专题02 解三角形、平面向量、复数和不等式（四大题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题02 解三角形、平面向量、复数和不等式 考点一、复数的运算 考点二、平面向量及其应用 考点三、均值不等式及其应用 考点四、解三角形及其应用 复数的运算 1．（22-23高二下·天津·期末）已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高二下·天津·期末）是虚数单位，复数 . 3．（22-23高二下·天津·期末）ｉ是虚数单位，复数 . 4．（（22-23高二下·天津·期末）i是虚数单位，则复数 . 5．（22-23高二下·天津·期末）若复数，则 . 平面向量及其应用 6．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 7．（22-23高二下·天津·期末）向量在向量方向上的投影向量是 . 8．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为 . 9．（22-23高二下·天津·期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是 . 10．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，，，且，． (1)求向量、； (2)若，，求向量，的夹角的大小. 均值不等式及其应用 11．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 12．（22-23高二下·天津·期末）已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 13．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二下·天津·期末）已知函数的最小值为，则 . 15．（22-23高二下·天津河北·期末）已知，，且，则的最小值为 . 16．（22-23高二下·天津南开·期末）函数的最小值为 . 17．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值为 . 18．（22-23高二下·天津·期末） 设，，，则的最小值为 . 19．（22-23高二下·天津和平·期末）已知，则的最小值是 ． 20．（22-23高二下·天津河西·期末）已知，． (1)求的值； (2)若m＞0，n＞0，且，求的最小值． 解三角形及其应用 21．（22-23高二下·天津·期末）在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 22．（22-23高二下·天津·期末）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 23．（22-23高二下·天津河北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求的值； (2)若，且的面积为，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解三角形、平面向量、复数和不等式 考点一、复数的运算 考点二、平面向量及其应用 考点三、均值不等式及其应用 考点四、解三角形及其应用 复数的运算 1．（22-23高二下·天津·期末）已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：因为，故实部为1，虚部为-1，则对应的点（1，-1）在第四象限，选择D 2．（22-23高二下·天津·期末）是虚数单位，复数 . 【答案】 【分析】根据复数的除法运算法则计算可得结果. 【详解】. 故答案为：. 3．（22-23高二下·天津·期末）ｉ是虚数单位，复数 . 【答案】 【分析】根据复数乘除法运算，即可解决. 【详解】故答案为 【点睛】本题考查复数乘除法运算，属于基础题. 4．（22-23高二下·天津·期末）i是虚数单位，则复数 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】 故答案为： 5．（22-23高二下·天津·期末）若复数，则 . 【答案】 【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出的值. 【详解】，因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题. 平面向量及其应用 6．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】D 【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D. 【详解】A：由，故不成立，错； B：由，错； C：，则，错； D：与向量方向相同的单位向量是，对. 故选：D 7．（22-23高二下·天津·期末）向量在向量方向上的投影向量是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的运算公式直接计算. 【详解】由题意得，， 所以在方向上的投影向量是. 故答案为： 8．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为 . 【答案】. 【分析】设与的夹角为，由，利用数量积的运算法则 可得答案. 【详解】设与的夹角为， 由得， 即，解得，因为，所以， 所以与的夹角为. 故答案为：. 9．（22-23高二下·天津·期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是 . 【答案】 【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点， AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算 即可求出向量的数量积. 【详解】解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵AB＝，BC＝2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)， ∵点E在边CD上，且＝2， ∴E.∴＝，＝， ∴. 10．（22-23高二下·天津·期末）已知向量，，，且，． (1)求向量、； (2)若，，求向量，的夹角的大小. 【详解】（1）解：因为，，，且，， 所以，， 所以，， 所以，； （2）解：设向量，的夹角的大小为． 由题意可得，，， 所以， 因为，所以． 均值不等式及其应用 11．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C．8 D．20 【答案】B 【分析】将转化为，发现所求式子两个分母和为定值1，即，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解. 【详解】解：因为，所以， 又因为， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 故选：B. 12．（22-23高二下·天津·期末）已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】确定，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案. 【详解】当时，，，故，不符合题意，故， ，当，即时等号成立. 故选：B 13．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理. 【详解】，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值. 故选：C 14．（22-23高二下·天津·期末）已知函数的最小值为，则 . 【答案】 【分析】配方得，结合基本不等式即可求解 【详解】，当且仅当时等号满足， 故答案为：9 15．（22-23高二下·天津河北·期末）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先利用指数的运算与性质得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以，即， 则，所以， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故答案为：. 16．（22-23高二下·天津南开·期末）函数的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】由，根据基本不等式， 得， 当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为4. 故答案为：4 17．（22-23高二下·天津·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】巧用1的代换根据基本不等式求最值. 【详解】 ∵，∴，，且， ∴ ，当且仅当时， 即时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 18．（22-23高二下·天津·期末） 设，，，则的最小值为 . 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 19．（22-23高二下·天津和平·期末）已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得. 【详解】∵， ∴且， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴的最小值为. 故答案为：. 20．（22-23高二下·天津河西·期末）已知，． (1)求的值； (2)若m＞0，n＞0，且，求的最小值． 【详解】（1）由题意得，， 所以，． （2）由换底公式得：， 所以， 当且仅当，即，等号成立， 因此的最小值为． 解三角形及其应用 21．（22-23高二下·天津·期末）在中， （1）求的值； （2）若，，求的值. 【详解】（1）因为在中，，所以，； （2）由（1）知，，所以 因为，所以 又因为，由正弦定理，可得 22．（22-23高二下·天津·期末）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 (1)求角C (2)若，，为角C的平分线，求的长； (3)若，求锐角面积的取值范围. 【详解】（1）解：由及正弦定理得 所以 ∴，∴ ∵，∴ （2）解：设由得 . 解得，即角平分线的长度为 （3）解：设外接圆半径为R，由 ，即，即，∴ 所以的面积 ∵，∴， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，∴， ∴ 23．（22-23高二下·天津河北·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. (1)求的值； (2)若，且的面积为，求的值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即， 因为，则，所以. （2）由（1）知， 又，所以， 因为的面积为， 所以，得， 又，所以由，得， 所以，即， 又，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$