10.2.1 等腰三角形的性质与判定(1)-【一课通】2023-2024学年七年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

２　等腰三角形 第１课时　等腰三角形的性质与判定（１） 【边学边练】 知识点一　等腰三角形的性质 １．如图，ＡＤ是等腰三角形ＡＢＣ的顶角平分线，ＢＤ＝５，则ＣＤ＝ （　　） Ａ．１０ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３ 第１题图 　　　　　　　　 　 第２题图　　 ２．在螳螂的示意图中，ＡＢ∥ＤＥ，△ＡＢＣ是等腰三角形，∠ＡＢＣ＝１２４°，∠ＣＤＥ＝７２°，则 ∠ＡＣＤ＝ （　　） Ａ．１６° Ｂ．２８° Ｃ．４４° Ｄ．４５° 知识点二　等腰三角形的判定 ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＡＣ＝８，ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ，过点Ｄ作直线平 行于ＢＣ，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，则△ＡＥＦ的周长为 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１８ Ｄ．１３ ４．如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是边ＡＢ，ＡＣ上的点，ＢＤ＝ＣＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ，ＢＥ与 ＣＤ相交于点Ｆ，求证：△ＡＢＣ是等腰三角形。 ３５ 【随堂小测】 １．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路ＡＢ∥ＣＤ，道路ＡＢ与ＡＥ的夹角∠ＢＡＥ＝ ５０°。城市规划部门想新修一条道路ＣＥ，要求ＣＦ＝ＥＦ，则∠Ｅ的度数为 （　　） Ａ．２３° Ｂ．２５° Ｃ．２７° Ｄ．３０° 第１题图 　　　 第２题图 　　　 第３题图 ２．如图，在等腰△ＡＢＣ中，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，∠Ａ＝３６°，ＡＢ＝ＡＣ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，则ＣＤ＝ （　　） Ａ．ａ＋ｂ２ Ｂ． ａ－ｂ ２ Ｃ．ａ－ｂ Ｄ．ｂ－ａ ３．如图，ＡＣ∥ＢＤ，ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｏ，若ＡＯ＝ＡＣ，∠Ａ＝４８°，∠Ｄ＝ 。 ４．（易错题）已知等腰三角形的一个外角为１３０°，则它的顶角的度数为 。 ５．如图，ＢＥ是△ＡＢＣ的角平分线，在ＡＢ上取点Ｄ，使ＤＢ＝ＤＥ。 （１）求证：ＤＥ∥ＢＣ； （２）若∠Ａ＝６５°，∠ＡＥＤ＝４５°，求∠ＣＢＥ的度数。 ６．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＣＥ⊥ＡＤ于点 Ｅ，ＥＦ∥ＡＢ交 ＡＣ于点 Ｆ。求证： △ＣＥＦ是等腰三角形。 ４５ ∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ＝９０°，∠Ａ＋∠Ｄ＝９０°，∠Ｃ＋∠Ｄ＝９０°。 ∴∠Ａ＝∠Ｃ。∵ＡＢ＝ＣＤ，∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ）。 ∴ＡＦ＝ＣＥ＝ａ，ＤＥ＝ＢＦ＝ｂ。又∵ＥＦ＝ｃ，∴ＡＤ＝ＡＦ＋ ＤＦ＝ａ＋（ｂ－ｃ）＝ａ＋ｂ－ｃ。故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＡＣ，交 ＣＢ的延长线 于点Ｅ。∵∠ＤＡＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°， ∴∠Ｄ＋∠ＡＢＣ＝１８０°＝∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ。 ∴∠Ｄ＝∠ＡＢＥ。 又∵∠ＤＡＢ＝∠ＣＡＥ＝９０°，∴∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＢ。 又∵ＡＤ＝ＡＢ，∴△ＡＣＤ≌△ＡＥＢ（ＡＳＡ）。 ∴ＡＣ＝ＡＥ，即△ＡＣＥ是等腰直角三角形。 ∴四边形ＡＢＣＤ的面积与△ＡＣＥ的面积相等。 ∵Ｓ△ＡＣＥ＝ １ ２×５×５＝１２．５，∴四边形 ＡＢＣＤ的面积 为１２．５。故选Ｂ。 ５．①②　【解析】①底边和顶角对应相等的两个等腰三 角形全等，正确；②两边及其中一边上的中线对应相 等的两个三角形全等，正确；③斜边和斜边上的中线 对应相等的两个直角三角形全等，不正确。 ６．