11.5.2 利用不等式解决一次函数问题-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

第２课时　利用不等式解决一次函数问题 【边学边练】 知识点　利用不等式解决一次函数问题 １．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按 印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用 ｙ（元）与印刷份数ｘ（份）之间的函数关系如图所示。 （１）填空：甲种收费方式的函数表达式为 ；乙种收费方式 的函数表达式为　　　　　　　　。 （２）该校某年级每次需印制１００～４５０（含１００和４５０）份学案，选择哪种印刷方式较 合算？ ２．某乒乓球训练馆准备购买１０副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配 ｘ（ｘ≥３）个乒乓 球，已知Ａ，Ｂ两家超市都有这种品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价 都为２０元，每个乒乓球的标价都为１元，现两家超市正在促销，Ａ超市所有商品均打 九折（按原价的９０％付费）销售，而Ｂ超市买１副乒乓球拍送３个乒乓球。如果只在 某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去Ａ超市还是Ｂ超市买更合算？ 【随堂小测】 １．某公园门票的价格为每位２０元，２０人以上（含２０人）的团体票八折优惠。 （１）现有１８位游客要进公园，如果他们买２０人的团体票，那么比买普通票便宜多 少钱？ （２）当游客人数不足２０人时，至少要有多少人去该公园，买团体票才比买普通票更 合算？ ７８ ２．暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为５００元的两 家旅行社。经协商，甲旅行社的优惠条件是两名家长全额收费，学生都按七折收费； 乙旅行社的优惠条件是家长学生都按八折收费。假设这两位家长带领 ｘ名学生去 旅游。 （１）分别写出甲、乙旅行社的收费ｙ１（元），ｙ２（元）关于ｘ的函数关系式； （２）他们选择哪家旅行社更合算？ ３．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买１０副某种品牌的羽毛球拍，每 副球拍配ｘ（ｘ≥２）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近Ａ，Ｂ两家超市都有 这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为３０元，每个羽毛球的标 价均为３元，目前两家超市同时在做促销活动： Ａ超市：所有商品均打九折（按标价的９０％）销售； Ｂ超市：买一副羽毛球拍送２个羽毛球。 设在Ａ超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 ｙＡ（元），在 Ｂ超市购买羽毛球拍和羽 毛球的费用为ｙＢ（元）。请解答下列问题： （１）分别写出ｙＡ和ｙＢ与ｘ之间的关系式； （２）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更合算？ （３）若每副球拍配１５个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。 ８８ 去括号，得４ｘ＋４－１２＜３ｘ－３。 移项，得４ｘ－３ｘ＜－３－４＋１２。 合并同类项，得ｘ＜５。 ９．解：（１）解不等式２ｘ＋３２ － ｘ＋１ ３ ≥０，得ｘ≥－ ７ ４。 所以当ｘ≥－７４时， ２ｘ＋３ ２ － ｘ＋１ ３ 的值是非负数。 （２）解不等式２ｘ＋３２ － ｘ＋１ ３ ≤１，得ｘ≤－ １ ４。 所以当ｘ≤－１４时，代数式 ２ｘ＋３ ２ － ｘ＋１ ３的值不大于１。 １０．解：设乐乐至少要答对ｘ道题。 