2162km.故选C. 数学(四) 参考答案及解析 8.D【解析】构造函数(x)=e一(x十1),x<0,则 三、填空题 '(x)=e-1<0,所以h(x)在(-,0)上单调递 12.-189【解析】(3-)的展开式的通项为Tt+ 减,所以h(x)>h(0)-0,故h(-0.75)-e (-0.75+1)--8-0.250,故-~0.25.即 -c(-x)()”*-(-1)*3→C$,k-0, ac.构造函数g(x)=lnx-(x-1),x>1,则 1-1=1-<0.所以8(x)在 1.1.,7.令2-7-3,则 -5,所以^的系数为$$ g'(x)= -3C--189. (1,+oo)上单调递减,所以g(x)<g(1)-0,所以 13.[2,8]【解析】由题可知圆C.的圆心为C.(0,0). 半径r=2,圆C的圆心为C(4,3),半径r=1. 则CC- (4-0)+(3-0)-52+1-3,两$ <c.所以b<c<a.故选D 圆相离,所以|PQ=CC+r+r-8 二、选择题 PQm=CC-r-r-2,所以线段PQ长度的 9.ABC 【解析】a +b=cos0+sin0+3-4,A正确 取值范围为[2,8]. a·b-2cosθ-sinθ-3cos(0+)-3.3],B 14. 【解析】由题意知“X一3”等价于“第三次在地 正确;若a/b,则/2--sin6cos0.即sin20--2② <一1,所以不存在θ,使得a/b,C正确;若a b,则a 块6播种”,若第一次选地块1,则第二次可以在除 ·b-②coso-sin-0,则tan-②,此时0是第一 地块1,2,4外的7个中选择一个播种,要想第三次 或第三象限角,D错误.故选ABC. 在地块6播种,则第二次播种需从地块3,8,10中选 10.BCD【解析】设数列a。)的公差为d,d子0,由a。 -a-a,得a+9d-3d,所以a+6d-0.即a 0.则aa-a:+d-d去0.故A错误;Sa- 13(a+an)-13ay-0,故B正确;S-S.-a:-0. 故S-S,故C正确;由a0,a:-0,可知a.a. 四、解答题 ....a。均大于0,d<0,则a0,所以当S.取最大值 15.解:(1)若选①:由(2b-c)cosA-acosC. 时,n-6或7,故D正确.故选BCD. 得2bcos A=acos C+ccos A. 11.ABD【解析】由题得F(一1,0),F。(1,0).对于 则由正弦定理得 2sin Bcos A=sin Acos C十 A,由概圆的定义可知,△AF,B的周长为 AB|+ sin Ccos A-sin(A+C)-sin B. (3分) |AF +BF =AF AF +BF + 又0<Bπ,所以sinB0. |BF =4a=12,A正确;对于B.当1AF |= BF 时,AB t轴:此时A.B两点的横坐标均为1,将 (5分) 所以B+C-2A. (6分) 大,故AB的最大值为24三6,C错误;对于D,当直 若选②:因为v3(b-acosC)=csinA. 线/的斜率为1时,直线1:y=r-1,设弦AB中点 所以由正弦定理得3sinB一3sinAcosC 一sinCsinA. 的坐标为(&,%),联立 所以③sin(A+C)-3sinAcosC-3cosAsinC --1 -sinCsinA. (3分) 又0Cn,所以sinCo. 所以tanA-③. 又0<A<n,所以A-. (5分) 正确.故选ABD. 。2. 信息卷B 数学(四) 所以B+C-2A. (6分) 若选③:因为 cos 2C+cos 2B-cos 2A-1- 2 sin BsinC. (9分) 所以1-2sinC+1-2sin*B-1+2sinA-1- 记事件A,为“甲抢到这道题”,事件A,为“乙,抢到 2 sin BsinC. (3分) 这道题”,事件A,为“丙抢到这道题”,事件B为“这 即sinB+sinC-sinA-sin BsinC. 道题被答对”,事件C为“这三人中有人获得平板电 则由正弦定理得十c*一a*-be, 脑”, 所以由余弦定理得cosA-+-1 2 2 则P(A)-.P(A:)-,P(A)-. (5分) P($B{A)#-#P(B{A)-#P(B{A)-3 所以B+C-2A. (6分) (12分) (2)由(1)可知A-. 由全概率公式可得 #P(A)P(B{A)-×+×1 又a-4,-c-2. P(C)一 则由余弦定理得a-P+c-2bccosA-+-b 61 一(b一c):十b. (9分) 120 即16-4+b. 所以b-12. (11分) 所以△ABC的面积为s-besin A-3v3.(13分) (15分) 17.解:(1)因为AD1平面ABEF,AB1AF. 16.解:(1)由频率分布直方图可知,男市民样本中获得 所以AF,AB,AD两两垂直. (1分) 优秀奖的频率为(0.020+0.005)×10-0.25. 所以以A为原点,AF,AB,AD所在直线分别为x, 故男市民样本中获得优秀奖的有25人,未获得优秀 y.:轴建立如图所示的空间直角坐标系. 奖的有75人. 因为女市民样本中获得优秀奖的人数点比为5%; D 所以女市民样本中获得优秀奖的有5人,未获得优 秀奖的有95人. (3分) 得到如下列联表: 获奖情况 性别 合计 获得优秀奖 未获得优秀奖 男 25 75 100 ) 5 100 则A(0.0,0),E(1.2,0),C(0.2.1).D(0.0,2). 