解：∵∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＣ＋∠ＣＡＤ，即∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ。 在△ＢＡＣ和△ＥＡＤ中， ＡＢ＝ＡＥ， ∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ ＡＣ＝ＡＤ { ， ， ∴△ＢＡＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｄ＝∠Ｃ＝３５°。 ７．（１）证明：在△ＢＥＦ和△ＣＤＡ中， ＢＥ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠１， ＢＦ＝ＣＡ { ， ∴△ＢＥＦ≌△ＣＤＡ（ＳＡＳ）。 ∴∠Ｄ＝∠２。 （２）解：∵∠Ｄ＝∠２，∠Ｄ＝７８°，∴∠２＝７８°。 ∵ＥＦ∥ＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠２＝７８°。 ２　等腰三角形 第１课时　等腰三角形的性质与判定（１） 【边学边练】 １．Ｂ ２．Ｃ　【解析】如图，延长ＥＤ交ＡＣ于点Ｆ。∵△ＡＢＣ是 等腰三角形，∠ＡＢＣ＝１２４°，∴∠Ａ＝∠ＡＣＢ＝２８°。 ∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠ＣＦＤ＝∠Ａ＝２８°。∵∠ＣＤＥ＝∠ＣＦＤ＋ ∠ＡＣＤ＝７２°，∴∠ＡＣＤ＝７２°－２８°＝４４°。故选Ｃ。 ３．Ｄ　【解析】∵ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＤＢＣ，∠ＤＣＦ＝∠ＤＣＢ。 ∵ＥＦ∥ＢＣ，∴∠ＤＢＣ＝∠ＢＤＥ，∠ＤＣＢ＝∠ＣＤＦ。 ∴∠ＤＢＥ＝∠ＢＤＥ，∠ＤＣＦ＝∠ＣＤＦ。 ∴ＢＥ＝ＤＥ，ＣＦ＝ＤＦ。∴ＥＦ＝ＤＥ＋ＤＦ＝ＢＥ＋ＣＦ。 ∵ＡＢ＝５，ＡＣ＝８，∴△ＡＥＦ的周长为 ＡＥ＋ＥＦ＋ＡＦ＝ ＡＥ＋ＢＥ＋ＣＦ＋ＡＦ＝ＡＢ＋ＡＣ＝５＋８＝１３。故选Ｄ。 ４．证明：在△ＢＤＦ和△ＣＥＦ中， ∠ＤＦＢ＝∠ＥＦＣ， ∠ＦＢＤ＝∠ＦＣＥ， ＢＤ＝ＣＥ { ， ∴△ＢＤＦ≌△ＣＥＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＢＦ＝ＣＦ。 ∴∠ＦＢＣ＝∠ＦＣＢ。 又∵∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ， ∴∠ＦＢＣ＋∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＢ＋∠ＡＣＤ，即∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∴ＡＢ＝ＡＣ。 ∴△ＡＢＣ是等腰三角形。 【随堂小测】 １．Ｂ　【解析】∵ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＤＦＥ＝∠ＢＡＥ＝５０°。 ∵ＣＦ＝ＥＦ，∴∠Ｃ＝∠Ｅ。 ∵∠ＤＦＥ＝∠Ｃ＋∠Ｅ， ∴∠Ｃ＝１２∠ＤＦＥ＝ １ ２×５０°＝２５°。故选Ｂ。 ２．Ｃ　【解析】∵在等腰△ＡＢＣ中，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分 线，∠Ａ＝３６°，∴ ∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝２∠ＡＢＤ＝７２°。 ∴∠ＡＢＤ＝３６°＝∠Ａ。∴ＢＤ＝ＡＤ。∴∠ＢＤＣ＝∠Ａ＋ ∠ＡＢＤ＝７２°＝∠Ｃ。∴ＢＤ＝ＢＣ。∵ＡＢ＝ＡＣ＝ａ， ＢＣ＝ｂ，∴ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ＝ａ－ｂ。故选Ｃ。 ３．６６°　４．５０°或８０° ５．（１）证明：∵ＢＥ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＣＢＥ。 ∵ＤＢ＝ＤＥ，∴∠ＤＥＢ＝∠ＤＢＥ。 ∴∠ＤＥＢ＝∠ＣＢＥ。∴ＤＥ∥ＢＣ。 （２）解：∵ＤＥ∥ＢＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＡＥＤ＝４５°                                                               。 １１１ 在△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠ＡＢＣ＋∠Ｃ＝１８０°， ∴∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝１８０°－６５°－４５°＝７０°。 ∵ＢＥ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＣＢＥ＝１２∠ＡＢＣ＝３５°。 ６．证明：如图， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠１＝∠２。 ∵ＥＦ∥ＡＢ，∴∠１＝∠３。∴∠２＝∠３。 ∵ＣＥ⊥ＡＤ，∴∠ＡＥＣ＝９０°。 ∴∠３＋∠４＝９０°，∠２＋∠５＝９０°。 ∴∠４＝∠５。∴ＥＦ＝ＣＦ。 ∴△ＣＥＦ是等腰三角形。 第２课时　等腰三角形的性质与判定（２） 【边学边练】 １．２０　２．５ ３．证明：∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝３０°。 ∵∠Ｃ＋∠ＢＡＣ＋∠Ｂ＝１８０°， ∴∠ＢＡＣ＝１８０°－３０°－３０°＝１２０°。 ∵∠ＤＡＢ＝４５°， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＢ＝１２０°－４５°＝７５°。 ∵∠ＤＡＢ＝４５°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＋∠ＤＡＢ＝７５°。 ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＣ。 ∴ＤＣ＝ＡＣ。 ∴△ＡＤＣ是等腰三角形。 【随堂小测】 １．Ｂ　２．Ｄ ３．Ｃ　【解析】当∠ＢＡＣ是锐角时，如图１， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝２０°，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠Ａ＝７０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝（１８０°－７０°）÷２＝５５°； 图１ 　 图２ 当∠ＢＡＣ是钝角时，如图２， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∠ＡＢＤ＝２０°，ＢＤ⊥ＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝２０°＋９０°＝１１０°。 ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ＝（１８０°－１１０°）÷２＝３５°。故选Ｃ。 ４．４０ ５．槡３３　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＡＢ交ＡＤ于点Ｅ。 此时ＣＥ＋ＥＦ的值最小，且 ＣＥ＋ＥＦ的最小值为 ＣＦ。 ∵△ＡＢＣ是等边三角形，边长为６，∴ＢＦ＝１２ＡＢ＝ １ ２× ６＝３。∴ＣＦ＝ ＢＣ２－ＢＦ槡 ２＝ ６２－３槡 ２ 槡 槡＝ ２７＝３３， 即ＣＥ＋ＥＦ的最小值为 槡３３。 ６．解：如图，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠１＝∠２。 ∵ＤＥ∥ＡＣ，∴∠２＝∠ＡＤＥ。 ∴∠１＝∠ＡＤＥ。∴ＡＥ＝ＤＥ。 ∵ＢＤ⊥ＡＤ，∴∠ＡＤＢ＝９０°。 ∴∠１＋∠ＡＢＤ＝９０°， ∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＥ＝９０°。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＥ。 ∴ＤＥ＝ＢＥ。 ∴ＤＥ＝１２ＡＢ＝ １ ２×５＝２．５。 ７．解：（１）△ＡＢＤ是等腰三角形。 证明：∵ＡＤ平分∠ＣＡＧ， ∴∠ＧＡＤ＝∠ＣＡＤ＝１２∠ＣＡＧ。 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ。 ∵∠ＣＡＧ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ，∴∠ＧＡＤ＝∠ＡＢＣ。 ∴ＡＤ∥ＢＣ。∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ。 ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ。 ∴∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ。∴ＡＢ＝ＡＤ。 ∴△ＡＢＤ是等腰三角形。 （２）∵ＡＥ＝ＢＥ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＢＥ＝１２∠ＡＢＣ。 ∵∠ＢＡＥ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ， ∴ ５２∠ＡＢＣ＝１８０°。∴∠ＡＢＣ＝７２°。 第３课时　等边三角形的性质与判定、反证法 【边学边练】 １．Ｄ ２．解：∠ＢＡＥ＝∠ＣＢＦ。理由如下： ∵△ＡＢＣ是等边三角形， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ＢＣ。 在△ＡＢＥ和△ＢＣＦ中                                                               ， ２１１