根据题意，得１０ｘ－５（２０－ｘ）≥８０。解得ｘ≥１２。 ∵ｘ为正整数，∴ｘ的最小值为１２。 答：乐乐至少答对１２道题，总分才不会低于８０分。 １１．解：（１）１２０×０．９５＝１１４（元）。 答：实际应支付１１４元。 （２）设购买商品的价格为ｘ元。 根据题意，得０．８ｘ＋１６８＜０．９５ｘ。 解得ｘ＞１１２０。 答：当购买商品的价格超过１１２０元时，采用方案一 更合算。 １２．解：（１）设１辆甲种客车与１辆乙种客车的载客量分 别为ａ人，ｂ人。 根据题意，得 ２ａ＋３ｂ＝１８０， ａ＋２ｂ＝１０５{ 。解得 ａ＝４５，ｂ＝３０{ 。 答：１辆甲种客车与１辆乙种客车的载客量分别为 ４５人和３０人。 （２）设租用甲种客车ｘ辆，租车费用为ｙ元。 根据题意，得ｙ＝４００ｘ＋２８０（６－ｘ）＝１２０ｘ＋１６８０。 由４５ｘ＋３０（６－ｘ）≥２４０，得ｘ≥４。 ∵１２０＞０，∴ｙ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ为最小值４时，ｙ值最小。 此时，最低费用ｙ＝１２０×４＋１６８０＝２１６０（元）。 答：租用甲种客车４辆，乙种客车２辆，费用最低，最 低费用为２１６０元。 ５　一元一次不等式与一次函数 第１课时　利用一次函数的图象 解决不等式问题 【边学边练】 １．Ｂ　２．Ａ ３．Ｄ　【解析】Ａ，Ｂ，Ｃ项正确；直线ｙ１上升速度快，说明 甲汽车租赁公司平均每千米收取的费用比乙汽车租 赁公司多，所以Ｄ项错误。故选Ｄ。 ４．ｘ＜０　【解析】ａｘ＋ｂ＜－１的解集即纵坐标小于 －１ 的点的横坐标的取值范围。 【随堂小测】 １．Ａ ２．Ａ　【解析】由题图可得当ｘ＞－１时，ｘ＋ｂ＞ｋｘ－１， ∴不等式ｘ＋ｂ＞ｋｘ－１的解集为ｘ＞－１。故选Ａ。 ３．Ｃ　【解析】把ｙ＝２代入 ｙ＝２ｘ，得２ｘ＝２，解得 ｘ＝１， ∴点Ａ的坐标为（１，２）。 ∴当ｘ＞１时，２ｘ＞ｋｘ＋ｂ。 ∵函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象经过点Ｂ（２，０）， ∴不等式０＜ｋｘ＋ｂ＜２ｘ的解集为１＜ｘ＜２。 故选Ｃ。 ４．－１＜ｘ＜２　【解析】１＞ｋｘ＋ｂ＞－２，即１＞ｙ＞－２。 由于Ａ，Ｂ两点的纵坐标分别为１，－２，因此１＞ｙ＞ －２所对应的图象即点 Ａ下方，点 Ｂ上方的公共部 分，这部分的图象上的点的横坐标的取值范围是 －１＜ｘ＜２。所以不等式 １＞ｋｘ＋ｂ＞－２的解集为 －１＜ｘ＜２。 ５．－３＜ｘ＜６　【解析】要想使 ｙ１，ｙ２的值都大于零，需 两直线都在ｘ轴的上方，由图象可知，所求 ｘ的取值 范围是－３＜ｘ＜６。 ６．解：（１）将点 Ａ的坐标代入 ｙ１＝ｋｘ－２，得 ２ｋ－２＝ －１，解得ｋ＝１２； 将点Ａ的坐标代入 ｙ２＝－３ｘ＋ｂ，得 －６＋ｂ＝－１，解 得ｂ＝５。 （２）从图象可以看出当ｘ＞２时，ｙ１＞ｙ２。 （３）∵直线ｙ１＝ １ ２ｘ－２与ｘ轴的交点为（４，０）， ∴从图象可以看出当ｘ≥４时，ｙ１≥０。 第２课时　利用不等式解决一次函数问题 【边学边练】 １．解：（１）ｙ＝０．１ｘ＋６，ｙ＝０．１２ｘ 【解析】设甲种收费方式的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋６， 由于其图象经过点（１００，１６），∴１６＝１００ｋ＋６。解得 ｋ＝０．１。 ∴甲种收费方式的函数表达式为ｙ＝０．１ｘ＋６。 设乙种收费方式的函数表达式为ｙ＝ｋ１ｘ，由于其图象 经过点（１００，１２），∴１２＝１００ｋ１。解得ｋ１＝０．１２。 ∴乙种收费方式的函数表达式为ｙ＝０．１２ｘ。 （２）由０．１ｘ＋６＝０．１２ｘ，得ｘ＝３００。 结合图象知， 当１００≤ｘ＜３００时，选择乙种方式较合算； 当ｘ＝３００时，选择甲、乙两种方式一样合算； 当３００＜ｘ≤４５０时，选择甲种方式较合算。 ２．解：设去Ａ超市购买所需费用为ｙＡ元，去Ｂ超市购买 所需费用为ｙＢ元，                                                               则 ２２１ ｙＡ＝０．