合计 30 170 200 F(2.0.0). 提出零假设H。:市民获得优秀奖与性别无关 当a--时,G(1,0.0). 经计算得二 200×(25×95-75×5)800 51 30×170×100×100 所以EC-(-1,0.1).AC-(0,2,1).AG-(1.0.0). 15.68610.828-ro.o1. (6分) (4分) 所以依据小概率值。一0.001的独立性检验,我们摊 设平面ACE的法向量为n一(x,y,z). 1nEC----0. 断H。不成立,即认为该市市民在这次知识竞赛中 则 (7分) 获得优秀奖与性别有关. n.AC-2y+:-0. (2)设丙答对的概率为)(0 <1). 取-2,得n-(2,-1,2). (6分) .3. 数学(四) 参考答案及解析 2y+8(y+y) 设点G到平面ACE的距离为d; -32+32. (x十4)(x+4) 2 (r+4)(24)-0. n 4+1+4 (15分) 即点G到平面ACE的距离为2} (8分) 所以直线PA,PB的倾斜角互补, 所以乙APQ-- (17分) (2)由题可得AG-AF-(2,0,0).0<<. 所以DG-DA+AG-(0,0.-2)+(2,0,0)=(2 19.解:(1)由题得/(x)三e. 0.-2). (10分) 设曲线y=f(x)在点(1.f(1))处的切线方程为 由(1)可知平面ACE的法向量为in-(2,一1,2). y--(-). 设DG与平面ACE所成的角为6, 若该切线过原点O,则e一te,解得1-1. DGn4-4 所以原点0是函数/(x)三e的“1度点” 则sin0=lcos(DG,n)|= (2分) [DGln| 34+4 若该切线过点A(2,1),则1-e-e(2-7); 27. 即-3e+1-0. 17 令w(t)-te-3e+1,则w'(7)=(t-2)e. 整理得4^}-17+4-0,解得a--或4(舍). 令w()>0.得2:令w()<0.得t<2; (14分) 所以w(7)在(-oo,2)上单调递减,在(2,+o)上 单调递增. 17 所以w(t)-w(2)-1-e<0. 时,的值为. (15分) 又w(-3)-1- 18.解:(1)由题得Q(4.0). 所以由零点存在定理可知,w(1)一0在(一3,2). 因为A-Q. (2,3)内各有一个实根 (2分) 所以直线AB过点Q,且斜率不为0. 即方程te一3e+1-0有两个不等实根, 则设直线AB的方程为x-ty+4.A(x,). 故点A(2,1)不是函数f(x)一e的“1度点”. B(x:.y). (4分) (x=ty十4 (2)由题得g'(x)-2cos2x. 联立 ,得-41y-16-0. -4r 设曲线y=g(x)上一点(m,sin 2m),-<m 则△-16+640,y+y:-4,yy--16.(5分) 当x-2时,A-2. 即(4-x,-y)-2(x-4,y), 则曲线y=g(x)在点(m,sin2m)处的切线方程为 所以-y-2y,即y--2y; (7分) y-sin 2n-2cos 2m(r-n). 所以y+=-=4,yy=-2=-16$ 若该切线过点B(0,). 则--sin 2m=-2mcos 2m. (5分) 所以直线AB的斜率为士v2. (10分) 令G(m)-sin 2n-2ncos 2m-,-<. (2)由(1)可知,y+y:-4f,yy--16 则直线PA,PB的斜率之和为 则G'(m)-4msin2m0. 所以G(m)在(一哥,)上单调递增, (r+4)y+(x.+4)y 所以G(m)<G()-1-哥<o. (r.十4)(x+4) (y+8)y+(y+8)y 所以哥-sin 2m=-2mcos 2m恒不成立, (x十4)(x十4) .4. 信息卷B 数学(四) 所以点B(o,)是g(x)的一个“0度点”。(7分) (3a+)-(3a+1bl)(3a+21)+2a (3)由题得(x)-3-2, 十b>0. 所以由零点存在定理可知e(n)在(一co,0). 则曲线y三h(x)在点(n,h(n))处的切线方程为 y-(n-2n)-(3r-2)(r-n). (0,a),(a,十c)上各有一个零点,不符合题意; (11分) 设点(a,b)为h(x)的一个“2度点”, 当(a)<(0)<0时,(n)仅有一个零点,不符 则关于n的方程b-(n-2n)=(3n{}-2)(a-n)恰 合题意; (8分) (12分) 有两个不同的实数解. 当(0)>(a)0时,(n)仅有一个零点,不符 设 (n)-2n-3an}+2a+b 合题意: (13分) 当a-0时.e(n)-2n^}+b在R上单调递增;$ (9分) 当(0)-0>(a)时,(n)有两个不同的零点,此 此时(”)只有一个零点,不符合题意 时--2a; (14分) 当a>0时.'(n)-6n}-6an. 则当n<0或na时,'(n)0,e(n)单调递增; 当 (0)>(a)=0时,(n)有两个不同的零点, 此时b-a-2a; (15分) 当0<n<a时,(n)0.(n)单调递减. 当a<0时,同理可得,当 (0)=0或e(a)-0时; 所以e(n)的极大值为(0)-2a十b,极小值为 (n)有两个不同的零点. (10分) (16分) (a)-2a+b-a. 综上,h(x)的所有“2度点”构成的集合为((x,y)ly 当g(0)>0>g(a)时. --2x或y=-2x,x0. (17分) 因为(-#/2a+)-3(2a)}o .5.