10.2.2 等腰三角形的性质与判定(2)-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

第２课时　等腰三角形的性质与判定（２） 【边学边练】 知识点　等腰三角形性质、判定的有关证明 １．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ于点 Ｄ。若 ＡＢ＝６，ＣＤ＝４，则△ＡＢＣ的周长 为 。 第１题图 第２题图 ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝５ｃｍ，ＢＰ，ＣＰ分别是∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的平分线，且ＤＰ∥ＡＢ， ＥＰ∥ＡＣ，则△ＰＤＥ的周长为 ｃｍ。 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是边 ＢＣ上一点，∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＢ＝４５°。求证： △ＡＤＣ是等腰三角形。 【随堂小测】 １．下列说法中正确的有 （　　） ①等腰三角形的两条高线长相等； ②等腰三角形的两条角平分线长相等； ③等腰三角形两腰上的中线长相等； ④等腰三角形两腰上的高线长相等。 Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，下列结论不一定正确的是 （　　） Ａ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｂ．ＡＤ⊥ＢＣ Ｃ．ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ Ｄ．ＡＢ＝２ＢＤ ５５ ３．（易错题）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为２０°，则其底角的大小为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１０５° Ｃ．５５°或３５° Ｄ．６５°或１１５° ４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝２０°，则∠Ｃ＝ °。 第４题图 　　　　　　 第５题图 ５．如图，△ＡＢＣ是等边三角形，边长为６，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为 Ｄ，点 Ｅ和点 Ｆ分别是线段 ＡＤ和ＡＢ上的两个动点，连接ＣＥ，ＥＦ，则ＣＥ＋ＥＦ的最小值为 。 ６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＢＤ⊥ＡＤ，垂足为Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＣ，交 ＡＢ于 点Ｅ，若ＡＢ＝５，求线段ＤＥ的长。 ７．如图，ＢＤ，ＡＤ分别平分△ＡＢＣ的内角∠ＣＢＡ和外角∠ＣＡＧ，ＢＤ交ＡＣ于点Ｅ。 （１）若ＡＢ＝ＡＣ，请判断△ＡＢＤ的形状，并证明你的结论； （２）在（１）的条件下，若ＡＥ＝ＢＥ，求∠ＡＢＣ的大小。 ６５ 在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°， ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝１８０°－６５°－４５°＝７０°。 ∵ＢＥ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＣＢＥ＝１２∠ＡＢＣ＝３５°。 ６．证明：如图， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠１＝∠２。 ∵ＥＦ∥ＡＢ，∴∠１＝∠３。∴∠２＝∠３。 ∵ＣＥ⊥ＡＤ，∴∠ＡＥＣ＝９０°。 ∴∠３＋∠４＝９０°，∠２＋∠５＝９０°。 ∴∠４＝∠５。∴ＥＦ＝ＣＦ。 ∴△ＣＥＦ是等腰三角形。 第２课时　等腰三角形的性质与判定（２） 【边学边练】 １．２０　２．５ ３．证明：∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°。 ∵∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＝１８０°， ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－３０°－３０°＝１２０°。 ∵∠ＤＡＢ＝４５°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ＝１２０°－４５°＝７５°。 ∵∠ＤＡＢ＝４５°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＤＡＢ＝７５°。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＣ。 ∴ＤＣ＝ＡＣ。 ∴△ＡＤＣ是等腰三角形。 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｄ ３．Ｃ　【解析】当∠ＢＡＣ是锐角时，如图１， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝２０°，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠Ａ＝７０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝（１８０°－７０°）÷２＝５５°； 图１ 　 图２ 当∠ＢＡＣ是钝角时，如图２， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝２０°，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝２０°＋９０°＝１１０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝（１８０°－１１０°）÷２＝３５°。故选Ｃ。 ４．４０ ５．槡３３　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ交ＡＤ于点Ｅ。 此时ＣＥ＋ＥＦ的值最小，且 ＣＥ＋ＥＦ的最小值为 ＣＦ。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，边长为６，∴ＢＦ＝１２ＡＢ＝ １ ２× ６＝３。∴ＣＦ＝ ＢＣ２－ＢＦ槡 ２＝ ６２－３槡 ２ 槡 槡＝ ２７＝３３， 即ＣＥ＋ＥＦ的最小值为 槡３３。 ６．解：如图，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠１＝∠２。 ∵ＤＥ∥ＡＣ，∴∠２＝∠ＡＤＥ。 ∴∠１＝∠ＡＤＥ。∴ＡＥ＝ＤＥ。 ∵ＢＤ⊥ＡＤ，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠１＋∠ＡＢＤ＝９０°， ∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＥ。 ∴ＤＥ＝ＢＥ。 ∴ＤＥ＝１２ＡＢ＝ １ ２×５＝２．５。 ７．解：（１）△ＡＢＤ是等腰三角形。 证明：∵ＡＤ平分∠ＣＡＧ， ∴∠ＧＡＤ＝∠ＣＡＤ＝１２∠ＣＡＧ。 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∵∠ＣＡＧ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ，∴∠ＧＡＤ＝∠ＡＢＣ。 ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ。∴ＡＢ＝ＡＤ。 ∴△ＡＢＤ是等腰三角形。 （２）∵ＡＥ＝ＢＥ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ。 ∵∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ， ∴ ５２∠ＡＢＣ＝１８０°。∴∠ＡＢＣ＝７２°。 第３课时　等边三角形的性质与判定、反证法 【边学边练】 １．Ｄ ２．解：∠ＢＡＥ＝∠ＣＢＦ。理由如下： ∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ＢＣ。 在△ＡＢＥ和△ＢＣＦ中                                                               ， ２１１