９（２０×１０＋１０ｘ）＝９ｘ＋１８０； ｙＢ＝２０×１０＋１０（ｘ－３）＝１０ｘ＋１７０。 当ｙＡ＜ｙＢ时，即９ｘ＋１８０＜１０ｘ＋１７０，解得ｘ＞１０； 当ｙＡ＝ｙＢ时，即９ｘ＋１８０＝１０ｘ＋１７０，解得ｘ＝１０； 当ｙＡ＞ｙＢ时，即９ｘ＋１８０＞１０ｘ＋１７０，解得ｘ＜１０。 综上所述，当ｘ＞１０时，去Ａ超市购买更合算；当 ｘ＝ １０时，去Ａ超市和Ｂ超市购买一样；当３≤ｘ＜１０时， 去Ｂ超市购买更合算。 【随堂小测】 １．解：（１）买普通票费用为２０×１８＝３６０（元），买２０人 团体票费用为２０×２０×８０％＝３２０（元）， ３６０－３２０＝４０（元）。 答：１８位游客买团体票比买普通票便宜４０元。 （２）设有ｘ人去该公园。 根据题意，得２０ｘ＞２０×８０％×２０。 解得ｘ＞１６。 答：至少要有１７人去该公园，买团体票比买普通票更 合算。 ２．解：（１）由题意，得 ｙ１＝５００×２＋５００×０．７ｘ，即ｙ１＝３５０ｘ＋１０００， ｙ２＝（２＋ｘ）×５００×０．８，即ｙ２＝４００ｘ＋８００。 （２）由ｙ１＞ｙ２，得３５０ｘ＋１０００＞４００ｘ＋８００，解得ｘ＜４； 由ｙ１＝ｙ２，得３５０ｘ＋１０００＝４００ｘ＋８００，解得ｘ＝４； 由ｙ１＜ｙ２，得３５０ｘ＋１０００＜４００ｘ＋８００，解得ｘ＞４。 ∴当０＜ｘ＜４时，选择乙旅行社费用较少；当 ｘ＝４ 时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当ｘ＞４时，选择甲 旅行社费用较少。 ３．解：（１）ｙＡ＝（３０×１０＋３×１０ｘ）×９０％＝２７ｘ＋２７０， ｙＢ＝３０×１０＋３（１０ｘ－２×１０）＝３０ｘ＋２４０。 （２）当ｙＡ＝ｙＢ时，２７ｘ＋２７０＝３０ｘ＋２４０，解得ｘ＝１０； 当ｙＡ＞ｙＢ时，２７ｘ＋２７０＞３０ｘ＋２４０，解得ｘ＜１０； 当ｙＡ＜ｙＢ时，２７ｘ＋２７０＜３０ｘ＋２４０，解得ｘ＞１０。 答：当２≤ｘ＜１０时，到Ｂ超市购买合算；当ｘ＝１０时， 两家超市都一样；当ｘ＞１０时，到Ａ超市购买合算。 （３）①选择在Ａ超市购买， ｙＡ＝２７×１５＋２７０＝６７５（元）； ②先在Ｂ超市购买１０副羽毛球拍，送２０个羽毛球， 后在Ａ超市购买剩下的羽毛球（１０×１５－２０）＝ １３０（个）， 则共需费用为１０×３０＋１３０×３×０．９＝６５１（元）。 ∵６５１＜６７５， ∴最省钱的购买方案是先在Ｂ超市购买１０副羽毛球 拍，后在Ａ超市购买１３０个羽毛球。 ６　一元一次不等式组 第１课时　一元一次不等式组（１） 【边学边练】 １．Ａ ２．Ａ　【解析】解不等式２ｘ－３＞１，得ｘ＞２。 解不等式１－ｘ≥－２，得ｘ≤３。 解集在数轴上表示如下： 故选Ａ。 ３．Ａ　【解析】由数轴知不等式组的解集为－１≤ｘ＜２。 Ａ选项不等式组的解集为－１≤ｘ＜２； Ｂ选项不等式组的解集为ｘ≤－１； Ｃ选项不等式组无解； Ｄ选项不等式组的解集为ｘ≥２。故选Ａ。 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｃ ３．Ｄ　【解析】∵３ｘ＋ａ≤２，∴３ｘ≤２－ａ。∴ｘ≤２－ａ３ 。 ∵不等式只有２个正整数解，∴不等式的正整数解为 １，２。∴２≤２－ａ３ ＜３。解得－７＜ａ≤－４。故选Ｄ。 ４．３ ５．３　【解析】解不等式组，得 ｂ＋１＜ｘ＜２ａ－１，又∵不 等式组的解集为２＜ｘ＜３，∴ｂ＋１＝２，２ａ－１＝３。 解得ａ＝２，ｂ＝１。∴ａ＋ｂ＝２＋１＝３。 ６．解：解不等式ｘ＋１＜２，得ｘ＜１。 解不等式２（１－ｘ）≤６，得ｘ≥－２。 ∴不等式组的解集为－２≤ｘ＜１。 将不等式组的解集表示在数轴上如下： ７．解： ｘ－３ｘ＋６≤８，① １ ２ｘ＜４－ ３ ２ｘ， { ② 解不等式①，得ｘ≥－１。 解不等式②，得ｘ＜２。 ∴不等式组的解集为－１≤ｘ＜２                                                               。 ３２１